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实验一 静电场边值问题对于复杂边界的静电场边值问题，用解析法求解很困难，甚至是不可能的。
在实际求解过程中，直接求出静电场的分布或电位又很困难，其精度也难以保证。
本实验根据静电场与恒定电流场的相似性，用碳素导电纸中形成的恒定电流场来模拟无源区域的二维静电场，从而测出边界比较复杂的无源区域静电场分布。
一、 实验目的：1、学习用模拟法测量静电场的方法。
2、了解影响实验精度的因素。
二、 实验原理：在静电场的无源区域中，电场强度E '电位移矢量D '及电位Ф、满足下列方程：▽×E 、= 0 ▽×D'= 0D '=εE 、 E 、= - ▽φ、（1.1.1）式中ε为静电场的介电常数。
在恒定电流场中，电场强度E 、电流密度J 及电位Ф满足下列方程：▽×E= 0 ▽·J = 0J = δE E=－▽Φ （1.1.2）式中δ为恒定电流场中导电媒质的电导率。
因为方程组（1.1.1）与方程组（1.1.2）在形式上完全相似，所以φ、（静电场中的电位分布函数）与Φ（恒定电流场中的电位分布函数）应满足同样形式的微分方程。
由方程组（1.1.1）和方程组（1.1.2）很容易求得：▽·（ε▽φ、）= 0 （1.1.3）▽·（δ▽Φ）= 0 （1.1.4）式中ε与δ处于相应的位置，它们为对偶量。
若ε与δ在所讨论区域为均匀分布（即其值与坐标无关），则方程（1.1.3）、（1.1.4）均可简化为拉普拉斯方程： 2∇φ'= 0 02=Φ∇电位场解的唯一定理可知：满足相同微分方程的两个电位场，它们具有相同的边界电位值，因此，在保证边界电位值不变的情况下，我们可以用恒定电流场的模型来模拟无源区域的静电场，当静电场中媒质为均匀媒质时，其导电媒质也应为均匀媒质，这样测得的恒定电流场的电位分布就是被模拟的静电场的电位分布，不需要任何改动。
三、 实验内容及实验装置：1、被测模型有两个：一个用来模拟无边缘效应的平行板电容器中的电位分布；另一个用来模拟有金属盖的无限长接地槽形导体内电位分布。
第10讲静态场的解法（1）本节内容：1，静电场问题的分类与唯一性定理2，平面镜像3，球面镜像一，静电场问题分类：一类是前面讨论的已知电荷分布求解场的分布型问题；另一类是由场量所满足的支配方程以及场量在边界上的已知条件来求解场的边值型问题。
因为电位是一个标量函数，而且由它可以方便地求出描述电场的其它物理量，故边值问题通常以电位做为研究对象。
边值问题按其边界条件不同可分为三类：（1）已知区域边界上的位函数值，即构成如下边值问题： ()⎩⎨⎧=-=∇Γ02|0ϕϕερϕ或——荻利克莱（Dirichlet ）问题（2）已知待求函数在区域边界上的法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂-=∇Γ02ψϕερϕn ——Neumann 问题 （3）区域边界的一部分已知位函数值，另一部分已知法向导数值，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂=-=∇ΓΓ02012,ψϕϕϕρϕn ——混合问题三类边值问题的解是否唯一？回答是肯定的，有唯一性定理保证。
二，场的唯一性定理可以证明，在以上三种边界条件下，满足Laplace方程和Poisson方程的电位函数 是唯一的。
这就是场的唯一性定理。
下面利用格林第一公式来证明这一定理。
()⎰⎰∂∂=∇+∇⋅∇S V dS n dV ψϕψϕψϕ2 ——格林第一公式 证明：若1ϕ、2ϕ都满足拉氏方程（或Poisson 方程），则21ϕϕϕ-='满足Laplace 方程，即：02='∇ϕ 令格林公式中ϕ、ψ都是ϕ'，则： ⎰⎰∂'∂'='∇S V dS n dV ϕϕϕ2第一种情况（Dirichlet 问题）： 1ϕ、2ϕ在S 上均满足第一类边界条件，则0='S ϕ ∴ 02='∇⎰V dV ϕ ∵ 02≥'∇ϕ，而积分为0 0='∇⇒ϕ ∴()常数C ='ϕ，而在S 上0='ϕ。
∴ 0≡'ϕ ∴21ϕϕ=第二种情况（Neumann 问题）：1ϕ、2ϕ都满足0ψϕ=∂∂Sn 则：021=∂∂-∂∂=∂'∂SS S n n n ϕϕϕ 故右边=0，同样可得：()常数C =-21ϕϕ ∵ 在参考点处021==ϕϕ，故021≡-ϕϕ ∴21ϕϕ=第三种情况（Mixed问题）证明与第二种情况类似，略。
安培环路定律1）真空中的安培环路定綁在真空的磁场中，沿任总回路取乃的线积分.其值等于真空的磁导率乘以穿过该回路所限定面枳上的电流的代数和。
即in di=^i kk=l2）•般形式的安培环路定律在任总磁场中•磁场强度〃沿任一闭合路径的线积分等于穿过该回路所包鬧而积的自由电流（不包括醱化电流）的代数和。
