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杆单元和梁单元

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杆单元和梁单元

杆单元和梁单元

（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u 为u( x) |x x u1， ( x) |xx u2 ，代入上式插值模式公式得： a1 a2 x1 u1
1
2
a1 a2 x2 u2
求解得到
a1 u1 x1 (u1 u2 ) /( x1 x2 ) a2 (u1 u2 ) /( x1 x2 )
u dN ( x) u1 1 ( x) e x dx u2 l u1 1 u1 B e l u2 u2
(4.6)
(4.7)
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
Ee ( x) E e B ( x) δ e S ( x) δ e e l E e u1 e u2 l
δ (1)
u1 u2
K
(1)
E (1) A(1) (1) l
1 1 1 1
P
(1)
R1 R2
4.1 杆件系统的有限2)
u2 u3
(1) (2)
K
(2)
E (2) A(2) l (2)
u 2 , u3
（9）建立系统弹性方程
u2
u3
E (1) A(1) E (2) A(2) l (1) l (2) R2 = F3 E (2) A(2) (2) l
E (2) A(2) (2) u2 l (2) (2) E A u3 l (2)
u1
1 单元1 2
E2 , A2 , l2
u2
单元2 3

第5章 杆单元和梁单元

第5章 杆单元和梁单元

1 u2 E (2) A(2) (2) 2 u3 l
1 1 u2 1 1 1 u 2 R2 3
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2 的函数，如下： u 3
5.1 杆件系统的有限元分析方法
(1) (1) (1)
F3 10N
，进行相应的单元应力计算。得到的结果如下：
0 u1 4 u2 2.5 10 m u 7.5 10 4 m 3
(2) ( x) 5 103 (1) 0.05MPa (2) = 0.1MPa
第五章 杆单元和梁单元
第5章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
E (2) A(2) (2) u2 1 u2 l 0 F3 (2) (2) E A u3 2 u3 l (2)
5.1.1 一维杆单元
u2 由最小势能原理，势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 的条件是 ，得如下方程式 0, 0
P 1 , u1
E e , Ae , l e
1
图 5-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关 系式 u P 1 e 1 (5.1) k
P2
u2
其中， k e 称为单元刚度矩阵
5.1.1 一维杆单元

有限元杆单元讲解

有限元杆单元讲解
应力： E
第 2 章 杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
轴向拉压变形模式下，该杆单元的行为与弹簧单元相同，因 此杆单元的刚度矩阵为：
EA k L
比照弹簧元的刚度方程，写出杆单元的刚度方程为：
f i k k ui EA 1 1 ui f j k k u j L 1 1 u j
( x) ——杆单元应变 ( x)——杆单元应力
du 应变—位移关系： dx 应力—应变关系： E
第 2 章
杆单元与梁单元
§2.1.1 一维等截面杆单元
（一）直接法导出单元特性 杆单元伸长量： u j ui
应变： L
E L EA EA 杆内力：F A k L L EA 杆的轴向刚度： k L
第2章 杆单元与梁单元
第 2 章
杆单元与梁单元
§ 2.1 等截面杆单元
杆单元
2.1.1 一维等截面杆单元
2.1.2 二维空间杆单元
•如何用直接法求杆单元特性？ •如何用公式法导出杆单元特性？ •什么是虚功原理？ •杆单元刚度矩阵的特点？
第 2 章 杆单元与梁单元
•什么叫坐标变换？ •如何对节点位移向量进行坐标变换？ •如何对刚度矩阵进行坐标变换？ •应用举例
上述方程组中删除第１，３个方程，得到：
2 2 0 0 F1 EA 2 3 1 u 2 P L 0 F 0 1 1 3
解得：
u1 0 PL 位移解： u 2 1 u 3EA 0 3
对于杆单元，定义虚位移如下：

ansys常用单元

ansys常用单元

应熟悉的单元杆单元：LINK8、LINK10、LINK180梁单元：BEAM3、BEAM4、BEAM188、BEAM189管单元：PIPE16、PIPE202D实体单元：PLANE82、PLANE183 3D实体单元：SOLID65、SOLID92/95、SOLID191壳单元：SHELL63、SHELL93、SHELL181弹簧单元：COMBIN14、COMBIN39质量单元：MASS21矩阵单元：MATRIX27表面效应单元：SURF154LINK1单元有着广泛的工程应用，比如：桁架、连杆、弹簧等等。

