尺规法三等分任意角到底可行吗

尺规作图三等分任意角（0°<α≤180°）黑龙江省巴彦县兴隆镇第二中学谭忠仁邮编：151801电话：150****5590目录关于三等分角的由来 (1)三等分任意角（0°<α≤180°） (2)已知：∠AOB (2)求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD (2)作法： (2)证明： (2)关于三等分角的由来众所周知，三等分角是著名的几何作图三大问题之一（另外两个问题是化圆为方、倍立方体），近两千年来，几十代人为这三大问题绞尽脑汁，希腊人的巧思、阿拉伯人的学识、文艺复兴时期大师们的睿智都曾倾注于此，却均以失败告终。

1837年范兹尔首先证明三等分角与倍立方体不能有限次使用尺规作出。

1895年，克莱因给出三大问题有限次使用尺规作图不可能的简单而清晰的证明，阿基米德在几何学上的造诣是很深的，从他的著作里可以看到他对三等分角问题的研究，他先采用在直尺上标注一个点的方法，然后把一个角三等分，显然，这一方法取消了直尺上无刻度的限制，此外，喜庇亚斯借助割圆曲线、尼克曼得斯借助于蚌线、巴普士借助于双曲线、帕斯卡借助于蚶线，解决了三等分角的问题，但所有这些曲线都不能仅用尺规来完成。

综上所述，尺规作图三等分任意角尚无先例，本人自1971年参加工作后，任初中数学教师，由于专业的需要、兴趣及其爱好，使我涉猎了大量数学方面的资料和相关知识，下决心研究三等分角问题，历尽40年时间，苦心钻研，现终得一法，并且给出了科学、严谨的证明，借此恳请数学专家和导师予以审核、验证，并提出宝贵意见。

注：本文所举资料，请详见《陕西中学数学》1991年第二期谭忠仁2011年5月10日三等分任意角（0°<α≤180°）已知：∠AOB求作：∠AOB的两条三等分射线OC、OD作法：1、以O为圆心，以任意长为半径作⊙O，交射线OA于A，交射线OB于B；2、连结AB，引直径EE1，并且使EE1⊥AB，垂足为H；3、连结BE，以B为圆心，以BE的长为半径画弧，交AB于F；4、连结EF并延长，交⊙O于G1，交BE1的延长线于T；5、以T为圆心，以TB的长为半径画弧，交⊙O于C1，连结TC1，交⊙O 于G；6、在⌒AB上截取⌒BC2，使⌒BC2=2⌒E1G；7、连结BC2，作BC2的垂直平分线T1D2，垂足为H2，交TB于T1，，连结T1 C2；8、作射线TP，在射线TP上依次截取TP1= P1P2= P2P3，连结T1P3，作T2P1∥T1P3，交TT1于T2；9、以T2为圆心，以T2B的长为半径画弧，交⊙O于C，连结T2C，交⊙O 于G2；10、连结BC，作BC的垂直平分线T2D，交⊙O于G3、D，垂足为H3，（T2D 必经过圆心O、必经过等腰三角形T2BC的顶角的顶点T2）；11、作射线OC，则射线OC、OD即为所求作的∠AOB的两条三等分射线。

