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第02章-单层板的刚度与强度1-1

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第二章 单层的刚度与强度

第二章 单层的刚度与强度
1 1 E1 2 1 E1 0 12 2 E2 1 E2 0 0 1 0 2 1 G12 12
作如下定义：
S11 1 E1 S22 1 E2 S66 1 G12 S12 2 E2 S21 1 E1
2018/9/14 weizhou@
r
2 σ2 τ12
σ1 1
16
2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
2 σ2 τ12
1和2表示材料的弹性主方向(正轴向) 1为纵向(沿纤维方向) 2为横向(垂直于纤维方向)
σ1 1
σ1 和σ2是正应力，τ12为切应力 ε1 和ε2为正应变，γ12为切应变
2018/9/14
weizhou@
24
2.1.2 复合材料的单层正轴刚度
单层为正交各向异性的材料时，工程弹性常数的限 制条件：
1 E1 2 E2
E1 , E2 , G12 0
12
E1 E 2 或 2 2 E2 E1
可利用上式限制条件来判断材料的实验数据或正交各 向异性的材料模型是否正确。
§2.1 单层的正轴刚度
2.1.1 单层的正轴应力-应变关系
刚体 定义:在力的作用下,物体内任意两点之间 的距离保持不变 特点:理想模型,实际中并不存在 刚度 受外力作用的物体(材料、构件、结构等) 抵抗变形的能力。能力越强，刚度越大。 正轴 单层材料的弹性主方向 正轴刚度 单层在正轴上所显示的刚度性能
Q11 mE Q22 mE2 1
m (1 1 2 )1
2018/9/14 weizhou@
1
如何求逆矩阵？
1.求行列式的值 2.求伴随矩阵 3.求逆矩阵

4.单层板的偏轴刚度PPT演示课件

4.单层板的偏轴刚度PPT演示课件

sin2 cos2 2sin cos
sin cos sin cos
1 2
cos2 sin2 12
本节重点： （1）平面应力状态下的应力转换和应变转换公式；（2） 偏轴应力-应变关系的物理方程。
2
2.2 单层板的偏轴刚度
2.2.1 应力转换和应变转换-转换的术语
设单层板单元体受面内偏轴正应力σx、σy和偏轴切应力ζxy作用，x 和y分别表示两个任意的坐标轴方向，x轴和y轴称为偏轴，所用坐标 系x-y称为偏轴坐标系。
设斜截面面积为dA，该面法线与x轴的夹角为ϴ，令m=cos ϴ，n=sin ϴ。
4
2.2 单层板的偏轴刚度
2.2.1 应力转换和应变转换——应力转换公式
由∑1=0得。
1dA ( xmdA)m ( xymdA)n ( yndA)n ( xyndA)m 0
简化可得
1
m2
x
n2
y
2mn
xy
由∑2=0得到
在x-y和x’-y’坐标系的坐标转换也有类似关
系 x' mx ny, y' nx my
x mx'ny', y nx'my'
显然，u和u’都是x和y的函数，又根据上式（红色框中），x和y是x’和y’的函数。求导得
1
'x
u' x'
u' x
x x'
u' y
y x'
m
u' x
n
u' y
9
2.2 单层板的偏轴刚度
上节课内容回顾
单层板的宏观力学分析 2.2 单层板的偏轴刚度
1
2.2 单层板的偏轴刚度

《层板的正轴刚度》课件

《层板的正轴刚度》课件
《层板的正轴刚度》ppt 课件
contents
目录
• 引言 • 层板正轴刚度的基本概念 • 层板正轴刚度的计算公式 • 层板正轴刚度的实验验证 • 层板正轴刚度的工程应用 • 结论与展望
01
引言
层板简介
层板是由多层薄板叠加而成的 大型复合结构，广泛应用于航 空、航天、船舶、建筑等领域 。
层板由各向同性的薄板组成， 相邻两层薄板通过胶结剂粘合 在一起，形成一个整体。
结果测量
使用测量仪器测量试 样的应变、挠度等参 数，并记录数据。
数据处理
对实验数据进行整理 、分析和处理，计算 层板的正轴刚度。
实验结果与分析
实验数据整理
结果分析
将实验过程中测得的数据进行整理，形成 表格或图表形式。
根据实验数据，分析层板的正轴刚度与试 样的厚度、材料和结构等因素之间的关系 。
误差分析
正轴刚度决定了层板在受力时的变形程度和承载能力，对于保证层板结构的稳定性 和安全性具有重要意义。
在实际应用中，需要根据层板的工作环境和受力情况，选择合适的正轴刚度值，以 保证层板结构的性能和安全。
02
层板正轴刚度的基本概念
正轴刚度的定义
01
正轴刚度是指在某一正轴方向上 ，层板抵抗变形的能力，通常用 弹性模量E和泊松比μ来表示。
航空航天
航空航天领域对材料的要求极高，层板正轴刚度能够提高机身和机 翼的结构强度和稳定性，确保飞行的安全性和舒适性。
汽车制造
汽车底盘和车身结构中都涉及到层板正轴刚度的应用，能够提高汽 车的承载能力和行驶稳定性。
其他工程领域的应用
水利工程
大坝、水库等水利工程中的闸门、水 闸等结构涉及到层板正轴刚度的应用 ，能够提高工程的稳定性和安全性。

