中职数学基础模块下册等比数列

人教版中职数学基础模块下册《等比数列》课件 (一)人教版中职数学基础模块下册《等比数列》课件是一个重要的教学资源，可以帮助学生快速理解等比数列的概念、性质、应用和解题方法。

以下是对此课件的一些具体介绍和评价：一、课件内容该课件共分为九个部分，包括了等比数列的定义、通项公式、前n项和公式、求和公式、等比中项的性质、等比数列中的平均数、比例平方和公式、应用题及考点解析等内容。

课件中每一部分的讲解都以简洁明了的语言和丰富清晰的图像为基础，让学生很容易地理解和掌握等比数列的各种知识点。

二、课件特点1.内容丰富：该课件涵盖了等比数列的所有知识点，给学生提供了一个比较完整的学习平台。

2.图像生动：课件中采用了丰富、清晰的图像，让学生更容易地理解知识点，从而提高学习效率。

3.应用实际：课件在讲解等比数列的基础知识之外，还通过实际例子来说明等比数列在实际中的应用，可以让学生更好地掌握相关内容。

三、教学效果该课件对于学生理解等比数列的概念和关系、解决等比数列问题等方面具有较好的帮助作用。

学生可以通过该课件快速了解和掌握等比数列的相关知识，同时也能够更好地应用到实际问题中。

整个课程的学习过程，由浅入深、抽象推理、具体实例补充，使学生容易掌握各个环节。

结论得出后，给予大量的练习，确保学生在掌握方法的同时强化记忆和理解，避免遗忘。

综上所述，人教版中职数学基础模块下册《等比数列》课件是一款很好的教学资源，不仅有利于学生掌握等比数列的相关知识点，也有助于提高学生的思维能力、逻辑能力和实际应用能力。

值得肯定的是，该课件的设计结构非常合理、内容丰富、图示生动，配套的练习丰富、难度适中。

【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
++n a a 式的两边分别减去(2)式的两边，得111=-a a 式得等到数列
【教师教学后记】
−。

【关键字】基础
南通工贸技师学院
教案首页
课题：§6.3等比数列
教学目的要求：
1.理解等比数列的概念，能根据定义判断或证明一个数列是等比数列；
2.探索并掌握等比数列的通项公式；
3.掌握等比数列前 n 项和公式及推导过程，能用公式求相关参数；
教学重点、难点: 运用等比数列的通项公式求相关参数
授课方法：任务驱动法小组合作学习法
教学参照及教具（含多媒体教学设备）：《单招教学大纲》
授课执行情况及分析：
南通工贸技师学院教案用纸附页
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6.3.1 等比数列的概念
【教学目标】
1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；掌握等比中项的概念．
2. 逐步灵活应用等比数列的概念和通项公式解决问题．
3. 通过教学，培养学生的观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生类比分析的能力．
【教学重点】
等比数列的概念及通项公式．
【教学难点】
灵活应用等比数列概念及通项公式解决相关问题．
【教学方法】
本节课主要采用类比教学法和自主探究教学法．充分利用现实情景，尽可能地增加教学过程的趣味性、实践性．在教师的启发指导下，强调学生的主动参与，让学生在等差数列的基础上用类比的方法自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而达到使学生既获得知识又发展智能的目的．【教学过程】。

【课题】 6．3 等比数列
【教学目标】
知识目标：
理解等比数列前n 项和公式． 能力目标：
通过学习等比数列前n 项和公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的前n 项和的公式．
【教学难点】
等比数列前n 项和公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的前n 项和公式,等比数列应用举例.重点是等比数列的前
n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导、求等比数列的项数n 的问题及知识的简单实际
应用．
等比数列前n 项和公式的推导方法叫错位相减法，这种方法很重要，应该让学生理解并学会应用．等比数列的通项公式与前n 项和公式中共涉及五个量：n n S a n q a 、、、、1，只要知道其中的三个量，就可以求出另外的两个量.
教材中例6是已知n n S a a 、、1求n q 、的例子．将等号两边化成同底数幂的形式,利用指数相等来求解n 的方法是研究等比数列问题的常用方法.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
3课时．(135分钟)
【教学过程】
式的两边分别减去(2)式的两边，得
【教师教学后记】
−。

