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7.3.1 平面向量的内积一、教材分析：平面向量的内积是本章的重要内容，一是这部分知识本身十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是处理几何有关垂直的问题时显得更为简洁，是用数来解决形的问题的最好实例。
二、学情分析：基于就业班：基础差，作为初学者不清楚向量内积是数量还是向量，寻找向量的夹角又容易犯错；基于升学班：有一定基础，对运算律有一定理解，要求对平面向量内积能灵活运用。
三、设计理念：以启发式教学思想和讲练结合的教学方法为指导，采取探究式教学，以物理背景入手，建立起学习向量概念及其方法的基础，利用问题让学生自主地参与探究，在教学过程中注重学生学习过程的体验和数学能力的发展，引导学生积极将知识融入自己的知识体系。
四、教学目标：1、知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础.2、能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力五、教学重、难点：重点：平面向量数量积的概念及计算公式.难点：数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．六、教学策略：教学方法：探究法和讲练结合法；学习方法：自主、合作、探究法七、教学准备：（学生准备：笔、草稿本；教师准备：教学课件八、教学过程：（一）导入新课师：如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N的力，朝着与水平线成角的方向拉小车，使小车前进了100 m．那么，这个人做了多少功？生：思考、自我分析设计意图：从实例出发使学生自然的走向知识点。
（二）新授课师：我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i，垂直方向的单位向量为j，则F=即力F是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s，即W＝｜F｜cos·｜s｜＝100×·10＝500（J）这里，力F与位移s都是向量，而功W是一个数量，它等于由两个向量F，s的模及它们的夹角的余弦的乘积，W叫做向量F与向量s的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量 ,作＝, ＝,由射线OA与OB所形成的角叫做向量与向量的夹角，记作两个向量 ,的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量与向量的内积，记作·即上面的问题中，人所做的功可以记作W＝F·s.由内积的定义可知由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1）当。
职高数学基础模块下（人教版）教案：向量的内积
【教学目标】
1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．
2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．
3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．
【教学重点】
平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．
【教学难点】
平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．
【教学方法】
本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．
教学后记：
面对实际存在的难点和重点，需要进一步明确几个方面，一是强化学生的理解力；二是进一步提高学生的重视文本知识的思想观念。
只有真正意义上的提升了觉悟，才能达成质的飞跃，而这是需要师生共同努力的方向，尤其在课堂互动环节，这个急需课堂延伸和巩固。
第1节平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于个单位的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：与a长度，方向的向量，叫做a的相反向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC 叫做a与b的，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC，这种求向量和的方法，称为向量加法的．(2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)如图，AB＝a，AD＝b，则DB＝a－b.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ) a；②(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.典例分析向量的有关概念【例1】 给出下列各命题：①零向量没有方向；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③单位向量都相等；④向量就是有向线段；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝，＝.其中真命题是________．向量共线与三点共线问题【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．变式探究31：已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )(A)k ＝1且c 与d 同向 (B)k ＝1且c 与d 反向(C)k ＝－1且c 与d 同向 (D)k ＝－1且c 与d 反向向量的线性运算【例2】 (2010年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD ―→等于( ) (A)13a ＋23b (B)23a ＋13b (C)35a ＋45b (D)45a ＋35b 变式探究21：(2010年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则|AB ―→||BC ―→|等于______．易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例1】下列命题正确的是()(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；(B)在△ABC中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；(C)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；(D)向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为________．第2节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a 与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.