2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 2.1.1 Word版含解析

第2课时　分析法课时过关·能力提升基础巩固1分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.等价条件答案A2欲证2-成立,只需证( )5<6‒7A.(2-)2<()256‒7B.(2-)2<()265‒7C.(2+)2<()275+6D.(2-)2<(-)25‒67解析由分析法知,欲证2-,只需证2+,即证(2+)2<()2,故选C.5<6‒77<6+576+5答案C3要证明<2,可选择的方法有下面几种,其中最合理的是( )3+75A.综合法 B.分析法C.特殊值法 D.其他方法答案B4分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a>b>c ,且a+b+c=0,求证:a 索的因b 2-ac <3应是( )A.a-b>0 B.a-c>0C.(a-b )(a-c )>0 D.(a-b )(a-c )<0答案C5将下面用分析法证明≥ab的步骤补充完整:要证≥ab ,只需证a 2+b 2≥2ab ,也就是证 ,即a 2+b 22a 2+b 22证 ,由于 显然成立,因此原不等式成立. 答案a 2+b 2-2ab ≥0　(a-b )2≥0　(a-b )2≥06用A ,B ,C 和a ,b ,c 分别表示△ABC 的三个内角和三条边.求证:当tan A ·tan B>1时,△ABC 为锐角三角形.证明要证三角形为锐角三角形,只需证A ,B ,C 均为锐角,只需证tan A ,tan B ,tan C 均为正.因为tan A tan B>1,且A+B<π,所以tan A>0,且tan B>0.又因为tan C=tan[180°-(A+B )]=-tan(A+B )=>0,tanA +tanBtanAtanB -1所以A ,B ,C 均为锐角,即△ABC 为锐角三角形.7已知a ,b ,m 是正实数,且a<b ,求证:.a b <a +mb +m 证明由a ,b ,m是正实数,故要证,a b <a +mb +m 只需证a (b+m )<b (a+m ),只需证ab+am<ab+bm ,只需证am<bm.而m>0,所以只需证a<b.由条件知a<b 成立,故原不等式成立.8设|a|<1,|b|<1,求证:<1.|a +b1+ab|证明要证<1,|a +b 1+ab |只需证|a+b|<|1+ab|,只需证(a+b )2<(1+ab )2,只需证a 2+2ab+b 2<1+2ab+a 2b 2,只需证a 2-a 2b 2+b 2-1<0,只需证(a 2-1)(b 2-1)>0.当a 2<1,b 2<1,即|a|<1,|b|<1时,上式成立.所以原不等式成立.9设a ,b ∈(0,+∞),且a ≠b ,求证:a 3+b 3>a 2b+ab 2.(提示:a 3+b 3=(a+b )(a 2-ab+b 2))证明方法一(分析法):要证a 3+b 3>a 2b+ab 2成立,即证(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b )成立.又因为a+b>0,所以只需证a 2-ab+b 2>ab 成立,即证a 2-2ab+b 2>0成立,即证(a-b )2>0成立.而依题设a ≠b ,则(a-b )2>0显然成立.由此命题得证.方法二(综合法):a ≠b ⇔a-b ≠0⇔(a-b )2>0⇔a 2-2ab+b 2>0⇔a 2-ab+b 2>ab.注意到a ,b ∈(0,+∞),a+b>0,由上式即得(a+b )(a 2-ab+b 2)>ab (a+b ).所以a 3+b 3>a 2b+ab 2.能力提升1若a ≥0,P=,Q=,则P ,Q 的大小关系是( )a +a +7a +3+a +4 A.P>Q B.P=Q C.P<QD.由a 的取值确定解析要比较P ,Q ,只需比较P 2=2a+7+2与Q 2=2a+7+2,只需比较a 2+7a 与a 2+7a a 2+7a +12a 2+7a+12的大小,显然前者小.答案C2要证a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只需证明( )A.2ab-1-a 2b 2≤0B.a 2+b 2-1-≤0a 4+b 42C.-1-a 2b 2≤0(a +b )22D.(a 2-1)(b 2-1)≥0解析因为a 2+b 2-1-a 2b 2≤0⇔(a 2-1)(b 2-1)≥0,故选D.