尺规作图三大几何难题教学提纲

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明是高中数学中的重要内容，而尺规作图是几何证明中不可或缺的方法之一。

尺规作图是通过使用尺规等工具，将已知条件用线段长度的比来表示，从而得到所需的未知量与如何构造的方法。

下面我们将详细介绍几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧。

一、解题规范1. 了解题目要求在做题之前，先要看清题目要求，明确自己要证明的结论与所给条件。

了解题目要求可以帮助我们更好地把握证明的方向和方法。

2. 审题慎思细心审题可以发现题目中隐藏的一些线索，例如特殊的几何图形、相似三角形、等分线段等，这些都是解决尺规作图问题的有力工具。

审题还可以发现题目中的难点和易错点，帮助我们专注于解决问题的关键。

3. 掌握几何知识尺规作图是几何证明的一种方法，因此掌握几何知识是必不可少的。

在解题过程中，我们需要运用一些基本的几何定理和定向线段的概念，在能充分运用几何知识才能更好地解决问题。

4. 认真细致在做尺规作图的题目时，需要认真细致地推敲每一步，因为一个细节的错误会导致整个证明的失败。

要尽可能地避免粗心大意和漫不经心，特别是在标记线段、角度时，要用尽一切手段保证准确无误。

5. 多角度考虑尺规作图的证明方法有时并不唯一，有些题目可能有多种可能性，因此需要多角度思考。

可以考虑不同的角度进行证明，或者换一种方式来描述线段长度的比，寻找解题的突破口。

二、解题技巧1. 正确标记相似三角形相似三角形是尺规作图中常用的几何单元，正确标记相似三角形对于解决问题非常关键。

在标记相似三角形时，可以根据题目给定的线段长度比例来确定线段的长度关系，从而帮助我们找到相应的相似三角形。

2. 确定相应角和高线在寻找尺规作图的策略时，需要特别关注相应角和高线。

相应角是指两个三角形中相对应的角度相等，高线则是指垂直于底边的线段。

通过找到相应角和高线，可以帮助我们更好地利用相似三角形求解问题。

3. 使用中垂线和平分线中垂线和平分线可以将一个线段等分成两个相等的线段，在解决尺规作图问题时非常有用。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明是几何学中重要的一部分，它要求使用严密的逻辑和几何性质来证明一个命题的正确性。

而尺规作图是解决几何证明问题的常用方法之一。

下面将介绍几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧。

一、解题规范1. 我们需要明确题目的要求和条件，仔细阅读题目中给出的已知条件，并且画出所给图形。

2. 我们需要明确证明的结论，推理过程需要围绕这个结论展开。

有时候，在解题过程中，我们需要找到并证明一些中间结论。

中间结论可以是题目本身给出的，也可以是通过推理得到的。

3. 然后，我们需要分析题目给出的条件和结论，寻找其中的几何性质和特点。

这需要对几何定理和公理有一定的了解，并且有一定的几何直觉。

4. 接下来，我们可以运用几何性质和特点来进行推理和证明。

在推理过程中，我们可以使用尺规作图来构造一些新的几何图形，并且通过观察和比较这些图形的性质来推理得到结论。

5. 在推理过程中，我们需要使用严密的逻辑，遵循正确的证明格式和证明步骤。

我们需要使用明确的几何术语和符号，以确保我们的推理过程清晰和准确。

6. 我们需要总结和归纳得到的结论，并且验证这些结论是否满足题目的要求。

我们需要检查我们的证明过程，确保没有漏掉任何重要的步骤或者推理。

二、解题技巧1. 运用已知条件构造辅助线。

有时候，题目给出的条件可能不足以直接推导出结论，这时候我们可以构造一些辅助线来帮助我们解决问题。

辅助线能够将原来的复杂问题简化为若干个简单的几何问题。

2. 利用相似三角形和比例关系。

在几何证明中，相似三角形和比例关系是经常用到的性质。

通过观察图形和条件，我们可以发现一些相似的三角形和长度比例，从而得到一些关于角度和长度的结论。

4. 利用尺规作图。

尺规作图是解决几何证明问题的常用方法之一。

通过使用尺子和圆规来构造一些新的几何图形，我们可以发现一些几何性质和关系，从而得到一些结论。

5. 利用反证法。

有时候，我们无法直接得到结论，但是我们可以假设结论不成立，然后通过逻辑推理来得出一个矛盾，从而证明结论是正确的。

尺规作图三大几何难题安溪六中校本课程之数学探秘尺规作图三大几何问题一、教学目标1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。

