利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组

利用牛顿迭代法求解非线性代数方程组一、 问题描述在实际应用的很多领域中，都涉及到非线性方程组的求解问题。

由于方程的非线性，给我们解题带来一定困难。

牛顿迭代法是求解非线性方程组的有效方法。

下面具体对牛顿迭代法的算法进行讨论，并通过实例理解牛顿迭代法。

二、 算法基本思想牛顿迭代法求解非线性代数方程组的主要思想是将非线性函数线性化。

下面我们具体讨论线性化过程：令：()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000,,2121 n n x x x x x f x f x f x F （3-1） 则非线性方程组（3-2）()()()0,,,0,,,0,,,21212211===n n n n x x x f x x x f x x x f（3-2）可写为向量形式()0=x F （3-3）？()0=x F 成为向量函数。

设()()()()k n k k x x x ,,,21 是方程组（3-2）的一组近似解，把它的左端在()()()()k n k k x x x ,,,21 处用多元函数的泰勒展式展开，然后取线性部分，便得方程组（3-2）得近似方程组()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0,,,,,,0,,,,,,0,,,,,,1212112122121211211=∆∂∂+=∆∂∂+=∆∂∂+∑∑∑===k j nj k nk k n k nk k n k j nj k nk k k nk k k j nj k nk k k nk k x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f x x x x x f x x x f（3-4）这是关于()()()n i x x x k i i k i ,,2,1 =-=∆的线性方程组，如果它的系数矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂n n n n n n x f x f x f x f x f xf x f x f x f212221212111（3-5） 非奇异，则可解得()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆-nn n n n n n k n k k f f f x f x f x fx f x f x f x f x f x f x x x21121222121211121 （3-6） 矩阵（3-5）称为向量函数()x F 的Jacobi 矩阵，记作()x F '。

Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如()=x果能将非线性方程f0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

()xx处作一阶Taylor在0的一个近似根，是方程f把如果x展开，=设)xf(kk 即：f(x)?f(x)?f'(x)(x?x) (1-1)kkk于是我们得到如下近似方程：f(x)?f'(x)(x?x)?0 (1-2) kkk设，则方程的解为：0x'()?f k)xf(+k x=x?k?)xf(k(1-3)~x x作为原方程的新近似根取，即令：1k?)xf(k??xx…k=0,1,2, , k?1k)f'(x k(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)xx)(()xfy?(?f'x?kkk(1-5))),(xxf((1-5)上点迭代格式处的切线方程。

(1-4)是曲线就是用切线式)f(x?y kk的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

*x时才能保证收敛。

若的要求较高，初值足够靠近一般来说，牛顿法对初值x0．要保证初值在较大范围内收敛，则需对加一些条件。

如果所加的条件不满足，)(xf 而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：f(x)k?x??x?,,2?0,1k k1k?f'(x),k(1-6)0???1，称为下山因子。

因此，用这种方法求方程的根，也称为牛顿上式中，下山法。

f(x)之外，还要计算牛顿法对单根收敛速度快，但每迭代一次，除需计算k f'(x)f'(x)的工作量就可能比较大。

Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ̅=x k +f (x k )f (x k )́(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,⋯=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

二元非线性方程组求根的牛顿迭代法摘要:本文根据一元函数的Taybr 公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MA TLAB 仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。

关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数; Taybr 公式; Matlab 0 引言非线性方程()0f x =的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等, 那么, 对于对于非线性方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩,其牛顿迭代法的迭代方程是什么? 本文根据一元函数的Taybr 公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr 公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法,在此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab 仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。

1 基本定理、结论定理1 (一元函数的Taybr 公式)如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直(1)n +阶的导数,则对任一(,)x a b ∈ ,有()20000000()()()()()()()...()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中()n R x = ()(1)10()()1!n n f x x n ξ++-+,这里ξ是0x 与x 之间的某个值。

