第5课斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、三垂线定理

三垂线定理，平面内的一条直线，如果与穿过这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

线面垂直证明
已知：如图，PO在上的射影OA垂直于a。

求证：OPa
证明：过P做PA垂直于
∵PA且a
aPA
又aOA
OAPA=A
a平面POA
aOP
用向量证明
1.已知：PO，PA分别是平面的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，向量b包含于，且向量b垂直于OA，求证：向量b垂直于PA
证明：∵PO垂直于，PO垂直于b，又∵OA垂直b，向量PA=(向量PO+向量OA)
向量PA向量b=(向量PO+向量OA)向量b=(向量PO向量b)+(向量OA向量b )=0，PA 向量b。

2.已知三个平面OAB，OBC，OAC相交于一点O，AOB=BOC=COA=60度，求交线OA与平面OBC所成的角。

解：∵向量OA=(向量OB+向量AB)，O是内心，又∵AB=BC=CA，OA与平面OBC所成的角是30。

三余弦定理
三余弦定理：平面内的一条直线与该平面的一条斜线所成角的余弦值，等于斜线与平面所成角的余弦值乘以斜线在平面上的射影与该直线所成角的余弦值。

例如：OP是平面OAB的一条斜线，且OP在面上的射影是OC。

若POC=(斜线与平面
所成角)，AB与OC所成角为(射影与直线所成角)，OP与AB所成角为(直线与斜线所成角)，则cos=coscos
显然，三垂线定理就是当=90的情况。

直线垂直射影有cos=0，因此cos=0，即直线与斜线也垂直。

斜线与平面 三垂线定理一、知识要点：1、斜线在平面内的射影 ①点在平面的射影，垂线段：②平面的斜线，斜足，斜线段的定义③斜线在平面内的射影，斜线段在平面的射影。

2、射影定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； ②相等的斜线段的射影也相等，较长的斜线段的射影也较长； ③垂线段比任何一条斜线段都短。

3、直线和平面所成的角，范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ①斜线和平面所成的角：平面的斜线和它在这个平面内的射影所处的锐角。

范围为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πα②若直线和平面垂直，则线面所成的角为直角。

③若直线和平面平行或在平面内，则线面所成的角为︒0的角。

4、①斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角。

②斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中的最小角。

5、三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α⊂，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 说明：定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系。

6、三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直注意：⑴三垂线指PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 ⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用7、①如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上②如果经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线二、高考题集1、（2006年全国卷II ）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6，过A 、B 分别作两平 面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′＝ ( ) （A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶32、（2006年四川卷）在三棱锥0ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且,OA OB OC M ==是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成角的大小是_______（用反三角函数表示）αβA BA ′B ′3、（2006年重庆理）对于任意直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ）.（A ）平行 （B ）相交 （C ）垂直 （D ）互为异面直线 4、（07湖北•理•4题）平面α外有两条直线m 和n ，如果m 和n 在平面α内的射影分别是1m 和1n ，给出下列四个命题：①1m ⊥1n ⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ⇒1m ⊥1n ；③1m 与1n 相交⇒m 与n 相交或重合； ④1m 与1n 平行⇒m 与n 平行或重合；其中不正确的命题个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.45、（08四川卷９）设直线l ⊂平面α，过平面α外一点A 与,l α都成030角的直线有且只有：( )（Ａ）１条 （Ｂ）２条 （Ｃ）３条 （Ｄ）４条 6、已知异面直线a 与b 所成的角为500，P 为空间一点，则过点P 与a 、b 所成的角都是300的直线有且仅有（ ）()A 1条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条7、如图5，正方体1111ABCD A B C D -中，点11M AB N BC ∈∈，，且AM BN =，有以下四个结论：①1AA MN ⊥；②11A C MN ∥；③MN 与面1111A B C D 成0角；④MN 与11A C是异面直线．其中正确结论的序号是 。