3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？二、问题背景传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。

人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。

这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。

用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。

另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。

古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。

问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。

它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。

但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。

某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。

这一过程中隐含了近代代数学的思想。

经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是“不可能用尺规完成的作图题”。

认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。

然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。

比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。

数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。

直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。

或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的：1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明尺规作图是几何学中非常重要的一部分，它涉及到数学的基本概念和推理方法。

在进行几何证明尺规作图时，正确的解题规范和解题技巧能够帮助我们更快更准确地完成题目，提高解题效率。

下面我们将详细介绍几何证明尺规作图的解题规范和解题技巧。

一、解题规范1. 熟悉基本概念在进行几何证明尺规作图时，首先要对一些基本概念有很好的理解和掌握，比如点、直线、角度、相似等概念，这些都是尺规作图的基础。

只有熟悉了这些基本概念，才能更好地理解和解决题目。

2. 仔细阅读题目在解题之前一定要仔细阅读题目，理解题目的要求，明确对于需要证明的结论，这样有助于我们在解题时有一个清晰的方向，不至于偏离主题。

3. 注意观察图形在题目给出的图形中，要仔细观察各个线段的长度、各个角的大小，有时候可以从图形中找到一些隐藏的规律或者结论，对于解题有很大的帮助。

4. 使用尺规作图工具在进行几何证明尺规作图时，一定要使用尺规作图工具，比如直尺和圆规。

尤其是在证明中使用尺规作图，很多结论需要通过作图来证明，合理地使用尺规作图工具可以让证明更加直观清晰。

5. 逻辑清晰，步骤完整在进行证明时，一定要逻辑清晰，步骤完整。

要遵循证明结构的一般原则，依次呈现问题、设计步骤、进行操作、推理论证等环节。

这样才能使证明过程严谨、完整。

6. 思维灵活在解题过程中，要保持思维的灵活性，有时候可能需要借助一些非常规的方法来解决问题。

不要被题目所限制，要尝试不同的思路，寻找最优解。

二、解题技巧1. 尺规作图基本技巧使用尺规作图工具时，要注意准确度和精确度，画直线要用直尺，画弧线要用圆规；尺规作图的基本几何图形如平行线、垂直线、等腰三角形、全等三角形等的作图方法必须熟练掌握。

2. 利用已知条件在做几何证明尺规作图题目时，要充分利用已知条件，通过对已知条件进行分析，灵活地运用几何知识和尺规作图工具完成作图和证明。

3. 利用图形的对称性对称性是几何图形中非常重要的性质，利用图形的对称性可以简化作图和证明的过程，缩短解题时间。

华师大版数学八年级上册《阅读材料由尺规作图产生的三大难题》说课稿3一. 教材分析华师大版数学八年级上册《阅读材料由尺规作图产生的三大难题》是一节阅读材料课，通过介绍尺规作图产生的三大难题，让学生了解数学史上的重要事件，提高学生学习数学的兴趣，培养学生数学思维能力。

本节课的内容包括：了解尺规作图的定义，掌握尺规作图的基本方法，了解三大难题及其历史背景，了解三大难题的解决过程及对数学发展的影响。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了初中数学的基本知识，对几何图形的认识有一定的基础。

但是，对于尺规作图的定义和方法，以及尺规作图产生的三大难题的历史背景和解决过程，学生可能比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生逐步理解尺规作图的概念，了解三大难题的产生背景，以及感受数学发展的历程。

三. 说教学目标1.了解尺规作图的定义和基本方法。

2.了解尺规作图产生的三大难题及其历史背景。

3.了解三大难题的解决过程及对数学发展的影响。

4.培养学生的数学思维能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 说教学重难点1.尺规作图的定义和基本方法。

2.尺规作图产生的三大难题及其历史背景。

3.三大难题的解决过程及对数学发展的影响。

五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、阅读法、讨论法等多种教学方法。

在讲解尺规作图的定义和方法时，采用讲授法，引导学生掌握基本概念；在介绍三大难题及其历史背景时，采用阅读法，让学生自主阅读教材，了解数学发展历程；在讲解三大难题的解决过程时，采用讨论法，引导学生分组讨论，共同探讨问题的解决方法。

