非线性代数方程组的解法

数值分析复习资料一、重点公式第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x llx x x lαα+-≤---≤-- 定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠ （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

1大学数学实验 实验报告 | 2014/4/5一、 实验目的1、学习用Matlab 软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2、通过实例学习用线性代数方程组解决简化问题。

二、 实验内容项目一：种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变。

种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。

种群年龄记作k=1,2,…,n ,当年年龄k 的种群数量记作x k ，繁殖率记作b k （每个雌性个体1年的繁殖的数量），自然存活率记作s k （s k =1−d k ，d k 为1年的死亡率），收获量记作ℎk ，则来年年龄k 的种群数量x ̌k 应该为x ̌k =∑b k n k=1x k , x ̌k+1=s k x k −ℎk , (k=1,2,…,n -1)。

要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要求使得x ̌k =x k , (k=1,2,…,n -1).(1) 如果b k , s k 已知，给定收获量ℎk ，建立求各个年龄的稳定种群数量x k 的模型（用矩阵、向量表示）.(2) 设n =5,b 1=b 2=b 5=0,b 3=5,b 4=3,s 1=s 4=0.4,s 2=s 3=0.6,如要求ℎ1~ℎ5为500,400,200,100,100，求x 1~x 5.(3) 要使ℎ1~ℎ5均为500，如何达到？问题分析：该问题属于简单的种群数量增长模型，在一定的条件（存活率，繁殖率等）下为使各年龄阶段的种群数量保持不变，各个年龄段的种群数量将会满足一定的要求，只要找到种群数量与各个参量之间的关系，建立起种群数量恒定的方程就可以求解出各年龄阶段的种群数量。

模型建立：根据题目中的信息，令x ̌k =x k ，得到方程组如下：{x ̌1=∑b k nk=1x k =x 1x ̌k+1=s k x k −ℎk =x k+1整理得到：{−x 1∑b k nk=1x k =0−x k+1+s k x k =ℎk2 大学数学实验 实验报告 | 2014/4/52写成系数矩阵的形式如下：A =[b 1−1b 2b 3s 1−100s 2−1…b n−1b n0000⋮⋱⋮000000000⋯00−10s n−1−1]令h =[0, ℎ1,ℎ2,ℎ3,…,ℎn−2,ℎn−1]Tx =[x n , x n−1,…,x 1]T则方程组化为矩阵形式：Ax =h ，即为所求模型。

线性代数—克莱姆法则
克莱姆法则是由现代数学家狄里克·克莱姆在十九世纪二十年代初发现的一种数学方法，用于快速地解决某些复杂的非线性方程组。

该法则主要有四步：（1）假设一组未知量；（2）求解该组方程；（3）核查解的有效性；（4）如果解有效，则接受该解；否则更改第1步中的未知量，然后重新开始这一过程。

克莱姆法则的运用是基于线性代数中最优化方程组的求解，即确定未知连续变量的值来最大程度地满足非线性方程组限制条件的过程。

由于该法则具有容易理解、计算方便、解结构同构完整、解复杂度小等特点，因而迅速受到业界的欢迎，成为现代线性代数常用的求解方法之一。

克莱姆法则应用于显式多元线性方程组中，它假设这一方程组具有唯一的解，并通过将该方程组映射到另一个虚拟方程组来解决。

它也可以用来求解隐式的多元线性方程组，其优点是能够有效规避数值问题。

实际应用中，克莱姆法则也往往与其它数值技术相结合，如子程序法、减法法等，为解决最优化问题提供了更强大的解决方案。

同时，该法则也被拓展应用到其它领域（如运筹学），并在控制工程和机器人学等领域大量使用。

关于非齐次线性方程组的几种解法作者：李华灿李群芳李师煜来源：《科教导刊·电子版》2020年第12期摘要非齐次线性方程组是线性代数的核心知识点。

文中从一道非齐次線性方程组的求解出发，从克莱姆法则、逆矩阵以及初等行变换等三个方面浅谈非齐次线性方程组的三种不同解法。

关键词非齐次线性方程组克莱姆法则初等行变换逆矩阵中图分类号：O151.21 文献标识码：A0引言线性方程组的求解问题是线性代数课程的核心问题，包含齐次线性方程组和非齐次线性方程组。

