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流体力学第二章

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工程流体力学 第二章

工程流体力学 第二章
( x , y , z , t ) t
只反映 在空间点（x,y,z) 处的时间变化特性 （即不同时刻经过该空间点的流体质点具有不 同的 ），不代表同一质点物理量的变化，所 以不是质点导数。
30
2.2.4 质点导数
( x , y , z , t ) t
反映了物理量在空间点（x,y,z)处的时间变化 特性，故可用来判定流场是否是稳态流场， 若是稳态的，则
或以速度分量表示为： dx vx v x ( a, b, c, t ) dt dy vy v y ( a, b, c, t ) dt dz vz v z ( a, b, c, t ) dt
16
2.2.1 拉格朗日法
一般地，流体任意运动参数或物理量（无 论矢量或标量）都同样可表示成拉格朗日 变量函数：
(a, b, c, t )
( x, y , z , t )
23
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日
已知欧拉法描述的速度场：u=x,v=-y和 初始条件： x=a,y=b. 求速度和加速度的拉格朗日描述。
24
2.2.3欧拉表达式变换为拉格朗日表达式
已知流场速度和压力分布为：
xy v vxi v y j vz k i yj ztk t 1 e At 2 p 2 x y2 z2
的有限空间或微元空间作为研究对象，通过
研究该空间的流体运动及其受力，建立相应动
力学关系。
3
2-1 流场及流动分类
流场的概念 流场所占据的空间。为描述流体在流场内各 点的运动状态，将流体的运动参数表示为流 场空间坐标（x,y,z)和时间t的函数。
v v( x, y, z, t ) vx i v y j vz k

工程流体力学第二章 流体静力学

工程流体力学第二章 流体静力学

只有重力作用下的等压面应满足的条件：
1.静止； 2.连通； 3.连通的介质为同一均质流体； 4.质量力仅有重力； 5.同一水平面。
提问:如图所示，哪个断面为等压面? 您的答案是: C-C 断面 B-B 断面
第三节 重力作用下的流体平衡
在自然界和实际工程中，经常 遇到并要研究的流体是不可压缩的 重力液体，也就是作用在液体上的 质量力只有重力的液体。
f ds f x dx f y dy f z dz 0
f
图2-4 两个矢量的数量积
两个矢量的数量积等于零，必 须f和ds互相垂直，其夹角φ等于900。 也就是说，通过静止流体中的任一点 的等压面都垂直于该点处的质量力。 例如，当质量力只有重力时，等压面 处处与重力方向正交，是一个与地球 同心的近似球面。但是，通常我们所 研究的仅是这个球面上非常小的一部 分，所以可以看成是水平面 。
一、重力作用下的静力学基本方程 在一盛有静止液体的容器上取 直角坐标系（只画出OYZ平面，Z轴 垂直向上），如图2-5所示。
P0 P2 P1 Z1 Z2
图2-5 推导静力学基本方程式用图
这时，作用在液体上的质量力 只有重力 G=mg ，其单位质量力在各 坐 标 轴 上 的 分 力 为 fx=0 ， fy=0 ， fz=-g， 代入式（2-4），得 dp gdz dp 写成 dz g 0 （2-8）
或
1 p x p n f x dx 0 3
由于等式左侧第三项为无穷小， 可以略去，故得：
（2-1）
因为n的方向完全可以任意选择， 从而证明了在静止流体中任一点上来 自各个方向的流体静压强都相等。但 是，静止流体中深度不同的点处流体 的静压强是不一样的，而流体又是连 续介质，所以流体静压强仅是空间点 坐标的连续函数，即

流体力学第二章习题解答

流体力学第二章习题解答

第 2 章流体静力学大气压计的读数为100.66kPa(755mmHg)，水面以下 7.6m 深处的绝对压力为多少？知： P a a水1000 kg / m3求：水下h 处绝对压力PP P a gh 解：1000175KP a烟囱高H=20m，烟气温度t s=300℃，压力为p s，确立惹起火炉中烟气自动流通的压力差。

烟气的密度可按下式计算： p=（1.25-0.0027t s）kg/m3，空气ρ3。

解：把 t s300 C 代入s s)kg / m3得s(1.25 0.0027t s) kg / m30.0027 300)kg / m30.44kg / m3压力差p=（a -s） gH ，把a 1.29kg / m3，s/ m3， g9.8N / kg ，H20m 分别代入上式可得p=（ a -s）gH=(1.29-0.44)9.8 20Pa2已知大气压力为。