任意锐角的三等分【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究.【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）.为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）.实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只能以近似的方式来解决•比如，以a为直径作一个圆，会容易做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究.下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角.题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）.求解：三等分a .一、作图（参照图2）（1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取OA=AA2=A2A3.（2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB同圆半径），以O 为圆心，以OA2 为半径，作A2B2 ，此时OA2=OB2 （同圆半径），以O 为圆心，以OA3 为半径，作A3B3 ，此时OA3=OB3 （同圆半径）.（3）作/ a的平分线OP.①以A3 为圆心，以OA3 为半径作弧lA ；②以B3 为圆心，以OA3 为半径作弧lB ，交lA 于P；③连接OP,交AB于C,交A2B2于C2,交A3B3于C3，此时，/ xOP= / POy= / AOC= / COB= / A2OC2= / C2OB2= / A3OC3= / C3OB3.•••同一圆内等角对等弧，••• AC=CB，A2C2=C2B2，A3C3=C3B3.（4）连接弦A2C2，在C3B3上按照取弦A2C2的长度取弦A3W3=V3B3=A2C2 ，连接A3W3 ，V3B3.（5）连接OW3，OV3，此时，OA3=OW3=OC3=OV3=OB3 （同圆半径），贝y OW3 , OV3 三等分/ a ,即/ A3OW3= / W3OV3= /V3OB3.二、证明1.作辅助图（参照图3）.( 1)连接A3V3 交OW3 于KW.(2)以OKW为直径作O R.①以OKW 为半径，以O为圆心作弧101 ,102，以OKW 为半径，以KW为圆心作弧IK1交101于M，作弧IK2交102 于N.②连接MN交OKW 于R,则MN是OKW 的垂直平分线，R 是垂足.••• 0W3是OKW 所在的直线段，•••0W3丄MN.③以R为圆心，以RO (=RKW )为半径，作O R,交MN 于m, n,交0A3 于O, a,交0W3 于0, KW，交0V3 于0, E,交0B3 于O, b,交A3V3 于KW , KW 是A3V3 与O R 的唯一公共点.2.证明.(1)根据以上所作辅助图(参照图3)可知：O R交A3V3于KW，即KW 是A3V3与O R的唯一公共点.根据圆的切线定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点,则这条直线叫作这个圆的切线,该公共点叫作切点, 可以得出结论：A3V3是O R的一条切线；另根据圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径，可以得出结论：A3V3丄RKW. v 0W3是RKW 所在的直？段，••• A3V3丄0W3 , KW 是垂足.（2）在Rt △ OKWA3 与Rt △ OKWV3 中，•/ A3V3 丄OW3 , •••/ OKWA3= / OKWV3=90 ° ,v 同圆半径，OA3=OV3 , OKW 为共有直角边，根据HL定理，Rt△ OKWA3 ◎ Rt△ OKWV3.〔•对应边相等，. A3KW=KWV3.（3）在Rt△ W3KWA3 与Rt△ W3KWV3 中，T A3V3 丄OW3 ,•••/ W3KWA3= / W3KWV3=90。

角三等分和平前言一百多年来，国内外数学界一致认为用尺规（尺指的是不带刻度的直尺，规指的是圆规，简称为尺规）作图将一任意角三等分已被证明了这是一个“作图不能问题”的结论是完全正确的。

其实这个结论肯定是错误的，我就能，肯定能推翻这个错误的结论。

下面我用角三等分和剖析角三等分及解两种不同的解题方法中的一种方法即角三等分来证明用尺规作图可将一任意角三等分，並对大小各不相等的角进行角三等分尺规作图达2470多次，装订成册24本，验证了这个理论是完全正确的。

让角三等分无解的结论彻底破灭，也为角的其他等分的解决打下基础，角三等分也是角尺规等分法中的一部分。

由于本人水平有限，如有错误和缺欠，恳请给以指正。

2011-4-3 和平一角三等分∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α三等分。

以∠α角顶点o为圆心，以任意长为半径画圆为A圆（图中只画圆的一部分），见图3-1，A 圆交∠α两边分别是A点和B点，在A圆上作∠AOB=∠BOC=∠AOD=∠α=1/3∠DOC,设∠OCD=∠β,2∠β+3∠α=180°.如果3∠α大于或等于180°时，先将∠α缩小偶数倍的角再扩大3倍的角小于180°为止。

连接CD交OA线上G点，作∠AOB角平分线OH,∠AOH=∠HOB=1/2∠AOB=1/2∠α，连接BD交OH 线上H1点，连接BG並延长交OD线上P点，连接AP交CD线上F点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、H1A、AD、AB、BC,求证：∠H1Gb2=1/3×1/2∠α=1/3∠GOH1=1/3×1/2∠AOB。