六. 说教学过程1.导入：引导学生回顾已学的几何知识，提问：“你们知道什么是尺规作图吗？”让学生复习旧知识，为新课的学习做好铺垫。

2.讲解尺规作图的定义和方法：详细讲解尺规作图的定义，通过示例让学生掌握尺规作图的基本方法。

3.阅读教材：让学生自主阅读教材，了解尺规作图产生的三大难题及其历史背景。

4.讲解三大难题的解决过程：针对三大难题，分别讲解其解决过程，让学生了解数学发展的历程。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明中，尺规作图是一种重要的解题方法，它可以帮助我们构造出特定形状的图形，从而解决几何问题。

针对尺规作图的解题规范与解题技巧，主要包括以下几个方面：1. 确定所需构造的图形在使用尺规作图解决几何问题时，首先需要明确需要构造的图形是什么，这样才能有针对性地进行尺规作图。

在题目中找到关键信息，明确需要构造的线段、角度、三角形等特定图形。

2. 了解尺规作图的基本操作掌握好尺规作图的基本操作是解题的前提。

尺规作图的基本操作包括画线段、画角度、画垂直线、画平行线等操作。

熟练掌握这些基本操作，可以帮助我们在解题过程中快速准确地构造所需的图形。

3. 选择合适的基本图形在进行尺规作图时，通常可以利用一些基本图形来进行构造。

利用已知的线段和角度构造等腰三角形、直角三角形等。

在解题过程中，需要灵活选择合适的基本图形进行构造，从而达到解题的目的。

4. 根据已知条件构造图形在解题过程中，首先根据已知条件进行图形的初步构造。

根据已知线段的长度、已知角度的大小等条件，可以先进行基本的图形构造，从而为后续的解题过程奠定基础。

5. 利用尺规作图的特点进行推理在进行尺规作图的解题过程中，可以利用尺规作图的一些特点进行推理。

利用垂直角、平行线的性质进行证明，推导出所需的结论。

在解题过程中，需要善于利用尺规作图的特点进行推理，从而得到解题的关键步骤。

6. 注意构造的准确性在进行尺规作图时，需要注意构造的准确性。

尤其是在画线段、画角度的过程中，要保持尺规的准确度，避免出现误差。

只有构造准确的图形，才能保证解题的正确性。

7. 熟练掌握尺规作图的技巧尺规作图是一门技术活，需要通过大量的练习来提高自己的技巧。

熟练掌握尺规作图的技巧，可以在解题过程中更加得心应手，提高解题的效率和准确性。

尺规作图是解决几何问题的重要方法，通过遵循解题规范和掌握解题技巧，可以更加高效地应用尺规作图解决各类几何问题。

希望以上的几何验题规范与解题技巧对您有所帮助。

几何三大难题的不能与“解决”几何三大难题的不能与“解决” 作者：何莎莎文章来源：《数学教学》点击数：7237 更新时间：2007-3-152000多年来几何中尺规作图的三大难题引发了无数的数学爱好者为此前仆后继，投入了大量的时间和精力以至最终尘埃落定。

作为一名中学数学教师，笔者认为很有必要知道其中的一些概况，因此在查阅一些资料和文献后整理成此文与读者共享。

一、尺规能作哪些图所谓尺规作图就是仅用不带刻度的直尺和普通的圆规进行作图。

根据尺规的功能，我们得到如下的作图公法:①过两已知点可作一直线；②已知圆心和半径可作一圆；⑧已知两直线相交，可求其交点；④已知一直线与一圆周相交，可求其交点；⑤已知两圆周相交，可求其交点。

由这5条公法的有限次组合作出的图都称为尺规可作的图。

例如作一条线段与己知线段相等，作一个角与已知角相等，作一条已知线段的垂直平分线，作一个已知角的角平分线，过一已知点作已知直线的平行线等都是可以尺规作图的。

如果给定单位长度和长度为a、b的线段。

那么长度为a十b，a 一b(a>b), ab，b / a和都是可以尺规作图的，具体作法如下: 已知单位长度和长度为a, b的线段。

（l)作长度为a十b和a一b的线段(图略)。

(2)作长度为ab的线段。

AB＝1, AC＝b, ∠EAB＝450, AD=a,过点C作BD的平行线，交AE 于E，则AE=ab(如图1所示)。

(3)作长度为a / b的线段AE=1, AC=b,∠ EAS=450, AE=a，过点E作CE的平行线，交AE于D，则AB=a / b (如图2所示)。

(4)作长度为的线段(如图3所示)·由上述作图可知(1)如果给定单位长度，那么任一以正有理数为长度的线段都是可以尺规作图的。

(2)如果给定单位长度，那么以数集={a十b,a、b、c∈Q}中的任一个数为长度的线段都是可以尺规作图的（其中Q是有理集）。

(3)如果给定单位长度，那么以数集中的数经过有限次加、减、乘、除、开平方而得出的数为长度的线段都可用尺规作出。

华师大版数学八年级上册《阅读材料由尺规作图产生的三大难题》教学设计3一. 教材分析华师大版数学八年级上册《阅读材料由尺规作图产生的三大难题》是对几何学中尺规作图的基本原理和限制的深入探讨。