高 二 数 学（第17周） 主讲教师：徐 瑢主审教师：陈云楼【教学内容】1、斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角2、三垂线定理【教学目标】弄清斜线在平面上的射影及其相关概念，领会垂线段、斜线段长定理并会应用，弄清直线和平面所成角的范围，并会用解直角三角形的方法求出线面所成角，领会并叙述三垂线定理及逆定理，弄清不同图式中定理的条件和结论，会用三垂线定理及逆定理证明两条直线互相垂直．【知识讲解】1、弄清射影的有关概念：点在平面上的射影，点到这个平面的垂线段，平面的斜线，斜足，点到平面的斜线段，斜线在平面上的射影，斜线段在这个平面上的射影．2、弄清直线与平面所成角概念及斜线与平面所成角概念．斜线与平面所成角是指斜线与其射影所成的锐角其范围是（0°，90°）直线与平面所成角包括，斜线与平面所成角，垂线与平面所成角，平行于平面的直线（或在平面内的直线）与平面所成的角，其范围是[0°，90°]．3、从平面外一点向平面所引的垂线段和斜线段中：（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；（3）垂线段比任何一条斜线段都短．定理中三个结论成立的前提条件是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．4、斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角,也是这条斜线和平面内所有直线所成的一切角中最小的角．5、三垂线定理：平面内的直线．．．．．．，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直，简称为“垂直射影，则垂直于斜线”．三垂线逆定理：平面内的直线．．．．．．，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直，简称为“垂直斜线，则垂直射影”．三垂线定理及其逆定理是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理和性质定理，揭示了平面内的直线与平面的斜线及斜线在平面内的射影这三条直线的垂直关系，要注意定理及其逆定理的区别．在研究空间图形时，常常利用三垂线定理及其逆定理把某些空间图形的计算问题转化为平面图形的计算问题，或者用于推理论证等，因此，用途广泛，必须牢固掌握．应用定理及逆定理时，应先从寻找平面的垂线开始，在引辅助线时，也应先作平面的垂线，因为垂线是确定斜线在平面内的射影之关键．例1：如图 P 在△ABC 所在平面外，PA=PB=PC ，求证：P 在平面ABC内的射影是△ABC 的外心．盐中网校版权所有不得转录ABC误的．(2）若在平面(3)若ABCPB⊥PA∴PABC例OA求证：证明θ，cos在Rt△例∴BD∴BD1是BD1可得A1D、固定结构，掌握这种固定结构，解题时易于我们观察出垂直关系，本题就是一个典型的例子．（2）三垂线定理中的平面α不一定都是水平放置的，要真正理解“垂直射影”与“垂直斜线”的关系，当平面不是水平放置时，也要善于发现平面的斜线及射影．在面Rt △评述：与求异面直线所成角类似，求线面角首先也将线面角转化为相交直线所成角，即线面所成角 射影转化法 线线角．作线面角的关键是找射影．例5：如图，底面是等腰三角形，侧面都是矩形的几何体中，侧面对角线A 1B ⊥AC 1．且A 1C 1=B 1C 1．求证：A 1B ⊥B 1C分析 当证明A 1B 与B 1C 异面直线互相垂直，使我们联想到三垂线定理的功能，有如下证法．证明 在底面A 1B 1C 1中，作C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，C 1A 1=C 1B 1，则A 1D 1=D 1B 1，又侧面都是矩形，有AA 1∥BB 1∥CC 1在下底面ABC 中，作CD ⊥AB 于D ，则AD=DB ，同理得CD ⊥面A 1ABB 1连D 1A ，B 1D ，显然D 1A ∥B 1D∵D 1A 是C 1A 在面A 1ABB 1内的射影，又A 1B ⊥AC 1(已知)，由三垂线定理的逆定理得A 1B ∥D 1A∵D 1A ⊥B 1D ，∴A 1B ⊥B 1D,又B 1D 是B 1C 在面A 1ABB 1内的射影，A 1B ⊥B 1D ，由三垂线定理，知B 1C ⊥A 1B ．