在△OGH1中，分别作OG和GH1边的垂直平分线交于O2点，连接O2O, 以O2点为圆心，以O2O为半径经过O、G、H1三点的圆为B圆（图中只画圆的一部分）,GD=GB,ABGD为菱形，H1A=H1G=H1B，证明省略，B圆也经过B点，∠H1GB=∠H1BG=∠GBD=1/2∠α，∠DH1G=∠H1GB+∠H1BG=∠α=∠GOB,∠DH1G=∠GOB, ∠GOB+∠GH1B=180°，O、G、H1、B四点共圆，又∵O、G、H1三点可确定一个圆均在B圆上，∴B点也在B圆上。

题目：三等分任意角地点：北京师大二附中 主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。

下面我们就有请徐超先生。

徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。

在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。

那么我从历史讲起。

三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。

先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。

什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。

那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。

㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２０ １０三等分任意角的作法探讨三等分任意角的作法探讨Һ蔡长青㊀（咸丰县中等职业技术学校，湖北㊀咸丰㊀４４５６００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 三等分角 是古希腊几何中尺规作图的名题，和化圆为方㊁倍立方问题并列为古代数学的三大难题，２４００多年以来，不少学者进行了无数次尝试，都未能找到好的解决方法，笔者经过４０余载的不断探索，吸取前人的数学智慧，突破传统思维，找到简单易行的求作三等分角的方法，该方法可以广泛应用到几何教学或工程技术领域．ʌ关键词ɔ三等分；任意角；作法；证明１９７９年的九月，进入咸丰一中学习的第一堂数学课上，满头银发的数学老师文渊不但满怀激情地介绍了高中三年数学学习的目标和学习方法，还向大家抛出了古代数学的三大难题，即用尺规作图法求作三等分任意角㊁化圆为方以及倍立方问题，从此笔者与三等分角问题结下了不解之缘．三等分角是号称古希腊三大几何问题之一，该问题的完整叙述为：只用圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分．该问题自公元前４８０年以来，不少学者进行了长期的探索，甚至不少著名数学家从不同角度论证了用尺规作图法不可能解决 三等分角 问题，本着吸取前人数学智慧㊁传承文明㊁尊重科学的治学态度，本人就解决使用 尺规作图法 三等分任意角问题进行了长期的探索，现将偶有所得分享给大家，希望起到抛砖引玉的作用．一㊁关于三等分任意角的历史溯源１．三等分任意角问题产生的历史背景根据历史记载，公元前４８０年，古希腊和当时的波斯国在当时的雅典郊外萨尼克湾展开了一场惨烈的海战，古希腊大获全胜，从此雅典作为古希腊的政治㊁文化㊁经济中心逐渐走向繁荣．社会分工逐渐细化，一部分人从繁重的体力劳动中解放出来，出现了专门传授学问㊁研究学问的辩论师或称智者，也就是现代的职业教师．这些人为古希腊文明做出了巨大的贡献，其中在几何学上亦留下了三大难题供后人进行研究和探讨：给你一把圆规和直尺（无刻度），经过有限次的步骤，能否：①对任意角作三等分？②作已知立方体的二倍体积的立方体图形？③作与已给的圆面积相等的正方形？以上三个问题分别称为三等分角问题㊁倍立方问题和化圆为方问题，也称古希腊三大几何难题，这些问题看起来很简单，但是，２４００多年来，不少数学家或数学爱好者为了解决这三个问题，耗费了许多心血，都没有取得成功．２．三等分任意角可能无法用 尺规作图法 求解１６３７年笛卡儿（ＲｅｎｅＤｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６ １６５０）创立了解析几何学后，有数学家依据解析几何，认为找到了通过尺规作图法不能解决三等分任意角问题的依据．１８３７年法国数学家旺策尔（ＰｉｅｒｒｅＬａｕｒｅｎｔＷａｎｔｚｅｌ，１８１４ １８４８）首先证明了 倍立方 和 三等分任意角 不可能用尺规作图解决．１８７３年埃尔米特（ＣｈａｒｌｅｓＨｅｒｍｉｔｅ，１８２２ １９０１）证明了ｅ是超越数；１８８２年德国数学家林德曼（Ｌｉｎｄｅｍａｎｎ，１８５２ １９３９）证明了π也是超越数，从而 变圆为方 的不可能性也得以确立．１９６５年以前，数学家华罗庚曾写文章告诫青少年 用直尺和圆规三等分任意角是不可能的，不要为这道难题花费精力．