答案D ★3已知a ,b ,μ∈(0,+∞),且=1,则使得a+b ≥μ恒成立的μ的取值范围是 .1a +9b 解析∵a ,b ∈(0,+∞),且=1,1a +9b ∴a+b=(a+b )=10+≥10+2=16,当且仅当b=3a 时等号成立.(1a +9b)(9a b +b a)9∴a+b 的最小值为16.∴要使a+b ≥μ恒成立,只需16≥μ成立,故0<μ≤16.答案(0,16]4若对任意x>0,≤a 恒成立,则a 的取值范围是 . xx2+3x +1解析当x>0时,(当且仅当x=1时,取等号),要使≤a 恒成立.xx 2+3x +1=1x +1x+3≤12+3=15xx 2+3x +1只需≤a即可.故a ≥.1515答案[15,+∞)5已知a>0,>1.求证:.1b ‒1a 1+a >11-b 证明要证,1+a >11-b 只需证1+a>,11-b 只需证(1+a )(1-b )>1(1-b>0),即1-b+a-ab>1,所以a-b>ab.只需证>1,a -bab 即>1.1b ‒1a 由已知a>0,>1成立,1b ‒1a 所以成立.1+a >11-b 6已知a>0,用分析法求证:≥a+-2.a 2+1a2‒21a 证明要证≥a+-2,a 2+1a2‒21a 只需证+2≥a+,a 2+1a 21a+2又a>0,故只需证,即要证a 2++4+4≥a 2+2++2(a 2+1a2+2)2≥(a +1a+2)21a 2a 2+1a21a 2+2,只需证2,2·(a +1a)a 2+1a2≥2(a +1a)只需证4≥2.(a 2+1a 2)(a 2+2+1a 2)即a 2+≥2.而此不等式显然成立,1a 2故原不等式成立.★7已知2tan A=3tan B.求证:tan(A-B )=.sin2B5-cos2B 分析观察条件与结论,结论中出现二倍角,可把二倍角公式化为单角,再将分式化为整式,同时等式的左边可用差角正切公式,再结合已知等式消去角A ,此时将等式中的常数2化为2(sin 2B+cos 2B ),可以发现等式中两边是关于sin B 与cos B 的二次式,再逆用公式tan B=将弦化为切即可完成证明.sinBcosB 证明因为2tan A=3tan B ,所以tan A=tan B.32要证tan(A-B )=,sin2B5-cos2B 只需证,tanA -tanB 1+tanAtanB =2sinBcosB5-(1-2sin 2B )只需证,12tanB 1+32tan 2B =2sinBcosB 4+2sin 2B即证,tanB2+3tan2B=sinBcosB 2+sin 2B 只需证tan B (2+sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B (2cos 2B+3sin 2B )=(2+3tan 2B )sin B cos B ,只需证tan B(2+3·sin 2B cos 2B)=(2+3tan 2B )·,sinBcosB cos 2B即证tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B.因为tan B (2+3tan 2B )=(2+3tan 2B )tan B 显然成立,所以tan(A-B )=成立.sin2B5-cos2B。

合情推理与演绎推理
合情推理
课时过关·能力提升
基础巩固
数列,…中的值为()
解析,猜想.
答案
下列类比推理恰当的是()
.把()与()类比,则有()
.把()与()类比,则有()
.把()与()类比,则有()
.把()与·()类比,则有·()··
解析选项没有从本质上类比,是简单类比,从而出现错误.
答案
下列关于归纳推理的说法错误的是()
.归纳推理是由一般到一般的推理过程
.归纳推理是由特殊到一般的推理过程
.由归纳推理得出的结论不一定正确
.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
解析由归纳推理的定义与特征可知选项错误,选项均正确,故选.
答案
如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角.根据数组中数的构成规律,知所表示的数是()
解析经观察、分析杨辉三角形可以发现:从第行开始,每行除外,每个数都是它肩上的两数之和,如第行的第个数为,它肩上的两数为和,且.由此可推知,故选.
答案
若在数列{}中,……,则.
解析前项共使用了…个奇数由第个到第个共个奇数的和组成,即(×)(×)…(×).
答案
观察下列等式()()(),……根据上述规律,第四个等式为.
答案()
对于平面几何中的命题“夹在两条平行线之间的平行线段相等”,在立体几何中,类比上述命题,可以得到命题.
解析利用类比推理可知,平面中的直线应类比空间中的平面.