质疑探究1：在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角是∠ABC吗？2．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？3．平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x ，y 分别叫做a 在x 轴、y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．4．平面向量的坐标运算(1)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)非零向量a ＝(x ，y )的单位向量为典例分析 平面向量基本定理及其应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC的中点，已知AM ＝c ，AN ＝d ，试用c ，d表示AB ，AD .共线向量的坐标运算【例3】 (2010年高考陕西卷)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )±1|a |a 或±1x 2＋y 2(x ，y )． (4)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2. 质疑探究3：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的条件能否可以写成x 1x 2＝y 1y2？ 提示：不能，因为x 2，y 2有可能为0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 向量坐标的概念及运算 【例2】 已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ―→＝13AB ―→，DA ―→＝－13―→，求点C 、D 的坐标和CD ―→的坐标． 变式探究21：(2010年山东临沂联考)已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )(A)2 (B)1 (C)45 (D)53∥c ，则m ＝________.变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )(A)(－5，－10) (B)(－4，－8)(C)(－3，－6) (D)(－2，－4)易错警示第3节 平面向量的数量积基础梳理1．数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，其夹角为θ.我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．数量积的几何意义(1)向量的投影：|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正数，当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.(2)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．3．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .质疑探究：若非零向量a ，b ，c 满足①a ·c ＝b·c ，则a ＝b 吗？②(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立吗？ 提示：①不一定有a ＝b ，因为a ·c ＝b ·c ⇔c ·(a －b )＝0，即c 与a －b 垂直，但不一定有a ＝错源：对共线向量不理解 【例题】 已知两点A (2,3)，B (－4,5)，则与AB ―→共线的单位向量是( ) (A)e ＝(－6,2) (B)e ＝(－31010，1010) (C)e ＝(－31010，1010)或e ＝(31010，－1010) (D)e ＝(－6,2)或(6，－2)b .因此数量积不满足消去律．②因为(a·b )·c 与向量c 共线，(b·c )·a 与向量a 共线．当c 与a 不共线时(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )即向量的数量积不满足结合律．4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；典例分析向量数量积的运算及模的问题【例1】(1)(2010年高考天津卷)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝，||＝1，则·＝________.(2)(2010年高考广东卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3特别地，a ·a ＝|a|2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题 (1)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)夹角公式：若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，2与b 的夹角，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12x 22＋y 22. (3)距离公式：若表示向量a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，这就是平面内两点间的距离公式．(4)垂直关系：设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.②|a |2＝a 2＝a ·a .③|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 变式探究11：(2009年高考辽宁卷)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．两向量垂直问题 【例2】 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当向量k a －b 与a ＋2b 垂直时，k ＝________. 变式探究21：(2009年高考宁夏、海南卷)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) (A)－17 (B)17 (C)－16 (D)16 两向量夹角问题【例3】 已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角的大小；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 变式探究31：(2009年高考重庆卷)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( ) (A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)π2 数量积的综合应用 【例4】 已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |； (3)若(a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角．