定理2 (二元函数的Taybr 公式)设(,)z f x y =在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到(1)n +阶的连续偏导数,00(,)x k y k ++为此邻域内任一点,则有2000000001(,)(,)(,)(,)...2!f x k y k f x y h k f x y h k f x y x y x y αααααααα⎛⎫⎛⎫++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1000011(,)(,)!(1)!n n h k f x y h k f x k y k n x y n x y ααααθθαααα+⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,(01)θ<<. 其中00(,)mh k f x y x y αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭表示00(,)0m mp p m pm x y p m p p f C h k x y --=∂∂∂∑定理3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法设已知方程f ( x) = 0有近似根k x (假定f ′(k x ) ≠0,将函数f ( x)在点kx 处展开,有f ( x)≈ f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) ,于是方程f ( x) = 0可近似的表示为f (k x ) + f ′(k x ) ( x -k x ) = 0这是个线性方程,记其根为k x + 1 ,则k x + 1的计算 公式为1()()k k k k f x x x f x +=-'( k = 0, 1, …) 2 二元函数的牛顿迭代法设z = f ( x, y)在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数,00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则有000000(,)(,)(,)(,)x x y y f x h y k f x y h f x y kf x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭于是方程f ( x, y) = 0可近似的表示为(,)(,)(,)0k kk k x x y y f x y h f x y kf x y x y==⎛⎫∂∂++= ⎪∂∂⎝⎭即(,)()(,)()(,)0k k k k k k k k k k f x y x x f x y y y f x y +-+-=同理设z = g ( x, y )在点00(,)x y 的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数, 00(,)x h y k ++为此邻域内任一点,则同样有000000(,)(,)(,)(,)x x y y g x h y k g x y h g x y kg x y xy==⎛⎫∂∂++≈++ ⎪∂∂⎝⎭其中00,h x x k y y =-=-于是方程g ( x, y) = 0可近似的表示为,()(,)(,)0k kk k x x y y g x y h g x y kg x y xx==⎛∂∂⎫++= ⎪∂∂⎝⎭即()(,)(),()(,)0k k k x k k k y k k g x y x x g x y y y g x y +-+-=于是得到方程组,,,,,,()()()()()0()()()()()0k k k y k k k y k k k kk y k k k y k k f x y x x f x y y y f x y g x y x x g x y y y g x y +-+-=⎧⎪⎨+-+-=⎪⎩ 求解这个方程组:当,,,,()()()()0x k k y k k x k k x k k g x y f x y f x y g x y +-≠时 x =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x g x y f x y f x y g x y +-+-y =,,,,,,,,()()()()+()()()()k k x k k k k x k k k x k k y k k x k k y k k g x y f x y f x y g x y y g x y f x y f x y g x y +-+-从而:,,,,,,,,,,,,,,,,()()()()+()()()()()()()()+()()()()k k y k k k k y k k k x k k y k k x k k y k k k k x k k k k x k k kx k k y k k x k k y k k f x y g x y g x y f x y x x g x y f x y f x y g x y g x y f x y f x y g x y y y g x y f x y f x y g x y +-⎧=⎪+-⎪⎨+-⎪=⎪+-⎩记符号,(),,,,()()()()k k x x x y k k x k k k k x k k gf fg g x y f x y f x y g x y -=- ,(),,,,()()()()k k y y x y k k y k k k k y k k fg gf f x y g x y g x y f x y -=- ,(),,,,()()()()k k x y x yx y x k k y k k x k k y k k g f f g g x y f x y f x y g x y -=-又可改写为,,,,()()()()k k k k k k k k y y x y k x y x y x y x x x y k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩迭代公式为:,,,,()1()()1()k k k k k k k k y y x y k k x y x y x y x x x y k k x y x y x y fg gf x x g f f g fg gf y y g f f g ++⎧-⎪=+⎪-⎪⎨-⎪=+⎪-⎪⎩通过迭代公式可迭代出当k = 1, 2, …时,,()k k x y 的值,当1,1()(0k k x y δδ++≤>为给定的误差控制项)时, 原方程组的根即为,()k k x y 。