答案夹在两个平行平面间的平行线段相等。

2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法课时过关·能力提升基础巩固1设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式正确的是()A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<0D.b+a>0解析∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.答案D2函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解析f'(x)=(x-3)'e x+(x-3)·(e x)'=(x-2)e x,令f'(x)>0,解得x>2,故选D.答案D3已知在等差数列{a n}中,a5+a11=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析已知在等差数列{a n}中,a5+a11=16,又a5+a11=2a8,所以a8=8.又2a8=a4+a12,所以a12=15.故选A.答案A4已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则()A.ab≤12B.ab≥12C.a2+b2≥2D.a2+b2≤3解析由a+b=2,可得ab≤1,当且仅当a=b=1时取等号.又a2+b2=4-2ab,∴a2+b2≥2.答案C5已知实数a ≠0,且函数f (x )=a (x 2+1)-(2x +1a )有最小值-1,则a= .解析f (x )=ax 2-2x+a-1a 有最小值,则a>0,对称轴为x=1a ,f (x )min =f (1a )=-1,即f (1a )=a ·(1a )2-2×1a +a-1a =-1, 即a-2a =-1,所以a 2+a-2=0(a>0),解得a=1. 答案16设p ,q 均为实数,则“q<0”是“关于x 的方程x 2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”的 条件.(填“充要”“必要不充分”“充分不必要”或“既不充分也不必要”)解析因为q<0,所以Δ=p 2-4q>0.所以“方程x 2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”成立.因为“方程x 2+px+q=0有一个正实根和一个负实根”,所以q<0. 答案充要7设a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc=1,求证:1a +1b +1c >√a +√b +√c . 分析解答本题可先把abc=1代入,再利用基本不等式进行推证. 证明因为a ,b ,c 为不全相等的正数,且abc=1,所以1a+1b+1c=bc+ca+ab. 又bc+ca ≥2√bc ·√ca =2√c ,ca+ab ≥2√ca ·√ab =2√a ,ab+bc ≥2√ab ·√bc =2√b ,且a ,b ,c 不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不能同时成立.所以2(bc+ca+ab )>2(√c +√a +√b ), 即bc+ca+ab>√a +√b +√c . 故1a +1b +1c >√a +√b +√c .8在△ABC 中,三边a ,b ,c 成等比数列.求证:a cos 2C2+c cos 2A 2≥32b. 证明∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac. ∵左边=a (1+cosC )2+c (1+cosA )2 =12(a+c )+12(a cos C+c cos A )=12(a+c )+12(a ·a 2+b 2-c 22ab +c ·b 2+c 2-a 22bc)=12(a+c )+12b ≥√ac +b2=b+b2=32b=右边,当且仅当a=c 时,等号成立, ∴a cos 2C 2+c cos 2A 2≥32b.9若a ,b ,c 是不全相等的正数,求证: lga+b 2+lg b+c 2+lg c+a2>lg a+lg b+lg c. 证明∵a ,b ,c ∈(0,+∞),∴a+b2≥√ab >0,b+c 2≥√bc >0,a+c 2≥√ac >0.又a ,b ,c 是不全相等的正数,故上述三个不等式中等号不能同时成立.∴a+b 2·b+c 2·c+a2>abc 成立. 上式两边同时取常用对数, 得lg (a+b 2·b+c 2·c+a2)>lg(abc ),∴lga+b 2+lg b+c 2+lg c+a 2>lg a+lg b+lg c. 能力提升1若a ,b ,c 是常数,则“a>0,且b 2-4ac<0”是“对任意x ∈R ,有ax 2+bx+c>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析因为a>0,且b 2-4ac<0⇒ax 2+bx+c>0对任意x ∈R 恒成立.反之,ax 2+bx+c>0对任意x ∈R 恒成立不能推出a>0,且b 2-4ac<0,反例为:当a=b=0,且c>0时也有ax 2+bx+c>0对任意x ∈R 恒成立,所以“a>0,且b 2-4ac<0”是“对任意x ∈R ,有ax 2+bx+c>0”的充分不必要条件. 答案A2在面积为S (S 为定值)的扇形中,弧所对的圆心角为θ,半径为r ,当扇形的周长p 最小时,θ,r 的值分别是( ) A.θ=1,r=√S B.θ=2,r=√S 4C.θ=2,r=√S 3D.θ=2,r=√S解析因为S=12θr 2,所以θ=2Sr 2.又扇形周长为p=2r+θr=2(r +Sr )≥4√S , 所以当r=Sr,即r=√S 时,p 取最小值,此时θ=2. 故选D. 答案D ★3若O 是平面上的定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),λ∈[0,+∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心D.垂心解析因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |),所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |).所以AP 是△ABC 中∠BAC 的内角平分线.故动点P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 答案B4已知sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,则cos(α-β)的值为 . 解析∵sin α+sin β+sin γ=0,cos α+cos β+cos γ=0,∴{sinα+sinβ=-sinγ,cosα+cosβ=-cosγ.