评注(1) 对于非正常位置的图形上运用三垂线定理或逆定理时，要掌握其规律，首先通过分析，观察确定垂面，抓住斜线，再抓住斜足、垂足、联成射影．最后查垂面内的线．这样，由面找线，可化难为易，解决问题．(2)为证明A 1B 与B 1C 异面直线垂直，可采用“平移”构造可解的三角形，为便于观察，可补上一个相同的几何体，请读者自行完成．(3)本题可作如下推广：将条件中A 1B ⊥AC 1改为A 1B 与AC 1异面直线所成的角为α，结论中B 1⊥A 1B 改为B 1C 与A 1B 所成的角为α．例6：已知：平面α∩β=l ，P 为两平面外一点，PA ⊥α，PB ⊥β，A ，B 为垂足，AH α，AH ⊥l ，H 为垂足，连结BH ．求证：(1)BH ⊥l ；(2)PAHB 为一平面四边形． 证明 (1)如图1-60，连结PH ．∵PA ⊥α，AH α．∴AH 是斜线PH 在α内的射影． ∵AH ⊥l ，l α．∴l ⊥PH(三垂线定理)．又∵PB ⊥β，BH β．∴BH 是PH 在β内的射影．∵l β．∴BH ⊥l (三垂线定理逆定理)．⊥AB ，OA=2OD ，PA=2AD=2OD ，在Rt △POA 中，以∠PAO=22，∴∠PAO=45° （2）若P 在平面ABC 内的射影恰好在BC 上，则由AO 是∠BAC 的平分线可得71234,34=∴=∴===AD BD AD BD AD OB OC AB AC OB OC 而PA=2AD=724 例10 如图，MA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且MA=AB=A ．试求：(1)点M 到BD 的距离；(2)求异面直线MB 与AC 所成的角．解 ：（1）取正方形ABCD 对角线交点为O ，连MO ，∵MA ⊥平面ABCD(已知)，又∵AO ⊥BD(正方形对角线互相垂直)∴MO ⊥BD(三垂线定理)，∴MO 是点M 到直线BD 的距离．(2)如图，延长DA 至D 1使DA=AD 1，连接D 1B ，D 1M ，则有AC ∥D 1B ，,故△MD1B是等边△，从而∠MBD1=60°即为所求异面直线MB与AC所成的角．评注题(2)小题使用一种常用方法：“割补法”，通过作出AC的平行线D1B，得到了两条异面直线所成的角，使问题得以解决，应学会使用这种方法．【每周一练】一、选择题1、直线l与平面α所成角θ的范围是（）A、0°<θ<90°B、0°≤θ≤90°C、0°<θ<180°D、0°≤θ≤180°2、若直线a、b与平面α所成角相等，那么a、b的位置关系是（）A、平行B、相交C、异面D、以上都有可能3、设PA为平面α的一条斜线，AC在平面α内，P到平面α的距离为1，PA=2，则∠PAC的范围是（）A、θ≥30°B、θ≤30°C、30°≤θ≤150°D、30°≤θ≤180°4、已知A、B两点到平面α的距离分别是4、1，AB与α所成角为60°，则线段AB9、如图，∠BAC=90°且在平面α内，PA是α的斜线，∠PAB=∠PAC=60°，则PA与平面α所成角为（）A、30°B、45°C、60°D、90°二、填空题10、斜线段AB长20，它和平面α所成角等于45°，则AB在α上的射影比为______．11、直线a、b在平面α上的射影是两个点，则a、b的位置关系是________a、b与平面α的位置关系为_____________．12、在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，PM⊥平面ABC，当BC=18，MP=33时，PN和平面ABC所成的角为_______．，则PA与BC所成，则CP到AB的BC，PA=4，Q是PA中BC的距离，D是P在与平面PCD所成的角角为45°．（2）过B 作BE ⊥CD 于E ，连结PE ，PD ⊥平面BCD 得PD ⊥BE ，∴BE ⊥平面PCD ，∴∠BPE 为BP 与平面PCD 所成的角,在Rt △BEP 中，BE=22a, BP=2a,∴∠BPE=30° 即BP 与平面PCD 所成角为30°．。