) (x x
) (x x
(0)
)
f1 x
f2 x
(y y
(y y
(0)
)
f1 y
f2 y
0
0
f2( x
(0)
,y
(0)
(0)
)
(0)
)
G X
f1 x G f 2 x f1 y f 2 y
u 11 u 12 u 22
1 m 21 A m n1
1 m n ,n 1
1
u 11
u 12 u 22

u1 n u n 1,n u nn
1
d2
dn
1
l 21 1

l n1 ln2 1
a1n a 2n a nn
d2 ln2d 2
dn
l 21 1

yj x 0
2
j
( j = 1,2,··· ) ··,n ··
2
三对角方程组
2 h2 1 1 2h
2
y j1 ( 2 h ) y j y j1 x j h
1 2 2h y1 x1 y2 x2 h 2 y n1 x n1 y x n n
a kk a nk
工作量: n(n – 1)(n + 4)/3
12/18
例 . LDLT分解
1 A 2 1

3 x3 1.425497619 1.414213562 1.414213562
19
计算三步，方法（2）及（3）均达到10位有效数字， 而用牛顿法只有线性收敛，要达到同样精度需迭代30次.
20
7.5 弦截法与抛物线法
用牛顿法求方程（1.1）的根，每步除计算 f (xk ) 外 还要算 f (xk )，当函数 f (x)比较复杂时，计算 f (x) 往 往较困难，为此可以利用已求函数值 f (xk ), f (xk1), 来回避导数值 f (xk ) 的计算.
的导数为
(x) x f (x)
f (x)
(x*) 1 1 0
m
且 (x*) 1，所以牛顿法求重根只是线性收敛. 若取
16
(x) x m f (x) ,
f (x)
则 (x*) 0
. 用迭代法
xk 1

xk
m
f ( xk ) f (xk )
(k 0,1,)
7.5.1 弦截法
设 xk , xk 1是 f (x) 0的近似根，利用 f (xk ), f (xk1) 构造一次插值多项式 p1(x)，并用 p1(x) 0的根作为新的 近似根 xk 1 . 由于
p1(x)
f (xk )
f
( xk ) xk

f xk 1
xk 1

10
在（4.7）中取C 1 ，则称为简化牛顿法，这
f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2） 牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x *较远，则牛顿法可能发散.

Newton迭代法求解非线性方程Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。

因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。

牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。

设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ?=x k +f (x k )f (x k )?(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。

用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。

牛顿法具有明显的几何意义。

方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。

迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。

正因为如此，牛顿法也称为切线法。

牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。

一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x时才能保证收敛。

若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。

如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。

§6 解非线性方程组的迭代法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近 解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)

实验名称： 牛顿法解非线性方程组1引言我们已经知道，线性方程组我们可以采取Jacobi 迭代法，G-S 迭代法以及SOR 迭代方法求解。

而在科学技术领域里常常提出求解非线性方程组的问题，例如，用非线性函数拟合实验数据问题、非线性网络问题，用差分法求解非线性微分方程问题等。

我们在解非线性方程组时，也考虑用迭代法求解，其思路和解非线性方程式一样，首先要将F(x)=0转化为等价的方程组12(,,,),(1,2,)i i n x g x x x i n == 或者简记为x =g （x ），其中:,:n n ni g R R g R R →→1122()()(),()nn n g x g x g R g x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x x x x 迭代法：首先从某个初始向量开始，按下述逐次代入方法构造一向量序列：(0)x (){}k x (1)()()1(,,),(1,2,,)k k k i i n x g x x i n +== 其中，。

()()()()12(,,,)k k k k T n x x x =x 或写成向量形式：(1)()(),(0,1,2,)k k g k +==x x 如果（存在），称为收敛。

且当为连续函数时，可得()*l i m k k →∞≡x x (){}k x ()i g x *()*(l i m )()k k g g →∞==x x x 说明为方程组的解。

