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第三章流体动力学基础本章是流体动力学的基础。
主要阐述了流体运动的两种描述方法,运动流体的基本类别与基本概念，用欧拉法解决运动流体的连续性微分方程、欧拉运动微分方程及N-S方程。
此外，还阐述了无旋流与有旋流的判别，引出了流函数与势函数的概念，并且说明利用流网与势流叠加原理可解决流体的诸多复杂问题。
第一节流体流动的基本概念1.流线（1）流线的定义流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线方向与该点的流速方向重合。
图3-1为流线谱中显示的流线形状。
（2）流线的作法：在流场中任取一点（如图3-2），绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线是欧拉法分析流动的重要概念。
图3-1 图3-2（3）流线的性质（图3-3）a.同一时刻的不同流线，不能相交。
图3-3因为根据流线定义，在交点的液体质点的流速向量应同时与这两条流线相切，即一个质点不可能同时有两个速度向量。
b.流线不能是折线，而是一条光滑的曲线。
因为流体是连续介质，各运动要素是空间的连续函数。
c.流线簇的疏密反映了速度的大小（流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
因为对不可压缩流体，元流的流速与其过水断面面积成反比。
（4）流线的方程（图3-4）根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：图3-4设d s为流线上A处的一微元弧长:u为流体质点在A点的流速:因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速分量，u和d s重合。
所以即展开后得到：——流线方程（3-1）（或用它们余弦相等推得)2.迹线(1)迹线的定义迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。
图3-5中烟火的轨迹为迹线。
(2)迹线的微分方程（3-2）式中，u x,u y,u z均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
第三讲 流体静力学一、 静止流体中的应力特性静止流体中，流体质点之间没有相对运动，切应力必然为0，又由于流体分子之间的引力很小，流体质点之间几乎不能承受拉力。
因此，在静止流体中，只能存在指向作用面的法向应力。
即n p =-p n （3-1）式中的p n 就是工程流体力学中的流体静压力。
上式也可以写成张量形式P ==000000p p p -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=p 00000011⎡⎤⎢⎥1⎢⎥⎢⎥⎣⎦= p I （3-2） 式中I 为单位张量。
静止流体中任意一点处的应力无论来自何方均相等，即任意一点处的静压力与作用方向无关。
二、 欧拉平衡方程惯性坐标系中，任何流体处于静止状态的必要条件是：作用在物体上的合外力为0，即0∑=F （4-3）在静止流场中任取一个流体团作为研究对象，作用在其上的质量力可表示为d ρττ⎰⎰⎰f （a ） 表面力可表示为d d AAp A p A -=-⎰⎰⎰⎰n n （b ）根据第一个平衡条件（3-3）可得d d =0Aρτp A τ-⎰⎰⎰⎰⎰f n （c ） 根据高斯定理可知，若物理量p 在封闭空间τ中连续且存在连续的一阶导数，则有d =d Ap A p ττ∇⎰⎰⎰⎰⎰n （d ）将（d）式代入（c）式则可得d 0ρp ττ-∇=⎰⎰⎰（）f 由于流体团是任意选取的，所以要使上式成立，则被积函数在该体积内任意点上的数值必须为0，于是有=0ρp -∇f或1=p ρ∇f （3-4）这就是欧拉平衡微分方程式，其在直角坐标系中可写为111x yzp f ρx pf ρy p f ρz ⎧∂=⎪∂⎪⎪∂=⎨∂⎪⎪∂=⎪∂⎩（3-5） 同时，合力矩为0是自动满足的。
三、 静压流场的质量力条件（自学）对于所有的静止流体，（3-4）式均成立，现对其两端同时取旋度可得1111==+=p p p p ρρρρ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∇⨯∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇∇⨯∇ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（）f上式中应用了标量函数梯度的旋度为0这一结论，现证明之p ∇⨯∇（）=p p p xy z ⎛⎫∂∂∂∇⨯++ ⎪∂∂∂⎝⎭i j k=x y z p p p xy z∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ij k =p p p p p p y z z y x z z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫---+-⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭i j k =0（矢量） 将上式与（3-4）式进行点乘则有()1=p p ρρ⎡⎤⎛⎫∇∇⨯∇⨯∇⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦f f 上式右端为矢量的混合积，由混合积的定义可知由于三个矢量中有两个同名，所以其值为0，可得()=0∇⨯f f （3-6）由此可以得出结论：流体静止的必要条件是质量力必须满足()=0∇⨯ff 。
Chapter 3 流体运动的基本方程组本章任务：建立控制流动的基本方程组，确定边界条件。
§3.1系统和控制体系统（sys ）指给定流体质点组成的流体团，相当于质点或刚体力学中的研究对象——物体；系统在流动过程中可以不断改变自己的位置和形状，但维持其连续性，始终由固定的那些流体质点组成。
系统与外界可以有力的相互作用，可以有动量和能量交换，但是没有物质交换。
控制体（CV ）指流动空间内的一个给定空间区域（子空间），其边界面称为控制面（CS ）。
控制体一旦选定，其大小、形状和位置都是确定的，有流体不断出入。
物质体元即流体微团。
物质面元可以看成由连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的面元，物质面元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
物质线元可以看成连续分布的流体质点（看成是没有体积的几何点）构成的线元，或者说是连续分布的流体质点的连线线元，物质线元在流动过程中可以变形，但始终由这些流体质点组成。
时间线就是物质线。
（三者如同面团、薄饼和面条） §3.2雷诺输运定理设(),f r t 代表流动的某物理量场（可以是密度场、温度场、动量密度分量场、能量密度场等），t 时刻某流体团（即系统）占据空间τ，取该空间为控制体。
t 时刻该流体团的总f 为()(),I t f r t d ττ=⎰。
（3-1）此I 也是t 时刻控制体内的总f 。
设t t δ+时刻（0t δ→）该系统运动到如图所示位置，占据空间τ'，此时系统的总f 为()(),I t t f r t t d τδδτ'+=+⎰。
（3-2）该系统总f 的随体导数()()()0lim t I t t I t DI t Dt tδδδ→+-=。
（3-3）将空间II τ分为与空间I τ重合的部分2τ和其余部分1τ，空间I τ去除2τ后剩余部分记为3τ，于是13ττττ'=+-，（3-4）进而()()()()13I t t I t t I t t I t t τττδδδδ+=+++-+，（3-5）可得()()()()()130lim t I t t I t t I t t I t DI t Dt tττττδδδδδ→+++-+-=()()()()31000lim lim lim t t t I t t I t t I t t I t t t tττττδδδδδδδδδ→→→+++-=+-， （3-6）其中第一项()()()0limt I t t I t I t t t ττδδδ→+-∂=∂。