由于非齐次线性方程组的非齐次项不全为零，故非齐次非线性方程组的求解相对较复杂，故文中选择下面的非齐次线性方程组为例。

例1：求解下面非齐次线性方程组。

记方程组（1）的系数矩阵为，，则方程组（1）等价于下列矩阵方程1利用克莱姆法则解非齐次线性方程组（1）克莱姆法则是求解非线性方程组的一种重要方法，关于其在方程组求解中的应用可参见文献[3-5]。

下面首先给出克莱姆法则：引理1（克莱姆法则）若n元非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组的解唯一，且有其中为方程组的系数矩阵，是用非齐次线性方程组的常数项替代的第得到的一个新的矩阵。

例1的解法一：经计算可得故由引理1可知，方程组（1）的解唯一，且经计算可知，，故由克莱姆法则可得非齐次线性方程组（1）的解为2利用逆矩阵求解引理2 若n元非齐次线性方程组的系数行列式，则方程组的解唯一，且有.例1的解法二：由于方程组（1）的系数行列式，故可逆，且有3利用初等行变换求解线性方程组初等行变换是线性代数解决所有问题的重要技巧。

在求解线性方程组中利用初等行变换的解题步骤为：把方程组中的系数和常数项按照它在方程组中的次序构成增广矩阵B，然后对增广矩阵B施行一系列初等行变换变为行最简形，从而得到原方程组的同解方程组的最简单的形式，进而得到方程组的解;进一步地，若方程组的系数矩阵A（下转第195页）（上接第193页）为可逆矩阵，则可以由增广矩阵的最简形矩阵可直接写出原方程组的解。

高考数学中的非线性方程组解析技巧数学是高考必考的科目，而数学中解析几何的一些内容，如直线、平面、圆锥曲线等知识点会涉及到非线性方程组的解法。

如何解决非线性方程组成为考生必须掌握的考点之一。

非线性方程组的解题需要逐步推导出未知量的值，而其中解析的技巧必不可少。

本篇文章将介绍一些高考数学中的非线性方程组解析技巧。

I. 消元法在高考中，消元法是求解一元或多元非线性方程组的常用方法。

以 $n$ 元非线性方程组为例：$$ \begin{cases} F_1(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \\ F_2(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \\ ... \\ F_n(x_1, x_2, ..., x_n) = 0 \end{cases} $$通过消元法，我们可以将复杂的方程组转化为简单的一元方程。

例如，假设我们要解决如下非线性方程组：$$\begin{cases} x^2+y^2=1 \\ x+y=1 \end{cases} $$We can solve this system of equations by using the elimination method. Adding the equations together, we get:$$x^2 + 2xy + y^2 = 2$$Since $x^2+y^2=1$, we can substitute this into the above equation and obtain:$$2xy = 1$$Then, we can substitute $y=1-x$ into the above equation and obtain:$$2x(1-x) = 1$$This is a quadratic equation that we can solve using the quadratic formula:$$x^2 - x + \frac{1}{2} = 0$$Solving the above quadratic equation, we get:$$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$$Substituting these values of $x$ into $y=1-x$, we get:$$(x, y) = \left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right) \text{ and } \left(\frac{1-\sqrt{3}}{2}, \frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$$消元法可谓是非线性方程组解法的基础，要牢牢掌握。

高等代数中的非线性方程组求解方法与案例高等代数中的非线性方程组求解方法与案例一、引言非线性方程组在数学和科学工程领域中具有重要的理论和实际应用价值。

本文将介绍一些常用的非线性方程组求解方法，并通过案例来展示这些方法的应用。

二、牛顿法牛顿法是一种经典的非线性方程组求解方法。

该方法利用函数的导数信息进行迭代，通过不断逼近方程组的解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - J_F(x_n)^{-1} * F(x_n)其中，J_F(x_n) 表示 F(x_n) 的雅可比矩阵。