又称为x =g （x ）的不动点。

*x 本实验中采用牛顿迭代法来求解非线性方程组。

2实验目的和要求运用matlab 编写一个.m 文件，要求用牛顿法非线性方程组：12(0)(1)()3211cos 02,(取(0,0),要求10)1si n 02Tk k x x x x x x x +-∞⎧-=⎪⎪=-<⎨⎪-=⎪⎩3算法原理与流程图1、算法原理设有非线性方程组F(x )=0其中：12()((),(),,())Tk F f f f =x x x x 由偏导数作成的矩阵记为J(x )或称为F(x )的Jacobi 矩阵()i f x '()F x 111122221212()()()()()()()'()()()()n n n n n n f f f x x x f f f J x F x x x x f f f x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥≡≡∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦x x x x x x x x x设为F(x )=0的解，且设，为的近似解，现利用多元函*x ()()()()12(,,,)k k k k T n x x x =x *x 数 在点的泰勒公式有()i f x ()k x ()()()()()1112()(),1()()()()()()()1()()()2k k k k k i i i i n n nn k k i ij j l l i j l j lf f f f x xx x x x f x x x x P R x x =∂∂=+-++-∂∂∂+--≡+∂∂∑x x x x C x 其中，在与x 的所连的线段内。

非线性方程的求解方法非线性方程是数学中的基本概念，对于许多科学领域而言，非线性方程的求解具有重要的意义。

然而，与线性方程相比，非线性方程的求解方法较为复杂，因此需要掌握一些有效的解法。

本文将介绍几种非线性方程的求解方法。

一、牛顿迭代法牛顿迭代法也叫牛顿-拉夫逊迭代法，是一种求解非线性方程的有效方法。

该方法的基本思路是，选择一个初始值，通过迭代计算不断逼近非线性方程的根。

牛顿迭代法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$其中，$f(x)$表示非线性方程，$f'(x)$表示$ f(x) $的一阶导数。

牛顿迭代法的优点在于速度快，迭代次数少，但其局限性在于收敛性受初始点选取的影响较大。

二、割线法割线法（Secant method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

与牛顿迭代法不同，割线法使用的是两个初始值，并根据两点间的连线与$ x $轴的交点来作为新的近似根。

割线法的公式为：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$$割线法的优势是不需要求解导数，但其缺点在于需要两次迭代才能得到下一个近似根，因此计算量较大。

