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粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）是一种基于群体智能的优化
算法，它模拟了鸟群或鱼群等生物群体的行为，通过个体之间的协作和信息共享来寻找问题的最优解。
在 MATLAB 中，可以使用 PSO 工具箱来实现粒子群优化算法。
以下是在 MATLAB 中使用 PSO 工具箱实现粒子群优化算法的基本步骤：
步骤1: 定义优化问题
首先，需要定义要优化的目标函数。
目标函数是希望最小化或最大化的目标。
例如，如果希望最小化一个简单的函数，可以这样定义：
步骤2: 设置 PSO 参数
然后，需要设置 PSO 算法的参数，如种群大小、迭代次数、惯性权重等。
这些参
数的选择可能会影响算法的性能，需要根据具体问题进行调整。
步骤3: 运行 PSO 算法
使用particleswarm函数运行 PSO 算法，将目标函数和参数传递给它。
这里@myObjective表示使用myObjective函数作为目标函数，1是变量的维度，[]表
示没有约束条件。
示例：
考虑一个简单的最小化问题，目标函数为 Rosenbrock 函数：
设置 PSO 参数：
运行 PSO 算法：
在这个示例中，rosenbrock函数是一个二维的 Rosenbrock 函数，PSO 算法将寻找使得该函数最小化的变量值。
请注意，实际应用中，需要根据具体问题调整目标函数、约束条件和 PSO 参数。
MATLAB 的文档和示例代码提供了更多关于 PSO 工具箱的详细信息。
matlab粒子群优化算法函数
Matlab粒子群优化算法函数是一种常用的优化算法函数，可以用于解决各种单目标和多目标的优化问题。
该算法模拟了鸟群中的群体智能行为，通过不断地调整粒子的位置和速度，来寻找最优解。
该函数可以应用于各种领域，如机器学习、物理学、金融等。
该算法的基本原理是将问题转化为在搜索空间内寻找最优解的过程。
在每一次迭代中，会根据当前的位置和速度，计算出新的位置和速度，并通过适应度函数来判断该位置是否为最优解。
随着迭代的进行，粒子会逐渐靠近最优解，直至达到最优解。
Matlab粒子群优化算法函数包括如下步骤：
1. 初始化粒子的位置和速度。
2. 计算适应度函数，判断当前位置是否为最优解。
3. 更新粒子的位置和速度。
4. 重复步骤2和步骤3，直至达到最大迭代次数或找到最优解。
该算法的优点是可以在高维度的搜索空间中找到最优解，且不容易陷入局部最优解。
缺点是需要大量计算，速度较慢。
总之，Matlab粒子群优化算法函数是一种强大的优化算法函数，可以用于各种优化问题的解决。
在使用该函数时，需要根据具体问题来选择适当的参数，以获得最优的解。
- 1 -。
30个智能算法matlab代码以下是30个使用MATLAB编写的智能算法的示例代码： 1. 线性回归算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2, 4, 6, 8, 10];coefficients = polyfit(x, y, 1);predicted_y = polyval(coefficients, x);2. 逻辑回归算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [0, 0, 1, 1, 1];model = fitglm(x, y, 'Distribution', 'binomial'); predicted_y = predict(model, x);3. 支持向量机算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3];y = [1, 1, -1, -1, -1];model = fitcsvm(x', y');predicted_y = predict(model, x');4. 决策树算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; y = [0, 0, 1, 1, 1];model = fitctree(x', y');predicted_y = predict(model, x');5. 随机森林算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; y = [0, 0, 1, 1, 1];model = TreeBagger(50, x', y');predicted_y = predict(model, x');6. K均值聚类算法：matlab.x = [1, 2, 3, 10, 11, 12]; y = [1, 2, 3, 10, 11, 12]; data = [x', y'];idx = kmeans(data, 2);7. DBSCAN聚类算法：matlab.x = [1, 2, 3, 10, 11, 12]; y = [1, 2, 3, 10, 11, 12]; data = [x', y'];epsilon = 2;minPts = 2;[idx, corePoints] = dbscan(data, epsilon, minPts);8. 