《点线面之间的位置关系斜线在平面内的射影》教案(苏教版)

苏教版必修2《直线与平面的位置关系》教案及教学反思第一部分：教案设计一、教学目标1.知识目标：了解直线和平面的基本概念及它们之间的位置关系；2.能力目标：能够正确运用直线与平面的位置关系进行解决问题；3.情感目标：让学生对几何知识产生浓厚的兴趣并且能够在实际生活中运用所学知识。

二、教学重点和难点1.教学重点：理解直线和平面的概念，掌握它们之间的位置关系；2.教学难点：对几何知识的抽象理解，直线与平面的三种位置关系的把握。

三、教学过程设计1. 复习通过简单的例题复习直线的基本概念：直线是由无数相邻点组成，且其上的任意两点可以连线。

2. 问题导入用图片或黑板绘图，让学生观察和感受直线与平面的相对位置关系，并引导学生思考直线与平面之间有哪些可能的相对位置关系。

3. 教学内容展示1.平面的基本概念：由无数个在同一平面内的点组成，且其上任意两点可以连线；2.平面和直线的关系：–直线在平面内，称该直线在平面内；–直线与平面相交于一个点，称该直线与该平面相交；–直线与平面不相交，称该直线在该平面外。

4. 练习请学生在书本上或者黑板上自己画图，并根据所给的情境判断直线与平面的位置关系。

5. 总结教师进行简单的总结与回顾，帮助同学们更好地理解并掌握直线与平面的位置关系。

四、教学评估考查同学们在掌握直线与平面位置关系方面的能力。

第二部分：教学反思本教案内容设计的难度适中，主要配合教材《苏教版必修2》中的有关知识点。

在制定教案时，我遵循了“以学生为中心”的教学理念，注重提高学生的参与度，把学生的思维引导和让学生自主思考放在教学的重要位置。

在教学过程中，我充分发挥学生的主动性，提出问题，引导学生自己解答，以此拓展学生的思路。

在教学过程中，我尽可能地为学生提供更多的知识点，丰富教学内容。

针对学生自身特点和学习差异，我采用了多种不同的教学方法，包括：“绘图+描述”、问题导入、学生自主答题等方式。

教学中，出现了一些问题。

有部分略显贫乏的学生表现出了一些消极态度。

高二年级数学教学案2．两个平面平行文字表述符号表示如果一个平面内有都平行于另一个平面，那么这两个平面若,ba⊂⊂ααββ//,//ba如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线线平行。

如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它（3）面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义。

拓展：空间中各种平行关系相互转化关系的示意图。

三、例题讲解类型一 平面与平面平行的判定定理的应用1、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，求证：平面BDF//平面B 1D ，直线PB 、PD 分别与βα,，求PD 的长。

被三个平行平面γβα,,所截，α,于C、PD分别交βACF面积为72，求△BDE 在空间平行的判断与证明时要熟练掌握线线、线面、面面平行关系的相互转化。

高二年级数学教学案①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所，每个半的二面角，②度量：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面。

=，l的平面角，二面角的来度量，二面角的平面角是多少度，）定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面。

，那么这两个平面互相垂直。

垂直于另一个平面。

（3三、例题讲解、如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点，求证：平面ADE⊥平面A1FGAB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABCCC 1MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 。

所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线AM ⊥平面BDFBCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别）＜＜1λ ⊥平面ABC。

