下载文档原格式
第三章 静电场边值问题在上一章中，我们已经知道了几种从电荷分布求静电场的问题。
一种是直接积分式(2-2-1)求得已知电荷分布情况下的电场；另一种是利用式(2-2-4)高斯定理求解某些具有对称性电荷分布的静电场问题；再一种就是由式(2-2-10)求出静电势，再利用关系式ϕ=-∇E求出电场，这些问题一般都不存在边界。
然而，对于许多实际静电问题，电荷的分布是复杂的，计算积分很困难，甚至是不能积分，有些静电问题只给出了边界上的面电荷或电势。
在这种情况下，需有其它有效的方法求解静电问题，这种方法就是求解静电势所满足的偏微分方程。
这偏微分方程就是由式(2-2-10)给出的方程：2ρϕε∇=-因此，对于有边界存在的情况下，我们不得不求解给定边界条件下静电势微分方程，然后求出静电场，这一问题称为静电场边值问题错误！未找到引用源。
即求出满足给定边界条件的泊松方程的解。
在这一章中，我们首先介绍静电唯一性定理，它是解决静电场边值问题的基础。
基于静电唯一性定理，我们主要介绍两种求解静电场边值问题的方法：电像法和分离变量法。
当然，求解边值问题还有其它的方法。
值得一提的是，本章所介绍的方法不仅仅适用于静电场，它同样适用于静磁场和时变电磁场。
3-1 静电唯一性定理我们将证明，如果我们得到了满足给定边界条件的泊松方程的解，那么，这个解是唯一的。
这就是静电唯一性定理错误！未找到引用源。
下面我们证明这一定理并初步介绍它的应用。
在由边界面s 包围的求解区域V 内，若： 1) 区域V 内的电荷分布给定；2) 在边界面s 上各点，给定了电势s ϕ，或给定了电势法向偏导数snϕ∂∂，则V 内的电势唯一确定。
以上的表述就是静电唯一性定理。
下面，我们用反证法证明静电唯一性定理。
证: 假定在区域V 内的电荷密度分布为ρ(r )，且有两个不同的解φ1和φ2满足泊松方程及给定边界条件(给定的电势值s ϕ或电势法向偏导数snϕ∂∂)。
即：2212,ρρϕϕεε∇=-∇=-并有12sssϕϕϕ==或12sssnnnϕϕϕ∂∂∂==∂∂∂式中s ϕ和snϕ∂∂为给定的边界条件。
![[工学]静电场及其边值问题的解法](https://uimg.taocdn.com/923e28d2551810a6f524866c.webp)
3.1对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：（1） ()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； （3）()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+；Sol.已知空间的电位分布，由E Φ=−∇和20/Φρε∇=−可分别计算出电场强度和体电荷密度。
(1) ()2x E e Ax B Φ=−∇=−+，2002A ρεε=−∇Φ=− (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=−∇=−+++⎣⎦20004sin sin 3sin BzBz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫=−∇=−+−=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.6 有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。
已知0z >时，201050x y z E e e e =−+V /m 。
试求0z <时的D 。
Sol. 设1122, (0), (0)E D z E D z ⎧>⎪⎨<⎪⎩，则由题意可知 111201050e e t t n n x y z E E E e e e =+=−+111010201050 2100e e e e e t t x y n n z n n n n z E e e E e D E εε=−⎧⎪⇒⎨=⇒==⎪⎩ 两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为1t 2t 12n n E E D D =⎧⎨=⎩或1t 2t12t t n nn n e E e E e D e D =⎧⎨=⎩ ，则21220202010100205e =e e e e t t t t x y n n n n z n n z E E e e D D e E e εε=−⎧⎪⎨=⇒==⎪⎩所以，z < 0 时：2222202000201020 (V/m 10050100 )( C/ m )=e +e =5t t n n x y z x y z E E E e e e D E e e e εεεε⎧=−+⎪⎨=−+⎪⎩3.8 一块厚度为d 、相对介电常数为r ε的无限大介质平板放置在均匀电场0E 中。