单层板强度理论.共25页

单层板强度理论.共25页
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单层板强度理论.
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭

3_层合板的刚度与强1度

3_层合板的刚度与强1度

由式(3-18)可看出：
A11 随V(90)的增加从Q11线性减小到Q22 A22随V(90)的增加从Q22线性增加到Q11 A12和A66 不变，分别为单层材料的模量Q12和Q66 A16 A26 0，即无拉剪和剪拉耦合效应
由正则化面内刚度系数矩阵求逆，可得正则化面内柔
度系数矩阵为： aa1211
Ex0
A11 m0
x0
A21 A22
Ey0
A22 m0
y0
A12 A11
Gx0y A66
(39a)
式中
m0 (1 (AA111A2)222)1
(3-10a)
此时
x 0,y xx 0,yx 0 ,xy y 0,xy 0
(3-11a)
2/5/2021
weizhou@
16
2/5/2021
weizhou@
2
3.1.1 层合板的表示方法
h/2
上 n/2
上 (n/2)-1
上2
o
) (z)
Qij(z) Qij(z)
(3-1)
h/2 z
下 (n/2)-1 下 n/2
对称层合板是指层合板中面两侧对应处的各单层 材料相同、铺层角相等的层合板。
0 x , xy
a
16
a
66
(311)
面内剪拉耦合系数
0 y , xy
a
26
a
66
weizhou@
15
3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数
当层合板具有正交各向异性的性能，且参考轴也正好
与正交各向异性的主方向重合时，A16 A26 0，
则(3-9)~(3-11)可表示为如下形式：

第02章-单层板的刚度与强度1

第02章-单层板的刚度与强度1

8
单层板的偏轴模量
偏轴模量分量的常数项 偏轴模量分量的周期相幅值
偏轴模量分量之间的关系
偏轴模量分量的估算值
偏轴模量分量的常数项
，U4Q ，5Q U U1
Q
是常数项；
不随铺层角度变化； 具有平均模量的含义；
偏轴模量分量周期相的幅值
U
影响复合材料在不同方向上的刚度； 具有表征复合材料刚度各向异性程度的意义； Q Q 影响复合材料各向程度的主要是 Q U2 U2 U3
简写为
S
1 S11 E1 S66 1 G12 S12
称为柔量分量 或柔度分量
2
E2
S21
1
E1
1 S22 E2
S16 S61 S26 S62 0
模量分量表示的应力~应变关系
1 Q11 2 Q12 0 12
简写为
Q12 Q22 0
0 1 1 0 2 Q 2 Q66 12 12
Q
Q11 mE1 Q12 m 2 E1 Q21 m 1E2 Q66 G12 m 1 1 1 2 Q22 mE2 Q16 Q61 Q26 Q62 0
1 Ex S 11 1 Ey S 22 1 Gxy S 66 S 21 x S 11 S 12 y S 22
xy , x xy , y y , xy
S 61 S 11 S 62 S 22 S 26 S 66
x , xy
S 16 S 66
偏轴工程弹性常数间的关系
2sin cos x 2sin cos y 2 2 cos sin xy

PPT-3.层合板的刚度与强度


面内剪拉耦合系数
0 0 xy, y y,xy
三.面内刚度系数的计算
A A A A A A
* 11 * 22 * 12 * 66 * 16 * 26
U U U U 0 0
(Q ) 1 (Q ) 1 (Q ) 4 (Q ) 5
正交对称层合板：只有相互垂直的两种铺层方向，如[0/90/0]S. 对称均衡层合板：铺层角为-θ的单层数与θ角的单层数相同， 且可包含任意数量的0°层和90°层. 对称均衡斜交层合板：仅由数量相等的-θ层和+θ层组成，不 含0°层和90°层，如[θ/-θ]2S.