1.2.1平面的基本性质及推论（一）教学目标：理解公理1、2、3的内容及应用 教学重点：理解公理1、2、3的内容及应用 教学过程：（一） 公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内1、直线与平面的位置关系2、符号:点A 在直线上,记作a A ∈,点A 在平面α内,记作α∈A ,直线a 在平面α内,记作α⊂a（二） 公理二:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 两个平面有且只有一条公共直线,称这两个平面相交,公共直线称为两个平面的交线,记作l =⋂βα.（三） 公理三:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. （四） 问题：(1)如果一条线段在平面内,那么这条线段所在直线是否在这个平面内?(2)一条直线经过平面内一点和平面外一点,它和这个平面有几个公共点?为什么?(3)有没有过空间一点的平面?这样的平面有多少个? (4)有没有过空间两点的平面?这样的平面有多少个? (5)有没有过一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个? (6)有没有过不在同一条直线上三点的平面?这样的平面有多少个?(五)给出几个正方体作出截面图形 课堂练习：教材第40页 练习A 、B 小结：本节课应了解：1.理解公理一、三,并能运用它解决点、线共面问题.2.理解公理二,并能运用它找出两个平面的交线及“三线共点”和“三点共线”问题.3.初步掌握“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”三种语言之间的转化.课后作业：略1.2.1平面的基本性质及推论（二）教学目标：理解推论1、2、3的内容及应用 教学重点：理解推论1、2、3的内容及应用 教学过程：（一） 推论1：直线及其外一点确定一个平面 （二） 推论2：两相交直线确定一个平面 （三） 推论3：两平行直线确定一个平面（四）例1已知：空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内． 求证：AB 和CD 既不平行也不相交．证明：假设AB 和CD 平行或相交，则AB 和CD 可确定一个平面α，则α⊂AB ，α⊂CD ，故α∈A ，α∈B ， α∈C ，α∈D .这与已知条件矛盾.所以假设不成立,即AB和CD 既不平行也不相交．卡片:1、反证法的基本步骤：假设、归谬、结论；2、归谬的方式：与已知条件矛盾、与定理或公理矛盾、自相矛盾． 例2已知：平面α⋂平面β=a ，平面α⋂平面γ=b ，平面γ⋂平面β=c 且c b a 、、不重合．求证：c b a 、、交于一点或两两平行．证明：(1)若三直线中有两条相交，不妨设a 、b 交于A ． 因为，β⊂a ，故β∈A ，同理，γ∈A ，故c A ∈．所以c b a 、、交于一点．(2)若三条直线没有两条相交的情况，则这三条直线两两平行． 综上所述,命题得证.例3已知ABC ∆在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于R Q P 、、．求证：R Q P 、、三点共线．证明：设ABC ∆所在的平面为β，则R Q P 、、为平面α与平面β的公共点，所以R Q P 、、三点共线．卡片：在立体几何中证明点共线，线共点等问题时经常要用到公理２． 例4正方体1111D C B A ABCD -中,E 、F 、G 、H 、K 、L分别是、、、111D A DD DC BC BB B A 、、111的中点.求证：这六点共面． 证明：连结BD 和KF ，因为 L E 、是CB CD 、的中点， 所以 BD EL //．又 矩形11B BDD 中BD KF //， 所以 EL KF //，所以 EL KF 、可确定平面α， 所以 L K F E 、、、共 面α，同理 KL EH //，故 L K H E 、、、共面β．又 平面α与平面β都经过不共线的三点L K E 、、，A B C PQRαCA A BB C D D EFGH KL1111故 平面α与平面β重合，所以E 、F 、G 、H 、K 、L 共面于平面α．同理可证α∈G ，所以，E 、F 、G 、H 、K 、L 六点共面． 卡片：证明共面问题常有如下两个方法：(1)接法：先确定一个平面，再证明其余元素均在这个平面上；(2)间接法：先证明这些元素分别在几个平面上，再证明这些平面重合． 课堂练习：1.判断下列命题是否正确(1)如果一条直线与两条直线都相交,那么这三条直线确定一个平面． ( ) (2)经过一点的两条直线确定一个平面． ( ) (3)经过一点的三条直线确定一个平面． ( ) (4)平面α和平面β交于不共线的三点A 、B 、C ． ( ) (5)矩形是平面图形. ( ) 2.空间中的四点，无三点共线是四点共面的 条件． 3.空间四个平面两两相交，其交线条数为 . 4.空间四个平面把空间最多分为 部分． 5.空间五个点最多可确定 个平面．6.命题“平面α、β相交于经过点M 的直线a ”可用符号语言表述为 .7.梯形ABCD 中,AB ∥CD ,直线AB 、BC 、CD 、DA 分别与平面α交于点E 、G 、F 、H .那么一定有G 直线EF ,H 直线EF .8.求证：三条两两相交且不共点的直线必共面. 小结：本节课学习了平面的基本性质的推论及其应用 课后作业：略1.2.2空间中的平行关系（1）教学目标：1、理解公理42、掌握等角定理及其应用 教学重点：1、理解公理4 2、掌握等角定理 教学过程：（五） 复习平面几何中有关平行线的传递性的结论（六） 公理4：平行于同一直线的两条直线平行（应指出：此“公理”并不是真正的公理，可以证明，但不一定给学生证明）（七） 异面直线的概念：不同在任一平面内的两条直线（八） 异面直线的判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线（注：第（三）、（四）两条课标均未设计，但应重视）（九） 等角定理：见教材（十） 空间两直线成的角：过空间一点作两直线的平行线。