即B （返回顶端）边值问题1）静电场的边值问题静电场边值问题就是在给定第一类、第二类或第三类边界条件下，求电位函数®的泊松方程（沪卩=一％）或拉普拉斯方程（gp=O）定解的问題。
2）恒定电场的边值问题在恒定电场中，电位函数也满足拉普拉斯方程。
很多恒定电场的问題，都可归结为在一定条件下求竝普拉斯方程（▽?信=° ）的解答，称之为恒定电场的边值问题o3）恒定磁场的边值问题（1）磁矢位的边值问题磁矢位在媒质分界面上满足的衔接条件和它所满足的微分方程以及场域上给定的边界条件一起构成了描述恒定磁场的边值问题°对于平行平而磁场，分界而上的衔接条件是* 1 3A 1 dAn磁矢位*所满足的微分方程V2A = -pJ（2）磁位的边值问题在均匀媒质中.磁位也满足拉普拉斯方程。
磁位拉普拉斯方程和磁位在媒质分界面上满足的衔接条件以及场域上边界条件一起构成了用磁位描述恒定磁场的边值问題。
磁位满足的拉普拉斯方程= °两种不同媒质分界浙上的衔接条件边界条件1.静电场边界条件在场域的边界面s上给定边界条件的方式有：第•类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet）已知边界上导体的电位第二类边界条件（聂以曼条件Neumann）已知边界上电位的法向导数（即电荷而密度或电力线）第三类边界条件已知边界上电位及电位法向导数的线性组合5静电场分界而上的衔接条件% "和场*二丘"称为静迫场中分界面上的衔接条件。
前者表明.分界而两侧的电通壮密度的法线分址不连续，其不连续虽就等于分界面上的自由电荷血•密度：后者表明分界而两侧电场强度的切线分址连续。
1静电场的边值问题1•镜象法的理论依据是（）。
基本方法是在所求场域的外部放置镜像电荷以等效的取代边界表面的（）。
2•根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界，则选直角坐标；圆柱面选圆柱坐标系；球面选球坐标。
以便以简单的形式表达边界条件。
将电位函数表示成三个一维函数的乘积，将拉普拉斯方程变为三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足条件的特解，称为（）3.将平面、圆柱面或球面上的感应电荷分布（或束缚电荷分布）用等效的点电荷或线电荷（在场区域外的某一位置处）替代并保证边界条件不变。
原电荷与等效点电荷（即通称为像电荷）的场即所求解，称为（），其主要步骤是确定镜像电荷的位置和大小。
4.（）是一种数值计算方法，把求解区域用网格划分，同时把拉普拉斯方程变为网格点的电位有限差分方程（代数方程）组。
在已知边界点的电位值下，用迭代法求得网格点电位的近似数值。
5•用镜像法求解电场边值问题时，判断镜像电荷的选取是否正确的根据是（）A.镜像电荷是否对称 B .电位所满足的方程是否未改变C•边界条件是否保持不变 D .同时选择B和C4 4 46.微分形式的安培环路定律表达式为' H二J，其中的J （）。
A.是自由电流密度B •是束缚电流密度C.是自由电流和束缚电流密度D.若在真空中则是自由电流密度；在介质中则为束缚电流密度7.在边界形状完全相同的两个区域内的静电场，满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（）。
A. —定相同 B .一定不相同 C .不能断定相同或不相同8.两相交并接地导体平板夹角为:，则两板之间区域的静电场（）。
A.总可用镜象法求出。
B.不能用镜象法求出。
C•当：•二二/n且n为正整数时，可以用镜象法求出。
D.当、=2 In且n为正整数时，可以用镜象法求出9.将一无穷大导体平板折成如图的90°角，一点电荷Q位于图中（1, n /6 ）点处，求所有镜像电荷的大小和位置并在图中标出10.两个平行于XOY面的极大的金属平板，两平板间的距离为d，电位差为〔。
静电场的边值问题
及求解
1.ϕ的微分方程
ϕ
∇=-E E D ε=0=⨯∇E ρ=⋅∇
D ρ
=⋅∇)(E ερϕ-=∇⋅∇)(ερ
ϕϕ-=∇⋅∇+∇⋅∇εερϕ-=∇⋅∇εερ
ϕ-
=∇202=∇ϕ⎯泊松方程⎯拉普拉斯方程
ρ=0的无源空间均匀介质0=∇ε
2.边界条件
(1)第一类边界条件：已知场域边界面上各点的电位值，即给定边界上的电位(2)第二类边界条件：已知场域边界面上各点的电位法向导数值，即给定边界上的电位法向导数
(3)第三类边界条件：一部分边界上给定每一点的电位，一部分边界上给定每一点的电位法向导数
3.唯一性定理
满足下述条件的电位函数的解，是给定场域静电场的唯一解：
(1)在给定场域电位满足泊松方程或拉普拉斯方程；
(2)在不同媒质分界面；
(3)在给定场域边界电位满足给定的边界条件。
4.静电场边值问题的求解
(1)直接法：直接求解电位的微分方程得到解析解，如直接积分法、分离变量法；(2)间接法：依据唯一性定理和物理概念间接求解，如镜象法；
(3)数值法：利用数值分析求近似解，如有限差分法、有限元法。