神经网络算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [0, 0, 1, 1, 1];net = feedforwardnet(10);net = train(net, x', y');predicted_y = net(x');9. 遗传算法：matlab.fitnessFunction = @(x) x^2 4x + 4;nvars = 1;lb = 0;ub = 5;options = gaoptimset('PlotFcns', @gaplotbestf);[x, fval] = ga(fitnessFunction, nvars, [], [], [], [], lb, ub, [], options);10. 粒子群优化算法：matlab.fitnessFunction = @(x) x^2 4x + 4;nvars = 1;lb = 0;ub = 5;options = optimoptions('particleswarm', 'PlotFcn',@pswplotbestf);[x, fval] = particleswarm(fitnessFunction, nvars, lb, ub, options);11. 蚁群算法：matlab.distanceMatrix = [0, 2, 3; 2, 0, 4; 3, 4, 0];pheromoneMatrix = ones(3, 3);alpha = 1;beta = 1;iterations = 10;bestPath = antColonyOptimization(distanceMatrix, pheromoneMatrix, alpha, beta, iterations);12. 粒子群-蚁群混合算法：matlab.distanceMatrix = [0, 2, 3; 2, 0, 4; 3, 4, 0];pheromoneMatrix = ones(3, 3);alpha = 1;beta = 1;iterations = 10;bestPath = particleAntHybrid(distanceMatrix, pheromoneMatrix, alpha, beta, iterations);13. 遗传算法-粒子群混合算法：matlab.fitnessFunction = @(x) x^2 4x + 4;nvars = 1;lb = 0;ub = 5;gaOptions = gaoptimset('PlotFcns', @gaplotbestf);psOptions = optimoptions('particleswarm', 'PlotFcn',@pswplotbestf);[x, fval] = gaParticleHybrid(fitnessFunction, nvars, lb, ub, gaOptions, psOptions);14. K近邻算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; y = [0, 0, 1, 1, 1];model = fitcknn(x', y');predicted_y = predict(model, x');15. 朴素贝叶斯算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; y = [0, 0, 1, 1, 1];model = fitcnb(x', y');predicted_y = predict(model, x');16. AdaBoost算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3];y = [0, 0, 1, 1, 1];model = fitensemble(x', y', 'AdaBoostM1', 100, 'Tree'); predicted_y = predict(model, x');17. 高斯混合模型算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5]';y = [0, 0, 1, 1, 1]';data = [x, y];model = fitgmdist(data, 2);idx = cluster(model, data);18. 主成分分析算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; coefficients = pca(x');transformed_x = x' coefficients;19. 独立成分分析算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; coefficients = fastica(x');transformed_x = x' coefficients;20. 模糊C均值聚类算法：matlab.x = [1, 2, 3, 4, 5; 1, 2, 2, 3, 3]; options = [2, 100, 1e-5, 0];[centers, U] = fcm(x', 2, options);21. 