第7课时平面的基本性质（三）教学目标：使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：一、复习回顾：三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.分析：两两相交，是说每两条直线都相交.此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.［师］生丁所述有道理吗？［生］有道理，完全正确.［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.证明：∵AB、AC相交，∴AB、AC确定一个平面，设为α∵B∈AB,C∈AC∴B∈α，C∈α∴BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.证明：∵AB、AC相交∴AB、AC确定一个平面α∴点A、B、C∈α，且不共线∵AB、BC相交∴AB、BC确定一个平面β∴点A、B、C∈β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，∴面α与面β重合∴AB、AC、BC共面.［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直线上.［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.下面大家一起来写出此题的证明：证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上∴P、Q、R三点共线例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.求证：l1、l2、l3相交于一点证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b∴a、b确定一个平面，设为α又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α同理b、c确定一个平面β，l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2，两条相交直线确定一个平面.∴α与β重合.故l与a、b、c共面.例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

第2021 斜线在平面内的射影习题课教学目标：使学生正确区分各个概念，并能结合线面平行和垂直的有关知识解决具体问题，进一步培养学生的空间想象能力和分析问题的能力。

教学重点、难点：问题的分析、论证。

教学过程：复习定义、定理。

例1：直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，两直角边AB、AC与α都斜交，点A在平面α内的射影是点A′，求证：∠BA′C是钝角三角形。

证明：过A作AD⊥BC于D，连结A′D∵AA′⊥α，BCα∴AA′⊥BC∴BC⊥A′D∵tan∠BAD ＝BDBDAD＜tan∠BA′D＝A′DC DC Dtan∠CAD＝AD＜tan∠CA′D＝A′D∴∠BAD＜∠BA′D，∠CAD＜∠CA′D∴∠BAC＜∠BA′C，即∠BA′C是钝角。

推广：1〕图中，假设∠ABC、∠ACB均为钝角，那么射影角较大。

2〕假设∠ABC、∠ACB中有一钝角，那么射影角较小。

3〕锐角的一边与面平行或者在面内，另一边是面的斜线时，射影角较小。

4〕角的两边都是面的斜线，顶点在面上时，大小关系不确定。

例2：如图，直角三角形ABC在平面α上的射影是正三角形A1B1C1，且AA1＝5，BB1＝4，CC1＝3，求Rt△ABC中，斜边BC的长。

解：过C作CD∥B1C1，CF∥A1C1，过B作BE∥A1B1那么△BCD、△ABE、△ACF均为Rt△，且CD＝CF＝BE设为a，∴BC2＝a2＋4，AC2＝a2＋1，AB2＝a2＋1得：a2＝2∴BC＝a2＋4＝6例3：如图，四面体A－BCD的棱长都相等，Q是AD的中点，求CQ与平面DBC 所成的角的正切值。

解：过A作AO⊥面BCD，连结OD、OB、OC，那么可证O是△BCD的中心作QP⊥OD∵QP∥AO∴QP⊥面BCD连结CP，那么∠QCP即为所求的角第1页共3页设四面体的棱长为a，那么：正△ACD中，Q是AD的中点∴CQ＝32a∵QP∥AO，Q是AD的中点∴QP＝AO＝1236a＝62a－(a)3QP2得：sin∠QCP ＝CQ＝3练习题：如图，线段AB的两端在平面α的同侧，斜线段AM、BN所在的直线分别与平面α300、600的角，且AM⊥AB，BN⊥AB，AM＝6，BN＝22，AB＝61〕求证：AB∥α；〔2〕求MN的长。