本节课通过介绍尺规作图产生的三大难题，即：立方体倍积问题、三等分角问题、圆周率精确化问题，使学生了解几何学中的这些经典问题，并理解这些问题背后的数学原理和方法。

教材分析主要从以下几个方面进行：1.内容解析：本节课主要介绍了尺规作图的基本原理，以及通过尺规作图产生的三大难题。

学生在学习本节课之前，应该已经掌握了基本的尺规作图方法，如作直线、圆、角等。

2.教材结构：本节课是华师大版数学八年级上册第二章《几何图形的性质》的最后一节阅读材料，是对前面所学内容的拓展和延伸。

3.教学目标：通过本节课的学习，学生应该能够理解尺规作图的基本原理，了解并掌握三大难题的解决方法，提高解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的尺规作图方法，对几何图形的性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往缺乏解决问题的方法和策略。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过小组合作、讨论交流等方式，探索并解决问题。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解尺规作图的基本原理，掌握三大难题的解决方法。

2.过程与方法：学生能够通过小组合作、讨论交流等方式，提高解决问题的能力。

3.情感态度价值观：学生能够认识数学在实际生活中的应用，培养对数学的兴趣和好奇心。

四. 教学重难点1.重点：尺规作图的基本原理，三大难题的解决方法。

2.难点：如何引导学生通过小组合作、讨论交流等方式，解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生探索并解决问题。

2.小组合作法：学生分组进行讨论交流，共同解决问题。

3.实例分析法：教师通过具体的实例，讲解并引导学生理解尺规作图的原理和方法。

六. 教学准备1.教具准备：尺规作图工具、多媒体设备。

五种基本尺规作图及三大史诗级难题数学让生活更有趣尺规作图是古希腊几何学中的一项重要内容。

早在公元前5世纪，古希腊数学家们就已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规来作图了。

在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是画两种图形的工具，只有用尺规做出的图形才是可信的。

在历史上，明确提出作图只能使用直尺和圆规的人，首推伊诺皮迪斯，他在公元前465年前后发现，只用没有刻度的直尺和圆规，就可以过已知直线的一个点上作一个角与已知角相等，这件事的重要性在于，它启示人们在尺规的限制下，从理论上去解决这个问题。

五种基本尺规作图1、作一条线段等于已知线段；2、作已知线段的垂直平分线；3、作已知角的角平分线；4、作一个角等于已知角；5、过一点作已知直线的垂线；1、作一条线段等于已知线段已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：（1）作射线AP；（2）在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。

2、作已知线段的垂直平分线已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO作法：（１）分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于P，Q；（２）连接PQ交MN于O．则直线PQ就是所求作的ＭＮ的垂直平分线3、作已知角的角平分线已知：如图，∠AOB，求作：射线OP, 使∠AOP＝∠BOP（即OP平分∠AOB）。

作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、Ｎ为圆心，大于线段MN一半为半径画弧，两弧交∠AOB内于Ｐ；（3）作射线OP。

则射线OP就是∠AOB的角平分线。

4、作一个角等于已知角作法：（1）作射线O’A’；（2）以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N；（3）以O’为圆心，以OM的长为半径画弧，交O’A’于M’；（4）以M’为圆心，以MN的长为半径画弧，交前弧于N’；（5）连接O’N’并延长到B’。

则∠A’O’B’就是所求作的角。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明中的尺规作图是重要的一环，其准确性和可视性使得它成为了很多解题的基础。