这种二维杆单元是杆轴方向的拉压单元，每个节点有2个自由度：沿节点坐标系x、y方向的平动。

就象在铰接结构中的表现一样，本单元不承受弯矩。

单元的详细特性请参考理论手册。

三维杆单元的描述参见LINK8。

下图是本单元的示意图LINK8单元有着广泛的工程应用，比如：桁架、缆索、连杆、弹簧等等。

这种三维杆单元是杆轴方向的拉压单元，每个节点有3个自由度：沿节点坐标系x、y、z方向的平动。

就象在铰接结构中的表现一样，本单元不承受弯矩。

本单元具有塑性、蠕变、膨胀、应力刚化、大变形、大应变等功能。

其详细特性请参考理论手册。

仅受拉或仅受压的三维杆单元是LINK10。

LINK10—三维仅受拉或仅受压杆单元单元描述：LINK10单元独一无二的双线性刚度矩阵特性使其成为一个轴向仅受拉或仅受压杆单元。

使用只拉选项时，如果单元受压，刚度就消失，以此来模拟缆索的松弛或链条的松弛。

这一特性对于将整个钢缆用一个单元来模拟的钢缆静力问题非常有用。

当需要松弛单元的性能，而不是关心松弛单元的运动时，它也可用于动力分析（带有惯性或阻尼效应）。

此单元是SHELL41（KEYOPT(1)＝2，“布”选项）的线化版本如果分析的目的是研究单元的运动（没有松弛的单元），那么应该使用类似于LINK10的不能松弛的单元，比如：LINK8或PIPE59。

对于最终收敛结果为绷紧状态的结构，如果迭代过程中可能出现松弛状态，那么这种静力收敛问题也不能使用LINK10单元。

总结一下不同单元之间的连接问题

总结一下不同单元之间的连接问题

总结一下不同单元之间的连接问题论坛里常有人问不同单元之间的连接问题，我自己也一直被这个问题所困绕，最近从ANSYS 工程分析进阶实例上知道了ANSYS中不同单元之间的连接原则。

感觉收收获不小，现把它上传与大家共享。

一般来说，按“杆梁壳体”单元顺序，只要后一种单元的自由度完全包含前一种单元的自由度，则只要有公共节点即可，不需要约束方程，否则需要耦合自由度与约事方程。

例如：（1）杆与梁、壳、体单元有公共节点即可，不需要约束方程。

（2）梁与壳有公共节点怒可，也不需要约束写约束方程；壳梁自由度数目相同，自由度也相同，尽管壳的rotz是虚的自由度，也不妨碍二者之间的关系，这有点类同于梁与杆的关系。

（3）梁与体则要在相同位置建立不同的节点，然后在节点处耦合自由度与施加约束方程。

（4）壳与体则也要相同位置建立不同的节点，然后在节点处耦合自由度与施加约束方程。

例如：杆与梁、壳、体单元有公共节点即可，不需要约束方程。

梁与壳有公共节点即可，也不需要约束写约束方程；壳梁自由度数目相同，自由度也相同，尽管壳的rotz是虚的自由度，也不妨碍二者之间的关系，这有点类同于梁与杆的关系。

梁与体则要在相同位置建立不同的节点，然后在节点处耦合自由度与施加约束方程。

壳与体则也要相同位置建立不同的节点，然后在节点处耦合自由度与施加约束方程。

举例：有一长为100mm的矩形截面梁，截面为10X1mm，与一规格为20mmX7mmX10mm的实体连接，约束实体的端面，在梁端施加大小为3N的y方向的压力，梁与实体都为一材料，弹性模量为30Gpa，泊松比为0.3。