1．两架飞机同时在天空飞过，其中一架从东向西飞行，另一架从南向北飞行， 它们各留下了一条白色的痕迹，这两条白色的痕迹一定相交吗？2．在长方体1111D C B A ABCD -中，直线AB 与C A 1具有怎样的位置关系？ 3．已知a B B A a ∉∈∉⊂，，，ααα，求证：直线AB 与a 是异面直线．定理：的直线，和这个平面内的直线是异面直线． 符号语言：4．异面直线所成的角：（尝试在右侧画出图形表示） 已知异面直线b a 、，经过空间中任一点O 作直线b b a a ////''、，我们把a '与b '所成的锐角（或直角） 叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）． 异面直线所成的角的范围_____________________．例题剖析例1 已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体．（1）正方体的哪些棱所在的直线与直线1BC 是异面直线； （2）求异面直线1AA 与BC 所成的角； （3）求异面直线1BC 和AC 所成的角．例2 已知P 为ABC ∆所在平面外一点，PC ⊥AB ，2==AB PC ，F E ，分别是PA 和BC 的中点．（1）求证：EF 与PC 是异面直线； （2）求EF 与PC 所成的角．A Baα 作图区CA 1P C巩固练习1．在三棱锥所有的棱中互为异面直线的有_____________对． 2．下列说法正确的有________________．(填上正确的序号) ①．过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线． ②．过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直． ③．若a c b a ⊥，//，则b c ⊥． ④．若c b c a ⊥⊥，，则b a //．3．已知长方体1111D C B A ABCD -中，2321===AA AD AB ，． （1）直线BC 与11C A 所成的角； （2）直线1AA 与1BC 所成的角．课堂小结异面直线的判定，异面直线所成角的计算．A 1课后训练一 基础题1．两条异面直线所成角的取值范围是____________________________． 2．在正方体1111D C B A ABCD -中，面11A ABB 的对角线1AB 所在直线 与直线1DD 所成角的大小是________________________________．3．已知1111D C B A ABCD -是棱长为a 的正方体，F E ，分别是AB AA ，1的中点． （1）哪些棱所在直线与直线DC 是异面直线？ （2）哪些棱所在直线与直线EF 垂直？ （3）直线11D C 与EF 的夹角是多少？二 提高题4．长方体1111D C B A ABCD - 中，221===AB AA AD ，，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值是_______________． 三 能力题5．在空间四边形ABCD 中，F E 、分别是CD AB 、中点，且5=EF ， 又86==BC AD ，．求AD 与BC 所成角的大小．6．如图，已知c b a 、、不共面，P c b a =⋂⋂，点c C b B a D a A ∈∈∈∈，，，，求证：BD 和AC 是异面直线．7．空间四边形ABC P -中，CA BC AB PC PB PA =====．ABA 1EF A DB C Pacb（1）写出图中几组异面直线；（2）画出与PC AB ，都垂直且相交的直线． PC。