本文将介绍几何证明中尺规作图的解题规范与解题技巧。

一、解题规范1. 分析题目，确定解题思路在尺规作图中，不同的题目需要采取不同的解题思路。

因此，在进行尺规作图之前，需要仔细阅读题目，分析题目，确定解题思路。

这可以避免出现无法解决问题的情况。

2. 熟练掌握基本的尺规作图方法要进行尺规作图，需具备基本的尺规作图方法，如画圆、画角等。

要熟练掌握这些方法，才能快速、准确地进行尺规作图。

3. 确认所需要的条件在进行尺规作图之前，需要确保所需要的条件已经提供了。

这些条件可能是角度、长度或者其他。

确认所需条件以后，方可进行尺规作图。

4. 依据方案步骤进行尺规作图在进行尺规作图时，需要依照方案的步骤进行作图。

这样可以确保所作图形符合题目要求。

5. 检查作图正确性完成尺规作图后，应当检查作图结果是否正确。

如果出现错误，应当及时更正。

二、解题技巧1. 使用基本变换在进求解过程中，可以使用基本的变换，如平移、旋转、镜像等，来帮助确定几何证明的结论。

这些基本变换可以简化证明的过程，缩短解题时间。

2. 利用对称性利用几何图形的对称性也是解题的重要技巧之一。

例如，如果有一个关于图形对称的性质，可以利用它来确定几何证明的结果。

3. 尝试反证法在解决某些解题时，可以采用反证法。

也就是先假设所要证明的结论不成立，然后推导出一个矛盾，证明原始假设不正确。

这种方法虽然有时需要花费较长的时间，但可以帮助我们确定证明结论的正确性。

尺规作图在几何证明中起着至关重要的作用。

如果掌握了解题规范和解题技巧，就可以更好地应用尺规作图，快速、准确地解决几何证明问题。

几何证明尺规作图的解题规范与解题技巧几何证明尺规作图是数学中的一项重要技能，它能够帮助我们解决很多与几何形状相关的问题。

尺规作图是通过尺子和指南针这两个最基本的画图工具，来构造各种几何形状和图形。

在这篇文章中，我们将会介绍尺规作图的解题规范和解题技巧，希望能够帮助读者更好地掌握这一技能。

一、解题规范1. 理解题目：在进行几何证明尺规作图之前，首先要仔细阅读题目，理解题目要求，确定所要证明的结论和所给的条件。

2. 画出所给图形：根据所给条件，用尺规作图工具画出所给的图形，这样可以更清晰地理解题目。

3. 表述步骤清晰：在进行尺规作图的过程中，要将每一步的操作都清晰地表述出来，包括用尺规作图工具进行的操作和所得到的结论。

4. 规范书写标记：在尺规作图的过程中，要注意规范书写标记，确保每一步操作都清晰可见，方便他人理解和检查。

5. 严密的逻辑推理：尺规作图的过程就是一个严密的逻辑推理过程，每一步的操作都要有严密的理由和推导，确保所证明的结论是准确的。

二、解题技巧1. 熟练掌握基本作图工具：尺规作图的基本工具是尺子和指南针，要熟练掌握它们的使用方法，包括如何用尺子画直线，如何用指南针画圆等。

2. 理解作图原理：尺规作图是基于尺规作图原理进行的，要深入理解这些原理，包括尺规作图的基本构造和操作规律等。

3. 灵活运用公式定理：在进行尺规作图的过程中，要灵活运用几何定理和公式，包括勾股定理、相似三角形定理等，根据不同的题目情况进行推导和运用。

4. 注意图形的特点：在进行尺规作图的过程中，要注意图形的特点，包括各边的长度关系、角的大小和位置关系等，这样可以更好地进行推导和构造。

5. 多练习多总结：尺规作图是一项需要不断练习的技能，要多做一些相关的练习题，不断总结经验，提高解题的能力。

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尺规作图的三大难题
作者：顾志勇
来源：《初中生世界·八年级》2015年第10期
古希腊人用尺规作图，主要目的在于训练智力，培养逻辑思维能力，所以对作图的工具有严格的限制.他们规定作图只能用直尺和圆规，而他们所谓的直尺是没有刻度的.正是在这种严格的限制下，产生了种种难题.
相传德利安人为了摆脱某种瘟疫，遵照神谕，必须把阿波罗的立方体祭坛的体积扩大一倍.后来，这个问题提到柏拉图那里，柏拉图又把它交给了几何学家.这就是著名的倍立方问题.除倍立方问题外，还有三等分任意角、化圆为方（作一正方形，使其面积等于给定的圆面积）等问题.
在数学史中，很难找到像这样长期被人关注的问题.两千多年以来，无数人的聪明才智倾注于这三个问题而毫无结果.但对这三个问题的深入探索，促进了希腊几何学的发展，引出了大量的发现.如圆锥曲线、许多二次和三次曲线以及几种超越曲线的发现等；后来又有关于有理数域、代数数、超越数、群论和方程论若干部分的发展.直到19世纪，即距第一次提出这三个问题两千年之后，这三个问题才被证实在所给的条件下是不可能解决的.
现在还有不少人创造了各种各样的辅助工具，用来解决这些尺规作图无法解决的问题.下面的工具就可以用来解决三等分任意角的问题（这样的作图就相当于用量角器三等分任意角，已不属于尺规作图范畴）.你能说出其中的道理吗？
（作者单位：江苏省海安县城南实验中学）。