本例主要讲解梁与实体连接处如何利用耦合及约束方程进行处理。

命令流如下：FINI/CLE/FILNAME,BEAM_AND_SOLID_ELEMENTS_CONNECTION !定义工作文件名/TITLE,COUPLE_AND_CONSTRAINT_EQUATION !定义工作名/PREP7ET,1,SOLID95 !定义实体单元类型为SOLID95ET,2,BEAM4 !定义梁单元类型为BEAM4MP,EX,1,3E4 !定义材料的弹性模量MP,PRXY,1,0.3 !定义泊松比R,1 !定义实体单元实常数R,2,10.0,10/12.0,1000/12.0,10.0,1.0 !定义梁单元实常数BLC4,,,20,7,10 !创建矩形块为实体模型WPOFFS,0,3.5 !将工作平面向Y方向移动3.5WPROTA,0,90 !将工作平面绕X轴旋转90度VSBW,ALL !将实体沿工作平面剖开WPOFFS,0,5 !将工作平面向Y方向移动5WPROTA,0,90 !将工作平面绕X轴旋转90度VSBW,ALL !将实体沿工作平面剖开WPCSYS,-1 !将工作平面设为与总体笛卡儿坐标一致K,100,20,3.5,5 !创建关键点K,101,120,3.5,5 !创建关键点L,100,101 !连接关键点生成梁的线实体LSEL,S,LOC,X,21,130 !选择梁线LATT,1,2,2 !指定梁的单元属性LESIZE,ALL,,,10 !指定梁上的单元份数LMESH,ALL !划分梁单元VSEL,ALL !选择所有实体VATT,1,1,1 !设置实体的单元属性ESIZE,1 !指定实体单元尺寸MSHAPE,0,2D !设置实体单元为2DMSHKEY,1 !设置为映射网格划分方法VMESH,ALL !划分实体单元ALLS !全选FINI !退出前处理/SOLU !进入求解器ASEL,S,LOC,X,0 !选择实体的端面DA,ALL,ALL !约束实体端面ALLS !全选FK,101,FY,-3.0 !在两端施加Y向压力CP,1,UX,1,21 !耦合节点1和节点21X方向自由度CP,2,UY,1,21 !耦合节点1和节点21Y方向自由度CP,3,UZ,1,21 !耦合节点1和节点21Z方向自由度CE,1,0,626,UX,1,2328,UX,-1,1,ROTY,-ABS(NZ(626)-NZ(2328)) !设置约束方程CE,2,0,67,UX,1,4283,UX,-1,1,ROTZ,-ABS(NY(67)-NY(4283)) !设置约束方程CE,3,0,67,UZ,1,4283,UZ,-1,1,ROTX,-ABS(NY(67)-NY(4283)) !设置约束方程ALLS !全选SOLVE !保存FINI !退出求解器/POST1 !进入通用后处理PLNSOL, U,Y, 0,1.0 !显示Y方向位移PLNSOL, S,EQV, 0,1.0 !显示等效应力ETABLE,ZL1,SMISC,1 !读取梁单元上I节点X方向的力ETABLE,ZL2,SMISC,7 !读取梁单元上J节点X方向的力ETABLE,MZ1,SMISC,6 !读取梁单元上I节点Z方向的力矩ETABLE,MZ2,SMISC,12 !读取梁单元上J节点Z方向的力矩PLETAB,ZL1 !显示梁单元X方向的力PLETAB,MZ1 !显示梁单元Z方向力矩上面所述的不同单元之间的接连方法主要是用耦合自由度和约束方程来实现的，有一定的局限性，只适用于小位移，下面介绍一种支持大位移算法的方法，MPC法。

《杆单元和梁单元》课件

《杆单元和梁单元》课件
杆单元和梁单元是结构分析中常用的元素，它们在模拟和分析复杂结构的力学行为方面具 有重要作用。
当前研究的主要成果
经过多年的研究，杆单元和梁单元在理论建模、数值计算和实验验证等方面取得了许多重 要成果，为工程实际提供了有力支持。
面临的主要挑战
尽管杆单元和梁单元的研究已经取得了很大进展，但仍存在一些挑战，如提高计算精度、 处理复杂边界条件和适应大规模计算等。
动力响应
研究杆件在受到瞬态或周期性动力作用下的响应，如地震、风载等 自然灾害作用下的结构动力响应。
杆单元的稳定性分析
失稳判据
根据不同的失稳形式，如弯曲失 稳、剪切失稳等，采用相应的失 稳判据进行稳定性分析。
临界荷载
求解使杆件达到临界状态的荷载 ，即临界荷载，用于评估结构的 稳定性。
稳定性设计
根据稳定性分析结果，采取相应 的设计措施，如增加支撑、改变 截面形状等，以提高结构的稳定 性。
平衡方程
根据力的平衡原理，建立梁单元的平衡方程。
弯曲变形
考虑梁的弯曲变形，根据挠曲线近似法或能量法求解弯曲变形。
剪切变形
考虑梁的剪切变形，根据剪切力与剪切位移的关系求解剪切变形。
梁单元的动力分析
运动方程
根据牛顿第二定律和动力学基本原理，建立梁单元的 运动方程。
振动分析
分析梁的自由振动和受迫振动，求解振幅、频率和阻 尼等参数。
杆单元在桥梁工程中的应用
总结词
桥梁工程中广泛应用
详细描述
在桥梁工程中，杆单元被广泛应用于构建桥梁的支撑体系，如钢拱桥的拱肋、 斜拉桥的拉索等。杆单元能够承受拉压、弯曲等多种载荷，提供稳定的支撑作 用，确保桥梁的安全性和稳定性。
梁单元在建筑结构中的应用
总结词