２００１年华中师范大学数学系的王中华亦在‘数学通讯“上发文并证明使用尺规作图 三等分任意角 是不可能的．二㊁ 三等分任意角 仍有研究的价值１．高中数学教学的需要为了加强普通高中的数学教学，在新版的‘普通高中数学课程标准“中增加了 三等分角与数域扩充 问题，让三等分角问题真正进入我国高中数学教学领域，有利于扩展学生的数学视野，激发学生的学习兴趣，提高学生解决问题㊁分析问题的能力．２．可以促进人的数学思维的发展古希腊的三大几何难题，几千年来尽管耗费了历代数学家不少的心血，但是在解决这类问题的过程中，不仅促进了数学思想的发展，而且在人类其他思想史上亦具有重大意义．三㊁预备知识１． 尺规作图法关于尺规作图法，以科学出版社出版的‘数学大辞典“中的规定为主要参考依据：尺规作图法又称初等几何作图法或欧几里得作图法．仅用直尺（无刻度）和圆规（两脚足够长）两种工具按照下述步骤进行有限次的组合来完成的几何作图方法．（１）过两点可画一条直线（或一条射线），连接两点成一线段．（２）延长线段成一条直线或射线．（３）以定点为圆心定长为半径可画圆或圆弧．２．初等几何知识本文涉及的初等几何知识，我们还是沿用科学出版社出版的‘数学大辞典“中的相关论述：（１）关于角的分类平角：两边组成一条直线的角，或一条射线在平面内绕㊀㊀㊀１４１㊀数学学习与研究㊀２０２０ １０着它的端点旋转，转到和原来位置构成一条直线时所形成的角．１平角＝１８０ʎ．直角：平角的一半，一直角＝９０ʎ．锐角：大于０ʎ小于直角的角．钝角：大于直角小于平角的角．（２）关于三角形和圆的几个基本知识等腰三角形的定义及性质：两边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的两个底角相等．三角形外角定理：三角形的外角等于和它不相邻的两个内角之和．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．显然，同弧所对的圆心角等于圆周角的２倍．３．关于图学的几点相关知识的说明（１）图学是几何学与行为科学有机结合的综合性学科．图学一开始就是由理论几何学与行为科学有机构成的．从平面几何开始，发展到画法几何㊁工程图㊁地形图等，人们在制图过程中总要依据几何原理，经过人的科学行为（制图）表达完成各类制图工作．（２）图学是理论与实践相结合的科学，图学允许可逆．无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的，行为本身就是四维的运动（时间维㊁空间维），允许可逆自然是在四维时空中进行的．四㊁三等分任意角的作图方法以锐角为例，使用 尺规作图法 三等分任意角的作图步骤如下：第１步：给定任意角øＡＯＢ．第２步：作边ＯＡ的反向延长线ＯＣ．第３步：以Ｏ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｏ，圆弧与边ＯＢ交于Ｆ点．第４步：在☉Ｏ上，以Ｅ点为圆心，Ｒ为半径长画☉Ｅ，☉Ｅ与ＯＡ的反向延长线交于Ｄ点，配合使用圆规和直尺，确保圆心Ｅ与Ｄ，Ｆ三点在同一直线上．第５步：连接ＯＥ，最终形成如图所示的几何图形．需要特别说明的是在作图过程中，第４步圆心的确认很关键，有可能需要 多次逼近 才能确定．五㊁三等分任意角的证明通过以下两种方法分别证明前面的作图方法可以三等分任意角．方法一：在☉Ｅ中，因为øＯＤＦ为圆周角，øＯＥＦ为圆心角所以øＯＥＦ＝２øＯＤＦ．因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．方法二：在әＤＥＯ中，因为ＤＥ＝ＯＥ，所以әＤＥＯ为等腰三角形，所以øＯＤＥ＝øＥＯＤ，øＯＥＦ＝２øＯＤＥ，因为ＯＥ＝ＯＦ，所以әＥＯＦ为等腰三角形，所以øＥＦＯ＝øＯＥＦ＝２øＯＤＦ，øＡＯＢ＝øＯＤＦ＋øＥＦＯ＝３øＯＤＦ，故有øＯＤＦ＝１３øＡＯＢ．六㊁结㊀论通过以上的作图和证明，我们有理由认为对 三等分任意角 的作法有革命性的突破．１．作图过程中严格遵守 尺规作图法 的要求，且在有限的步骤内准确三等分角．２．通过初等几何理论对所作图形进行了严密的证明，结果正确．３．整个作图过程符合图学是理论与实践相结合的科学观点：图学允许可逆，无论 同时行为 还是 第三度行为 ，都是在允许行为可逆基础上进行的．路曼曼其修远兮，吾将上下而求索．ʌ参考文献ɔ［１］娄桐城．中学数学词典［Ｍ］．北京：知识出版社，１９８４．［２］王元．数学大辞典［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１０．［３］熙国维．运动论［Ｍ］．北京：海洋出版社，１９９３．［４］Ｒ．柯良（ＲｉｃｈａｒｄＣｏｕｒａｎｔ），Ｈ．罗宾（ＨｅｒｔｂｅｒｔＲｏｂｂｉｎｓ）．什么是数学［Ｍ］．左平，张饴慈译．上海：复旦大学出版社，２００８．［５］欧几里得．几何原本［Ｍ］．邹忌译．重庆：重庆出版社，２０１８．［６］（日）远山启著．吕砚山㊁李诵雪㊁马杰㊁莫德举译著．数学与生活［Ｍ］．北京：人民邮电出版社，２０１４．［７］王中华．用尺规作图不可能三等分任意角［Ｊ］．数学通讯，２００１（１９）．４８．。