三、割线法割线法是一种迭代求解非线性方程组的方法。

该方法使用方程组中两个初始解点之间的割线来逼近方程组的解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，初始解为 x_0 和 x_1，则迭代公式为：x_{n+1} = x_n - \frac{F(x_n) * (x_n - x_{n-1})}{F(x_n) - F(x_{n-1})}四、二分法二分法是一种简单且可靠的非线性方程组求解方法。

该方法利用方程组在区间两端点函数值异号的性质，在区间内部寻找解。

其迭代公式如下：假设方程组为 F(x) = 0，在区间 [a, b] 内满足 F(a) * F(b) < 0，迭代公式为：x_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}五、案例分析假设有如下非线性方程组：x^2 + y^2 = 10x + y = 5我们将使用上述介绍的三种方法来求解该方程组。

1. 牛顿法求解：首先，我们需要计算方程组的雅可比矩阵：J_F(x, y) = [[2x, 2y],[1, 1]]给定初始解 x_0 = (1, 4)，按照牛顿法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。

2. 割线法求解：给定初始解 x_0 = (1, 4) 和 x_1 = (2, 3)，按照割线法的迭代公式进行迭代计算，直到满足收敛条件。

非齐次线性方程组的解法可以采用下面几种方法：
1. 高斯消元法：该方法是利用矩阵的初等变换来求解方程组的，它的基本思想是将方程组化为上三角形式，然后从上往下逐步求解。

2. 列主元消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取列主元来求解方程组。

3. 牛顿迭代法：该方法是利用函数的迭代求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用函数的迭代求解。

4. 雅可比迭代法：该方法是利用雅可比矩阵来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用雅可比矩阵的迭代求解。

5. 全选主元高斯消元法：该方法是在高斯消元法的基础上，通过每一步选取全选主元来求解方程组。

6. 高斯-赛德尔迭代法：该方法是利用高斯-赛德尔迭代公式来求解方程组，它的基本思想是把方程组看成一个函数，然后利用高斯-赛德尔迭代公式的迭代求解。

非线性代数的基本概念和应用非线性代数是线性代数的拓展和推广，它将线性代数中的理论和方法推广到非线性系统中，有着广泛的应用和重要意义。

本文将详细介绍非线性代数的基本概念、重要定理和应用领域。

一、基本概念非线性代数包括非线性方程、非线性函数、非线性方程组、非线性空间等。

其中，非线性方程是指含有非线性项的方程，与线性方程不同的是，它们的解无法用求解线性方程的方法得到。

而非线性函数则是指输入和输出之间的关系不是简单的线性关系，而是更加复杂。

非线性方程组的一般形式为：F(x)=0,其中x是n维向量，F是一个向量值函数。

非线性方程组的求解问题是在给定的精度下求出解向量x。

二、重要定理1、牛顿迭代法牛顿迭代法是解非线性方程和非线性方程组的基本算法之一。

它是一种迭代算法，通过不断逼近使得误差逐步减小，并最终得到解。

具体地，对于非线性方程f(x)=0，牛顿迭代法的迭代公式为：x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f’(x_k)},其中x_k是第k次迭代的近似解，f’(x_k)表示f在x_k处的导数。

牛顿迭代法收敛的速度很快，但需要满足一定的收敛条件才能保证正确性。

2、Banach不动点定理Banach不动点定理是非线性空间中的重要定理之一，它指出如果一个映射从一个完备的度量空间到自身，且满足某些条件，则该映射至少有一个不动点（即映射的一个输入与输出相同）。

具体地，设X是一个完备的度量空间，f是X到X的一个连续映射。

如果存在一个常数K，使得对所有x∈X，有d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y),其中d表示X中的距离，则f至少存在一个不动点。

三、应用领域非线性代数在科学技术领域有着广泛的应用。

以下是其几个主要应用领域的介绍。

1、物理学非线性代数在物理学中的应用主要集中在研究复杂动力学系统的行为。

许多物理学领域的研究中涉及到非线性方程和非线性动力学模型，例如混沌理论和非线性波动理论等。

2、金融学非线性代数在金融学中的应用主要集中在风险控制和金融工程领域。