求以水柱高度表示时：（1）绝对压力为22时的相对压力；（2）绝对压力为时的真空值各为多少？解：p =p-p m2（1）相对压力：a大气以水柱高度来表示：a/g =19.62*1033）h= p/（ 9.807*10（2）真空值：p v=p a68.5=29.6 KN / m 2以水柱高度来表示：h= a/g =29.6*103/ （9.807*103）p以下图的密封容器中盛有水和水银，若A 点的绝对压力为300kPa ，表面的空气压力为 180kPa ，则水高度为多少？压力表B 的读数是多少？解：水的密度1000 kg/m3，水银密度13600 kg/m3A 点的绝对压力为：p Ap 0h 2o ghHgg(0.8)300 10 3 =180103 +1000 9.8 h+13600求得： h=压力表 B 的读数p g p p a (300 101)KPa 199KPa以下图，在盛有油和水的圆柱形容器的盖上加载F=5788N 已知 h 1 =50cm ，h 2=30cm ，，油密度ρ 油=800kg/m 3 水银密度ρ Hg =13600kg/m 3，求 U 型管中水银柱的高度差 H 。

《流体力学》徐正坦主编课后答案第二章..

《流体力学》徐正坦主编课后答案第二章..

第二章习题简答2-1 题2-1图示中的A、B点的相对压强各为多少？(单位分别用N/m2和m^O表示)题2-1图解：p A - Jgh A =1000 9.8 3.5 - 3 - -4900Pa - -0.5mH2OP B = ：'gh B =1000 9.8 3 = 29400Pa = 3mH2O解：取等压面1-1，则P A - Jgz _ - :?ghP A =，gz- Qgh =1000 9.8 (1 - 2) =「9.8 103 Pa 2-3已知水箱真空表M的读数为0.98 kPa，水箱与油箱的液面差H=1.5m，水银柱差3h2=0.2m，"油=800kg / m，求们为多少米？解：取等压面1-1，则P a -PEg H h i h 2 A P aT 油ghi‘HggdPHggh 2 + P — Pg(H +h2 ) h 1亍「油g133280 0.2 980-9800 1.5 0.2 - (1000 — 800^9.8二 5.6m2-4为了精确测定密度为 匸的液体中A 、B 两点的微小压差，特设计图示微压计。

测定 时的各液面差如图示。

试求J 与r 的关系及同一高程上A 、B 两点的压差。

如图取等压面1-1，r'gb gb-a （对于a 段空气产生的压力忽略不计）得 戸_ P （b -a ）P A - 'gH = P B - "gH：p = P A _ P B = ：gH _「'gH =■2-5 图示密闭容器，压力表的示值为4900N/m ，压力表中心比 A 点高0.4m , A 点在水面下1.5m,求水面压强。

解：P 0:?gH 二 P ?ghP 0 二 P ：gh - ：gH =4900 9800 （0.4 -1.5） =「5880Pa2-6图为倾斜水管上测定压差的装置，已知z =20cm ，压差计液面之差 h =12cm ，求当（1）时=920kg/m 3的油时；（2）J 为空气时;A 、B 两点的压差分别为多少？.口解: 取等压面2-2，则a?gH b y解：(1 )取等压面1-1P A—^huPB — PgZ — HghP B -P A」i gh 勺Z- ?gh= 920 9.8 0.12 9800 (0.2 - 0.12) = 1865.92Pa = 0.19mH2O(2)同题(1)可得P A - pgh = P B - PgZP B ~■P A gZ -・"gh二9800 (0.2 - 0.12) = 784Pa 二0.08mH 2O2-7已知倾斜微压计的倾角:-30，测得丨=0.5m，容器中液面至测压管口高度h = 0.1m ,求压力P。

流体力学(张景松版)第二章 流体静力学

流体力学(张景松版)第二章 流体静力学

工程大气压 98066.5 0.98067 1
0.9678 735.6 10.000 735.6 14.22
标准大气压 101325 1.01325 1.033
1
760 10.332 760
14.7
托
133.3 0.00133 0.00136 0.00132 1
13.6
1 0.01934
毫米水柱 9.8067 0.000098 0.0001 0.0000968 0.07356 1 0.07356 0.00142
一、压强的计量
p
1、绝对压强
以完全真空为基准计量的压强
绝对 压强
2、计示（相对）压强
以当地大气压强为基准计量的压强
o
计示 压强
计示 压强 （真空）
p>pa
大气压强 p=pa
p<pa 绝对 压强
完全真空 p=0
表压： p pa pe p pa gh
真空： p pa pv pa p pe
p p dx x 2
o y
dz
b ac
dy dx
p p dx x 2
x
为得到b面和c面的压强，利用a点压强进行泰勒展开:
b(x dx , y, z) : 2
pb

p

p x
dx 2
c(x dx , y, z) : 2
pc

p
p x
dx 2
2 流体静力学
z
p p dx x 2
一、流体的静压强
流体处于绝对静止或相对静止时的压强。
P dP p lim
A0 A dA
2.2 流体的静压力及其特性