ANSYS软件中常用的单元类型

ANSYS软件中常用的单元类型一、单元（1）link(杆)系列：link1(2D)和link8(3D)用来模拟珩架，注意一根杆划一个单元。

link10用来模拟拉索，注意要加初应变，一根索可多分单元。

link180是link10的加强版，一般用来模拟拉索。

（2）beam(梁)系列：beam3(2D)和beam4(3D)是经典欧拉梁单元，用来模拟框架中的梁柱，画弯据图用etab 读入smisc数据然后用plls命令。

注意：虽然一根梁只划一个单元在单元两端也能得到正确的弯矩图，但是要得到和结构力学书上的弯据图差不多的结果还需多分几段。

该单元需要手工在实常数中输入Iyy和Izz，注意方向。

beam44适合模拟薄壁的钢结构构件或者变截面的构件，可用"/eshape,1"显示单元形状。

beam188和beam189号称超级梁单元，基于铁木辛科梁理论，有诸多优点：考虑剪切变形的影响，截面可设置多种材料，可用"/eshape,1"显示形状，截面惯性矩不用自己计算而只需输入截面特征，可以考虑扭转效应，可以变截面（8.0以后），可以方便地把两个单元连接处变成铰接（8.0以后，用ENDRELEASE命令）。

缺点是：8.0版本之前beam188用的是一次形函数，其精度远低于beam4等单元，一根梁必须多分几个单元。

8.0之后可设置“KEYOPT(3)=2”变成二次形函数，解决了这个问题。

可见188单元已经很完善，建议使用。

beam189与beam188的区别是有3个结点，8.0版之前比beam188精度高，但因此建模较麻烦，8.0版之后已无优势。

(3)shell(板壳)系列shell41一般用来模拟膜。

shell63可针对一般的板壳，注意仅限弹性分析。

它的塑性版本是shell43。

加强版是shell181（注意18*系列单元都是ansys后开发的单元，考虑了以前单元的优点和缺陷，因而更完善），优点是：能实现shell41、shell63、shell43...的所有功能并比它们做的更好，偏置中点很方便（比如模拟梁板结构时常要把板中面望上偏置），可以分层，等等。

ANSYS杆单元,梁单元简介

ANSYS中提供的杆单元简介LINK1 二维杆单元，应用于平面桁架，杆件，弹簧等结构，承受轴向的拉力和压力，不考虑弯矩，每个节点具有X和Y位移方向的两个自由度，单元不能承受弯矩，只用于铰链结构应力沿单元均匀分布。

具体应用时存在如下假设和限制：1．杆件假设为均质直杆，在其端点受轴向载荷。

2．杆长应大于0，即节点i,j不能重合3．杆件必须位于x-y平面且横截面积要大于04．温度沿杆长方向线性变化5．位移函数的设置使得杆件内部的应力为均匀分布6．初始应变也参与应力刚度矩阵的计算LINK8 三维杆单元，应用于空间桁架，是 LINK2的三维情况，用来模拟桁架，缆索，连杆，弹簧等，这种三维杆单元是杆轴方向的拉压单元，每个节点有三个自由度，即沿节点坐标系x，y，z，方向的平动，就像在铰链结构中表现的一样，本单元不承受弯矩。