第4节 平面向量的应用基础梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决．(2)物理中的功W 是一个标量，它是力f 与位移s 的数量积，即W ＝f ·s ＝|f ||s |cos θ.3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．典例分析向量在平面几何中的应用【例1】 如图所示，若点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，|a |＝a 2＝x 12＋y 12. ④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即cos θ＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22.求证：AD ⊥BC .变式探究11：在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) (A)|AC ―→|2＝AC ―→·AB ―→ (B)|BC ―→|2＝BA ―→·BC ―→ (C)|AB ―→|2＝AC ―→·CD ―→ (D)|CD ―→|2＝(AC ―→·AB ―→)×(BA ―→·BC ―→)|AB ―→|2平面向量在物理中的应用【例2】 (2009年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) (A)6 (B)2 (C)2 5 (D)27 向量与三角的整合 【例3】 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 变式探究31：(2010年河西区模拟)已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)， (1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α的值； (2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos (π2－α)sin (π＋2α)cos (π－α)的值．变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )(A)y 2＝2x (B)y 2＝4x(C)y 2＝6x (D)y 2＝8x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(＋)·PC 的最小值是________．第5节 复数的概念及运算基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．平面向量与解析几何的整合 【例4】 (2010年安徽巢湖模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足|PA ―→|＋|PB ―→|＝4. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点(1,0)作直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求OM ―→·ON ―→的取值范围． (5)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．质疑探究2：(1)z 1，z 2为复数，z 1－z 2＞0，那么z 1＞z 2，这个命题是真命题吗？(2)若z 1，z 2∈R ，z 12＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0，此命题对z 1，z 2∈C 还成立吗？提示：(1)假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3＞0.但z 1＞z 2无意义，因为虚数无大小概念．(2)不一定成立．比如z 1＝1，z 2＝i 满足z 12＋z 22＝0.但z 1≠0，z 2≠0.典例分析变式探究11：已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )(A)x ＝－1，y ＝1 (B)x ＝－1，y ＝2(C)x ＝1，y ＝1 (D)x ＝1，y ＝2质疑探究1：复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0吗？提示：不是，a ＝0是a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )；(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应平面向量OZ ―→ (a ，b ∈R )．3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc－adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(1)i n 的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈Z .(2)常用结论：1i ＝－i ，(1±i)2＝±2i.(对应学生用书第69页)复数的有关概念【例1】 已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是()(A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1，5) (D)(1，3) 思路点拨：写出|z |的表达式，根据a 的范围确定|z |的取值范围．复数代数形式的运算【例2】 (2009年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i 等于( )(A)0 (B)2 (C)－2i (D)2i变式探究21：(2010年高考广东卷)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( )(A)4＋2i (B)2＋i (C)2＋2i (D)3＋i变式探究31：已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .O 为坐标原点，若＝x ＋y ，则x ＋y 的值是______．易错警示篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为1道选择题或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是向量的概念和线性运算(如2010年高考湖北卷，理5)，数量积(如2010年高考湖南卷，文6)，与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如2010年高考福建卷，文11)．复数是每年高考必考内容，题量为1道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意义和代数形式的四则运算(如2010年高考辽宁卷，理2)．