电磁场与电磁波第10讲静电场的边值问题

静电场边值问题指的是，在电场边界处，电势的变化要满足一定的条件。

这些条件可以用来求解电场的边界条件，也可以用来求解电场的分布情况。

常见的静电场边值问题有电势边界条件和电流边界条件。

电势边界条件：在某些情况下，电势的变化会受到一些限制，这种情况下，我们可以使用电势边界条件来解决问题。

常见的电势边界条件有以下几种：1.固定电势：在某些情况下，电势的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电势边界条件来解决问题。

2.无穷大电势：在某些情况下，电势的值会无限增大，这种情况下，我们可以使用无穷大电势边界条件来解决问题。

电流边界条件：在某些情况下，电场中会存在电流，这种情况下，我们可以使用电流边界条件来解决问题。

常见的电流边界条件有以下几种：1.固定电流：在某些情况下，电流的值是固定的，这种情况下，我们可以使用固定电流边界条件来解决问题。

2.零电流：在某些情况下，电流的值为零，这种情况下，我们可以使用零电流边界条件来解决问题。

3.无限大电流：在某些情况下，电流的值会无限增大。

4.无穷小电流：在某些情况下，电流的值会无限减小，这种情况下，我们可以使用无穷小电流边界条件来解决问题。

5.常数电流：在某些情况下，电流的值为一个常数，这种情况下，我们可以使用常数电流边界条件来解决问题。

6.线性电流：在某些情况下，电流的值随着某个参数的变化而呈线性关系，这种情况下，我们可以使用线性电流边界条件来解决问题。

7.周期电流：在某些情况下，电流的值随着时间的变化而呈周期性变化，这种情况下，我们可以使用周期电流边界条件来解决问题。

8.随机电流：在某些情况下，电流的值随机变化，这种情况下，我们可以使用随机电流边界条件来解决问题。

9.随机电流：在某些情况下，电流的值随机变化，这种情况下，我们可以使用随机电流边界条件来解决问题。

这些电流边界条件都可以在求解静电场边值问题时使用。

u (1 2 ) 0
积分后 , 1 - 2 C, 该式既满足场域 , 又满足边界 , 故 C 0,1 2 ,得证
若导体边界为第二类边 界条件 , 即已知电荷面密度

1 2 , n n
即
(1 -2 ) u 0 n n
q
1 2 q 1 2
q
2 2 q 1 2
0
( y 0 ,b x a )
0
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程 1 d d 21 2 (r 2 1 ) (0 r a ) r dr dr 0
2u 21 2 2
利用矢量恒等式
0 (uu) u2u (u) 2 ( u )2
对场域求体积分, 并利用高斯散度定理

V
(uu )dV uu dS (u ) 2 dV
s V
S为体积 V的边界面 ,即S S0 S , S S1 S2 Sn , 由于在无穷远 S0处电位为零 ,因此有
静电场的边值问题 数学物理方程定解条件通常分为初始条件和边界条件。 静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯
方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解泊松方程
或拉普拉斯方程就是静电场的边值问题。
边值问题 微分方程
边界条件
2 2 0

场域 边界条件
分界面 衔接条件
S f1 (s)
已知场域边界 上各点电位 的法向导数
布或边界是电力线的条 件是等价的？ 边值问题框图

有限差分法
用离散的差分代替微分方程中的导数项，将微分方程转化为差分方程进行求解。
有限元方法
将连续的求解区域离散化为有限个小的单元，用每个单元的中心函数近似代替该单元上的函数，从而将 微分方程转化为线性方程组进行求解。
2023
PART 03
静电场的边界条件
REPORTING
边界条件的定义
01
边界条件是指在求解静电场问题时，电场在边界处的
2023
PART 05
静电场的实际应用
REPORTING
电场在物理中的应用
静电感应
当一个带电体靠近导体时，导体因静电感应 而带电。
电容器的充放电
电容器在充电和放电过程中，电荷在电场的 作用下移动。
电子显微镜
利用电场对电子的加速和聚焦作用，实现高 分辨率的显微成像。
电场在化学中的应用
离子交换
利用电场对离子的作用力，实现离子的分离 和纯化。
VS
详细描述
有限元法是一种将连续的静电场划分为有 限个小的区域（即元），然后对每个元进 行求解的方法。这种方法能够处理复杂的 几何形状和边界条件，并且具有较高的计 算精度和稳定性。
边界元法
总结词
只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。
详细描述
边界元法是一种只对静电场的边界进行离散化，然后对边界上的离散点进行求解的方法。这种方法能够大大减少 未知数的数量，并且适用于处理具有复杂边界条件的问题。但是，由于只对边界进行离散化，因此需要更高的计 算精度和更复杂的数学处理。
电化学反应
在电解池和原电池中，电场驱动离子在溶液 中的迁移，并参与化学反应。
电泳技术
在电场的作用下，带电粒子在介质中移动， 用于分离和纯化生物分子。

安培环路定律1）真空中的安培环路定綁在真空的磁场中，沿任总回路取乃的线积分.其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限定面枳上的电流的代数和。

即in di=^i kk=l2）•般形式的安培环路定律在任总磁场中•磁场强度〃沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包鬧而积的自由电流（不包括醱化电流）的代数和。

即B （返回顶端）边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数®的泊松方程（沪卩=一％）或拉普拉斯方程（gp=O）定解的问題。

2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也满足拉普拉斯方程。

很多恒定电场的问題，都可归结为在一定条件下求竝普拉斯方程（▽?信=° ）的解答，称之为恒定电场的边值问题o3）恒定磁场的边值问题（1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上满足的衔接条件和它所满足的微分方程以及场域上给定的边界条件一起构成了描述恒定磁场的边值问题°对于平行平而磁场，分界而上的衔接条件是* 1 3A 1 dAn磁矢位*所满足的微分方程V2A = -pJ（2）磁位的边值问题在均匀媒质中.磁位也满足拉普拉斯方程。

磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上满足的衔接条件以及场域上边界条件一起构成了用磁位描述恒定磁场的边值问題。

磁位满足的拉普拉斯方程= °两种不同媒质分界浙上的衔接条件边界条件1.静电场边界条件在场域的边界面s上给定边界条件的方式有：第•类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet）已知边界上导体的电位第二类边界条件（聂以曼条件Neumann）已知边界上电位的法向导数（即电荷而密度或电力线）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合5静电场分界而上的衔接条件% "和场*二丘"称为静迫场中分界面上的衔接条件。

前者表明.分界而两侧的电通壮密度的法线分址不连续，其不连续虽就等于分界面上的自由电荷血•密度：后者表明分界而两侧电场强度的切线分址连续。