以上两式两边平方相加,得2+2(sin αsin β+cos αcos β)=1,∴cos(α-β)=-12. 答案-125已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x 1+x 2q+…+x n q n-1,x i∈M ,i=1,2,…,n }. (1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A ;(2)设s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,其中a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n.证明:若a n <b n ,则s<t. (1)解当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i=1,2,3}.可得,A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s ,t ∈A ,s=a 1+a 2q+…+a n q n-1,t=b 1+b 2q+…+b n q n-1,a i ,b i ∈M ,i=1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a 1-b 1)+(a 2-b 2)q+…+(a n-1-b n-1)·q n-2+(a n -b n )q n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q -1)(1-q n -1)1-q-q n-1=-1<0.所以,s<t.6已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=3a n +1. (1)证明{a n +12}是等比数列,并求{a n }的通项公式; (2)证明1a 1+1a 2+…+1a n<32.证明(1)由a n+1=3a n +1得a n+1+12=3(a n +12).又a 1+12=32,所以{a n +12}是首项为32,公比为3的等比数列.a n +12=3n 2,因此{a n }的通项公式为a n =3n -12. (2)由(1)知1a n=23n-1. 因为当n ≥1时,3n -1≥2×3n-1, 所以13n-1≤12×3n -1.于是1a 1+1a 2+…+1a n ≤1+13+…+13n -1 =32(1-13n)<32.所以1a 1+1a 2+…+1a n <32.★7设f n (x )是等比数列1,x ,x 2,…,x n 的各项和,其中x>0,n ∈N ,n ≥2.(1)证明:函数F n (x )=f n (x )-2在(12,1)内有且仅有一个零点(记为x n ),且x n =12+12x n n+1;(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为g n (x ),比较f n (x )和g n (x )的大小,并加以证明.(1)证明F n (x )=f n (x )-2=1+x+x 2+…+x n -2,则F n (1)=n-1>0,F n (12)=1+12+(12)2+…+(12)n-2 =1-(12)n+11-12-2=-12n <0, 所以F n (x )在(12,1)内至少存在一个零点.又F n '(x )=1+2x+…+nx n-1>0, 故F n (x )在(12,1)内单调递增,所以F n (x )在(12,1)内有且仅有一个零点x n . 因为x n 是F n (x )的零点,所以F n (x n )=0, 即1-x nn+1n -2=0,故x n =1+1x n n+1. (2)解当x=1时,f n (x )=g n (x );当x ≠1时,f n (x )<g n (x ). 证明如下: 由假设,g n (x )=(n+1)(1+x n )2. 设h (x )=f n (x )-g n (x )=1+x+x 2+…+x n -(n+1)(1+xn )2,x>0.当x=1时,f n (x )=g n (x ).当x ≠1时,h'(x )=1+2x+…+nx n-1-n (n+1)x n -12. 若0<x<1,h'(x )>x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n+1)2x n-1=n (n+1)2x n-1-n (n+1)2x n-1=0. 若x>1,h'(x )<x n-1+2x n-1+…+nx n-1-n (n+1)2x n-1=n (n+1)2x n-1-n (n+1)2x n-1=0. 所以h (x )在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减, 所以h (x )<h (1)=0,即f n (x )<g n (x ). 综上所述,当x=1时,f n (x )=g n (x ); 当x ≠1时,f n (x )<g n (x ).。

2.1.2　演绎推理课时过关·能力提升基础巩固1正弦函数是奇函数,f (x )=sin(x 2+1)是正弦函数,因此f (x )=sin(x 2+1)是奇函数.以上推理( )A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确 D.全不正确解析函数f (x )=sin(x 2+1)不是正弦函数,故小前提不正确.故选C.答案C2下面几种推理过程是演绎推理的是( )A.两条直线平行,同旁内角互补,因为∠A 和∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角,所以∠A+∠B=180°B.我国某地质学家发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似,而中亚细亚有丰富的石油,由此,他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油C.由6=3+3,8=3+5,10=3+7,12=5+7,14=7+7,……,得出结论:一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和D.在数列{a n }中,a 1=1,a n =(n ≥2),由此归纳出{a n }的通项公式12(a n -1+1a n -1)解析选项A 中“两条直线平行,同旁内角互补”这是大前提,是真命题,该推理为演绎推理,选项B 为类比推理,选项C,D 都是归纳推理.答案A3在三边不相等的三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边a ,b ,c 应满足的条件是( )A.a 2<b 2+c 2 B.a 2=b 2+c 2C.a 2>b 2+c 2D.a 2≤b 2+c 2解析由余弦定理的推论cos A=,要使∠A 为钝角,当且仅当cos A<0,而2bc>0.b 2+c 2-a 22bc ∴b 2+c 2-a 2<0.