论尺规三等分角、任意等分任意角及其扩展各位网友大家好！首先祝大家身体健康！生活幸福！万事如意！在此我来发表一下自己的观点，这就是关于三等分任意角的问题，前不久我在山风工作室网络上发布了两篇关于分角的原创论文，即（论尺规三等分、任意等分任意角及其扩展）、（论尺规三等分、多等分任意角及其扩展）修改稿；由于本人学历有限，所写论文格式和语言可能不很规范，请大家理解，只看摘要、作图、证明正确与否即可；以下附上二文摘要（根据摘要即可很快作出图来）：1.【论尺规三等分、任意等分任意角及其扩展】摘要：对于三等分及任意等分任意角来说,必须转变思维观念，不为分角而分角，而是寻求弧的等分，弧等分则角等分；该论证从三、五、七等分到模拟作a等分任意角，皆采用a+1等分弧的方法；首先运用二等分角原理，将a等分待分角作a+1等分，在其对应弧两端各取一等分点，根据平行线定义，从该点作角边平行线与另一角边相交，左右二交点分别与弧中点及其左右一等份弧点相连，再从圆心引四条线段与之分别平行，平分从圆心所作左右各两条线间弧段，得两关键点，此两点间弧段即所求的a等分弧；弧段关系用代数式表达，运用分析法推理，代数式运算求证，从而获取等分弧，解决了角的任意等分问题；分角范围明确，作图清晰、明了，且方便、快捷，圆弧内只需作十条平行线即可满足从作图到论证之全过程，若只作角等分而不加证明，圆弧内只需作五条平行线即可；扩展即可作一些形体的面积、体积、表面积任意等分；运用该等分角原理，可制作出无误差的分角器具，以便应用于实际工作中。