华东师大2011版八年级上册第十三章全等三角形阅读材料由尺规作图产生的三大难题湖北省宜昌市英杰学校袁璐大家好！我今天说课的内容是华东师大2011版八年级上册，第十三章全等三角形，阅读材料——由尺规作图产生的三大难题。

下面，我从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学模式、教具准备、教学过程和板书设计八个方面来说这节课。

一、教材分析尺规作图以严密的逻辑推理，成为数学教学中独具一格的教学内容。

它能够培养学生更加强烈的图形意识,能够更加深入的培养初中生的画图能力,能够给于学生更加强大的空间感。

所以，尺规作图知识虽然篇幅简短，但不可忽略其作用。

在学习尺规作图后，对尺规作图不能问题进行一个简单的探究，对数学历史进行一个简要的介绍，让学生体会到尺规作图的简单美和精确美，从而感受数学独有的文化魅力。

二、学情分析经过本章前一课时的学习，学生已经了解了尺规作图的基本要求，掌握了尺规作图的5种基本作图，能有选择地使用作图工具，完成需要的图形。

学生对尺规作图的接受度较高，对尺规作图的便利性有了较深的体会。

但对尺规作图的研究历史缺乏，对尺规作图还存在片面的认识。

因此，要通过本节课的学习，力争达到以下教学目标。

三、教学目标1、通过阅读材料，了解尺规作图三大难题的具体内容，了解数学发展的历史，渗透数学文化教育，激发学生对数学的热爱；2、在已有的尺规作图经验下，引导学生独立思考、合作交流，通过三等分任意角问题，引导学生发现并初步探究尺规作图不能问题；3、传播数学文化，提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的永不放弃、不停探索的科学精神。

根据以上教学目标和学生已有的认知基础，我确定了本节课的教学重点，教学难点，及如何突出重点，突破难点。

四、教学重难点：教学重点：尺规作图的基本要求，认识由尺规作图产生的三大难题。

教学难点：提高学生的数学史素养，激起学生对数学知识探索的欲望，学习数学家们的探索精神。

用尺规作线段和角的教学重点与难点
在生活实践中和学习各种知识的过程中，经常需要借助于几何图形解决问题．几何学是研究图形的，学习几何更离不开画图．在几何里，利用图形，可帮助我们研究它的性质，反过来，作图方法也是几何研究的成果．因此尺规作图是几何的重要内容，而基本作图是其他复杂作图的基础．作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形．学习尺规作图，一方面可以培养学生正确的作图思想与方法，另一方面在以后做题中经常用到，同时也给实际的技术制图打下了理论基础．由于学生刚刚学习作图问题，首先感到困难的是作图语言的叙述，经常出现不准确、不严密的现象．由于学生还不能完全作图的依据，还不能分析作图方法的来源及作图过程的推理，因此本节的重点是掌握尺规作图的基本方法．难点是几何作图语言的掌握．这里关键是正确理解基本作图的原理．要让学生首先明确已知、求作，然后在此基础上给出草图分析，找出作图的步骤，准确叙述作法，作后完成作图．。