1．过点)3,2(-P 且平行于过两点)5,1()2,1(--N M ，的直线的方程为_______________．2．直线1l ：04)1(2=+++y m x 与直线2l ：023=-+y mx 平行，则m 的值为________________．3．已知点)322,2()322,6()2,4()2,0(++D C B A ，，，，判断四边形ABCD 的形状，并说明此四边形的对角线之间有什么关系？4． 当两条不重合的直线21,l l 的斜率都存在时，若它们相互垂直，则它们的斜率的乘积等于_____________，反之，若它们的斜率的乘积_____________，那么它们互相___________，即1l ⊥⇔2l ______________________．当一条直线的斜率为零且另一条直线的斜率不存在时，则它们______________________．5．练习：判断下列两条直线是否垂直，并说明理由（1）8311321+-=+=x y l x y l ：，：； （2）73464321=+ =- y x l y x l ：，：； （3）3821-==y l x l ：，：．例题剖析（1）已知四点)11,6()4,3()6,10()3,5(--D C B A ，，，，求证：CD AB ⊥；（2） 已知直线1l 的斜率为431=k ，直线2l 经过点)1,0()2,3(2+-a B a A ，， 且1l ⊥2l ，求实数a 的值．如图，已知三角形的顶点为),3,2(),2,1(),4,2(--C B A 求BC 边上的高AD所在的直线方程．例3 在路边安装路灯，路宽m 23，且与灯柱成ο120角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯例1 例2杆垂直，当灯柱高h 为多少米是，灯罩轴线正好通过道路路面的中线？（精确到m 01.0）巩固练习1．求满足下列条件的直线l 的方程：（1）过点)1,3(且与直线0323=-+y x 垂直；（2）过点)7,5(且与直线03=-x 垂直；（3）过点)4,2(-且与直线5=y 垂直．2．如果直线0=+y mx 与直线012=++y x 垂直，则=m ___________________．3．直线1l ：062=++y ax 与直线2l ：0)1()1(2=-+-+a y a x 垂直，则a 的值为____________________．4．若直线1l 在y 轴上的截距为2，且与直线2l ：023=-+y x 垂直，则直线1l 的方程是_____________________________．5．以)4,1()1,2()1,1(C B A ，，--为顶点的三角形的形状是______________________．课堂小结1l ⊥2l ⇔1.21-=k k （21,k k 均存在），若两条直线21,l l 中的一条斜率不存在，另一条的斜率为0时，1l ⊥2l ．课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．与0132=++y x 垂直，且过点)1,1(-P 的直线方程是_________________________．2．若直线1l 在x 轴上的截距为2，且与直线023=-+y x 垂直，则直线1l 的方程是 _________________________．3．经过点)3,2(-C ，且垂直于过两点)5,1()2,1(--N M ，的直线的直线方程为__________________．4．求与直线0135=-+y x 垂直，且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程．二 提高题5．求与直线032=+-y x 垂直，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大2的直线方程．三 能力题6．（1）已知直线1l ：0=++C By Ax ，且直线1l ⊥2l ，求证：直线2l 的方程总可以写成01=+-C Ay Bx ；（2）直线1l 和2l 的方程分别是0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A ，其中1A ，1B不全为0，22,B A 也不全为0试探求：当1l ⊥2l 时，直线方程中的系数应满足什么关系？7．已知直线1l ：05)3()2(=-+++y a x a 和直线2l ：05)12(6=--+y a x ，当实数为何值时，1l ⊥2l ？。

芯衣州星海市涌泉学校第19课时斜线在平面内的射影教学目的：使学生掌握等价转化思想，培养学生的空间想象才能，使学生学会分析事物之间关系，选择解决问题途径。

教学重点：垂线段、斜线段、射影之间关系，直线和平面所成的角。

教学难点：直线和平面成角性质的证明。

教学过程：1．复习回忆：1〕直线和平面垂直的性质定理；2〕线面间隔、点面间隔；3〕等价转化思想的浸透.［师］请同学依自己的理解复述上节内容.［生］……2．讲授新课：斜线在平面内的射影［师］通过预习我们将本节课将要学的概念归纳小结，注意发现其概念特点规律.请同学们表达以下概念：点在平面内的射影，垂线段，斜线、斜足、斜线段，斜线的射影、斜线段的射影。