复数的几何意义【例3】 (2010年高考陕西卷)复数z ＝i 1＋i 在复平面上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 错源：对复数的概念理解不透 【例题】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z ＝a －b i ，则z －z 为( ) (A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数1．(2010年高考湖北卷，理5)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m 等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°【真题2】 (2010年高考重庆卷，理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF ―→＝3FB ―→，则弦AB 的中点到准线的距离为______．3．(2010年高考福建卷，文11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)8 4．(2010年高考辽宁卷，理2)设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( ) (A)a ＝32b ＝12 (B)a ＝3，b ＝1 (C)a ＝12b ＝32 (D)a ＝1，b ＝3 【真题1】 (2010年高考江西卷，理13)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝______. 追本溯源：人教A 版必修4第119页复习参考题A 组第13题： 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，求|a ＋b |，|a －b |.【真题3】 (2010年高考江苏卷，2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为____．2．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则x 等于( C )(A)9 (B)1 (C)－9 (D)－15．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→等于( B )(A)(－2，－4) (B)(－3，－5)(C)(3,5) (D)(2,4)6．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( D )(A)e 1在e 2方向上的投影为cos θ(B)e 12＝e 22(C)(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)(D)e 1·e 2＝18．(2010年高考四川卷)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|等于( C )(A)8 (B)4 (C)2 (D)110．(2009年高考海南、宁夏卷)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( C )一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2010年河西区模拟)复数z ＝(2＋i )21－i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( B ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，则AD ―→等于( A ) (A)23b ＋13c (B)53c －23b (C)23b －13c (D)13b ＋23c4．(2010年高考山东卷)已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)3 7．(2010年高考全国新课标卷)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( C ) (A)865 (B)－865 (C)1665 (D)－16659．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( D ) (A)相交 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心11．(2011年广东江门市高考模拟考试)若四边形ABCD 满足AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则该四边形一定是( B )(A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形16．(2011年深圳市高三第一次调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝______.18．(本小题满分11分)(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB ―→－tOC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．19．(本小题满分11分)(2009年高考湖南卷)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．12．设a 、b 、c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D ) (A)－2 (B)2－2 (C)－1 (D)1－ 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. 14．(2010年重庆模拟)已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若|a ＋λb |＜10，则实数λ的取值范围是________． 15．(2010年高考重庆卷)已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分11分) (2009年高考上海卷)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋)(i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数w ＝u ＋3i(u ∈R )满足|w －z |＜25，求u 的取值范围．20．(本小题满分11分)已知：两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP―→·MN―→，PM―→·PN―→，NM―→·NP―→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为PM―→，PN―→的夹角，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝m＋(3－2m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋2sin θ)i，(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．22．(本小题满分14分)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF―→＝λFB―→(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算FM―→·AB―→的值；(3)求证：|FM|2＝|F A|·|FB|.。