流体力学第二章参考答案

流体力学第二章参考答案

第二章 流体静力学2-1 将盛有液体的U 形小玻璃管装在作水平加速运动的汽车上(如图示)，已知L ＝30 cm ，h ＝5cm ，试求汽车的加速度a 。

解：将坐标原点放在U 形玻璃管底部的中心。

Z 轴垂直向上，x 轴与加速度的方向一致，则玻璃管装在作水平运动的汽车上时，单位质量液体的质量力和液体的加速度分量分别为0,0,,0,0x y z x y z g g g ga a a a ===-===代入压力全微分公式得d (d d )p a x g z ρ=-+因为自由液面是等压面，即d 0p =，所以自由液面的微分式为d d a x g z =- 积分的：a z x c g=-+，斜率为a g -，即a g h L = 解得21.63m/s 6g a g h L ===2-2 一封闭水箱如图示，金属测压计测得的压强值为p ＝4.9kPa(相对压强)，测压计中心比A 点高z ＝0.5m ，而A 点在液面以下h ＝1.5m 。

求液面的绝对压强和相对压强。

解：由0p gh p gz ρρ+=+得相对压强为30() 4.91010009.81 4.9kPa p p g z h ρ=+-=⨯-⨯⨯=-绝对压强0( 4.998)kPa=93.1kPa abs a p p p =+=-+2-3 在装满水的锥台形容器盖上，加一力F ＝4kN 。

容器的尺寸如图示，D ＝2m ，d ＝l m ，h ＝2m 。

试求(1)A 、B 、A ’、B ’各点的相对压强；(2)容器底面上的总压力。

解：(1)02 5.06kPa 4F F p D A π===,由0p p gh ρ=+得：0 5.06kPa A B p p p ===''0 5.06kPa+10009.82Pa 24.7kPa A B p p p gh ρ==+=⨯⨯=(2) 容器底面上的总压力为2'24.7kPa 77.6kN 4A D P p A π==⨯= 2-4 一封闭容器水面的绝对压强p 0＝85kPa ，中间玻璃管两端开口，当既无空气通过玻璃管进入容器、又无水进人玻璃管时，试求玻璃管应该伸入水面下的深度h 。

流体力学-第二章 基本方程

流体力学-第二章 基本方程

h
0
xy
z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
0
uy
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
z
流出质量=
h
0
uy
z
x
h
0
uy
z
x
O
x u u x
x
y
u
h y
x
Chen Haishan NIM NUIST
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 ＝柱体内质量的增加）
pnx nx pxx ny pyx nz pzx
pny nx pxy ny pyy nz pzy
pnz
nx pxz
ny pyz
nz pzz
Chen Haishan
NIM NUIST
z
pzz
z
pzx
pz pzy
pxz
px
pxx
pxy
pyy
pyx
py
P Pnz n
Pny
y Pnx o
Chen Haishan NIM NUIST
通过体积分，作用于体积为 的流体块上的质量力：
Fd =作用于流体的质量力
Chen Haishan NIM NUIST
② 表面力
表面力：是指流体内部之间或者流体与其他物体之 间的接触面上所受到的相互作用力。
如流体内部的粘性应力和压力、流体与固体接触面 上的摩擦力等。
x y
n n
cosn, cosn,
x y
nxn n y n
z n cosn, z nzn
Chen Haishan NIM NUIST