非对称层合板 层合板内各单层中纤维的排列方向与中面不对称. 反对称层合板：满足θ(z) = -θ(-z) 关系式的层合板.
* * N x A11 * * N y A21 * * N xy A61
* Nx Nx / h
* Aij Aij / h
* A12
A
A
* 22 * 62
* 0 A16 x * 0 A26 y * 0 A66 xy
V V V
* 1A
Vi cos2 (i )
i 1 l
l
* 2A
Vi cos 4 (i )
i 1 l
* 3A
Vi Sin2 (i )
i 1 l
V4*A Vi Sin4 (i )
i 1
Vi为某一定向层的体积分数 （Vi=ni/n，ni为某一定向层的层数） l为定向数
正则化几何因子
四.几种典型对称层合板的面内刚度
1、正交铺设对称层合板（正交对称层合板）

层合板的刚度与强度

3 层合板的刚度与强度


层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单 层刚度与强度的基础上。 假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的 单层构成的一种连续性材料，并假设各单层 之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变 形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层 合理论称为经典层合理论。 本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚 度与强度。
A Q
h/2 ij h / 2
(k )
dz
ij
则可得正则化面内刚度系数的计算式，见书中(3-24)
3.1.5几种典型对称层合板的面内刚度
层合结构的复合材料，利用铺层的各单层材料和方向 的随意性可以得到各种各样的层合板。这一节将主要讨论 各铺层具有同样材料和厚度的一些特殊的对称层合板。 A.正交铺设对称层合板 凡各铺层只有00和900铺层方向的对称层合板称为正交铺 设对称层合板。 由正则化面内刚度系数的计算式可以求得正交铺设对称 层合板的Aij*。
(k ) 0
h/2
h / 2
Q12 dz
(k )
0
xy h / 2

h/2
Q16 dz
0 xy 0 xy 0 xy
(k )
利用同样方法， 可导出Ny 、 Nxy， 简写为
N N N
x

y
xy
A A A A A A A A A
0 11 x 12 y 16 0 0 21 x 22 y 26 0 0 61 x 62 y 66
同样，由正则化面内刚度系数的计算式可以求得Aij*。
A Q
11

( )
11
A Q
22

( ) 22
A Q
12

第二章单层的刚度与强度

2 单层的刚度与强度
层合板由许多单层板组成，所以，单层的刚度 与强度是分析层合板刚度与强度的基础。
宏观力学方法
从力学的角度来分析复合材料
细观力学方法
本章将讨论单层的刚度与强度，给出宏观力学分析方法的结果。
.
2.1单层的正轴刚度
单层的正轴刚度是指单层在正轴（即单层材料的弹性主方 向）上所显示的刚度性能。【由于单层厚度与其他尺寸相 比较小，一般按平面应力状态进行分析。】
Sij与Qij之间存在互逆关系
Q S 1
ij
ij
.
可以证明，模量分量或柔量分量存在如下的对称关系式： Q21 = Q12 , S21 = S12
因此,表述单层的正轴刚度可以用工程弹性常数 （EL、ET、‫ע‬L、GLT）、模量分量、柔量分量中的任意一组。 式计算。)5(T可利用‫ ע‬,T‫ ע‬，L‫、ע‬GLT、ET、实验法测EL 实际复合材料工程中，经常碰到正方对称单层的情况，如 经纬交织布成型的玻璃钢其单层就是这种情况，此时，它1：1 的刚度参数存在如下关系： EL=ET ， 22 = S11 , S22 = Q11Q 个就行了。3这种材料的工程弹性常数测
Q 12 Q 21 S 21 S12
vLE L vT E T
.
2.2 单层的偏轴刚度
单层的偏轴刚度参数由单层在偏轴下的应力－应变关系所 确定。
正轴下的应力－应变关系与偏轴下的应力－应变关系可以相 互转化。
2.2.1 应力转化与应变转化公式
根据材料力学中推导应力转化公式的方法,推得由偏轴应力求 正轴应力(称为应力正转换)的公式，如下：
dw w 1d1 w 2d2w 12 d12
比较上面两个dw式， w 11 w 22 w 1212

层合板的刚度与强度.