三、二分法二分法（Bisection method）是求解非线性方程的另一种有效方法。

该方法的基本思路是找到非线性方程的一个区间，使函数值在该区间内的符号相反，然后通过逐步缩小区间，在区间内不断逼近非线性方程的根。

二分法的公式为：$$x_{n+1}=\frac{x_n+x_{n-1}}{2}$$其中，$x_n$和$x_{n-1}$是区间的端点。

二分法的优点在于收敛性稳定，但其缺点在于迭代次数较多，因此计算量也较大。

四、弦截法弦截法（Regula Falsi method）也是一种求解非线性方程的有效方法。

它和二分法类似，都是通过缩小根所在的区间来逼近根。

不同之处在于，弦截法不是以区间中点为迭代点，而是以区间两个端点之间的连线与$ x $轴的交点为迭代点。

数学中非线性方程组的求解方法与应用研究在数学中，非线性方程组是指其中至少存在一个方程的未知数之间的关系不遵循线性关系的一类方程组。

它们与线性方程组不同，在求解时需要应用更加复杂的方法。

而非线性方程组的求解方法是非常有用的，因为许多实际问题通常不能用线性模型来描述。

本文将讨论非线性方程组的求解方法及其应用研究。

第一种求解方法是牛顿法。

牛顿法是一种迭代方法，其中函数的局部二次近似用于计算每次迭代中的解。

它是一种广泛应用的非线性方程组求解方法，尤其在大型问题中非常有效。

它的主要优点是速度快，并且可以通过使用加速技术来提高其效率。

然而，牛顿法的一些局限性包括它可能会偏离解，它要求可微函数，而且在某些情况下它可能无法收敛。

为了弥补这些不足，人们重点研究牛顿法的变种模型，如加速牛顿法、阻尼牛顿法等，从而提高算法的稳定性和收敛速度。

第二种方法是拟牛顿法。

拟牛顿法跟牛顿法结构类似，只是在牛顿法的基础上做出改进。

拟牛顿法是不计算牛顿法中的海森矩阵，而是逐步构建近似的海森矩阵。

它通过计算基于当前迭代点与上一次迭代点之间的差异的差分来构造该矩阵。

这样可以减少计算量，提高算法的收敛速度。

这种方法广泛应用于许多实际问题中，特别是在机器学习和优化领域。

第三种方法是分枝定界法。

分枝定界法是解决非线性方程组问题的另一种方法。

它也是一种迭代方法，但它通过逐步缩小不满足约束条件的点集合来进行迭代。

分枝定界法的优点是可以在有限的迭代次数内找到可接受的解，而且可以使用在具有更复杂逻辑限制的问题上。

以上是几种常见的非线性方程组求解方法。

但是在实际应用中，这些算法仍然存在一些问题。

例如，在计算机上运行时，这些算法往往需要数值计算，而这些计算往往可能会产生舍入误差，导致算法出现问题。

另一方面，尽管这些算法已经在许多实际问题中成功应用，但是它们在处理某些情况下可能会陷入无法收敛、收敛速度慢等的问题。

因此，人们在继续改进这些算法的基础上，探索新的算法方法和技术来解决这些问题。

求解非线性方程组的牛顿法和拟牛顿法解决非线性方程组是数学中的一个经典问题，其应用广泛，例如化学、物理、优化和金融等领域。

牛顿法和拟牛顿法是求解非线性方程组的常见方法之一，本文将详细介绍牛顿法和拟牛顿法的原理、优缺点以及实现步骤。

一、牛顿法牛顿法是一种高效的求解非线性方程组的方法，其基本思路是利用一阶泰勒展开式近似于原方程组，并以此构造一个更新方案，通过一步步迭代找到原方程组的解。

以二元非线性方程组为例，假设有方程组：f1(x1, x2) = 0f2(x1, x2) = 0根据泰勒展开式的一阶近似可得：f(x + Δx) ≈ f(x) + Jx Δx其中，Jx为函数f(x)在点x处的Jacobian矩阵，Δx是待求解的更新量，它满足：f(x + Δx) = 0将近似式带入上述方程组中，可得：Jx Δx = - f(x)由此可以推导出牛顿法的迭代式：x(k+1) = x(k) - [Jx(k)]⁻¹f(x(k))其中，k表示迭代次数，x(k)表示第k次迭代的解，[Jx(k)]⁻¹为Jx(k)的逆矩阵。

牛顿法的优点在于它的收敛速度很快，尤其是在初始值接近解时，收敛更加快速。

但是，牛顿法也有很大的局限性，一是它需要求解Jacobian矩阵，在高维情况下计算复杂度很高，二是它的收敛性依赖于初始值，有时候可能会陷入局部最优。

二、拟牛顿法为了克服牛顿法的局限，拟牛顿法被发明出来。

和牛顿法一样，拟牛顿法同样是基于泰勒展开式的近似思想，但是它避免了Jacobian矩阵的计算，从而提高了算法的计算效率。

拟牛顿法的核心是对于迭代过程中的Jacobian矩阵的近似。

常见的近似方法有Damping BFGS（DBFGS）算法、DFP算法和Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno（BFGS）算法等。

其中，BFGS算法是拟牛顿法的代表，其迭代步骤如下：1. 初始化矩阵B0 = I2. 对于第k次迭代，求出pk = -Bk-1gk，并更新xk+13. 计算sk = xk+1 - xk，yk = gk+1 - gk4. 更新矩阵Bk+1 = Bk + ΔB，其中ΔB = ρskskT - BkykT - ykBkρ = 1/ (ykT sk)其中ΔB称为BFGS修正子，它近似于Jacobian矩阵的逆。

《MATLAB 程序设计实践》课程考核１、编程实现以下科学计算算法,并举一例应用之.（参考书籍《精通ＭＡＬＡＢ科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，２００９年）“不动点迭代法和牛顿法非线性方程组求解”(1).不动点迭代法非线性方程组求解（a）.算法说明：设含有n个未知数与n个方程的非线性方程组记为:F(x）=0，然后把上述方程组改为便于迭代的等价形式：x=φ（x）,由此就可以构造不动点迭代法的迭代公式：｝满足，则就是φ的不动点,这样就可以求出非线性方程组的解.如果得到的序列{xk在MATLAB中编程实现的非线性方程组的不动点迭代法的函数为:mulStablePoint。

