7-1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(2)

合" 得到的,即y可以通过中间变量u表示为自变量x
的函数.
如果把y与u的关系记作y fu,u和x的关系记作 u gx,那么这个"复合"过程可表示为 y fu fgx lnx 2.
我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过
"复合"得到的,例如,函数y 2x 32由y u2和u
解 因为y' x3 2x 3 ' x3 ' 2x' 3'
3x2 2.
所以,函数 y x3 2x 3的导数是 y' 3x2 2.
例3 日常生活中的饮用水 通常是经过净化的.随着水 纯净度的提高, 所需净化费 用不断增加.已知将1吨水净 化到纯净度为x%时所需费
0.05eu 0.05e0.0 . 5x1
3函数y sinπx φ可以看作函数y sinu和
u πx φ的复合函数.
由复合函数求导法则有
y'x

y
' u
u'x
sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
明,水的纯净度越高,需要的净化费用就越多,
而且净化费用增加的速度也越快.
思考 如何求函数y lnx 2的导数呢?
我们无法用现有的方法求函数y lnx 2的导数.
下面,我们先分析这个函数的结构特点.
若设u x 2x 2,则y lnu.从而y lnx 2 可以看成是由y lnu和u x 2x 2经过"复
1321,
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率

1．2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成□01x 的函数，那么称这个函数为y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作□02y ＝f [g (x )]． 在复合函数中，内层函数u ＝g (x )的值域必须是外层函数y ＝f (u )的定义域的子集．2．复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即y x ′＝□03y u ′·u x ′，并且在利用复数的求导法则求导数后，最后结果要把中间变量换成自变量的函数．复合函数，可以是一个中间变量，也可以是两个或多个中间变量，应该按照复合次序从外向内逐层求导．使用复合函数求导法则的注意事项(1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量的导数，如(sin2x )′＝2cos2x ，不能得出(sin2x )′＝cos2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x(x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x .( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1)若f (x )＝2x ＋3，则f ′(x )＝________.(2)函数f (x )＝2sin x －cos x ，则f ′(x )＝________. (3)函数f (x )＝－2x ＋1，则f ′(x )＝________.答案 (1)2 (2)2cos x ＋sin x (3)2x ＋12探究1 简单复合函数求导问题 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝(3x －2)2；(2)y ＝ln (6x ＋4)； (3)y ＝sin(2x ＋1)；(4)y ＝3x ＋5.[解] (1)∵y ＝(3x －2)2由函数y ＝u 2和u ＝3x －2复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(u 2)′·(3x －2)′＝6u ＝18x －12.(2)∵y ＝ln (6x ＋4)由函数y ＝ln u 和u ＝6x ＋4复合而成，∴y x ′＝y u ′·u x ′＝(ln u )′·(6x ＋4)′＝6u ＝66x ＋4＝33x ＋2.(3)函数y ＝sin(2x ＋1)可以看作函数y ＝sin u 和u ＝2x ＋1的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(sin u )′·(2x ＋1)′＝2cos u ＝2cos(2x ＋1)．(4)函数y ＝3x ＋5可以看作函数y ＝u 和u ＝3x ＋5的复合函数，根据复合函数求导法则有y x ′＝y u ′·u x ′＝(u )′·(3x ＋5)′＝32u ＝323x ＋5.拓展提升复合函数求导的步骤【跟踪训练1】 求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2；(2)y ＝esin x；(3)y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)．解 (1)设y ＝u12 ，u ＝1－2x 2，则y ′＝(u 12 )′(1－2x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12u － 12 ·(－4x )＝12(1－2x 2) － 12 (－4x )＝－2x 1－2x 2 . (2)设y ＝e u，u ＝sin x ，则y x ′＝y u ′·u x ′＝e u·cos x ＝e sin xcos x .(3)设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u x ′＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.(4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1，则y ′＝5(log 2u )u ′(2x ＋1)x ′＝10u ln 2＝102x ＋1ln 2.探究2 复合函数与导数的运算法则的综合应用 例2 求下列函数的导数． (1)y ＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＞0)； (2)y ＝sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.[解] (1)y ′＝[x (x ＋1)(x ＋2)]′＝x ′(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋1)′(x ＋2)＋x (x ＋1)(x ＋2)′＝(x ＋1)(x ＋2)＋x (x ＋2)＋x (x ＋1)＝3x 2＋6x ＋2.(2)设y ＝u 2，u ＝sin ν，ν＝2x ＋π3，则y x ′＝y u ′·u ν′·νx ′＝2u ·cos ν·2＝4sin νcos ν＝2sin2ν＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？[解] (1)因为y ＝x (x ＋1)(x ＋2)＝(x 2＋x )(x ＋2)＝x 3＋3x 2＋2x ，所以y ′＝(x 3＋3x 2＋2x )′＝3x 2＋6x ＋2.