【课题】7.3 平面向量的内积【教学目标】知识目标：（1）了解平面向量内积的概念及其几何意义.（2）了解平面向量内积的计算公式.为利用向量的内积研究有关问题奠定基础. 能力目标：通过实例引出向量内积的定义,培养学生观察和归纳的能力．【教学重点】平面向量数量积的概念及计算公式.【教学难点】数量积的概念及利用数量积来计算两个非零向量的夹角．【教学设计】教材从某人拉小车做功出发，引入两个向量内积的概念．需要强调力与位移都是向量，而功是数量．因此，向量的内积又叫做数量积．在讲述向量内积时要注意：（1）向量的数量积是一个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量的夹角余弦的乘积.其符号是由夹角决定；（2）向量数量积的正确书写方法是用实心圆点连接两个向量. 教材中利用定义得到内积的性质后面的学习中会经常遇到，其中：（1）当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b ＝－|a ||b |．可以记忆为：两个共线向量，方向相同时内积为这两个向量模的积；方向相反时内积为这两个向量模的积的相反数．（2）|a |⋅a a 显示出向量与向量的模的关系，是得到利用向量的坐标计算向量模的公式的基础；（3）cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ，是得到利用两个向量的坐标计算两个向量所成角的公式的基础；（4）“a ·b ＝0⇔a ⊥b ”经常用来研究向量垂直问题，是推出两个向量内积坐标表示的重要基础．【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题7.3 平面向量的内积*创设情境 兴趣导入如图7－21所示，水平地面上有一辆车，某人用100 N 的力，朝着与水平线成︒30角的方向拉小车，使小车前进了100 m ．那么，这个人做了多少功？介绍 质疑引导分析了解 思考 自我 分析从实例出发使学生自然的走向知识点0 5 *动脑思考 探索新知 【新知识】我们知道，这个人做功等于力与在力的方向上移动的距离的乘积．如图7－22所示，设水平方向的单位向量为i ，垂直方向的单位向量为j ，则F =x i + y j sin 30cos30F i F j =⋅+⋅，即力F 是水平方向的力与垂直方向的力的和，垂直方向上没有产生位移，没有做功，水平方向上产生的位移为s ，即W ＝｜F ｜cos ︒30·｜s ｜＝100×23·10＝5003 （J ）总结 归纳思考 理解带领 学生 分析Fs图7—21 ︒30O过 程行为 行为 意图 间图7－22这里，力F 与位移s 都是向量，而功W 是一个数量，它等于由两个向量F ，s 的模及它们的夹角的余弦的乘积，W 叫做向量F 与向量s 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．如图7－23，设有两个非零向量a , b ，作OA＝a , OB ＝b ,由射线OA 与OB 所形成的角叫做向量a 与向量b 的夹角，记作<a ,b>．两个向量a ,b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积，记作a ·b , 即a ·b ＝｜a ||b |c os<a ,b > (7.10) 上面的问题中，人所做的功可以记作W ＝F ·s. 由内积的定义可知a ·0＝0, 0·a ＝0．仔细分析 讲解 关键 词语记忆引导 式启 发学 生得 出结 果15由内积的定义可以得到下面几个重要结果：（1） 当<a ,b >＝0时，a ·b ＝|a ||b |；当<a ,b >＝180时，a ·b＝−|a ||b |.思考Ox ij F (x ,y )yBAO图7－23ab过 程行为 行为 意图 间（2） cos<a ,b >＝||||⋅a ba b . （3） 当b ＝a 时，有<a ,a >＝0，所以a ·a ＝|a ||a |＝|a |2，即|a |＝⋅a a .（4） 当,90a b <>=时，a ⊥b ，因此，a ·b ＝cos900,a b ⋅=因此对非零向量a ，b ，有a ·b ＝0⇔a ⊥b.可以验证，向量的内积满足下面的运算律： （1） a ·b ＝b ·a ．（2） (a λ)·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． （3） (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ．注意：一般地，向量的内积不满足结合律，即a ·(b ·c )≠（a ·b ）·c .请结合实例进行验证. 总结 归纳 仔细 分析 讲解 关键 词语 理解 记忆 带领 学生 分析 反复强调30 *巩固知识 典型例题例1 已知|a |＝3,|b |＝2, <a ,b >＝︒60,求a ·b ． 解 a ·b ＝|a ||b | cos<a ,b > ＝3×2×cos ︒60＝3． 例2 已知|a |＝|b |＝2,a ·b ＝2-,求<a ,b >．解 cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝222⋅-＝−22.由于 0≤<a ,b >≤︒180， 所以 <a ,b >＝135． 说明 强调 引领思考 主动 求解注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 40*运用知识 强化练习1. 已知|a |＝7，|b |＝4，a 和b 的夹角为︒60，求a ·b ．2. 已知a ·a ＝9,求|a |．3. 已知|a |＝2,|b |＝3, <a ,b >＝︒30，求(2a ＋b )·b ．提问 巡视 指导思考 口答及时 了解 学生 知识 掌握过 程行为 行为 意图 间得情 况45 *动脑思考 探索新知设平面向量a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2)，i ，j 分别为x 轴，y 轴上的单位向量，由于i ⊥j ，故i ·j ＝0，又| i |＝|j |＝1，所以a ·b ＝(x 1 i ＋y 1j )· (x 2 i ＋y 2j )＝ x 1 x 2 i •i ＋ x 1 y 2 i •j ＋ x 2 y 1 i •j ＋ y 1 y 2 j •j＝ x 1 x 2 |j |2＋ y 1 y 2 |j |2 ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2．这就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标乘积的和，即a ·b ＝ x 1 x 2＋ y 1 y 2 (7.11)利用公式(7．11)可以计算向量的模．