2.【论尺规三等分、多等分任意角及其扩展】（修改稿）摘要: 对三等分及多等分任意角来说，转变思维方式，从圆弧着手，寻求弧的等分，弧等分则角等分；该文从三、五等分及模拟作k等分任意角，皆采用2的a次方等分弧法,2的a次方等于kb+1,k即分角数、为大等于3之任意奇数、b为大于1之奇数、a为趋于最小值之整数;首先运用二分角原理，作出需用的kb+1等分弧；待分角对应弧两端各取一等分点，根据平行线定义，分别作角边平行线交另边于一点，左、右二交点分别与弧中点左右b+1/2、b-1/2及b-1/2、b+1/2等分点相连，得四条线段，再从圆心作四条线段与之分别平行，平分从圆心作出的左右各两条线之间弧段，得两关键点，此两点间弧段即所求的k 等分弧段；弧段关系用代数式表达，运用分析法推理，代数式运算求证，从而获取等分弧，理论上解决了角的任意等分问题，而从作图来说，则适用于多等分任意角；分角范围明确，方法简便、快捷，扩展开来即可多等分一些形体的面积、体积、表面积等.此二文分角方式不一，因此结果不一，但基本方法一致，采用几何与代数结合，力求几何问题在几何范围中解决；文中不涉及高等数学，完全是中学阶段所学的几何、代数知识，因此不难理解；客观的讲，该分角问题，并不是大家传说的那么高深莫测，只不过是两三千年来，没人发现它罢了，以至于变成了人们心目中，一个不可逾越的雷区。

[优质文档]尺规作图三等分随便率性角和结构正十七边形尺规作图三等分任意和构造正十七边形饶剑明摘要:将角的等分问题转化为线段的等分问题，从而实现尺规作图的任意等分任意角。

对线段的任意等分是很容易做到的，就是根据平行线间线段对应成比例。

只要将角的等分转换成线段的段分问题就自然解决了，我们知道，角和线的关系在圆中可以实现，在一个圆中等角对应的弦长相等。

从而实现角的三等分和正十七边形的尺规作法。

关键词:三等分角平分线圆弧正十七边形一、任意角的三等分,，作角的平分线。

半径为的圆弧，所对的弦长为设角为,,a2,Ma,2sin 14,角所对的弦长 4,Ma,2sin 28,角所对的弦长为 3,Ma,2sin。

3642MMM,, 2313342,sin,,,MMM,,由于当很小时有，即有。

231332,,4,sin()sin()sin()当取不同值时，和的近似值如下: ,346381111可以看出利用会比更为精确，但在操作上会更为方便。

从数据上可以看出，锐角用4222,1就足够用了，在操作上也得到同样的结果。

但角度大于是就最好使用了。

由于尺规作42图本身在操作上就存在误差，所以这样的误差是允许的。

利用几何画板完全按尺规作图的步42MM,骤可以看到当角为锐角时有，即两个点完全重合。

2133操作步骤如下:1. 对角平分 ,1,2. 取上作图时角所对的弦长2AB3. 对线段AB三等分24.取线段AB的长线段AC 34. 以线段AB为半径，在圆弧等分 AB这样就对弧进行了三等分，标记三等分点，然后与顶点O连接就对角三等分了。

,除去多余的痕迹用这样的方法可以对任意角任意等分。

当角为锐角就一次性完成了操作。

,4,asin()当角是钝角是，就要用四分角去作图了，且从理论上要比稍微少一点，尤其,38是当接近平角时。

当角大于,时，就平分其补角然后反向延长。

,,24MM当一次实现不了的时候可以在和之间取值，每次折中而逼近，一般最多在两到1233三个循环操作能完成。

如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？
1）.先说明尺规作图可能问题：
一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。

2）.定理：
一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。

3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：
如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C
过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，
令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：
cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0
由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)
所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。