第二章 流体力学的基本方程1-2

第二章 流体力学的基本方程1-2

(v⋅ ∇) b = 0
→
→
→
v⋅ ∇ϕ = 0
21
一维、 三.一维、二维、三维流动 一维 二维、
在设定的坐标系中， 在设定的坐标系中，根据有关物理 量依赖于一个坐标、 量依赖于一个坐标、两个坐标和三个坐 流体运动可分为一维运动、 标，流体运动可分为一维运动、二维运 动和三维运动。 动和三维运动。
14
运 中 流 质 所 有 物 量 (例 v, p, ρ,T等 动 的 体 点 具 的 理 N 如 ) 对 间 变 率: 时 的 化 ∆N ∂N → dN = lim = + (V⋅ ∇)N ∆t→ ∆ 0 ∂t dt t 称 物 量 的 点 数或 体 数 为 理 N 质 导 ( 随 导 ) dN −全 数 随 导 导 或 体 数 dt ∂N −局 导 或 变 数 部 数 时 导 ∂t (V⋅ ∇)N − 位 导 变 数
9
流体速度v、压力 、密度ρ和温度 等的对应表达式为： 和温度T等的对应表达式为 流体速度 、压力p、密度 和温度 等的对应表达式为：
vx = vx(x, y, z, t) = vx[x(t ), y(t ),z(t ),t ] vy = vy(x, y, z, t) = vy[x(t ), y(t ),z(t ),t ] vz = vz(x, y, z, t) = vz[x(t ), y(t ),z(t ),t ] v = v(x, y, z, t) = v[x(t ), y(t ),z(t ),t ] 及 p = p(x, y, z, t) = p[x(t ), y(t ),z(t ),t ] ρ = ρ(x, y, z, t) = ρ[x(t ), y(t ),z(t ),t ] T = T(x, y, z, t) = T [x(t ), y(t ),z(t ),t ] x, y, z, t —欧 变 拉 数

工程流体力学：第二章 流体力学基本方程

工程流体力学：第二章 流体力学基本方程

y x
ln x t ln y t ln c
(x t)(y t) c
将 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬时流线 xy = 1, 流线是双曲线。
2020年12月7日 20
三、流管与流束 1.流管——在流场中任取一个有流体
从中通过的封闭曲线，在曲线上的每一个 质点都可以引出一条流线，这些流线簇围 成的管状曲面称为流管。
第二章 流体力学基本方程
1. 流体运动的基本概念-流体运动的特征 2. 4个重要方程：
连续性方程 － 根据质量守恒定律导出 运动方程－ 根据牛顿第二运动定律导出 伯努利方程－ 根据能量守恒定律导出 动量积分方程和动量矩积分方程－ 根据动量定理 和动量矩定理导出. 这些方程是分析研究和解决流体力学问题的基础.
合；
对于定常流动，流线与迹线重合。
❖ 流线不能相交（驻点和速度无限大的奇点除外）。
❖ 流线的走向反映了流速方向，疏密程度反映了流速的大小分 布。
❖ 迹线和流线的区别： ❖ 迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与Lagrange
观点对应； ❖ 流线是同一时刻、不同流体质点速度向量的包络线，与
Euler观点对应。
的速度向量
相切v。x, y, z, t
❖ 流线微分方程：
v2 v1
v3
v4
dr v 0
dx dy dz u(x, y, z,t) v(x, y, z,t) w(x, y, z,t)
2020年12月7日 16
迹线与流线的区别
❖ 流线的性质：
❖ 对于非定常流动，不同时刻通过同一空间点的流线一般不重
u u u u
ax
t
u
x
v
y

流体力学第二章_流体的物理性质

流体力学第二章_流体的物理性质

1/ 7
1.0456
3 1030 1 1.0456 0456 1077kg / m 10 km处水的密度为
重度为ρɡ = 1077×9.806=10561N/m3 比重为 SG / H O (4℃)=1077/1000=1.077
2
在10 km海洋深处，压强达1000 atm (大气压)， 水的密度仅增加4.6% 4 6%，因此可将水视为不可压 缩流体。
d zx u w 2 z x dt d xy v u y 3
x y
天津大学力学系 方一红
dtLeabharlann 35流体的旋转旋转角速度 两正交线元在xy 面内绕一点的旋 转角速度平均值 （规定逆时针方向为正） 1 v u z 2 x y 1 w v 1 2 y z
M r r M x x, y y , z z
天津大学力学系 方一红
30
v v v v v0 x y z x y z u ( M ) u ( M 0 ) u u u u ( M 0 ) u dx d dy d dz d x y z v ( M ) v ( M ) v 0 v v v d d dy d dz v( M 0 ) x dx y z w( M ) w( M 0 ) w w w w w( M 0 ) d dx d dy d dz x y z
L A A
dx d y t 1 1
这是过原点的一、三象限 角平分线，与质点A的迹线 在原点相切（见图）。
天津大学力学系 方一红
26
[例]不定常流场的迹线与流线(6-5) (3)为确定t = 1时刻质点A的运动方向，需求此 时刻过质点A所在位置的流线方程。由迹线参数 式方程(a)可确定，t =1时刻质点 A位于x =3/2， y =1位置，代入流线方程(b)