∴a ,b ,c 应满足的条件是a 2>b 2+c 2.故选C.答案C4推理过程“大前提: ,小前提:四边形ABCD 是菱形,结论:四边形ABCD 的对角线互相垂直.”应补充的大前提是　.答案菱形的对角线互相垂直5已知a=,函数f (x )=a x ,若实数m ,n 满足f (m )>f (n ),则m ,n 的大小关系为 .5-12解析因为当0<a<1时,函数f (x )=a x 为减函数,大前提a=∈(0,1),小前提5-12所以函数f (x )=为减函数.结论(5-12)x 故由f (m )>f (n ),得m<n.答案m<n6命题“若空间两条直线a ,b 分别垂直于平面α,则a ∥b.”学生小夏这样证明:设直线a ,b 与平面α分别相交于A ,B 两点,连接AB ,∵a ⊥α,b ⊥α,AB ⊂α,①∴a ⊥AB ,b ⊥AB.②∴a ∥b.③这里的证明有两个推理,即:①⇒②和②⇒③.老师评改认为小夏的证明推理不正确,这两个推理中不正确的是 .答案②⇒③7用三段论证明通项公式为a n =a 1+(n-1)d 的数列{a n }为等差数列.分析首先明确本题的大前提是等差数列的定义,而且要准确利用三段论的形式.证明若数列{a n }满足a n+1-a n =d (常数),则数列{a n }为等差数列,大前提通项公式为a n =a 1+(n-1)d 的数列{a n },满足a n+1-a n =a 1+nd-a 1-(n-1)d=d ,小前提所以通项公式为a n =a 1+(n-1)d 的数列{a n }为等差数列.结论8当a ,b 为正数时,求证:.a +b2≥ab证明一个实数的平方是非负数,大前提是实数的平方,小前提a +b2‒ab(a2-b2)所以是非负数.结论a +b2‒ab即≥0,a +b2‒ab所以.a +b2≥ab能力提升1因为指数函数y=a x (a>1)在R 上单调递增,y=2|x|是指数函数,所以y=2|x|在R 上单调递增.以上推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.正确解析此推理形式正确,但是,函数y=2|x|不是指数函数,所以小前提错误,故选B.答案B2“因为对数函数y=log a x (a>0,a ≠1)在(0,+∞)内单调递增(大前提),又因为y=lo x是对数函数(小前提),所以g 13y=lox在(0,+∞)内单调递增(结论).”下列说法正确的是( )g 13A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误C.推理形式错误导致结论错误D.大前提和小前提都错误导致结论错误解析此推理形式正确,但大前提是错误的(因为当0<a<1时,对数函数y=log a x 是减函数),所以所得的结论是错误的,故选A.答案A3f (x )是定义在(0,+∞)内的非负可导函数,且满足xf'(x )+f (x )<0.对任意的正数a ,b ,若a<b ,则必有( )A.bf (a )<af (b )B.af (b )<bf (a )C.af (a )<f (b )D.bf (b )<f (a )解析构造函数F (x )=xf (x ),则F'(x )=xf'(x )+f (x ).由题设条件知F (x )=xf (x )在(0,+∞)上单调递减.若a<b ,则F (a )>F (b ),即af (a )>bf (b ).又f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,所以bf (a )>af (a )>bf (b )>af (b ).故选B.答案B4设函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且y=f (x )的图象关于直线x=对称,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)= .12解析f (0)=0,f (1)=f (0)=0,f (2)=f (-1)=0,f (3)=f (-2)=0,f (4)=f (-3)=0,f (5)=f (-4)=0,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)=0.答案0★5设f (x )=(x-a )(x-b )(x-c )(a ,b ,c 是两两不相等的常数),则的值是 .a f '(a )+b f '(b )+c f '(c )解析∵f'(x )=(x-b )(x-c )+(x-a )(x-c )+(x-a )(x-b ),∴f'(a )=(a-b )(a-c ),f'(b )=(b-a )·(b-c ),f'(c )=(c-a )(c-b ),∴a f '(a )+b f '(b )+c f '(c )=a(a -b )(a -c )+b (b -a )(b -c )+c (c -a )(c -b )==0.a (b -c )-b (a -c )+c (a -b )(a -b )(a -c )(b -c )答案06已知f (x )=x ,求证:f (x )是偶函数.(12x-1+12)证明f (x )=x ·,其定义域为{x|x ≠0},2x +12(2x-1)又f (-x )=(-x )·=-x ·=x ·=f (x ),2-x +12(2-x-1)1+2x 2(1-2x )2x +12(2x-1)故f (x )为偶函数.★7如图,在四棱锥P-ABCD 中,AP ⊥平面PCD ,AD ∥BC ,AB=BC=AD ,E ,F 分别为线段AD ,PC 的中点.求证:12(1)AP ∥平面BEF ;(2)BE ⊥平面PAC.证明(1)如图,设AC ∩BE=O ,连接OF ,EC.由于E 为AD 的中点,AB=BC=AD ,AD ∥BC ,12所以AE ∥BC ,AE=AB=BC ,因此四边形ABCE 为菱形,所以O 为AC 的中点.又F 为PC 的中点,因此在△PAC 中,可得AP ∥OF.又OF ⊂平面BEF ,AP ⊄平面BEF ,所以AP ∥平面BEF.(2)由题意知ED ∥BC ,ED=BC.所以四边形BCDE 为平行四边形,因此BE ∥CD.又AP ⊥平面PCD ,所以AP ⊥CD ,因此AP ⊥BE.因为四边形ABCE 为菱形,所以BE ⊥AC.又AP ∩AC=A ,AP ,AC ⊂平面PAC ,所以BE ⊥平面PAC.★8设函数f (x )=x 3+ax 2-a 2x+1,g (x )=ax 2-2x+1,其中实数a ≠0.(1)若a>0,求函数y=f (x )的单调区间;(2)当函数y=f (x )与y=g (x )的图象只有一个公共点,且g (x )存在最小值时,记g (x )的最小值为h (a ),求h (a )的值域;(3)若f (x )与g (x )在区间(a ,a+2)内均单调递增,求a 的取值范围.