遗传规划算法：matlab.fitnessFunction = @(x) x^2 4x + 4; nvars = 1;lb = 0;ub = 5;options = optimoptions('ga', 'PlotFcn', @gaplotbestf);[x, fval] = ga(fitnessFunction, nvars, [], [], [], [], lb, ub, [], options);22. 线性规划算法：matlab.f = [-5; -4];A = [1, 2; 3, 1];b = [8; 6];lb = [0; 0];ub = [];[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, ub);23. 整数规划算法：matlab.f = [-5; -4];A = [1, 2; 3, 1];b = [8; 6];intcon = [1, 2];[x, fval] = intlinprog(f, intcon, A, b);24. 图像分割算法：matlab.image = imread('image.jpg');grayImage = rgb2gray(image);binaryImage = imbinarize(grayImage);segmented = medfilt2(binaryImage);25. 文本分类算法：matlab.documents = ["This is a document.", "Another document.", "Yet another document."];labels = categorical(["Class 1", "Class 2", "Class 1"]);model = trainTextClassifier(documents, labels);newDocuments = ["A new document.", "Another new document."];predictedLabels = classifyText(model, newDocuments);26. 图像识别算法：matlab.image = imread('image.jpg');features = extractFeatures(image);model = trainImageClassifier(features, labels);newImage = imread('new_image.jpg');newFeatures = extractFeatures(newImage);predictedLabel = classifyImage(model, newFeatures);27. 时间序列预测算法：matlab.data = [1, 2, 3, 4, 5];model = arima(2, 1, 1);model = estimate(model, data);forecastedData = forecast(model, 5);28. 关联规则挖掘算法：matlab.data = readtable('data.csv');rules = associationRules(data, 'Support', 0.1);29. 增强学习算法：matlab.environment = rlPredefinedEnv('Pendulum');agent = rlDDPGAgent(environment);train(agent);30. 马尔可夫决策过程算法：matlab.states = [1, 2, 3];actions = [1, 2];transitionMatrix = [0.8, 0.1, 0.1; 0.2, 0.6, 0.2; 0.3, 0.3, 0.4];rewardMatrix = [1, 0, -1; -1, 1, 0; 0, -1, 1];policy = mdpPolicyIteration(transitionMatrix, rewardMatrix);以上是30个使用MATLAB编写的智能算法的示例代码，每个算法都可以根据具体的问题和数据进行相应的调整和优化。
Matlab中的粒子群优化算法详解引言：粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法，具有简单易实现、无需求导和全局搜索能力强等特点。
该算法在解决多种问题中得到广泛应用，特别是在机器学习、智能优化等领域。
本文将详细介绍Matlab中粒子群优化算法的实现过程及应用。
一、粒子群优化算法原理粒子群优化算法源自于对鸟群觅食行为的模拟。
假设一个鸟群中的每个个体被称为粒子，所有粒子共同组成了一个搜索空间，每个粒子会根据自身的当前位置和历史最佳位置进行搜索，并且受到其邻近粒子的信息影响。
通过不断的迭代运算，粒子们逐渐收敛到全局最优解或局部最优解。
具体算法流程如下：1. 初始化粒子群的位置和速度。
2. 计算每个粒子的适应度值，并更新个体最优位置。
3. 根据全局最优位置调整粒子的速度和位置。
4. 重复执行第2步和第3步，直到满足终止条件。
二、Matlab中粒子群优化算法实现步骤在Matlab中，可以通过以下步骤来实现粒子群优化算法：1. 初始化粒子群的位置和速度。
首先需要确定粒子群的大小，即粒子的个数。