第二章2-工程流体力学

第二章2-工程流体力学

五．一元流,二元流,三元流
一元流(one-dimensional flow):流体在一个方向流 动最为显著，其余两个方向的流动可忽略不计， 即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若 考虑流道（管道或渠道）中实际液体运动要素的断 面平均值， 则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一 元流动。 x u u ( x, t )
dr vdt
dx dy dz dt ux, y, z, t vx, y, z, t wx, y, z, t
初始时刻 t t0 时质点的坐标 a, b, c ，积 分得该质点的迹线方程。
二、流线(streamline)
• 流线：某一时刻处处与速度矢量相切的空间曲线-瞬时性, 。 • 任一时刻t，曲线上每一点处的切向量 d 都与该点的速度向量 相切。 r dxi dyj dzk v x, y, z, t • 流线微分方程：
ux ux ( x, y, z, t ) u y u y ( x, y, z, t )
p p( x, y, z, t )
uz uz ( x, y, z, t )
( x, y, z, t )
x, y, z ,t--欧拉变量，其中x，y，z与时间t有关。
欧拉法是常用的方法。
欧拉法中的加速度 -- 质点速度矢量对时间的变化率。
解：（1）流线方程的一般表达式为
将本题已知条件代入，则有： 积分得： （1+t）lnx = lny + lnC ' 当t= t0时，x=x0，y=y0 ，则有 故过A（ x0，y0，z0 ）点的流线方程为
（2）求迹线方程
代入本题已知条件有： 当t= t0时，x=x0代入上式得

贾月梅主编《流体力学》第二章课后习题答案

贾月梅主编《流体力学》第二章课后习题答案

第2章 流体静力学2-1 是非题(正确的划“√”，错误的划“⨯”) 1. 水深相同的静止水面一定是等压面。

（√）2. 在平衡条件下的流体不能承受拉力和剪切力，只能承受压力，其沿内法线方向作用于作用面。

（√）3. 平衡流体中，某点上流体静压强的数值与作用面在空间的方位无关。

（√）4. 平衡流体中，某点上流体静压强的数值与作用面在空间的位置无关。

（⨯）5. 平衡流体上的表面力有法向压力与切向压力。

（⨯）6. 势流的流态分为层流和紊流。

（⨯）7. 直立平板静水总压力的作用点就是平板的形心。

（⨯） 8. 静止液体中同一点各方向的静水压强数值相等。

（√） 9. 只有在有势质量力的作用下流体才能平衡。

（√）10. 作用于平衡流体中任意一点的质量力矢量垂直于通过该点的等压面。

（√） ------------------------------------------------------------------------------------------------- 2-4 如题图2-4所示的压强计。

已知：25.4a cm =，61b cm =，45.5c cm =，30.4d cm =，30α=︒，31A g cm γ=，3 1.2B g cm γ=，3 2.4g g cm γ=。

求压强差?B A p p -=abcdα γAγBγCP AP B题图2-4解：因流体平衡。

有()2sin 30sin 3025.4161 2.445.5 1.20.530.4 2.40.51.06A A g B B g B A B A P a b P c d P P g P P N cm γγγγ+⋅+⋅=+⋅⋅︒+⋅⋅︒∴-=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯-=2-5 如图2-5所示，已知10a cm =，7.5b cm =，5c cm =，10d cm =，30e cm =，60θ=︒，213.6HgH O ρρ=。

求压强?A p =解：()()2cos60gage A Hg H O Hg P a c b e d γγγ=+⋅-⋅+︒-()3241513.67.51513.6102.6 2.610g N cm Pa-=⨯-⨯+⨯⨯⨯==⨯答：42.610gage A P Pa =⨯2-8 .如图2-8所示，船闸宽B =25m -，上游水位H 1=63m ，下游水位H 2=48m ，船闸用两扇矩形门开闭。

流体力学 第二章 静力学(第四次课)

流体力学 第二章 静力学(第四次课)