功能:用不动点迭代法求非线性方程组的一个解。

调用格式：[r，n］=mulStablePoint（x0，eps）.其中，x0为初始迭代向量；eps为迭代精度;r为求出的解向量；n为迭代步数。

（b）。

流程图：(c).源程序代码：function [r,n]=mulStablePoint(x0，eps) %不动点迭代法求非线性方程组的一个解%初始迭代向量：x0%迭代精度：eps%解向量：r％迭代步数：nif nargin==1eps=1。

0e-4；endr=myf(x0)；n=1；tol=1；while tol>epsx0=r;r=myf（x0）；％迭代公式tol=norm（r-x0)；％注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;if（n〉100000) ％迭代步数控制disp（’迭代步数太多，可能不收敛!’)；return；endend举例说明：解:首先建立myf.m函数文件，输入以下内容：function f=myf（x）f(1）=0.5*sin(x(1)）+0。

1＊cos（x（2）*x(1))-x（1);f（2）=0.5*cos（x(1))-0.1＊sin(x（2）)—x(2)；在MATLAB命令窗口中输入：(2)。

高斯牛顿迭代法解方程组高斯牛顿迭代法是一种经典的求解非线性方程组的数值方法，它通过迭代逼近的方式，找到方程组的近似解。

这种方法在科学和工程领域中得到广泛应用，能够解决许多实际问题。

高斯牛顿迭代法的基本思想是利用泰勒级数展开，将非线性方程组转化为线性方程组的近似求解问题。

具体来说，对于给定的非线性方程组，首先需要选择一个初始解，然后通过迭代求解的方式逐步逼近真实解。

在每一步迭代中，通过线性化的方式，将非线性方程组转化为一个线性方程组，然后求解这个线性方程组，得到一个近似的解。

接着，利用这个近似解来更新初始解，继续进行下一步的迭代，直到满足停止准则为止。

高斯牛顿迭代法的具体步骤如下：1. 选择一个初始解向量x^(0)；2. 计算方程组的雅可比矩阵J(x)；3. 计算方程组的残差向量r(x)；4. 解线性方程组J(x)Δx = -r(x)，得到一个增量向量Δx；5. 更新解向量：x^(k+1) = x^(k) + Δx；6. 判断停止准则是否满足，如果满足则停止迭代，否则返回第2步。

高斯牛顿迭代法的收敛性与初始解的选择有关，通常需要根据具体问题进行调整。

此外，对于非线性方程组，迭代过程中可能会遇到发散或者收敛速度较慢的问题，这时可以采用加速技术或者使用其他迭代方法来改进求解的效果。

高斯牛顿迭代法在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在机器学习领域中，通过高斯牛顿迭代法可以求解逻辑回归问题；在计算机视觉领域中，该方法可以用于图像处理和模式识别；在物理学和工程学中，可以用于求解复杂的非线性方程组，如力学力学问题和电路分析问题等。

高斯牛顿迭代法是一种强大的求解非线性方程组的数值方法，它通过迭代逼近的方式，找到方程组的近似解。

这种方法在科学和工程领域中得到广泛应用，能够解决许多实际问题。

通过合理选择初始解和适当的停止准则，可以提高迭代的收敛性和计算效率。

同时，对于特定的问题，还可以结合其他数值方法或者加速技术，进一步提高求解的精度和效率。

eN TN (1 hL) eN 1
TN (1 hL) TN 1 (1 hL) eN 2
TN (1 hL) TN 1
(1 hL)2 TN 2 (1 hL)N 1 T1