分析第(1)问可利用导数来求单调区间;第(2)问可将只有一个公共点转化为方程有唯一根的问题;第(3)问可以利用第(1)问中的结论来推断.解(1)∵f'(x )=3x 2+2ax-a 2=3(x+a ),(x -a3)又a>0,∴当x<-a 或x>时,f'(x )>0;a3当-a<x<时,f'(x )<0,a3∴f (x )的单调递增区间为(-∞,-a )和,单调递减区间为.(a 3,+∞)(-a ,a 3)(2)由题意,知x 3+ax 2-a 2x+1=ax 2-2x+1,即x [x 2-(a 2-2)]=0恰有一个根(含重根).∴a 2-2≤0,即-≤a ≤.22又a ≠0,∴a ∈[-,0)∪(0,].22当a>0时,g (x )才存在最小值,∴a ∈(0,].2∵g (x )=a+1-,(x -1a )21a ∴h (a )=1-,a ∈(0,],1a 2∴h (a )的值域为.(-∞,1-22](3)当a>0时,f (x )在(-∞,-a )和内单调递增,g (x )在内单调递增.(a 3,+∞)(1a ,+∞)由题意,得解得a ≥1;{a >0,a ≥a3,a ≥1a ,当a<0时,f (x )在和(-a ,+∞)内单调递增,g (x )在内单调递增.(-∞,a 3)(-∞,1a )由题意,得{a <0,a +2≤a 3,a +2≤1a ,解得a ≤-3.综上,实数a 的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞).。

02第二章推理与证明2.1　合情推理与演绎推理2.1.1　合情推理课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是( )A.合情推理是正确的推理B.合情推理是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理,合情推理得到的结论不一定正确,故选项A,B错误;归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理,故选项C错误;类比推理是从特殊到特殊的推理,故选项D正确.2数列5,9,17,33,x,…中的x等于( )A.47B.65C.63D.128=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,猜想x=26+1=65.3下列类比推理恰当的是( )A.把a(b+c)与log a(x+y)类比,则有log a(x+y)=log a x+log a yB.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin yC.把(ab)n与(a+b)n类比,则有(a+b)n=a n+b nD.把a(b+c)与a·(b+c)类比,则有a·(b+c)=a·b+a·c4如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的,称为杨辉三角形.根据数组中的数构成的规律,其中的a所表示的数是( )A.2B.4C.6D.8,每行除1外,每个数都是它肩上的两数之和,如第6行的第2个数5,它肩上的两数是1和4,且5=1+4.由此可推知a=3+3=6,故选C.5用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )A.6n-2B.8n-2C.6n+2D.8n+2,后一个图形比前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根,可以写成a1=8=6+2.又a2=14=6×2+2,a3=20=6×3+2,…,所以可以猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2.6在平面上,若两个正三角形的边长比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为1∶2,则它们的体积比为 .析V1V2=13S1ℎ113S2ℎ2=S1S2·ℎ1ℎ2=14×12=18.∶87观察下列等式1‒12=121‒12+13‒14=13+141‒12+13‒14+15‒16=14+15+16……据此规律,第n 个等式可为 .,第n 个等式的左侧是数2n 项和,而右侧是数n+1项到第列{(-1)n -1·1n }的前列{1n}的第2n 项的和,故为1‒12+13‒14+…+12n -1‒12n =1n +1+1n +2+…+12n .‒12+13‒14+…+12n -1‒12n =1n +1+1n +2+…+12n 8古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n 个三角形数≥3),以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:为n (n +1)2=12n 2+12n .记第n 个k 边形数为N (n ,k )(k 三角形数 N (n ,3)=12n 2+12n ,正方形数N (n ,4)=n 2,五边形数N (n ,5)=32n 2‒12n ,六边形数N (n ,6)=2n 2-n ,…………可以推测N (n ,k )的表达式,由此计算N (10,24)= .:含n 2项的系数为首项,含n 项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,因此N (n ,k )是12,公差是‒12的等差数列N (10,24)0=[12+(k -3)·12]n 2+[12+(k -3)·(-12)]n =k -22n 2+4-k 2n .故=24-22×102+4-242×10=1 00.9三角形与四面体有下列相似性质:(1)三角形是平面内由线段围成的最简单的封闭图形;四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形.(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形;四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形.通过类比推理,根据三角形的性质推测空间四面体的性质,填写下表:三　角　形四　面　体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半,且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点,且这个点是三角形内切圆的圆心“外在”性质,合理寻找类比对象对二者的“内在”性质进行探究.三角形和四面体分别是平面图形和空间图形,三角形的边对应四面体的面,即平面的线类比到空间为面,三角形的中位线对应四面体的中位面(三条棱的中点所确定的三角形面),三角形的内角对应四面体的二面角,三角形的内切圆对应四面体的内切球.10已知sin 230°+sin 290°+sin 2150°=32,sin 25°+sin 265°+sin 2125°=32,sin 221°+sin 281°+sin 2141°=32.