第23讲 尺规作图考纲要求 备考指津1.了解基本作图的概念．2.掌握五种基本作图的方法，并会按要求作出图形．3.会写已知、求作和作法，掌握准确的作图语言．4.能运用尺规基本作图解决有关的作图简单应用.中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主．考点一 尺规作图1．定义：只用没有刻度的直尺和圆规作图叫做尺规作图． 2．步骤：(1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分； (2)分析作图的方法和过程； (3)用直尺和圆规进行作图； (4)写出作法步骤，即作法． 考点二 五种基本作图1．作一线段等于已知线段； 2．作一个角等于已知角； 3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线； 5．作已知线段的垂直平分线． 考点三 基本作图的应用 1．利用基本作图作三角形 (1)已知三边作三角形；(2)已知两边及其夹角作三角形； (3)已知两角及其夹边作三角形；(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形； (5)已知一直角边和斜边作直角三角形． 2．与圆有关的尺规作图(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆)． (2)作三角形的内切圆．1．尺规作图是指( )．A ．用直尺规范作图B ．用刻度尺和尺规作图C ．用没有刻度的直尺和圆规作图D ．直尺和圆规是作图工具2．尺规作图：请在原图上作一个∠AOC ，使其是已知∠AOB 的32倍(要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)．3．如图，AB ，AC 表示两条相交的公路，现要在∠BAC 的内部建一个物流中心．设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处A 点的距离为1 000米．(1)若要以1∶50 000的比例尺画设计图，求物流中心到公路交叉处A 点的图上距离； (2)在图中画出物流中心的位置P .一、基本作图【例1】 如图，已知∠1，∠2，用直尺和圆规求作一个∠AOB ，使∠AOB ＝2∠1－12∠2.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图所示，∠AOB 即为所求作的角．作几个角的和(或几倍)，在某个已知角的外部作；作角的差(或分成几份)，在某角的内部作．二、基本作图的实际应用【例2】 如图，要在一块形状为直角三角形(∠C 为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC 上，且与AB ，BC 都相切．请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．分析：∵圆与AB ，BC 都相切，∴圆心到AB ，BC 的距离相等．∴圆心应是∠ABC 的角平分线与AC 的交点．解：下图即为所求图形．要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．如图，在圆周上有一只蜘蛛P ，图中A ，B 是被蛛网暂时困住的两只苍蝇．因为蜘蛛必须在圆周上某个位置作停留，同时，又想保持对两只苍蝇等距离的监视．则蜘蛛应停留在圆周的何处？请作图表示．1．(2011湖南益阳)如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．( )．A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形2．(2011江苏南京)如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos∠AOB 的值等于__________．3．(2011天津)如图，有一张长为5宽为3的矩形纸片ABCD ，要通过适当的剪拼，得到一个与之面积相等的正方形．(1)该正方形的边长为__________(结果保留根号)；(2)现要求只能用两条裁剪线，请你设计一种裁剪的方法，在图中画出裁剪线，并简要说明剪拼的过程：________________________.4．(2012浙江杭州)如图，是数轴的一部分，其单位长度为a ，已知△ABC 中，AB ＝3a ，BC ＝4a ，AC ＝5A ．(1)用直尺和圆规作出△ABC (要求：使点A ，C 在数轴上，保留作图痕迹，不必写出作法)；(2)记△ABC 的外接圆的面积为S 圆，△ABC 的面积为S △，试说明S 圆S △＞π.1．尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，再分别以点C ，D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是( )．A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS2．如图，已知线段a ，h ，求作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h .张红的作法是：(1)作线段BC ＝a ；(2)作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ； (3)在直线MN 上截取线段h ，确定点A ．(4)连接AB ，AC ，△ABC 即为所求作的等腰三角形．上述作法的四个步骤中，你认为有错误的一步是( )． A ．(1) B ．(2) C ．(3) D ．(4)3．如图，已知△ABC ，分别以A ，C 为圆心，BC ，AB 长为半径画弧，两弧在直线BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ．则有( )．A ．∠ADC 与∠BAD 相等B ．∠ADC 与∠BAD 互补 C ．∠ADC 与∠ABC 互补 D ．∠ADC 与∠ABC 互余4．如图，Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AC ＝2.按以下步骤作图：①以A 为圆心，以小于AC 长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，D ；②分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 长为半径画弧，两弧相交于点P ；③连接AP 交BC 于点F.那么： (1)AB 的长等于__________； (2)∠CAF＝__________.5．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN(如图)，让同学们在直线l 和射线AN 上各找一点B 和C ，使得以A ，B ，C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．6．如图，已知∠AOB，点M ，N ，求作点P ，使点P 在∠AOB 的角平分线上，且PM ＝PN.(保留作图痕迹，不写作法)7．某汽车探险队要从A 城穿越沙漠去B 城，途中需要到河流l 边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．8．如图所示，△ABC 是等边三角形，D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE ＝CD ．(1)用尺规作图的方法，过D 点作DM⊥BE，垂足是M(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求证：BM ＝EM.参考答案基础自主导学自主测试 1．C2．解：已知：∠AOB .求作：∠AOC ，使∠AOC ＝32∠AOB .作图如下：3．解：(1)根据比例尺＝图上距离实际距离得：图上距离＝100 000×150 000＝2.故物流中心到公路交叉处A 点的图上距离为2 cm. (2)如图所示，点P 即为所求．规律方法探究变式训练 解：作图如图所示，作法：①连接AB ；②作AB 的垂直平分线MN ，交圆于P ，Q 两点，则距线段AB 距离较近的点就是要求的点．知能优化训练中考回顾1．B 2.123．解：(1)15(2)如图，①作出BN ＝15(BM ＝4，MN ＝1，∠MNB ＝90°)；②画出两条裁剪线AK ，BE (AK ＝BE ＝15，BE ⊥AK )； ③平移△ABE 和△ADK .此时，得到的四边形BEFG 即为所求． 4．解：(1)△ABC 如图所示：(2)∵△ABC 的外接圆的面积为S 圆，∴S 圆＝π×⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＝25a 24π，△ABC 的面积S △ABC ＝12×3a ×4a ＝6a 2，∴S 圆S △＝254a 2π6a 2＝2524π＞π. 模拟预测1．D 2.C 3.B 4.4 30 5.36．解：如图，连接MN ，作线段MN 的垂直平分线EF ，∠AOB 的角平分线OC ，EF 与OC 相交于点P.则点P 即为所求．7．解：如图所示，点C 即为所求．8．(1)解：如图所示．(2)证明：∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°.∵D点是AC的中点，∴BD是∠ABC的角平分线．∴∠DBC＝30°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.又∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°.∴∠DBC＝∠E.∴DB＝DE.∵DM⊥BE，∴BM＝EM.。