对于每个粒子，需要随机生成一个初始位置和速度。
可以使用Matlab中的rand函数来生成指定范围内的随机数。
问题优劣的指标，因此需要根据具体问题来确定。
对于更新个体最优位置，可以通过比较当前适应度值和历史最佳适应度值的大小，选择适应度更优的位置进行更新。
3. 根据全局最优位置调整粒子的速度和位置。
粒子的速度和位置的更新是通过以下公式实现的：V(i,j) = w * V(i,j) + c1 * rand() * (P(i,j) - X(i,j)) + c2 * rand() * (G(j) - X(i,j))X(i,j) = X(i,j) + V(i,j)其中，V(i,j)表示第i个粒子在第j个维度上的速度，X(i,j)表示第i个粒子在第j个维度上的位置，P(i,j)表示第i个粒子的历史最佳位置，G(j)表示全局最佳位置，w、c1和c2分别表示惯性权重、个体学习因子和社会学习因子。
基于智能计算几种经典算法解析智能计算是一种利用智能算法和技术解决问题的方法。
在智能计算领域，有许多经典的算法被广泛应用于数据分析、机器学习、优化问题等各种领域。
本文将介绍几种经典算法的基本原理和应用。
一、遗传算法（Genetic Algorithm，GA）遗传算法是一种受到生物进化理论启发的随机优化算法。
它模拟了生物进化的过程，通过遗传操作（交叉、变异）和选择操作，迭代地最优解。
遗传算法有广泛的应用领域，如函数优化、旅行商问题、机器学习等。
其基本原理是通过不断迭代的过程，逐步改进种群中个体的适应度，最终找到最优解。
二、粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）粒子群优化算法是一种模拟鸟群或鱼群行为的优化算法。
它参考了个体在群体中互相协作的行为方式，通过模拟每个个体的速度和位置的变化，来寻找最优解。
粒子群优化算法具有全局和局部的能力，被广泛应用于函数优化、模型参数选择等问题中。
三、模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）模拟退火算法是一种模拟固体物质退火过程的随机优化算法。
它通过模拟固体退火过程中原子热运动的规律，来优化问题的最优解。
模拟退火算法具有一定的随机性，在过程中可以跳出局部最优解。
它在组合优化问题、图形划分、神经网络训练等领域得到了广泛的应用。
四、人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）人工神经网络是一种通过模拟人脑神经元之间的连接和传递信息的方式来解决问题的技术。
它由多个神经元（处理单元）组成，每个神经元接收来自其他神经元的输入，并通过一定的激活函数进行处理，产生输出。
人工神经网络可以通过训练来学习输入与输出之间的映射关系，广泛应用于模式分类、预测等领域。
以上介绍了几种经典的智能计算算法，它们在不同的问题领域中都有不同的应用。
这些算法基于不同的原理和思想，具有不同的特点和适用范围。
在实际应用中，根据问题的性质和要求，选择合适的算法进行求解可以提高效率和准确性。
MATLAB_智能算法30个案例分析1.线性回归：使用MATLAB的回归工具箱，对给定的数据集进行线性回归分析，获取拟合的直线方程。
2.逻辑回归：使用MATLAB的分类工具箱，对给定的数据集进行逻辑回归分析，建立分类模型。
3.K均值聚类：使用MATLAB的聚类工具箱，对给定的数据集进行K 均值聚类算法，将数据集分为多个簇。
4.支持向量机：使用MATLAB的SVM工具箱，对给定的数据集进行支持向量机算法，建立分类或回归模型。
5.决策树：使用MATLAB的分类工具箱，对给定的数据集进行决策树分析，建立决策模型。
6.随机森林：使用MATLAB的分类和回归工具箱，对给定的数据集进行随机森林算法，集成多个决策树模型。
7. AdaBoost：使用MATLAB的分类工具箱，对给定的数据集进行AdaBoost算法，提升分类性能。
8.遗传算法：使用MATLAB的全局优化工具箱，利用遗传算法进行优化问题的求解。
9.粒子群优化：使用MATLAB的全局优化工具箱，利用粒子群优化算法进行优化问题的求解。
10.模拟退火算法：使用MATLAB的全局优化工具箱，利用模拟退火算法进行优化问题的求解。
11.神经网络：使用MATLAB的神经网络工具箱，构建和训练多层感知机模型。
12.卷积神经网络：使用MATLAB的深度学习工具箱，构建和训练卷积神经网络模型。
13.循环神经网络：使用MATLAB的深度学习工具箱，构建和训练循环神经网络模型。
14.长短期记忆网络：使用MATLAB的深度学习工具箱，构建和训练长短期记忆网络模型。
15.GAN（生成对抗网络）：使用MATLAB的深度学习工具箱，构建和训练生成对抗网络模型。
16.自编码器：使用MATLAB的深度学习工具箱，构建和训练自编码器模型。
17.强化学习：使用MATLAB的强化学习工具箱，构建和训练强化学习模型。
18.关联规则挖掘：使用MATLAB的数据挖掘工具箱，发现数据中的关联规则。
摘要：TSP 是一个典型的NPC 问题。
本文首先介绍旅行商问题和粒子群优化算法的基本概念。
然后构造一种基于交换子和交换序[1]概念的粒子群优化算法，通过控制学习因子1c 和2c 、最大速度max V ，尝试求解旅行商问题。