通过观察上述等式的规律,写出一般性规律的命题,并给出证明.,且三个角成公差为60°的等差数列,等式右边都sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)是32,所以得一般性规律的命题为=32.证明如下:sin 2α+sin 2(α+60°)+sin 2(α+120°)=1-cos2α2+1-cos (2α+120°)2+1-cos (2α+240°)2=32‒cos2α+cos2αcos120°-sin2αsin120°+cos2αc2=32‒cos2α-12cos2α-3sin2α-12cos2α+3sin2α2=32.能力提升1已知{b n }为等比数列,b 5=2,则b 1b 2b 3…b 9=29.若{a n }为等差数列,a 5=2,则{a n }的类似结论为( )A .a 1a 2a 3…a 9=29B .a 1+a 2+…+a 9=29C .a 1a 2…a 9=2×9D .a 1+a 2+…+a 9=2×9,从而有a 1+a 2+…+a 9=9个2+2+…+2⏟=2×9.2定义A*B ,B*C ,C*D ,D*B 依次对应下列4个图形:则下列4个图形中,可以表示A*D ,A*C 的分别是( )A.(1),(2)B.(1),(3)C.(2),(4)D.(1),(4)①②③④可归纳得出,符号“*”表示图形的叠加,字母A 代表竖线,字母B 代表大矩形,字母C 代表横线,字母D 代表小矩形,则表示A*D 的是图形(2),表示A*C 的是图形(4),故选C .3设定义在R 上的函数f (x )满足f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,则f (2 019)等于( )A.13B.2C .132D .213f (x )·f (x+2)=13,f (1)=2,∴f (3)=13f (1)=132,f (5)=13f (3)=2,f (7).=13f (5)=132,f (9)=13f (7)=2,…∴归纳得f (2n-1)={2,n 为奇数,132,n 为偶数.∴f (2 019)=f (2×1 010-1)C .=132.故选★4设△ABC 的三边长分别为a ,b ,c ,△ABC 的面积为S ,内切圆半径为r ,则r=2Sa +b +c.类比这个结论可知:四面体S ‒ABC 的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球半S ‒ABC 的体积为V ,则R 等于( )A .V S 1+S 2+S 3+S 4B .2VS 1+S 2+S 3+S 4C .3V S 1+S 2+S 3+S 4D .4VS 1+S 2+S 3+S 4O ,则球心O 到四个面的距离都是R ,所以四面体的体积等于以O 为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和,则四面体的体积为V R=13(S 1+S 2+S 3+S 4)R ,故=3VS 1+S 2+S 3+S 4.5设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 4,S 8-S 4,S 12-S 8,S 16-S 12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4, , ,T 16T 12成等比数列.,加法类比于乘法,减法类比于除法,故可得类比结论为“设等比数列{b n }的前n 项积为T n ,则T 4.,T 8T 4,T 12T 8,T 16T 12成等比数列”案T 8T 4　T 12T86设n 是正整数,f (n )=1+12+13+14+ (1),计算得f (2)=32,f (4)>2,f (8)>52,f (16)>3.观察上述结果,可推测一般的结论是 .n 个式子左边应为f (2n ),右边应f (2n )≥为n +22,即一般结论为n +22.(2n )≥n +227已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=≥2),计算S 1,S 2,S 3,S 4,并猜想S n 的表‒23,且Sn +1S n+2=an (n 达式.S n≥2),+1S n+2=an (n ∴S n≥2),+1S n+2=Sn ‒Sn ‒1(n ≥2).即1S n =‒2‒Sn ‒1(n ∴当n=1时,S 1=a 1=‒23;当n=2时,1S 2=‒2‒S 1=‒43,S 2=‒34;当n=3时,1S 3=‒2‒S 2=‒54,S 3=‒45;当n=4时,1S 4=‒2‒S 3=‒65,S 4=‒56.猜想S n =∈N *.‒n +1n +2,n★8已知椭圆具有以下性质:M ,N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点,点P 是椭圆上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,则k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.试对双曲线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)写出具有类似特征的性质,并加以证明.,抓住椭圆和双曲线同属于圆锥曲线而具有的相似性质,从而得到结论.:已知M ,N 是双曲,点P 是双曲线线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)上关于原点对称的两个点上任意一点,若直线PM ,PN 的斜率都存在,并记为k PM ,k PN ,那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.证明:设点M ,P 的坐标分别为(m ,n ),(x ,y ),则点N 的坐标为(-m ,-n ).∵点M (m ,n )在双曲,线x 2a 2‒y 2b 2=1(a >0,b >0)上n 2∴m 2a 2‒n 2b 2=1,得=b 2a2m 2‒b 2.同理y 2=b 2a2x 2‒b 2.∴y 2‒n 2=b 2a2(x 2‒m 2).∴k PM ·k PN =y -n x -m ·y +nx +m =y 2-n 2x 2-m 2),=b 2a 2·x 2-m 2x 2-m 2=b 2a 2(定值即k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值.。