人教版基础模块下册《6.3 等比数列》2023年单元测试卷一、单项选择题（本大题共20小题，1-10小题每小题2分，11-20小题每小题2分，共50分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分。

A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个1．（2分）已知集合A ={1，2，3，4}，B ={2，4，6}，则A ∩B 的元素个数是（ ）A ．∅B ．0C ．[-1，1]D ．{-1，1}2．（2分）不等式|x |+1≤0的解集为（ ）A ．（-∞，1）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-2]D ．[4，+∞）3．（2分）函数f （x ）=2|x |-2在下列哪个区间内单调递增（ ）A ．若b <0，则a >bB ．若b >0，则a <bC ．若a >b ,则a >0D ．若b >a ,则b >04．（2分）已知a ,b ∈R ，且a 2>b 2，下列正确的是（ ）A ．（-2，-1）B ．（-2，1）C ．（0，1）D ．（-1，2）5．（2分）已知平面向量a =(1，1)，b =(1，−1)，则12a −12b =（ ）→→→→A ．12B ．14C ．18D ．1166．（2分）体育场有东南西北四个门，某学生要从体育场穿过，则他从南门进南门出的概率为（ ）A ．1B ．4C ．1或3D ．1或47．（2分）如果经过两点P （-2，m ）和Q （m ,4）的直线的斜率等于1，那么m 的值是（ ）A ．sinπB ．tan 108°C ．tan 2cos 2D ．sin 2cos 28．（2分）下列各式结果为正值的是（ ）9．（2分）双曲线x 220−y 25=1的焦距为（ ）A ．15B ．215C ．5D ．10√√A ．12B ．22C ．2D ．210．（2分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为y =x +2，则原点O 到直线l 的距离为（ ）√√A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度11．（3分）为了得到函数y =sin （2x +1）的图象，只需要把函数y =sin 2x 的图象（ ）A ．（x -2）2+（y +3）2=5B ．（x +2）2+（y -3）2=25C ．（x +2）2+（y -3）2=5D ．（x -2）2+（y +3）2=2512．（3分）已知圆C 与圆x 2+y 2-4x +6y -3=0的圆心相同，半径为5，则圆C 的方程是（ ）A ．70B ．60C ．50D ．4013．（3分）某校组织1位数学教师带5名学生参加数学建模比赛，需要两辆出租车，且每辆车最多坐4人，则不同的乘车方案数为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限14．（3分）若α是第二象限角，则点（sinα，cosα）在（ ）A ．（2，4）B ．（2，±4）C ．(1，22)D ．(1，±22)15．（3分）抛物线上一点P 到顶点的距离等于它到准线的距离，则点P 的坐标为y 2=8x （ ）√√A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．（3分）“x 2+y 2=0”是“x +y =0”的（ ）A ．x +2y -1=0B ．x +2y -5=0C ．x +2y -3=0D ．2x +y -5=017．（3分）已知点A （1，2），则过点A 与直线x +2y -2=0平行的直线方程为（ ）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）三、解答题（本大题共8小题，共72分）解答应写出文字说明及演算步骤。

等比数列教案教学目标：（1）掌握等比数列的定义；归纳出等比数列的通项公式。

（2）通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力；会解决关于等比数列的简单问题。

（3）进行史志教育，激发学生学习的学习兴趣；渗透数学中的类比、归纳、猜测等合情推理方法；充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的。

重难点：等比数列的定义及通项公式、性质。

教学重点：灵活应用定义式及通项公式、性质解决相关问题。

教学过程：1、复习导入：（1）等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d来表示。

（2）等差数列的通项公式：An=A1+(n-1)d（3）An=Am+(n-m)d (n>m)（4）若m+n=p+q,则Am+An=Ap+Aq.2、引入：早在春秋战国时代，我国名家公孙子龙就有个著名论断：“一尺之锤，日取其半，万世不竭。

”（用粉笔在手中演练）若设该锤的单位长度为1，则每天所得的长度构成一个数列：1/2,1/4,1/8，1/16……在此引入数学史料，进行数学史志教育。

在印度有这样一个美妙的传说，印度国王为了嘉奖国际象棋的发明者，将他召到王宫，并让他尽管提条件，这个发明者说：“请国王在国际象棋棋盘的第1个格子里放上1粒麦子，第2个格子里放上2粒麦子，第3个格子里放上4粒麦子，第4个格子里放上8粒麦子，以此类推，直到最后一个格子。