基本方法：
dPx dP cos dPy dP sin y 整个曲面上：
dP dPx dPy
Px dPx dP cos Py dPy dPsin
流体隔离体整体受力分析
x
1、取流体隔离体
pa
h1
2、作用力与反作用力：
h1
h1
F
(h1 h2 )
流体力学
内容回顾
核心问题1：作用于平面的液体压力的解析法
平行力系求合力
P pC A
式中：hC为受压面形心在液面下的淹没深度；pC为 受压面形心的处的静压强；A为受压面面积。
含义：作用在任意位置、任意形状平面上的静水压力 值等于受压面面积与其形心点所受静压强的乘积。
合力矩定理
结论：求静水压力作用点的问题
对第二章进行复习总结
（b）虚压力体
例题3、如右图所示，曲面形状为 3/4圆柱面，半径R=0.8m，宽度为
e
1m，淹没深度h=2.4m。求曲面所受
的静水总压力。
分析：正确选择压力体,利用
h
对称简化计算。
g
f
a
解： 1)求作用在曲面上的水平分力Px
d
b
曲面bc与dc互相抵消,曲面ab上的水平分力向右。 c
R
2)求作用在曲面上的垂直分力Pz
G
(h1 h2 )
水平方向
h2 y
Px
G Pz 垂直方向
（1）水平方向
x
pa
h1
h1 F
(h1 h2 )
h1
G
(h1 h2 )
水平方向
铅直投影面上的静水压力
h2 y

流体力学第二章 基本方程

流体力学第二章 基本方程
如果流体是不可压缩的，则流出的流体质量必 然等于流入的流体质量。
一、拉格朗日观点下的连续方程
d ( m) 0
dt
d ( )
dt
1 d 1 d ( ) 0 dt dt d V 0
dt
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
V 称为速度散度，表示体膨涨速度。 V 0表示流体微团在运动过程中发生体积
沿变深度矩形截面河道水面上有波动运动，求 此波动应满足的连续方程
解：设x轴取在河道方向静止水面上
自静止水面起的深度为H(x)，自由表面离静 止 水面为(x,t) ,河截面水流速度为 u(x,t) ， 河宽b不变，水密度为常数 。
取一长为δx的控制体，体积为 (H )b x
单位时间流入质量：(H )bu
在 δt 时间内沿x方向净流出控制体（流出质量 减去流入质量）的质量为
(2.1.7)
按质量守恒定律，在 时间内沿三个方向净流 出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：
(2.1.8)
取极限后可得
即：
(V ) 0
t
(2.1.9) (2.1.10)
( 2.1.10)式为欧拉形式的连续性方程。
单位时间流出质量：
(H
)bu
x
( H
)bux
净流出质量为：
(H )bux
x
单位时间控制体质量减少为： (H )b x
由质量守恒：
t
b (H ) x b (H )u x
t
x
(H )u 0
t x
(2.1.16)
§2. 作用于流体的力、应力张量
一、质量力和表面力： 1. 质量力 质量力为穿越空间作用在所有流体元上的非 接触力，如重力、万有引力、电磁力等。

流体力学第二章

流体力学第二章

对于液面与上边线平齐的矩形平面而言，压力中心坐标为
ｙＤ
＝ｙＣ
＋ ＪＣ ＝ ｙＣＡ
ｌ＋ ｂｌ３／１２ ＝ ２ （ｌ／２）ｂｌ
２ ３ｌ
根据合力矩定理，对 ｏ点取矩可得
Ｐｌ＝Ｐ１
ｌ１ ３
－Ｐ２
ｌ２ ３
＝Ｐ１３ｓＨｉｎ１α－Ｐ２３ｓＨｉｎ２α
代入已知数据可解得 ｌ＝２．５４ｍ
这就是作用在闸门上的总压力的作用点距闸门下端的距离。
— 5—
蔡增基《流体力学》考点精讲及复习思路
解 作用在闸门上的总压力为左右两边液体总压力之差，即 Ｐ ＝Ｐ１ －Ｐ２。 因为 ｈＣ１ ＝Ｈ１／２，Ａ１ ＝ｂＨ１／ｓｉｎα， ｈＣ２ ＝Ｈ２／２，Ａ２ ＝ｂｌ２ ＝ｂＨ２／ｓｉｎα， 所以 Ｐ ＝ρｇｈＣ１Ａ１ －ρｇｈＣ２Ａ２
＝ρｇＨ２１ｂｓＨｉｎ１α－ρｇＨ２２ｂｓＨｉｎ２α ＝９７０３０Ｎ。
槡Ｐ２ｘ ＋Ｐ２ｙ ＋Ｐ２ｚ
总压力的大小为：Ｐ ＝Ｐｘｉ＋Ｐｙｊ＋Ｐｚｋ （２）压力体 压力体是由受力曲面、液体自由表面（或其延长面）以及两者间
∫ 的铅垂面所围成的封闭体积。压力体是从积分 ＡｈｄＡｚ得到的一个体
积，是一个纯数学的概念，与体积内有无液体无关。
— 6—
实压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的同侧，则称这样的压力体为实压力体，用（＋）来表示，其 方向垂直向下。 虚压力体 如果压力体与形成压力的液体在曲面的异侧，则称这样的压力体为虚压力体，用（－）来表示，其 方向垂直向上。 需要注意的是：以上的两个压力体给人的感觉是实压力体就是内部充满液体的压力体，虚压力体 就是内部没有液体的压力体。其实压力体的虚实与其内部是否充满液体无关 压力体的合成
０．０７５ｍ处，试求该正方形平板的上缘在液面下的深度。
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p z z hp g
hp p g
§2-3 重力场中流体的平衡
几何意义
在重力作用下，静止的 不可压缩流体的静水头 线和计示静水头线均为 水平线