0
x
11 x
12
y
16
xy
a N a N a N 0
y
21
x
22
y
26
xy
（3－4）
a N a N a N 0
xy
61
x
62
y
66
xy
很明显，aij*=aijh，称为对称层合板的正则化面内柔度系数。 aij*的意义是，当对称层合板为单向层合板时，
a s ij
ij 即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。
称为层合板的面内刚度系数。面内刚度系数也象模量分量一
样，具有对称性。即Aij=Aji
为了使本章讨论对称层合板的刚度与以前讨论单向层合 板的刚度相关联。因此，将面内力与面内刚度系数进行正则 化，即设
N
x
Nx h
N
y
Ny h
N
xy
N xy
h
A
ij
Aij h
Nx*、Ny*、Nxy*称为层合板的正则化面内力，单位是Pa或N/m2， 它们实际上表示了层合板的平均应力，又称层合板应力。 Aij* 称为层合板的正则化面内刚度系数，单位是Pa或N/m2， 与模量分量的量纲一样。
在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接
的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向 上坐标为Z的任一点的面内位移就等于中面的位移， 即
u(z)=u0
v(z)=v0
这在层合板的厚度与长度、宽度相比为很小时
是合理的。
所以沿层合板厚度上各点的应变是一样的。
εx(z)=εx˚ εy (z)=εy˚ γxy(z)=γxy˚
或【05/902/45/-456/45/902/05】T 另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用T的标记法。 例如：【05/903/05】T
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单层板的正轴应力~应变关系
单层板正轴向的应变~应力关系符合广 义胡克定律
含5个工程弹性常数，其中独立的有4个
1 2 E1 E2
工程常数的可由试验方便测得
用柔度分量表示的应变~应力关系
1 S11 2 S 21 S 12 61 S12 S 22 S62 S16 1 S11 S 26 2 S 21 0 S66 12 S12 S 22 0 0 1 0 2 S66 12
工程弹性常数的限制条件
E1 , E2 , G12 0 S11 , S22 , S66 0 Q11 , Q22 , Q66 0
E1 E2 或 E2 E1
2 1 2 2
可用此检验材料试验数据的正确性
例题
已知实验测得硼纤维/环氧复合材料
E1 83.0GPa, E2 9.31GPa
2.1 单层板的正轴刚度
单层板在正轴的应力~应变关系
按平面应力状态进行分析 只考虑单层面内的应力 依据是单轴试验结果
纵向单轴试验
1
1
1
E1
2 11 1
1
1
1
E1
试验如何做
试验如何做
横向单轴试验
1 2 2 2
xy , x xy , y y , xy
S 61 S 11 S 62 S 22 S 26 S 66
x , xy
S 16 S 66
偏轴工程弹性常数间的关系
由于柔度分量的对称性：
x Ex S 22 a y E y S 11 xy , x Ex S 66 b x , xy Gxy S 11 xy , y E y S 66 c y , xy Gxy S 22
sin 2 cos 2 2sin cos
sin cos x sin cos y cos 2 sin 2 xy sin cos 1 sin cos 2 cos 2 sin 2 12
x cos 2 2 sin y 2sin cos xy
1 [ T ] 1 x
[T ] [T ]
1 T
[T ]T [T ]1
单层板的偏轴应力~应变关系
x [T ]1 1 [T ]1 Q1 [T ]1 Q[T ] x Q x
单层板的偏轴模量