［生］点在平面内的射影：过一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面内的射影，点在平面内的射影还是一个点.垂线段：上述的点与垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.［师］请将立体图作出，使之符合上述叙说.［生］〔做图〕如图，PQ⊥α，θ∈α，点Q是点P在α内的射影，PQ是点P到α的垂线段.［师］请继续解释.［生］斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直时，这条直线就叫做这个平面的斜线.斜足：斜线和平面的交点.斜线段：从平面外一点向平面引斜线，这点与斜足间的线段叫做这点到这个平面的斜线段，依上图，PR∩α=R,PR不垂直α，直线PR是α的一条斜线，点R是斜足，线段PR是点P到α的斜线段.［师］那么射影是线或者者线段又如何解释.［生］线的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.线段的射影：垂足与斜足间的线段叫做这点到平面的斜线段在这个平面内的射影.［生］AB⊥α，直线BC是斜线AC在α内的射影，线段BC是斜线段AC在α内的射影.［师］从教材中注意发现其中两个重要结论.［生］〔1〕平面外一点到这个平面的垂线段有且只有一条，而这点到这个平面的斜线段有无数条.〔2〕斜线上任意一点在平面内的射影，一定在斜线的射影上.［师］观察右图，看能发现什么结论.［生］经观察讨论，可得以下结论.定理：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中.〔1〕射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；〔2〕相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；〔3〕垂线段比任何一条斜线段都短.［师］AO是平面α的垂线段，AB、AC是平面α的斜线段，OB、OC分别是AB、AC在平面α内的射影，这时有：〔1〕OB＝OC⇒AB＝ACOB＞OC⇒AB＞AC〔2〕AB＝AC⇒OB＝OCAB＞AC⇒OB＞OC〔3〕AO＜AB，AO＜AC［师］直线和平面所成的角、应分三种情况通过前面学习我们知道：直线与平面的位置关系从公一一共点的个数上分有：无数个、一个、没有；［生］公一一共点无数个，称为直线在平面内；公一一共点有一个，称直线和平面相交；没有公一一共点，称直线与平面平行.［师］直线与平面相交，直线与平面的互相位置类同于两条相交直线，也需要用角来表示，但过交点在平面内可以作很多条直线.与平面相交的直线l与平面内的线a、b…所成的角是不相等的，为了定义确实定性，我们必须找到一些角中有确定值的，又能准确描绘其位置的一个角，这就是由斜线与其在平面内的射影所成的锐角作为直线和平面所成的角.那么：直线和平面所成角的定义如何表达，请同学考虑.［生］平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.特别地：假设一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角为直角.一条直线和平面平行或者者在平面内，我们说它们所成的角为0°的角.如图，l是平面α的一条斜线，点O是斜足，A是l上任意一点，AB是α的垂线，点B是垂足，所以直线OB〔记作l′〕是l在α内的射影，∠AOB〔记作θ〕是l与α所成的角.［师］直线和平面所成的角是一个非常重要的概念，在实际中有着广泛的应用，如发射炮弹时，当炮筒和地面所成的角为多少度时，才能准确地命中目的，也即射程为多远？又如：铅球运发动在投掷时，以多大的角度投掷，投出的间隔最远？［师］教材最后一段实际上是研究最小角，不妨称之为：最小角定理.斜线和平面所成的角，是斜线和它在平面内的射影所成的锐角，它是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成角中最小的角.证明：因在该图中l是平面α的斜线，A是l上任意的一点，AB是平面α的垂线，B是垂足，直线OB是直线l在平面α内的射影，∠Q是斜线l与平面α所成的角.设OC是平面α内与OB不同的任意一条直线AC⊥OC,垂足为C因为垂线段AB小于斜线段AC所以在有公一一共斜边DA的Rt△ABO,Rt△ACO中sinθ＜sinAOC∴∠θ＜∠AOC因此，斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的一切直线所成的角中最小的角.3．课堂练习：〔一〕课本P371，2，3，4.〔二〕补充练习1.以下命题正确的个数为〔A〕①两条斜线段相等，那么它们在同一平面内的射影也相等②两条平行线在同一平面内的射影也是平行线③假设a是平面α的斜线，直线b垂直a在α内的射影，那么b⊥α④假设直线a∥α，l为平面α的斜线，a⊥l，那么a垂直于l在α的射影A.1B.2C.3D.42.斜线与平面α所成角为θ，那么平面α内与斜线不相交的直线与斜线所成角的范围是〔B〕A.［θ，π－θ］B.［θ，］C.〔0，〕D.〔0，θ〕4．课时小结：注意定理条件定理的前提是“从平面外一点〞，那么“从平面外不同点〞是否也具有同样性质？最小角定理中也应注意过与不过斜足这一条件？两个定理运用时，细致分析条件是否具备？5．课后作业：课本P386，13，14.。