N 1 k 0
(1
function f=myfun syms x; syms y f=[x^2+y^2-1;x^3-y]; x0=[0.8;0.6];
>> newton (myfun,x0,1e-6) n=
4 ans =
0.8260 0.5636
7. 最速下降法

f1( x, f2 (x,
y) y)

f1 y f2 y


y1


y0

1 J0
f1 f2
f1 f2 ( x0 , y0 ) f1x f2x
(**)
例： x 2 ( x
y2 5 0 1) y (3x
1)

0
求
(1,1) 附近的解
f1x

f2x
f1 y f2 y



2x y3
Tn1 y( xn1 ) yn1 一步产生的误差
其中是由公式根据前一步的准确值获得的。
y( xn1 ) y( xn h)

y( xn ) hf ( xn ,
y(xn ))
h2 2
y( )
xn xn!
yn1 y( xn ) hf (xn , y( xn )) (Euler方法)
f
(x,
y ( x))dx

实验七、Newton 迭代法一、实验目的了解非线性方程与方程组的数值解法；深入理解Newton 迭代法，并用C++实现计算结果。

二、计算公式()())2(),1,0(1 ='-=+n x f x f x x n n n n它对应的迭代方程为显然是f(x)=0的同解方程，故其迭代函数为在 f(x)=0的根x*的某个邻域内,在x*的邻域R 内，对任意初值，应用公式（2）来解方程三、程序代码#include<stdio.h>#include<math.h>#include<conio.h>double f(double x);doubleft(double x);main(){double X0,X1,tol;int n;int count=0;printf("请输入初始值：\n");将f(x)在点x n 作Taylor 展开:)()(')()()(!2)()()(')()(2n n n n n n n n x x x f x f x f x x x f x x x f x f x f -+≈+-''+-+= ——Taylor 展开线性化f(x)=0近似于f(x n )+ f ′(x n )(x-x n )=0 (1)从(1)解出x,记为x n+1 ,则 )()(x f x f x x '-=)()()(x f x f x x '-=ϕ)0)((≠'x f )(δα≤-x R 0)(≈x f 1)()()()(2<≤'∙''=ϕ'L x f x f x f x 0xscanf("%lf",&X0);printf("请输入精度：\n");scanf("%lf",&tol);printf("请输入最大循环次数\n");scanf("%d",&n);X1=X0-f(X0)/ft(X0);while(fabs(X1-X0)>=tol)/*在没有达到精度要求情况下就循环*/ {X0=X1;X1=X0-f(X0)/ft(X0);count++;/*循环次数计数*//*如果循环次数到用户输入的最大循环次数就退出，可以适当修改*/ if(count==n){break;}}printf("方程的根为:%f\n",X1);getch();}/*************************函数功能：用于求f(x)的值**************************/double f(double x){double y;y=x*x*x+2*x*x+10*x-20;return y;}/*************************函数功能：用于求f(x)的导数值**************************/doubleft(double x){double y;y=3*x*x+4*x+10;return y;}四、例题用Newton 迭代法求下面方程的一个正根,计算结果精确到7位小数.02010223=-++x x x []得取初值,2,020∈=x。

非线性方程组newton-raphson算法
牛顿-拉夫逊（Newton-Raphson）算法是一种多元非线性方程组求根的迭代式方法，俗称牛顿法或拉夫逊法，是尤为重要的数值计算和求根技术。

牛顿-拉夫逊算法以牛顿求根法和拉夫逊改进为基础，以多元非线性方程组的原型函数求解其解析解，并迭代式地求取解向量，从而使多元非线性方程组得以求解。

该算法在数学中非常重要，主要用于求解非线性方程组的根，对于多元非线性方程组，它的效率比牛顿求根法要低，但是它的准确率比牛顿求根法要好。

然而，这种方法不适用于特定的特殊类型非线性方程组，例如Shalashi非线性方程组，其收敛性不是很好，因此需要在距离解决这类方程组的收敛性方面做出适当的改进。

现代计算机为牛顿-拉夫逊算法提供了极大的发展空间，可以将其用于解决许多复杂的数值问题，如微分方程、概率等等。

此外，它甚至可以用于解决更为复杂的优化问题。

就计算机而言，牛顿-拉夫逊算法可以用于互联网领域，帮助企业开发出高质量的软件来解决各种复杂的计算问题。

总之，牛顿-拉夫逊算法是一种高效的解决非线性方程组求根的方法，在互联网领域同样有着广泛的应用，它可以帮助企业解决繁杂的计算问题，为互联网应用的发展推动力。