§2-3 重力场中流体的平衡
帕斯卡原理
p p z z h 0 g g
p p0 gh
——静力学基本方程形式之二。
§2-2 流体平衡微分方程式
一、方程式的建立 它是流体在平衡条件下，质量力与表面力所满足的关系式。
l 根据流体平衡的充要条件，静止流体受的所有力在各个坐标轴 方向的投影和都为零，可建立方程。
fi 0
l
方法：微元分析法。在流场中取微小六面体，其边长为 dx、dy、dz，然后进行受力分析，列平衡方程。
1、 流体静压强：静止流体作用在单位面积上的力。
设微小面积上的总压力为
P
平均静压强：
，则
P p A
ΔP
点静压强：
p lim
A0
P A
ΔA
即流体单位面积上所受的垂直于该表面上的力。单位：N/m2 (Pa) 1、 ( 牛) 2、总压力：作用于某一面上的总的静压力。P 单位：N
3、流体静压强单位：
2
n
略去二阶以上无穷小量，得到A1、A2处的压强分别为：
p dx p1 p x 2
则表面力在x方向的合力为：
p dx p 2 p＋ x 2
p dx p dx p p1 p2 dy dz p p dy dz dx dy dz x 2 x 2 x
代入Ⅱ式得
dp dU
所以
p U C
令 p＝p0时，U＝U0 ， 则 C＝p0－ρU0
p p0 U U 0
——帕斯卡（Pascal）定律：
（Ⅳ）
在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、 均匀地传递到流体的所有各点。 三、等压面
1 、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。 （p＝const） 2、方程：
二、方程的积分（压强分布公式）
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将 Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz) x y z
因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上 式可写为
Pn pn S ABC pn dA
（2）质量力 质量力与微元体的体积成正比。 四面体的体积：
VOABC
1 dxdydz 6
四面体的质量：
1 M dxdydz 6
设单位质量流体的质量力在坐标轴方向上的分量为X、Y、Z， 则质量力F在坐标轴方向的分量是：
1 Fx dxdydz X 6
§2-3 重力场中流体的平衡
换算
4 １工程大气压＝ 9.80665 10 Pa
１标准大气压＝ 1.01325 105 Pa １巴＝ 105 Pa
静力学基本方程式的意义
z
1、
p

C
几何意义 ——位置水头：该点到基准面的高度。
z
p

z p
——压力水头:该点压强的液柱高度。
——测压管水头：为一常量
⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面
证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差 为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为 ρ2，则有：
dp＝ ρ1 dU
因为 所以 ρ1≠ ρ2≠0
且
dp＝ ρ2 dU
只有当dp、 dU均为零时，方程才成立。
说明： 等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。
dp ( Xdx Ydy Zdz)
由 p＝const → dp＝0
Xdx Ydy Zdz 0
3、 等压面性质
① 等压面就是等势面。因为 dp dU。 ② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。 ③ 等压面不能相交 相交 → 一点有2个压强值：错误 ④ 绝对静止流体的等压面是水平面 X＝Y＝0，Z＝－g + 性质②
§2-2 流体平衡微分方程式
以x轴方向为例，如图所示
1、取研究对象
微元体：无穷小平行六面体，
dx、dy、dz → 0
微元体中心：A(x, y, z)
A1点坐标： A1(x-dx/2，y，z) A2点坐标： A2(x+dx/2，y，z) 2、受力分析 （1）表面力 设A 处压强：
p(x，y，z)
因压强分布是坐标的连续函数，则A1点、A2点的压强p1、p2可按泰勒 级数展开，
第二章
流体静力学
1º 研究任务：流体在静止状态下的平衡规律及其应用。根据平 衡条件研究静止状态下压力的分布规律，进而确定静止流体作 用在各种表面的总压力大小、方向、作用点。
2º 静止：是一个相对的概念，流体质点对建立的坐标系没有相 对运动。
① 绝对静止：流体整体相对于地球没有相对运动。
重力 压力
② 相对静止：流体整体（如装在容器中）对地球有相对运动， 但液体各部分之间没有相对运动。
又
dA cos