林浩南。

三大几何难题古希腊是世界数学史上浓墨重彩的一笔，希腊数学的成就是辉煌的，它为人类创造了巨大的精神财富。

其中，几何是希腊数学研究的重心，柏拉图在他的柏拉图学院的大门上就写着“不懂几何的人，勿入此门”。

历史上第一个公理化的演绎体系《几何原本》阐述的也基本上为几何内容。

古希腊的几何发展得如此繁荣，但有一个问题一直没有得到解决，那就是著名的尺规作图三大难题。

它们分别是化圆为方、三等分任意角以及倍立方问题。

这三个问题首先是“巧辨学派”提出并且研究的，但看上去很简单的三个问题，却困扰了数学家们两千多年之久。

这些问题的难处，是作图只能用直尺和圆规这两种工具，其中直尺是指只能画直线，而没有刻度的尺。

在欧几里得的《几何原本》中对作图作了规定，只有圆和直线才被承认是可几何作图的，因此在这本书的巨大影响下，尺规作图便成为希腊几何学的金科玉律。

并且，古代希腊人较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。

因此，在作图中对规、矩的使用方法加以很多限制，在这里，就是要在有限的次数中解决这三个问题。

化圆为方圆和正方形都是常见的几何图形，人们自然会联想到可否作一个正方形和已知圆等积，这就是化圆为方问题。

三等分任意角用尺规二等分一个角很容易就可以作出来，那么三等分角呢？三等分180,90角也很容易，但是60,45等这些一般角可以用尺规作出来吗？倍立方关于倍立方问题是起源于一个祭祀问题，第罗斯岛上流行着一种可怕的传染病,一时人心惶惶,不可终日.人们来到阿波罗神前,请求阿波罗神像的指示.阿波罗神给了祈求人这样一个指示:“神殿前有一个正方体祭坛,如果能不改变它的形状而把它的体积增加1倍,那么就能消灭传染病.”人们连夜赶造了一个长、宽、高都比正方体祭坛大一倍的祭坛,可是,那传染病传播得更加厉害了.人们又来到阿波罗神像前祈求.神说:“我要你们增加一倍的是祭坛的体积,你们把长、宽、高都增加1倍,祭坛的体积不是要比原来体积大7倍了吗?”人们绞尽脑汁想找出一个答案,可是始终没有人能解答这个难题.由三大问题的起源，可以看出，化圆为方和三等分角是人们在已有知识的基础上，向更深层次，更一般的方向去思考、探索，这也是希腊数学的理论性的演绎推理与抽象性的表现。

用尺规作图解决任意角的三等分引言：通常来说，尺规作图的方法是不能三等分任意角的。

如果继续使用原有的尺规作图的方法，我也不能解决这个几何问题。

原因在于传统的尺规作图停留在二维的范围，而我现在要用的方法是在三维的参考系中使用直尺、圆规、铅笔、作图纸解决三等分任意角。

首先，介绍所需的工具，本方法中所使用的圆规不是以铅笔画圆，而是以刀“划圆”。

至于直尺和铅笔就是传统的工具（没有刻度）。

至于白纸，我将利用它实现二维到三维的转换。

方法介绍：下面利用图解的方法来阐述我的思路。

1、首先我们在纸面上任意画一个∠AOB2、我们以顶点O3、利用另一张白纸啮合在步骤2得到的圆上并利用铅笔在白纸上标记弧A ’B ’(X,Y)的位置。

4、展开被标记的白纸，连接XY 得到直线XY ，再利用尺规作图（方法见下图）三等分此直线。

方法简述：作XY 垂线XC;和平行线QP; 在QP 上作三个等圆如图（三直径相加不等于XY ）； 如图连接即可三等分XY （简单相似三角形即可证明）X Y C Q P C J5、将白纸贴回圆O（XY对准弧A’B’）即可三等分弧A’B’6、利用等弧对应的圆心角相等的原理，简单可证三等分了∠AOB。

总结：也许大家会争议步骤3（同理的步骤5），在同指导教员（刘俊红教员）讨论时，我们也意识这一点也许会存在争议，利用了纸面的可重塑性到底算不算尺规作图？我们思考了很久，如果从单从操作的角度来讲，的确借助了“捷径”，但是如果从理论来讲，利用这种方法可以在三维的坐标系（不需要它的坐标刻度）中只借助直线方程和圆的方程（也就是圆规和直尺）就可以三等分任意角，大致思路是利用我们可以精确三等分直角和特殊角的原理（见下图），在弧面中三等分弧（本质来说是与前述方法一致的，但在弧面中三等分弧的方法是利用中垂线的方法）。

在三维坐标系中平分是在理论上不需要借助其它工具的，但是如果没有其他工具的帮助的话会有很大的误差，所以我利用白纸为辅助的工具，增加它的精度。