实验一用有限差分法解静电场边值问题

有限差分法是一种用于计算多边形平面静电场的数值计算方法。

对于有限差分法来说，其核心思想是将求解区域划分为一个个小区域，将其上的方程用有限差分逼近，然后通过迭代求解，最终得到近似解。

下面，我们来分别介绍一下有限差分法的主要步骤，以及在计算多边形平面静电场过程中，需要注意的一些问题。

第一段：划分区域在使用有限差分法求解多边形平面静电场时，首先需要将求解区域划分为一个个小区域。

一般情况下，我们会将求解区域按照网格的形式进行划分。

将求解区域划分为网格之后，每个网格内部的电势和电场就可以用数值的方式进行逼近。

第二段：逼近方程在对求解区域进行网格划分之后，接下来就是对每个小区域内的方程进行逼近。

在该过程中，我们需要运用有限差分法的相关原理，对求解区域内的电势和电场方程进行逼近，得到近似解。

第三段：迭代求解逼近方程之后，接下来就是采用迭代的方式对求解区域内的电势和电场方程进行求解。

在该过程中，我们需要设置初始条件，并在每次迭代时更新求解区域内的电势和电场方程，直至满足预设的误差限制为止。

第四段：注意事项在使用有限差分法计算多边形平面静电场时，需要注意以下几点。

首先，划分网格的大小和精度直接影响最终结果的准确性。

因此，在划分网格时需要充分考虑问题的复杂程度和计算效率之间的平衡关系。

其次，在运用有限差分法进行求解时，需要时刻关注计算精度和计算效率之间的平衡关系，这是保证求解结果合理与计算效率高效的前提。

最后，在迭代求解过程中，需要设置合理的误差极限，并在满足误差限制的同时，尽可能地减少迭代次数，提高计算效率。

第五段：总结综上所述，有限差分法是一种常用的数值计算方法，在计算多边形平面静电场等问题时具有广泛的应用价值。

然而，在运用该方法进行计算时，需要充分考虑求解区域的复杂程度和计算效率之间的平衡关系，以及计算精度和计算效率之间的平衡关系，并在满足计算精度要求的同时，尽可能地减少迭代次数，提高计算效率。

电磁场理论第一章静电场1.1 电场强度电位4 2 2了解：定义法求解带电体电场强度和电位方法掌握：库仑定律、电场强度、电位的定义及定义式掌握：静电场环路定律及应用，叠加法计算电场强度和电位知识点：库仑定律；电场强度定义；电位定义；叠加法计算；电力线；等位线（面）；静电场环路定律；电场强度与电位关系的微分表示及意义；电偶极子定义及其在远区场的电场强度和电位．重点：静电场环路定律，电场强度与电位关系难点：静电场环路定律的微分表示，电场强度与电位关系的微分表示及意义1. 从学生比较熟悉的大学物理中的电场强度和电位的积分式及意义引出其微分式及意义；=-∇ϕE2. 从高等数学中的Stocks定理讲解静电场环路定律．0∇⨯=E《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社）P13 1-1-1 直接应用1.1节三个例题（均匀带电直导线、平面、球面）的结果简化运算1-1-3 =-∇ϕE的应用上机编程：用数值积分法研究静电场场分布（2学时，地点：新实验楼B215）电磁场理论 1.2 高斯定律2 2了解：静电场中导体和电介质的性质掌握：各向同性线性电介质中，电极化强度、电通量密度与电场强度的关系掌握：高斯定律积分式、微分式及应用知识点：静电场中导体的特点；静电场中电介质的特点；电极化强度；电通量密度；高斯定律重点：高斯定律难点：电极化强度、电通量密度与电场强度的关系用高斯定律计算电场强度1. 从高等数学中的高斯定理讲解高斯定律．∇⋅=ρD2. 应用高斯定律计算1.1节三个例题，和本节例1-8, 并总结均匀带电直导线、平面、球面、球体的电场强度和电位特点．《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社）P13 1-1-1 直接应用1.1节三个例题（均匀带电直导线、平面、球面）的结果简化运算1-1-3 =-∇ϕE的应用电磁场理论1.3 静电场基本方程分界面上的衔接条件2 2了解：静电场电位方程（泊松方程和拉普拉斯方程）掌握：静电场基本方程的积分式、微分式及物理意义掌握：分界面上的衔接条件及应用知识点：静电场基本方程；分界面上的衔接条件；静电场电位方程重点：静电场基本方程；分界面上的衔接条件难点：用分界面衔接条件分析不同电介质分界面的电场情况1. 从静电场基本方程的积分形式推导不同介质分界面的衔接条件2. 用分界面衔接条件分析不同电介质分界面的电场情况例1-10，例1-11《工程电磁场导论》（冯慈璋马西奎主编，高等教育出版社）P24 1-3-3 分界面衔接条件分析，注意电场的值和电场是不同的概念电磁场理论 1.6 有限差分法4 2 2掌握：有限差分法的原理与计算步骤；理解并掌握：求解差分方程组的三种方法（简单迭代法、高斯赛德尔法、超松弛迭代法），分析三种方法的优缺点，加速收敛因子 的作用，编程，图示电位。