国王听后哈哈大笑，说他条件太少了，便吩咐人去办，可经办人一算，吓了一跳，发现全印度的麦子给了他还远远不够。

那在这里呢，毎格的麦子数构成了这样一个数列：1,2,4,8,……由此激发学生的学习兴趣。

3、定义：在认真考察以上两个数列，寻求他们的共同点，并对照等差数列的定义，绝大部分同学都非常轻松地自己给出等比数列的定义。

等比数列1、 公式默写（1）等比数列的定义：______________________________________________________________________；（2）等比数列的通项公式：n a =_______________，n N +∈。

（3）等比中项：,a b 的等差中项A =________；（4）等比数列的前n 项和n S =______________________＝________________________；（5）对于等比数列，若,,,m n p q N +∈，且m n p +=+，则有___________________________；2、在等比数列{}n a 中，131,4a a ==，则5a =（ ）A 、8B 、16C 、32D 、643、（99广东）已知}{n a 是等比数列，且2531=+-a a a ，5753=+-a a a ，那么=+-975a a a （ ）A 、8B 、15C 、25D 、225 4、（01广东）设}{n a 是等比数列，如果===642,6,3a a a 则（ ）A 、9 B 、12C 、16D 、365、（04-8）实数等比数列{}n a 中，===173,163,31a a a 则（ ） A 、34± B 、34 C 、94± D 、94 6、（07-12）某厂2006年的产值是a 万元，计划以后每一年的产值比上一年增加%20，则该厂2010年的产值（单位：万元）为（ ）A 、5%)201(+aB 、4%)201(+aC 、%204⨯+a aD 、 %205⨯+a a7、（11-19）已知等比数列{}n a 满足1234561,2a a a a a a ++=++=-，则{}n a 的公比q =___8、某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，每次分裂的规律是每个细菌分裂2个细菌，那么，经过2小时，这种细菌由1个分裂成（ ）A 、63个B 、64个C 、31个D 、32个9、在等比数列{}n a 中，54,252==a a ，则公比q 等于（ ） A 、2B 、3C 、9D 、27 10、四个数4321,,,a a a a 中，已知11=a ，33=a ，若前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，则（ ）A 、22-=a ，294=a B 、22=a ，294=a C 、22=a ，294-=a D 、22-=a ，294-=a 11、（00广东）以n S 记等比数列前n 项和，363,12S S ==，则9S ＝（ ）A 、27B 、30C 、36D 、3912、（02-18）等比数列}{n a 的前10项和为48，前20项和为60，则这个数列的前30项和为（ ）A 、75B 、68C 、63D 、5413、（06-6）设}{n a 为等比数列,其中首项1212a a ==，,则}{n a 的前n 项和n S 为（） A 、2)1(-n n B 、2)1(+n n C 、121--n D 、12-n14、已知等比数列}{n a ，且0>n a ，252645342=++a a a a a a ，则53a a +的值为（） A 、1 B 、5 C 、10 D 、1515、在等比数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，7,232==S a ，那么公比q ＝（） A 、21± B 、221或 C 、221--或 D 、2±16、在等比数列}{n a 中，若91,a a 是方程02522=+-x x 的两根，则64a a ⋅＝（） A 、5 B 、25C 、2D 、117、已知等比数列{}n a 中，29-=a ，则此数列前17项的积等于（ ）A 、162B 、162-C 、172D 、172-18、（05-10）已知b 是a 与c 的等比中项，且8=abc ，则=b （ ）A 、 4B 、22C 、 2D 、219、（06-21）设}{n a 是等比数列，且3512,48a a ==，则=62a a20、（09-2）已知a 为实数，且,2,4a a 成等比数列，则a =（ ）A 、0B 、2C 、1D 、4321、（08-3）已知}{n a 是等比数列，1232,24a a a =+=，则公比q 的值为（ ）A 、－4或－3B 、－4或3C 、－3或4D 、3或422、设{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，（1）若1103,39a a ==，求50S ；（2）若2412,20b a b b =+=，求4b 。