即为ABC在yoz平面上的投影面积，
p n dA cos
1 p n dydz 2

1 1 1 p x dydz p n dydz dxdydz X 0 2 2 6

p x pn
1 dx X 0 3
则当dx、dy、dz趋于零时也就是四面体缩小到o成为一个质点时， 有：
dp ( Xdx Ydy Zdz)
2、势函数（力函数） 对于不可压缩流体：ρ ＝const
因为Ⅱ式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也 应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：
Xdx Ydy Zdz dU
又因为 则有
（Ⅱ）
dU
U X x
U U U dx dy dz x y z
1、2、静止流体中任何一点上各个方向的静压强大小相等，而与
作用面的方位无关，即只是位置的函数 =( x , y , z ) 大小特性。（各向相等） 证明思路：
——
1、选取研究对象（微元体）
2、受力分析（质量力与表面力） 3、导出关系式 4、得出结论
1、选取研究对象（微元体）
从静止流体中取出一微小四面体 OABC ，其坐标如图，三个垂直 p y、 p、（ 边的长度分别为dx、dy、dz，设 p 、 方向是任意 z pn x n 的）分别表示作用在OAC、OBC、OAB、ABC表面上的静压强，与x、 y、z轴的夹角为 、 、 。
国际单位：N/m2＝Pa
物理单位：dyn/cm2 1N=105dyn ，1Pa=10 dyn/cm2
工程单位：kgf/m2
混合单位：1kgf/cm2 = 1at (工程大气压) ≠ 1atm (标准大气压) 1 at=1 kgf/cm2 =9.8×104Pa=10m水柱
1atm＝1.013×105Pa＝10.3 m水柱
§2-3 重力场中流体的平衡
１ 绝对压强：以完全真空为基准计量的压强
p pa gh
pe p pa பைடு நூலகம்gh
２ 计示压强：以当地大气压强为基准计量的 压强 ３ 真空：
p v pe p a p
注：① 只有当时 p表 0 ，才用真空度的概念 ② 气体的压强都是绝对压强 ③ 尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的
p x pn
同理：
p y pn
p z pn
p x p y p z pn
4、得出结论
因 n 方向是任意选定的，故上式表明，静止流体中同一点各个 方向的静压强均相等。在连续介质中， p仅是位置坐标的连续 函数p=p( x , y , z ). 同一点受力各向相等，但位置不同， 大小不同。呈什么关系？＝》第二 节中讨论 说明：以上特性不仅适用于流体内部，而且也适用于流体与 固体接触的表面。如：
Y U y
U Z z
（Ⅲ）
该函数 U(x,y,z) 称为势函数。 显然， U(x,y,z) 在 x ， y ， z 方向的偏导数正好等于单位质量力分 别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量 力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。
dU
U U U dx dy dz x y z
（2）质量力 微元体质量：M＝ρ dxdydz
设作用在单位质量流体的质量力在x方向上的分量为X。
则质量力在x方向的合力为：X· ρ dxdydz
3、导出关系式：
对微元体应用平衡条件 F 0 ，则
X dxdydz
4、结论：
p dxdydz 0 x
X
1 p 0 x
dx p dx 1 2 p dx 1 n p dx p1 x , y, z px, y, z 2 n 2 x 2 2 x 2 n! x 2
Fy Fz
1 dxdydz Y 6
1 dxdydz Z 6
F 0 ，其各方向 因流体微团平衡，据平衡条件 作用力之和均为零。 则在x方向上，有：
3、导出关系式

Px Pn cos(n, x) Fx 0
将上面各表面力、质量力表达式代入后得
1 1 p x dydz p n dA cos dxdydz X 0 2 6
静压强 1
自由表面的压强
2 淹深为 h 、密度为 的流体柱产生的压强
gh
推广：已知某点压强求任一点压强