(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·[ sin ( 2x ＋π3 ) ]′＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3′＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.拓展提升求复合函数的导数需处理好的几个环节(1)求导之前应先将函数化简，然后再求导，以减少运算量；(2)中间变量的选择应是基本函数结构； (3)关键是正确分析函数的复合层次；(4)一般是从最外围开始，由外及里，一层层地求导； (5)善于把一部分表达式作为一个整体； (6)最后要把中间变量换成自变量的函数． 【跟踪训练2】 求下列函数的导数． (1)y ＝x 1＋x2；(2)y ＝x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2.解 (1)y ′＝(x 1＋x 2)′＝x ′1＋x 2＋x (1＋x 2)′ ＝1＋x 2＋x 21＋x2＝错误!.(2)∵y ＝x cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝x (－sin2x )cos2x ＝－12x sin4x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x sin4x ′＝－12sin4x －x 2cos4x ·4＝－12sin4x －2x cos4x .探究3 导数的综合应用例3 设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解] (1)由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝2a －b 2＝12.①又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝a ＋b 4＝74.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧4a －b ＝1，4a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.拓展提升根据切线方程求出切点及斜率，代入解方程组即可．利用f (x )上任意一点的切线方程求出三角形三顶点坐标即可求三角形面积．高考中对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应的知识求解．【跟踪训练3】 已知曲线C ：y ＝x 3－3x 2＋2x ，直线l ：y ＝kx ，且直线l 与曲线C 相切于点(x 0，y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标．解 因为直线l 过原点，所以直线l 的斜率k ＝y 0x 0(x 0≠0)，由点(x 0，y 0)在曲线C 上，得y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，所以y 0x 0＝x 20－3x 0＋2.又y ′＝3x 2－6x ＋2，所以k ＝y ′| x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2.又k ＝y 0x 0，所以3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，整理得2x 20－3x 0＝0.因为x 0≠0，所以x 0＝32，此时y 0＝－38，k ＝－14.因此直线l 的方程为y ＝－14x ，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－38.1.在对函数求导时，应仔细观察及分析函数的结构特征，紧扣求导法则，联系学过的求导公式，对不具备求导法则条件的式子，可适当地进行等价变形，以达到化异求同，化繁为简的目的.2.在可能的情况下，求导时应尽量避免使用积商的求导法则，因此在求导前应利用代数、三角恒等变形对函数式进行化简，然后再求导，这样可以减少运算量，同时提高正确率.1．下列函数不是复合函数的是( ) A ．y ＝－x 3－1x＋1B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4C ．y ＝1ln xD ．y ＝(2x ＋3)4答案 A解析 A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数u ＝x ＋π4，y ＝cos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数u ＝ln x ，y ＝1u的复合函数，D 中的函数可看作函数u ＝2x ＋3，y ＝u 4的复合函数，故选A ．2．函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数是( )A ．12(e x －e －x) B ．12(e x ＋e －x )C ．e x－e －xD ．e x＋e－x答案 A 解析y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12e x ＋e－x′＝12[(e x )′＋(e －x)′]＝12(e x －e －x)． 3．函数f (x )＝π2x 2的导数是( ) A ．f ′(x )＝4πx B ．f ′(x )＝2πxC ．f ′(x )＝2π2xD ．f ′(x )＝2πx 2＋2π2x答案 C解析 由f (x )＝π2x 2得f ′(x )＝2π2x ，故选C ．4．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________.答案 18解析 f ′(x )＝4x3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′0＝－13，f ′－1＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13⇒a ＋b ＝5＋13＝18.5．设f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b 为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切．求a ，b 的值．解 由曲线y ＝f (x )过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b ＝0，故b ＝－1.由f (x )＝ln (x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b ，得f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ，则f ′(0)＝1＋12＋a ＝32＋a ，此即为曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线的斜率．由题意知32＋a ＝32，故a ＝0.。