7.3等比数列1．等比数列：一般地，如果一个数列从______起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．等比数列的通项公式为a n＝______.2．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，并且G＝______.显然，只有同号的两个数才有等比中项．3．对于等比数列{a n}，当公比q≠1时，若已知首项a1和项数n，求其前n项和时，可用公式S n＝________进行求和；若已知首项a1和末项a n，求其前n项和时，可用公式S n＝________进行求和．当公比q＝1时，该数列是各项不为零的常数列，此时S n＝____.4．等比数列有以下常用性质：（1）通项公式的推广：a n＝a m q n－m（m，n∈N*）．（2）对于等比数列{a n}，若m，n，k，l∈N*，且m＋n＝k＋l，则a m·a n＝a k·a l，特别地，若m＋n＝2p，则__________．在使用该性质时，不仅要注意等式两边下标和相等，还要注意等式两边作积的项的个数必须一样多．（3）若数列{a n}是公比为q的等比数列，S n（S n≠0）为其前n项和，则S n，S2n－S n，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为______．5．若等比数列{a n}的首项a1＞0，公比q＞1，或首项a1＜0，公比0＜q＜1，数列{a n}为________；若首项a1＞0，公比0＜q＜1，或首项a1＜0，公比q＞1，数列{a n}为_______；若公比q＝1，数列{a n}为______；若q＜0，数列{a n}为_______．1．在等比数列{a n}中，a2 012＝8a2 009，则公比q的值为（）．A．2 B．3 C．4 D．82．等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6＝（）．A．4 B．8 C．16 D．323．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3·a9＝2a25，a2＝2，则a1＝（）．A ．1 B. 2 C ．－ 2 D ．2 4．（2010·广东高考）已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝（ ）．A ．35B ．33C ．31D ．29 5．（2010·山东高考）设{a n }是首项大于0的等比数列，则“a 1＜a 2”是“数列{a n }是递增数列”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件一、等比数列的基本运算【例1】 设等比数列{a n }的公比q ＜1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．等比数列的基本量是首项a 1和公比q ，建立关于它们的方程可确定等比数列，这也是方程思想的具体体现．二、等比数列的判断与证明【例2】 （12分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. （1）设b n ＝a n ＋1－2a n ，求证数列{b n }是等比数列； （2）求数列{a n }的通项公式．（1）证明：由a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，得a 1＋a 2＝4a 1＋2， 1分 ∴a 2＝3a 1＋2＝5，b 1＝a 2－2a 1＝3. 3分 ∵S n ＋1＝4a n ＋2， ①∴当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2. ② 4分 ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1，∴a n ＋1－2a n ＝2（a n －2a n －1）. 6分 又∵b n ＝a n ＋1－2a n ，∴b n ＝2b n －1.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列. 8分（2）解：由（1）可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1，∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， 9分 ∴数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列. 10分∴a n 2n ＝12＋（n －1）×34＝34n －14. ∴a n ＝（3n －1）·2n－2.12分对于含有数列{a n }的相邻三项（即a n －1，a n ，a n ＋1）的递推式，通常将ka n ＋ma n ＋1（k ，m 是常数）视为一个整体，把它配凑成两项递推的形式，再进一步求数列{a n }的通项公式；有时，待求的结论往往告诉我们需要配凑的形式，要注意识别．跟踪训练 在数列{a n }中，a 1＝0，且对任意k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等差数列，其公差为d k .若d k ＝2k ，求证a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列（k ∈N *）．三、等比数列的性质【例3】 在等比数列{a n }中，已知a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18，a n ＝12，求n .等比数列{a n }的两个基本量（首项a 1和公比q ）具有“消元”之功效，利用它们可以表示出数列中的任意项．有时利用通项公式的变形公式a n ＝a m q n －m （m ，n ∈N *）会更有利于题目的化简．