尺规作图一、知识点讲解：1.在几何里把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图，最基本最常用的尺规作图，称基本作图。

2.基本作图包括：①作一角等于已知角；②平分已知角；③经过一点作已知直线的垂线；④作线段的垂直平分线；当然，以前曾学过做一条线段等于已知线段。

3.基本作图的应用，利用基本作图，可以作三角形等。

4.中考要求：在中考中作图题主要有，已知三边作三角形，已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形，已知底边上的高及腰作等腰三角形；已知一锐角和斜边作直角三角形。

二、例题分析例1.已知如图所示，ΔABC，求作ΔA'B'C'，使ΔA'B'C'≌ΔABC。

作法：（1）作B'C'=BC.（2）以B'为圆心，AB长为半径画弧；（3）以C'为圆心，AC长为半径画弧交前弧于A'.（4）连结A'B',A'C'，ΔA'B'C'即为所求。

例2.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到∠AOB的两边的距离相等。

已知：∠AOB及直线MN。

求作：点P。

使点P在直线MN上，且点P到OA，OB距离相等。

作法：1、在OA，OB上分别截取OD，OE使OD=OE。

2、分别以D、E为圆心，大于DE为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点C。

3、作射线OC，交直线MN于点P。

点P即为所求。

例3.已知ΔABC，求作一点，使点P到AB，AC的距离相等，且到边AC的两端点距离相等。

已知：ΔABC，如图。

求作：点P使PA=PC且点P到边AB，AC距离相等。

作法：1、作线段AC的垂直平分线MN。

2、作∠BAC的平分线AO，AO交MN于P，点P即为所求。

例4.已知斜边，一锐角，作直角三角形。

已知：∠a、线段C（如图）求作：RtΔABC，使∠A=∠a,斜边AB=C作法：1、作线段AB=C。

阅读材料：由尺规作图产生的三大难题本文内容来自《华东师大版八年级数学上册教案》，主要介绍尺规作图时可能遇到的三大难题。

一、立方不可能倍
立方不可能倍，这是由公元五世纪时柏拉图学派数学家希帕索斯发现的。

他试图用尺规作图将边长为1的正方体的体积倍增，但失败了。

后来，正如哥德尔证明数学的不完备性一样，费马、笛卡尔等数学家证明了希帕索斯定理的正确性。

二、圆面积无理可求
圆却是无理数和欧拉数e的悖论。

早在公元前四世纪时，希腊数学家麦涅尼斯发现了圆周率，但直到二千年后人们才发现，用尺规作图无法得到一个正方形面积与一个圆面积相等的长和宽比。

这是因为圆的面积是不可理解的数学悖论，一如虚数，永远无法表示为一个有限的小数，因此也不能使用尺规作图。

三、三等分角度难题
尺规作图可以将一个角度分成2、4、8等份，但无法分成3、5、6等份。

这
是因为尺规作图中基本构件只有直线和圆，而三等分角度需要平分圆周角，这实际上是一种立方根问题，即要求解三次方程的根，而尺规作图仅适用于一、二次方程。

结语
尺规作图虽然有其限制性和局限性，但古希腊数学家依然用它成功地解决了许多几何问题。

今天，尺规作图也是数学勾股定理，勾股题等几何问题的重要工具之一。

同时，三大难题的发现也让人们更加深入地理解了数学及其应用的局限性。