新授课：1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（2）一、【教学目标】重点：复合函数的求导方法.难点：理清复合过程中的中间变量；会求简单的复合函数的导数. 知识点：复合函数的求导法则.能力点：学生对问题的认知能力及利用复合函数的求导法则求导数的运算能力.教育点：通过例题中函数求导的讲解，使学生明白事物是相互联系的；通过对新知的理解，使学生体会到成功的喜悦，培养学生的学习兴趣.自主探究点：能运用公式处理某些实际问题的导数计算. 考试点：基本初等函数构成的复合函数求导. 易错易混点：公式的熟练运用及法则的正确选择. 拓展点：多层复合函数及抽象的复合函数求导. 二、【引入新课】 利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求解下列函数的导数.（1）2)12(—x y = （2）x y 2sin = （3）x y tan = （4）x e y -=1解：（1） 144)12(22+==x x x y —— ∴48)144('2'——x x x y =+= （2） sinxcosx 22sin ==x y∴x x x x x x x y 2cos 2)sin sin cos (cos 2)cos sin 2(''=-==（3） x x x y cos sin tan ==∴x x x x x x x x y 22''cos 1cos sin sin cos cos )cos sin (=+== （4） x xe e ey )1(1==-∴x x x e ee e e e y --===1''1ln ]1[])1[(【设计意图】复习巩固基本初等函数的导数公式和导数的运算法则的应用，为下面引入新课做计算以及知识方法的铺垫.【设计说明】巩固练习让学生讨论完成，对问题（4）做适当的引导，引导学生分析函数的结构 三、【探究新知】 1、实例引入【师生活动】探究1：函数)2ln(+=x y 能表示为什么样的函数之间的四则运算关系呢?师生共同分析函数的结构得出结论：无法用四则运算形式表示这个函数，从而不能用现有的方法求解这个函数的导数.若设)2(2->+=x x u ，则u y ln =，从而可以把)2ln(+=x y 可以看作是由u y ln =和)2(2->+=x x u 经过“复合”得到的.【设计意图】通过实例，用具体的函数说明复合函数的存在以及结构，便于学生认识复合函数. 2、复合函数定义 一般地,对于两个函数()y f u =和)(x g u =,如果函数通过变量,u y 可以表示成x 的函数,那么称这个函数为函数()y f u =和)(x g u =的复合函数,记作(())y f g x =. 【师生活动】理解定义，分析并讨论巩固练习. 巩固练习：1. 由函数()y f u =与)(x g u =复合而成的函数一般形式(())y f g x =.写出由下列函数复合而成的函数. （1）2cos ,1y u u x ==+ （2）223,2xy u u u =+-=解：（1）)1cos(2x y += （2）322322)2(122-+=-⋅+=+x x x x y 2. 试说明下列函数是怎样复合而成的:（1）2(23)y x =+ （2）0.051x y e -+= （3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数） 解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数. （2）函数0.051x y e -+=可以看作函数u y e =和0.051u x =-+的复合函数 （3）函数sin()y x πϕ=+可以看作函数sin y u =和u x πϕ=+的复合函数【设计意图】引用实例，充分理解复合函数的概念，会拆分复合的两个函数，以便利用求导法则. 3、复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==⋅⎡⎤⎣⎦【设计意图】直接给出复合函数求导法则，给学生指出本节课的重点. 四、【理解新知】师生共同总结：求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． [设计意图] 引导学生观察、分析公式的特征和联系，加深对法则的记忆. 五、【运用新知】例1（课本例4）求下列函数的导数：（1）2(23)y x =+；（2）0.051x y e -+=；（3）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）． 【设计意图】使学生进一步掌握导数的运算法则，加强学生运用法则解决问题的能力.解：（1）函数2(23)y x =+可以看作函数2y u =和23u x =+的复合函数。

第三章 导数及其应用
3.2.2基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知源中学高二数学备课组
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1.f(x)在x＝x0处导数f'(x0)的几何意义是曲线在 x＝x0处切线的斜率． 其切线方程为y－f(x0) ＝f'(x0)(x－x0).
2.几个常用函数的导数
(1) c 0 ; ( 3) ( x ) 2 x ;
x
x
指数函数
例用导数公式求下列函数的导数 . . (1) f ( x) x
5
1 (2) f ( x) x (4) f ( x) x
5 3
(3) f ( x) x (5) f ( x) 1 x
2
x
(6) f ( x) 3
x
(7) f ( x) 3
x
(9) f ( x) log 3 x
2.三个运算法则:
课时作业本3.2.2
1 (8) f ( x) x 2 (10) f ( x) lg x
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1 1 2.求函数y 的图象上点(2, )处的切线方程. x 2
3.曲线y x2的一条切线方程为6 x y 9 0, 求切点的坐标.
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问题2：函数y＝x· sinx的导x) g ( x) f ( x) g ( x) 1、和(差)的导数：
2、积的导数： f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) 推论： c f ( x) c f ( x) （C为常数）
2
( 2) x 1 ; 1 1 (4) ( ) 2 . x x