本文以中国31个省会城市为例，通过MATLAB 编程实施对旅行商问题的求解,得到了一定优化程度的路径，是粒子群优化算法在TSP 问题中运用的一次大胆尝试。
关键字：TSP 问题；粒子群优化算法；MATLAB ；中国31个城市TSP 。
粒子群优化算法求解旅行商问题1.引言1.旅行商问题的概述旅行商问题，即TSP问题（Traveling Salesman Problem）又译为旅行推销员问题货郎担问题，是数学领域中著名问题之一。
假设有一个旅行商人要拜访n个城市，他必须选择所要走的路径，路径的限制是每个城市只能拜访一次，而且最后要回到原来出发的城市。
路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。
TSP问题是一个组合优化问题，其描述非常简单，但最优化求解非常困难，若用穷举法搜索，对N个城市需要考虑N！种情况并两两对比，找出最优，其算法复杂性呈指数增长，即所谓“指数爆炸”。
所以，寻求和研究TSP问题的有效启发式算法，是问题的关键。
2.粒子群优化算法的概述粒子群优化算法(Particle Swarm optimization,PSO)又翻译为粒子群算法、微粒群算法、或微粒群优化算法。
是通过模拟鸟群觅食行为而发展起来的一种基于群体协作的随机搜索算法。
通常认为它是群集智能(Swarm intelligence, SI)的一种。
它可以被纳入多主体优化系统 (Multiagent Optimization System, MAOS). 粒子群优化算法是由Eberhart博士和Kennedy 博士发明。
PSO模拟鸟群的捕食行为。
一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物。
所有的鸟都不知道食物在那里。
但是他们知道当前的位置离食物还有多远。
那么找到食物的最优策略是什么呢。
最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。
PSO从这种模型中得到启示并用于解决优化问题。
PSO中，每个优化问题的解都是搜索空间中的一只鸟。
我们称之为“粒子”。
所有的粒子都有一个由被优化的函数决定的适应值(fitnessvalue)，每个粒子还有一个速度决定他们飞翔的方向和距离。
然后粒子们就追随当前的最优粒子在解空间中搜索。
PSO初始化为一群随机粒子(随机解)，然后通过迭代找到最优解，在每一次叠代中，粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己。
第一个就是粒子本身所找到的最优解，这个解叫做个体极值pBest，另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值是全局极值gBest。
另外也可以不用整个种群而只是用其中一部分最优粒子的邻居，那么在所有邻居中的极值就是局部极值。
3.粒子群优化算法求解旅行商问题旅行商问题是一个典型的、易于描述却难于处理的组合优化问题,并且是一个NP完全难题,其可能的路径数目与城市数目n是成指数型增长的,对n个城市而言,可能的路径总(n-1)!。
随着n的增加,路径数将按数率急剧增长,即所谓的“指数爆炸”,所以一般很难精确地求出其最优解,因而寻找出其有效的近似求解算法就具有重要的理论意义。
而粒子群优化算法是解决复杂问题的有效方法,自然也能应用于解决旅行商问题。
PSO模拟鸟群的捕食行为。
一群鸟在随机搜索食物，在这个区域里只有一块食物。
所有的鸟都不知道食物在那里。
但是他们知道当前的位置离食物还有多远。
那么找到食物的最优策略是什么呢。
最简单有效的就是搜寻目前离食物最近的鸟的周围区域。
2. 粒子群算法的基本思想[2]1. 粒子群优化算法的基本原理一个由m 个粒子(Particle)组成的群体(Swarm)在D 维搜索空间中以一定的速度飞行，每个粒子在搜索时，考虑到了自己搜索到的的历史最好点和群体内(或领域内)其它粒子的最好点，在此基础上进行位置(状态、也就是解)的变化。
第i 个粒子的位置表示为：12(,,,)i i i iD x x x =⋅⋅⋅x第i 个粒子的速度表示为：12(,,,)i i i iD v v v =⋅⋅⋅v ，1d D ≤≤第i 个粒子所经历的历史最好点表示为1i m ≤≤：12(,,,)i i i iD p p p =⋅⋅⋅p 群体内(或领域内)所有粒子所经历过的最好的点表示为：12(,,,)g g g gD p p p =⋅⋅⋅p 。
一般来说，粒子的位置和速度都是在连续的实数空间内进行取值，粒子的位置和速度根据如下方程进行变化 112()()k k k k k k id id id id gd id v v c p x c p x ωξη+=+-+-1k k kid id idx x v +=+ 其中，ω为惯性权重。
1c 和2c 称为学习因子(Learning Factor)或加速系数(Acceleration Coefficient)，一般为正常数。
学习因子使粒子具有自我总结和向群体中优秀个体学习的能力，从而向自己的历史最优点以及群体内或领域内的历史最优点靠近。
1c 和2c 通常等于2。
ξ，η[0,1]U ∈，是在[0,1]区间内均匀分布的伪随机数。
粒子的速度被限制在一个最大max V 的范围内。