电磁场与电磁波实验报告实验项目：有限差分法一、实验目的及要求1、学习有限差分法的原理与计算步骤；2、学习用有限差分法解静电场中简单的二维静电场边值问题；3、学习用Matlab语言描述电磁场与电磁波中内容，用matlab求解问题并用图形表示出了，学习matlab语言在电磁波与电磁场中的编程思路。

二、实验内容理论学习：学习静电场中边值问题的数值法中的优先差分法的求解知识；实践学习：学习用matlab语言编写有限差分法计算二维静电场边值问题；三、实验仪器或软件Matlab7.0电脑四、实验原理有限差分法的基本思想将计算场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散数值解来代替；即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。

简单迭代法先对场域内的节点赋予初始值）（0,j i Φ ，这里上标（0）表示第0次近似值，即初始值。

然后再按照： ][41k 1,k ,1k 1,k ,11k ,）（）（）（）（）（++--+Φ+Φ+Φ+Φ=Φj i j i j i j i j i进行反复迭代。

若当第N 次迭代结束后，所有内节点相邻两次迭代值之间的绝对误差小于事先给定的精度，则迭代停止。

W MAX N ji N j i 〈Φ-Φ-）（）（1,, 注意：初始值的赋予是任意的；赋予初始值后，请按“从左到右、从下到上”的固定顺序依次计算各节点值； 当所有节点都算完一遍后，再用它们的新值代替旧值，即完成一次迭代。

五、实验步骤复习理论知识；编写matlab 程序；六、结果分析与问题讨论1、程序：clearX=[0,0,0,0,0;0,25,25,25,0;0,50,50,50,0;0,75,75,75,0;100,100,100,100,100]Pot=[0,0];for i=2:4for j=2:4PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4 Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=1;while(max(1000.*Pot)>1)Pot(2)=0; (,1,2,......) (0,1,2,......)i j k ==for i=2:4for j=2:4PotX(i-1,j-1)=(X(i-1,j)+X(i,j-1)+X(i+1,j)+X(i,j+1))/4 Pot(1)=abs(PotX(i-1,j-1)-X(i,j));Pot(2)=max(Pot)endendX(2:4,2:4)=PotXnum=num+1endsurf([0:4],[0:4],X);shading interpcolorbar('horiz')title('有限差分法计算电位图');2、运行结果X =0 0 0 0 00 25 25 25 00 50 50 50 00 75 75 75 0100 100 100 100 100%%第一次迭代PotX =18.7500Pot =6.2500 6.2500PotX =7.1440 9.8230 7.144018.7515 25.0023 18.751542.8583 52.6801 42.8583Pot =1.0e-003 *0.3815 0.7629%%第28次迭代X =0 0 0 0 00 7.1440 9.8230 7.1440 00 18.7515 25.0023 18.7515 00 42.8583 52.6801 42.8583 0100.0000 100.0000 100.0000 100.0000 100.0000num =283、波形图matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。