四、等比数列的综合应用【例4】 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. （1）求证数列{a n －n }是等比数列； （2）求数列{a n }的前n 项和S n .对于形如a n ＋1＝ka n ＋b （k ，b 是常数，且k ≠0，k ≠1）的递推公式，可通过以下方式转化为等比数列求解：∵a n ＋1＝ka n ＋b ，∴a n ＋1＋x ＝ka n ＋b ＋x ＝k （a n ＋b ＋x k ）．令x ＝b ＋x k ，得x ＝bk －1.于是数列{a n ＋b k －1}就是首项为a 1＋bk －1，公比为k 的等比数列了．对于形如a n ＋1＝ka n ＋f （n ）（k 是常数，且k ≠0，k ≠1）的递推公式，可通过适当的变形得到一个新的以k 为公比的等比数列，从而求得它的通项公式．1．判定数列为等比数列的常见方法：（1）定义法：a n ＋1a n＝q （q 是不等于0的常数，n ∈N *） 数列{a n }是等比数列；也可用a na n －1＝q （q 是不等于0的常数，n ∈N *，n ≥2） 数列{a n }是等比数列．二者的本质是相同的，其区别只是n 的初始值不同．（2）等比中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2（a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *） 数列{a n }是等比数列． 2．解决与等比数列有关问题的常见思想方法：（1）函数思想：在等比数列{a n }中，a n ＝a 1q ·q n ，它的各项是函数y ＝a 1q ·q x图象上的一系列孤立的点．（2）方程思想：准确分析a 1，q ，a n ，S n ，n 之间的关系，通过列方程（组）可做到“知三求二”．（3）分类讨论思想：无论是等比数列的前n 项和公式的给出，还是等比数列单调性的划分都体现了分类讨论思想的具体运用．（4）类比思想：等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．（5）整体思想：等比数列{a n }的前n 项和公式S n ＝a 1－a n q 1－q ＝a 11－q －a 11－q·q n（q ≠1），常把a 11－q 视为一个整体，其前n 项和公式可写成S n ＝k －kq n ，k ＝a 11－q （q ≠1）的形式，这对于解答选择题、填空题是很有帮助的．1．无论用什么方法判断或证明一个数列是等比数列，都必须注意检验一个数列为等比数列的必要条件，即各项不为0是否成立．2．在利用等比数列的前n 项和公式时，如果其公比q 不确定，要分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．否则，会产生错解．参考答案梳理与整合 知识梳理1．第2项 a 1q n －1 2．±ab3.a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－q na 14．(2) 2m n p a a a ⋅= (3)q n5．递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 基础自测1．A 2.C 3.B 4.C 5.C 探究与突破【例1】 解：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q .①②由②式得1－q 4＝5(1－q 2)，即(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0.因为q ＜1，所以q ＝－1，或q ＝－2.当q ＝－1时，代入①式得a 1＝2，通项公式a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，代入①式得a 1＝12，通项公式a n ＝12×(－2)n －1.跟踪训练 证明：由题设知，a 2k ＋1－a 2k －1＝4k ，k ∈N *.所以a 2k ＋1－a 1＝(a 2k ＋1－a 2k －1)＋(a 2k －1－a 2k －3)＋…＋(a 3－a 1)＝4k ＋4(k －1)＋…＋4×1＝2k (k ＋1)．由a 1＝0，得a 2k ＋1＝2k (k ＋1)，从而a 2k ＝a 2k ＋1－2k ＝2k 2，a 2k ＋2＝2(k ＋1)2.于是，a 2k ＋1a 2k ＝k ＋1k ，a 2k ＋2a 2k ＋1＝k ＋1k ，所以a 2k ＋2a 2k ＋1＝a 2k ＋1a 2k.所以d k ＝2k 时，对任意k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等比数列．【例3】 解法一：设其公比为q ， ∵a 3＋a 6＝36，a 4＋a 7＝18， ∴a 1q 2＋a 1q 5＝36，① a 1q 3＋a 1q 6＝18.② ②除以①得q ＝12.将q ＝12代入①得，14a 1＋132a 1＝36，∴a 1＝128.而a n ＝a 1q n －1，∴12＝128×(12)n －1，∴n ＝9.解法二：设其公比为q ，∵a 4＋a 7＝a 3q ＋a 6q ＝(a 3＋a 6)q ， ∴q ＝a 4＋a 7a 3＋a 6＝1836＝12.而a 3＋a 6＝a 3(1＋q 3)， ∴a 3＝a 3＋a 61＋q 3＝361＋18＝32.∵a n ＝a 3q n －3，∴12＝32×(12)n －3，∴n ＝9.【例4】 (1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得 a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N *.又a 1－1＝1，所以数列{a n －n }是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n . 所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝4n －13＋n (n ＋1)2.。