1．早读课时，需要将书本打开一定的角度．如何刻画两个平面所形成的这种“角”呢？ 二面角的概念：2．一般地，____________________________________，那么就说这两个平面互相垂直． （1）两个平面垂直的判定定理： 语言表示：符号表示：（2）两个平面垂直的性质定理： 语言表示：符号表示：例题剖析例1 如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，(1)求二面角D 1-AB-D 的大小； (2)求二面角A 1-AB-D 的大小．例2 如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，求证：平面B 1AC ⊥平面B 1BDD 1．A 11A 1巩固练习. 1．如图正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，二面角C 1-BD-C 的值_____________．2．如图，已知AB 是平面α的垂线，AC 是平面α的斜线，CD ⊂α，CD ⊥AC ，则面面垂直的有___________________________________________________________________． 3．如图，∠AOB 是二面角α-CD-β的平面角，AE 是△AOB 的OB 边上的高，回答下列问题，并说明理由．(1)CD 与平面AOB 垂直吗? (2)平面AOB 与α、β垂直吗? (3)AE 与平面β垂直吗?课堂小结二面角的平面角；两个平面垂直的判定定理和性质定理的应用． 课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．设m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题中正确命题的序号是______________________．①若m ⊥α，n //α，则m ⊥n ； ②若α//β，β//γ， m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m //α，α⊥β，则m //α； ④若α⊥γ，β⊥γ，则α//β．2．已知平面α⊥β，α∩β= l ，P 是空间一点，且P 到α、β的距离分别是1、2，则点P 到l 的距离为_____________ ． 二 提高题3．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的任一点． 求证：平面PAC ⊥平面PBC ．4．如图，α⊥β，α∩β= l ，AB ⊂α，AB ⊥l ，BC ⊂β，DE ⊂A 11第1题图 A B CDα第2题图BACO BDαβE求证：AC ⊥DE ．三 能力题5．在四棱锥P-ABCD 中，若PA ⊥平面ABCD ，且ABCD 是菱形，求证：平面PAC ⊥平面PBD ． A B EC Dα β l。

高二 年级 数学 教学案（2010年9月16-17日）周次 3 课题线面位置关系的综合应用 2课时 授课形式习题课 主编 审核 教学目标 1．理解直线与平面所成角的概念。

2．能够熟练应用线面垂直的判定定理和性质定理解决综合问题。

重点难点 1．直线与平面所成的角的求解（重点）2．直线与平面所成的角的应用（难点）教学方法 尝试指导法课堂结构一、自主探究1．平面的斜线的定义一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫做 ，斜线上一点和斜足间的线段叫做 。

2．直线与平面所成的角定义 平面的一条斜线与它在这个平面内 的 所成的 ， 叫做这条直线与这个平面所成的角。

如图， 就是斜线AP 与平面α所成的角。

范围 线面角θ的范围 。

特例（1）一条直线垂直于平面，它们所成的角是 。

（2）一条直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 。

二、重点剖析1．怎样理解平面的斜线？（1）平面的斜线一定与平面相交；（2）平面的斜线是与平面的垂线相对应的概念，它不与平面垂直；（3）与平面不垂直的直线不一定是平面的斜线，有可能是与平面平行。

2．怎样理解直线与平面所成的角？（1）斜线与平面所成的角范围是（0，2π） （2）直线与平面平行以及直线与平面垂直时的线面角为0和2π； （3）求斜线与平面的夹角时需找到斜线在平面内的射影。

三、例题讲解类型一 求线面角例1、如图所示，正方体ABCD－EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，AP＝BQ ＝a，求直线PQ与平面ABCD所成的角的正切值。

［思路点拨］：找垂面→找垂线→找PQ的射影→指出角→计算［变式训练］：如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°,OA=OB=OC=a，BC＝a2，求OA和平面α所成的角。

类型二线面垂直的应用例2、已知P为∠BAC所在平面α外一点，且P在α内的射影为Q（Q不与A重合），试证明当且仅当∠QAB＝∠QAC时，∠PAB＝∠PAC。