实验一：有限差分法研究静电场边值问题实验报告人：年级和班级：学号：1. 实验用软件工具： Matlab2. 实验原理：电磁场课本P36-381)差分方程2)差分方程组的解简单迭代法高斯-赛德尔迭代法逐次超松弛法3. 实验步骤：1）简单迭代法程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v1(i-1,j)+v1(i,j-1))/4;t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off当W=1e-5, 迭代次数：1401次2）高斯-赛德尔迭代法程序：hx=41;hy=21;v1=ones(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v2=v1;maxt=1;t=0;k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1))/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off当W=1e-5, 迭代次数：740次3）逐次超松弛法程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;alpha=input('please input the value of alpha(alpha>=1 && alpha<2):');k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off当W=1e-5, alpha取不同值时迭代次数4）画三维曲面图和等位线图（逐次超松弛法最佳迭代次数时）程序：hx=41;hy=21;v1=zeros(hy,hx);v1(hy,:)=zeros(1,hx);v1(1,:)=ones(1,hx)*100;v1(:,1)=zeros(hy,1);v1(:,hx)=zeros(hy,1);v1v2=v1;maxt=1;t=0;alpha=1.8;k=0;while(maxt>1e-5)k=k+1;maxt=0;for i=2:hy-1for j=2:hx-1v2(i,j)=v1(i,j)+(v1(i,j+1)+v1(i+1,j)+v2(i-1,j)+v2(i,j-1)-4*v1(i,j))*alpha/4; t=abs(v2(i,j)-v1(i,j));if(t>maxt) maxt=t;endendendv1=v2;endv2kclfsubplot(1,2,1),mesh(v2)axis([0,41,0,21,0,100])subplot(1,2,2),contour(v2,15)hold onaxis([-1,42,-1,25])plot([1,1,hx,hx,1],[1,hy+1,hy+1,1,1],'r')text(hx/2,0.3,'0V','fontsize',11);text(hx/2-0.5,hy+0.5,'100V','fontsize',11);text(-0.5,hy/2,'0V','fontsize',11);text(hx+0.3,hy/2,'0V','fontsize',11);hold off贴图：4．实验结论（1）matlab软件在使用有限差分法研究静电场边值问题中有着重要的作用，它能够快捷有效并且准确的解决边值问题，是解决计算相对复杂问题的有效工具。

有限差分法求解静电场问题
李国生
【期刊名称】《电气电子教学学报》
【年(卷),期】2005(27)5
【摘要】简介了有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.
【总页数】4页(P49-52)
【作者】李国生
【作者单位】南京航空航天大学,自动化学院,江苏,南京,210016
【正文语种】中文
【中图分类】TM151;O241.82
【相关文献】
1.用有限差分法分析电介质静电场特性 [J], 唐正明;章三妹;冯正勇
2.有限差分法计算多边形平面静电场 [J], 梁志辉;李之杰
3.静电场边值问题有限差分法的仿真分析 [J], 霍文晓
4.二维Allen-Cahn方程的有限差分法/配点法求解 [J], 邓杨芳;姚泽丰;汪精英;翁智峰
5.基于多项式插值的有限差分法求解Helmholtz方程声硬散射体散射问题 [J], 王泽玉;徐敏红;周雨彤;邢思雨
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静电场边值问题有限差分法的仿真分析作者：霍文晓来源：《科技视界》2015年第05期【摘要】为了提高教学效果，在教学过程中引入仿真教学方式。

结果表明，利用仿真软件进行演示，能够形象的反映有限差分法的解题过程，并得到电位分布图，加强了学生对抽象理论的理解。

【关键词】有限差分法;MATLAB;仿真分析在电磁场理论中，已知场量在场域边界上的值，求场域中的场分布称为边值问题。

通常将静态场边值问题的求解简化成：在一定边界条件下对位函数的泊松方程或拉普拉斯方程的求解[1]。

在电磁场与电磁波课程教学中，边值问题的求解既是重点又是难点。

教材中主要讲了三种方法：镜像法、分离变量法和有限差分法。

随着计算机技术的发展和模拟软件的进步，有限差分法得到了迅速发展和广泛应用。

因此，为了与实际接轨，在课堂讲授中，我们将有限差分法作为边值问题这部分的重点内容。

并采用理论讲解与模拟演示的教学方法，同时提高学生对理论知识的理解和应用能力。

1 有限差分法的原理有限差分法的基本思想是将场域划分成网格，把求解场域内连续的场分布用求解网格节点上的离散的数值解来代替，即用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程来求解。

1.1 位函数的差分方程在一个边界为L的二维无源区域S内，电位函数φ（x，y）满足拉普拉斯方程和边界条件为：■（1）通常将场域分成足够小的正方形网格，网格线之间的距离为h，节点（xi，yi）处的电位φi，j可由其周围直接相邻的四个节点的电位表示，即二维拉普拉斯方程的差分形式。

■（2）同时将边界条件进行离散化，成为边界节点上的已知数值。

在这些已知节点条件下，求解各节点的差分方程，整个区域中的节点上电位值即可求出。

1.2 差分方程的求解方法在求解实际问题时，为了达到足够的精度，需将网格划分的充分细，节点的个数很多，建立的差分方程数量大，一一求解工作量大。

因此如果节点数量较多，通常使用迭代法。

1.2.1 简单迭代法先对场域内的节点赋予迭代初值φ■■，然后按公式[2]■（3）进行反复迭代（k=0，1，2，…）。