A级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2答案 A解析选项B为归纳推理，C，D为类比推理，只有A为演绎推理．故选A.2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC－DEF.H是棱AB的中点，ABED为底面，CH⊥平面ABED，即CH为高，结论：直三棱柱ABC－DEF的体积为S四边形ABED·CH.这个推理过程()A．正确B．错误，大前提出错C．错误，小前提出错D．错误，结论出错答案 C解析在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①②答案 B解析“三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 答案 B解析 根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1 >22＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎨⎧si n (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1或－22 D ．1或22答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1； 当－1<a <0时，f (a )＝sin (πa 2)＝1⇒a 2＝12，∴a ＝－22或a ＝22(舍去)． 二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案 甲解析若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋…＋f(2020)f(2019)＝________.答案2020解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．令b＝1，则f(a＋1)f(a)＝f(1)＝2(小前提)．∴f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2020)f(2019)＝2(结论)，9．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)的值是________．答案0解析f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)·(x－b)，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)＝a(a－b)(a－c)＋b(b－a)(b－c)＋c(c－a)(c－b)＝a(b－c)－b(a－c)＋c(a－b)(a－b)(a－c)(b－c)＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，小前提 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)由Ruize收集整理。

第二章检测()(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)下列说法正确的有()①演绎推理是由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理的一般模式是“三段论”形式;④演绎推理得到的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.个个个个解析演绎推理只有大前提、小前提和推理形式都正确才能保证结论正确,故②错误,其他都正确.故选.答案有一段演绎推理是这样的:“若直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线;已知直线⊄平面α⊂平面α,直线∥平面α,则直线∥直线”,这显然是错误的,这是因为().大前提错误.小前提错误.推理形式错误.非以上错误解析“直线平行于平面,则该直线平行于平面内所有直线”是错误的,即大前提是错误的.故选.答案()已知,求证≤.用反证法证明此命题时可假设≥;()已知∈<,求证:关于的方程的两根的绝对值都小于.用反证法证明此命题时可假设方程至少有一根的绝对值大于或等于.以下结论正确的是().()与()的假设都错误.()与()的假设都正确.()的假设正确,()的假设错误.()的假设错误,()的假设正确解析反证法证明问题的第一步是“假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立”,而命题()结论的反面应为“>”;对命题(),其结论的反面为“方程的两根的绝对值至少有一个大于或等于”.故选.答案如图个小动物换座位,开始时鼠、猴、兔、猫分别坐号座位,如果第次前后排动物互换座位,第次左右列动物互换座位,第次前后排动物互换座位,第次左右列动物互换座位,……这样交替进行下去,那么第次互换座位后,小兔所坐的座位号为()解析由题意得第次互换座位后个小动物又回到了原座位,即每经过次互换座位后,小动物回到原座位,而×,所以第次互换座位后结果与第次互换座位结果相同,故小兔坐在号座位上,故选.答案若() ()'()()'(),…()'()∈*,则()等于()解析由题意可知,函数()的表达式是呈周期性变化的,周期为,而×,故()(),故选.答案观察式子,……,则可归纳出一般式子为()。

§合情推理与演绎推理．合情推理学习目标.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考()铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．()统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理()定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．()特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：()火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；()有大气层，在一年中也有季节更替；()火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理()定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．()特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理()定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．()推理的过程―→―→―→．类比推理得到的结论可作为定理应用．(×)．由个别到一般的推理为归纳推理．(√)．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)类型一归纳推理例()观察下列等式：＋＝×，。