Q 矩阵的元素
Q ij 称为偏轴模量
4 m Q11 n4 Q 22 2 2 m n Q12 2 2 Q m n 66 3 Q16 m n Q mn3 26
简写为
Q12 Q22 0
0 1 1 0 2 Q 2 Q66 12 12
Q
Q11 mE1 Q12 m 2 E1 Q21 m 1E2 Q66 G12 m 1 1 1 2 Q22 mE2 Q16 Q61 Q26 Q62 0
x [T ] 1
应变转换公式-由几何关系导出
2 cos 1 2 sin 2 2sin cos 12
sin 2 cos 2 2sin cos
1 [T ] x
脆性材料 b
单层板的基本强度
Xt-纵向拉伸强度
4 2 2 2 2 m 2m n 4m n Q 11 2 2 4 4 2 2 mn m n 4m n Q 22 2 2 2 m2 n2 2m 2 n 2 m n Q12 3 3 3 3 3 mn mn m n 2 mn m n Q66 m3n m3n mn3 2 m3n mn3 n4 2m 2 n 2 4m 2 n 2 m cos n sin
2
Q ， Q
U3 是周期相的幅值；
偏轴模量分量的估算值
Q11 远大于其他正轴模量，计算 Q ij 时 起主要作用，仅考虑 Q11 的贡献。
U1
Q Q
3Q11 8
U2 Q11 2 Q Q Q U3 U4 U5 Q11 8
单层的偏轴模量
S [T ]1 S [T ] S Q
1
Q S
1
单层板的偏轴工程弹性常数
单层板在偏轴下由单轴应力或纯剪应力确 定的刚度性能参数； 不便用实验测得
可通过计算求得
偏轴工程弹性常数的定义
单层板偏轴下单轴应力或纯剪应力的刚度性 能参数，根据此定义
1 Ex S 11 1 Ey S 22 1 Gxy S 66 S 21 x S 11 S 12 y S 22
2
2
2
E2
2
2
2
E2
面内剪切试验
12
12
G12
单层板的正轴应变应力关系
所有载荷共同作用时
1 E1 1 1 2 E 1 12 0
2
E2
1 E2 0
0 1 0 2 12 1 G12
偏轴工程弹性常数的方向性
Ex-在0度最高，90度最低
随方向角增大而迅速下降
Gxy-在0度和90度方向最低
±45度最高
υx-在0度~90度之间有1个最
大值，在90度方向最小
ηxy,x-在0度和90度为0，在
中间角度有较大值
耦合效应与耦合系数
复合材料单层板在偏轴应力作用下，存在拉 剪耦合效应。
cos 4 cos 2 cos 4 0 cos 4 1 Q 0 cos 4 U 2 U Q 1 sin 2 sin 4 3 2 1 sin 2 sin 4 2 Q U1 Q 3Q11 3Q22 2Q12 4Q66 8 U2 Q11 Q22 2 Q Q U3 Q11 Q22 2Q12 4Q66 8 U4 Q11 Q22 6Q12 4Q66 Q U5 Q11 Q22 2Q12 4Q66 8 cos 2 U1Q Q11 Q U1 Q 22 Q U 4 Q12 U Q Q 5 66 Q16 0 Q 26 0
1 [T ] x
sin 2 cos 2 sin cos
1
2sin cos x 2sin cos y 2 2 cos sin xy
x cos 2 2 sin y sin cos xy 2sin cos 1 2sin cos 2 cos 2 sin 2 12
称为模量分量 或刚度分量
单层板的正轴刚度的描述方法
工程弹性常数-由试验测定或用细观力学方法检
测，物理意义明确
柔量分量-描述应变~应力关系，用于由应力计算
应变，与工程弹性常数简单换算
模量分量-描述应力应变关系，用于由应变求应
力，与柔量分量互逆，即[Q]=[S] -1
确定单层板正轴刚度的方法是用试验测定 工程常数，一般测E1、E2 、 G12和v1
xy
单轴拉伸状态的变形图
偏轴工程弹性常数的计算
偏轴工程弹性常数与正轴工程弹性常数之 间没有直接的转换关系，它是由柔量导引 得出的
单层板的强度
单层板的基本强度 - 强度指标
单层板的强度准则 - 强度理论
单层板的强度比方程- 计算方法
各相同性材料的强度指标
各相同性材料的强度指标只有1个 塑性材料 s
简写为
S
1 S11 E1 S66 1 G12 S12
称为柔量分量 或柔度分量
2
E2
S21
1
E1
1 S22 E2
S16 S61 S26 S62 0
模量分量表示的应力~应变关系
1 Q11 2 Q12 0 12
xy , x x , xy xy x
x x
Ex S 61
xy , y
xy y
y
y
E y S 62
y x xy Gxy S 16 y , xy xy Gxy S 26 xy xy
xy
1 1.97, 2 0.22
试判断试验结果是否合理？
2.2 单层板的偏轴刚度
单层板在非材料主向的刚度
实际工程应用的需要 通过正轴刚度转换得到
应力转换与应变转换
应力转换矩阵-由静力平衡条件导出
2 2 cos sin 1 2 2 sin cos 2 sin cos sin cos 12
单层板的偏轴模量
偏轴模量具有对称性 Qij Q ji 模量转换公式只适用从正轴到偏轴的转换
Q16 和
Q 26 是联系剪应变和正应力的耦合分量
Q 61 和 Q 62 是联系正应变和剪应力的耦合分量 偏轴模量只与常数 Q11、Q22、Q12、Q66 有关
倍角形式的模量转换公式
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单层板的偏轴模量