当把群体内所有粒子都作为领域成员时，得到粒子群优化算法的全局版本；当群体内部分成员组成领域时得到粒子群优化算法的局部版本。
局部版本中，一般有两种方式组成领域，一种是索引号相邻的粒子组成领域，另一种是位置相邻的粒子组成领域。
粒子群优化算法的领域定义策略又可以称为粒子群的领域拓扑结构。
[1]2. 粒子群优化算法的流程3. 粒子群优化算法的主要构成要素1. 群体大小mm 是个整型参数。
当m 很小的时候，陷入局优的可能性很大。
然而，群体过大将导致计算时间大幅增加。
并且当群体树木增长至一定水平时，再增长将不再有显著的作用。
当m =1时，PSO 算法变成基于个体搜索的技术，一旦陷入局优，将不可能跳出。
当m 很大时，PSO 的优化能力很好，可是收敛速度将非常慢。
2. 学习因子1c 和2c学习因子使粒子具有自我总结和向群体中优秀个体学习的能力，从而向群体内或领域内最优点靠近。
1c 和2c 通常都等于2，不过也可能有其他取值。
但是一般1c 等于2c ，并且范围在0和4之间。
3. 最大速度：max V最大速度决定粒子在一次迭代中最大的移动距离。
max V 较大，探索能力增强，但是粒子容易飞过最好的解。
max V 较小时，开发能力增强，但是容易陷入局优。
有分析和实验表明，设定max V 的作用可以通过惯性权重的调整来实现。
所以现在的实验基本上使用max V 进行初始化，将max V 设定为每维变量的变化范围，而不必进行细致的选择与调节。
4. 惯性权重智能优化方法的运行是否成功，探索能力和开发能力的平衡是非常关键的。
对于粒子群优化算法来说，这两种能力的平衡就是靠惯性权重来实现的。
较大的惯性权重使粒子在自己原来的方向上具有更大的速度，从而在原方向上飞行更远，具有更好的搜索能力；较小的惯性权重使粒子继承了较少的原方向上的速度，从而飞行较近，具有更好的开发能力。
通过调节惯性权重能够调节粒子群的搜索能力。
5. 领域拓扑结构全局版本粒子群优化算法将整个群体作为粒子的领域，速度快，不过有时会陷入局优；局部版本粒子群优化算法将索引号相近或者位置相近的个体作为粒子的领域，收敛速度慢一点，不过很难陷入局部最优。
显然，全局版本的粒子群优化算法可以看作局部版本粒子群优化算法的一个特例，即将整个群体都作为领域。
6. 停止准则一般使用最大迭代次数或可以接受的满意解作为停止准则。
7. 粒子空间的初始化较好地选择粒子的初始化空间，将大大缩短收敛时间。
这是问题依赖的。
3. 粒子群算法求解旅行商问题的流程粒子群优化算法虽然成功地应用于连续优化的问题中，而在离散上的研究和应用还很少，尤其是用PSO 解决TSP 问题是一个新的研究方向[2]。
最初的PSO 是用来解决连续空间的问题的，为了适合求解TSP 问题，人们对算法进行了各种改进。
本文采用王岚[3]重新定义PSO 的运算符号和规则，引入交换子和交换序的概念，构造一种特殊的PSO 用于求解TSP 的方法。
先对这种改进的PSO 进行简略介绍：定义1 设n 个城市的TSP 问题的解序列为S=（a i ），i=1,2，…，n.定义交换子SO （i 1，i 2）为交换解S 中的点a i1和a i2，则S ’=S+ SO （i 1，i 2）为解S 经算子SO （i 1，i 2）操作后的新解，这里为符号“+”赋予了新的含义.例1 有一个有5个城市的TSP 问题，其解为S=（1,3,5,2,4），交换算子为SO （1，2），则S ’=S+SO(1,2)=(1,3,5,2,4)+SO(1,2)=(3,1,5,2,4).定义2 一个或多个交换子的有序队列就是交换序，记作SS 。
其中，SS=（SO 1，SO 2，…，SO n ），SO 1，SO 2，…，SO n 是交换子，它们之间的顺序是有意义的。
交换序作用于一个TSP 解上意味着这个交换序中的所有交换子依次作用于该解上，即S ’=S+SS=S+（SO 1，SO 2，…，SO n ）=[(S+SO 1)+SO 2]+…+SO n .定义3 不同的交换序作用于同一解上可能产生相同的新解，所有有相同效果的交换序的集合称为交换序的等价集。
定义4 若干个交换序可以合并成一个新的交换序，定义为两个交换序的合并算子。
例2 设两个交换序SS 1和SS 2按先后顺序作用于解S 上，得到新解S ’。
假设另外有一个交换序SS ’作用于同一解上，能够得到相同的解S ’，可定义SS ’=SS 1+SS 2。
SS ’和SS 1+SS 2属于同一等价集。
一般来说，SS ’不唯一。
定义5 在交换序等价集中，拥有最少交换子的序称为该等价集的基本交换序。
可按如下方法构造一个基本交换序。
设给定两个解路径A 和B ，需要构造一个基本交换序SS ，使得B+SS=A 。
A ：（1,2,3,4,5）；B ：（2,3,1,5,4）可以看出，A(1)=B(3)=1，所以第一个交换子是SO （1,3），B 1=B+SO （1,3），得到B 1（1,3,2,5,4）；A(2)=B 1(3)=2，所以第二个交换子是SO （2,3），B 2=B 1+SO （2,3），得到B 2=（1,2,3,5,4）；同理，第三个交换子是SO （4,5），得到B 3=B 2+SO （4,5）=A 。
这样就得到一个基本交换序：SS=A-B=（SO （1,3），SO （2,3），SO （4,5））。