设a ＝(x,y )，则a a a ==22+x y ，即a =22+x y (7.12)由平面向量内积的定义可以得到，当a 、b 是非零向量时， cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝121222221122x x y y x y x y +++. (7.13) 利用公式(7.13)可以方便地求出两个向量的夹角. 由于a ⊥b ⇔a ·b ＝0，由公式(7.11)可知a ·b ＝0⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0．因此a ⊥b ⇔ x 1 x 2＋ y 1 y 2＝0． (7.14) 利用公式(7.14)可以方便地利用向量的坐标来研究向量垂直的问题． 总结归纳仔细 分析讲解关键词语思考 归纳 理解 记忆带领 学生 总结60*巩固知识 典型例题例3 求下列向量的内积：说明 强调观察过 程行为 行为 意图 间（1） a ＝ (2,−3), b ＝(1,3)； （2） a ＝ (2, −1), b ＝(1,2)； （3） a ＝ (4,2), b ＝(−2, −3)． 解 (1) a ·b ＝2×1＋(−3)×3＝−7； (2) a ·b ＝2×1＋(−1)×2＝0； (3) a ·b ＝2×(−2)＋2×(−3)＝−14．例4 已知a ＝(−1,2),b ＝(−3,1).求a ·b , |a |,|b |, <a ,b >． 解 a ·b ＝(−1)( −3)＋2×1＝5；|a |＝22(1)25⋅=-+=a a ； |b |＝22(3)110⋅=-+=b b ； cos<a ,b >＝||||⋅a ba b ＝522105=， 所以 <a ,b >＝45． 例5 判断下列各组向量是否互相垂直： (1) a ＝(−2, 3), b ＝(6, 4)； (2) a ＝(0, −1), b ＝(1, −2)．解 (1) 因为a ·b ＝(−2)×6＋3×4＝0，所以a ⊥b ． (2) 因为a ·b ＝0×1＋(−1)×（−2)＝2，所以a 与b 不垂直．引领 讲解 说明 引领 分析 强调 含义 说明思考 主动 求解 观察 思考 求解 领会 思考 求解讲解 说明 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 反复 强调70 *运用知识 强化练习1． 已知a ＝(5, −4)，b ＝(2,3)，求a ·b ． 2． 已知a ＝(1,3)，b ＝(0,3)，求<a ,b >．3． 已知a ＝(2, −3)，b ＝(3,－4)，c ＝(−1,3),求a ·(b ＋c )． 4. 判断下列各组向量是否互相垂直：(1) a ＝(−2, −3)，b ＝(3, −2)； (2) a ＝(2,0)，b ＝(0, −3)； 启发 引导提问巡视指导思考 了解 动手 求解及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况过程行为行为意图间(3) a＝(−2,1)，b＝(3,4)．5. 求下列向量的模：(1) a＝(2, −3)，(2) b＝(8, 6 )．80 *理论升华整体建构思考并回答下面的问题：平面向量内积的概念、几何意义?结论：两个向量a,b的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a与向量b的内积，记作a·b, 即a·b＝｜a||b|c os<a, b>(7.10) a·b的几何意义就是向量a的模与向量b在向量a上的投影的乘积．质疑归纳强调回答及时了解学生知识掌握情况83*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？引导回忆*自我反思目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？1.已知a＝(5, − 4),b＝(2,3),求a·b．2.已知a＝(2, −3),b＝(3, −4),c＝(−1,3),求a·(b＋c)．提问巡视指导反思动手求解检验学生学习效果88*继续探索活动探究(1)读书部分：阅读教材(2)书面作业：教材习题7.3 A组（必做）；7.3 B组（选做）(3)实践调查：编写一道向量内积问题并解答．说明记录分层次要求90【教师教学后记】项目反思点学生知识、技能的掌握情况学生是否真正理解有关知识；是否能利用知识、技能解决问题；在知识、技能的掌握上存在哪些问题；学生的情感态度学生是否参与有关活动；在数学活动中，是否认真、积极、自信；遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；学生思维情况学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活；是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思；学生合作交流的情况学生是否善于与人合作；在交流中，是否积极表达；是否善于倾听别人的意见；学生实践的情况学生是否愿意开展实践；能否根据问题合理地进行实践；在实践中能否积极思考；能否有意识的反思实践过程的方面；。
向量的内积述课稿下面我从教材、学生、教学方法与手段、教学过程设计四个方面进行述课。
一、述教材本课题选自《中职数学（基础模块）下册》第七章第4大节第1小节内容。
向量的内积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛，还是培养学生数形结合的数学能力的良好题材。
可以说向量是高中数学重要内容之一。
本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出向量内积的概念，在此基础上探究内积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。
其中内积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。
针对我校实际情况，在问题的设置上要注意平缓过渡，在例题习题的选择上要以基础题为主，要树立学生学习数学并能学好数学的信心。
本节的教学目标：1、基础知识与技能目标：掌握向量内积的概念，理解向量内积公式。
并通过向量内积加深学生对向量的认识。
2、过程与方法目标：学生通过观察、归纳、类比、联想和数形结合等发现规律。
3、情感态度与价值观目标：通过本节课的学习，学生在民主、和谐的共同活动中感受学习数学的乐趣，体会学习数学的快乐。
本节的重点、难点：1．重点：向量内积的概念、向量内积的基本性质及运算律．2．难点：向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．课时安排：一课时二、述学生1.学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。
这为学生学习内积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。
但也正是这些干扰了学生对内积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，内积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过内积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对内积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。