本单元具有塑性，蠕变，膨胀、应力刚化、大变形和大应变等功能。

具体应用时存在如下假设和限制：1.杆单元假定为直杆，轴向载荷作用在末端，自杆的一端至另一端均为统一属性2.杆长应大于0，即节点i,j不能重合3.横截面积要大于04.温度沿杆长方向线性变化5.位移函数暗含着在杆上有相同的应力6.即便是对于第一次累计迭代，初始应变也被用来计算应力刚度矩阵LINK10 三维仅受压或仅受拉杆单元，应用于悬索，它具有独一无二的双线性刚度矩阵特性，使用只受拉选项时，如果单元受压，刚度就消失，以此来模拟缆索的松弛或是链条的松弛，这一特性对于整个钢缆用一个单元来模拟的钢缆静力问题非常有用，当需要松弛单元的性能，而不关心松弛单元的运动时，他也可用于动力分析（带有惯性和阻尼效应）。

如果分析的目的是研究单元的运动（没有松弛单元），那那么应该使用类似于LINK10的不能松弛的单元，如LINK8或PIPE59。

对于最终收敛结果是紧绷状态的结构，如果迭代过程中可能出现松弛状态，那么这种静力收敛问题也不能使用LINK10单元。

而使用其他单元。

hypermesh的cbar单元用法

hypermesh的cbar单元用法Hypermesh是一款用于有限元分析的软件，其中包括了多种不同类型的单元元素，其中之一是CBAR单元。

CBAR（梁单元）是一种常用的单元元素，用于分析和建模梁的力学行为。

下面将详细介绍CBAR单元的使用方法。

1. CBAR单元概述CBAR单元是一维杆单元，用于描述直线性质的结构元件，如梁或柱。

CBAR单元具有两个节点，每个节点具有三个自由度，即x，y和z方向的位移。

CBAR 单元可以使用不同类型的截面属性（圆形、矩形等）来描述梁的几何形状。

CBAR 单元可以模拟梁的弯曲、剪切和轴向变形。

2. CBAR单元的建模步骤使用CBAR单元进行分析时，需要按照以下步骤进行建模：2.1. 准备工作在使用CBAR单元之前，需要进行准备工作，包括创建新的工程文件、导入几何模型以及定义材料和截面属性。

2.2. 创建节点首先，需要创建节点，这些节点用于定义CBAR单元的起始和结束位置。

节点可以通过手动输入坐标或者通过导入几何模型来创建。

2.3. 创建CBAR单元在节点创建完成后，现在可以创建CBAR单元了。

选择CBAR单元，并选择两个节点作为起点和终点。

CBAR单元可以直接在GUI界面上进行创建，也可以通过脚本自动生成。

2.4. 设置材料和截面属性每个CBAR单元都需要定义材料和截面属性。

材料属性包括弹性模量、泊松比等。

截面属性包括几何形状和尺寸信息，例如梁的宽度、高度等。

2.5. 定义边界条件和加载完成CBAR单元的创建后，需要定义边界条件和加载。

边界条件包括固定边界条件、约束等。

加载可以是静态加载、动态加载或温度加载等。

2.6. 生成网格在所有必要的参数定义完成后，可以使用HyperMesh的自动网格划分工具生成CBAR单元的网格。

网格生成可以根据用户定义的网格尺寸参数进行调整和优化。

2.7. 检查和修改网格生成网格后，需要对网格进行检查和修改。

这可以通过使用HyperMesh的网格编辑工具来实现。

杆件系统有限单元法

e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
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(2) E(2) A (2) u2 l (2) (2) E A u3 l(2)
(4.15)
（10）求解节点位移 u 2 由上式方程可以直接求解得到 , 注意到R2是内 u3 力，不做功。在求解过程中，可以视为0。也就是
4.1 杆件系统的有限元分析方法
P 1 , u1
E，A，l 1
图 4-2 杆单元
P2 , u2
2
对于两个节点的杆单元，存在如下节点力和节点位移的关系 式 u P1 e 1 (4.1) k
P2
u2
e 其中， k 称为单元刚度矩阵
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（2）确定位移模式
2 () x a a x a x 假设单元位移场： u 1 2 3 a 2 可由节点位移 u 1 、u 2 确定，称为位 取其线性部分，系数 a 1 、 移插值模式（interpolation model）. (4.2) ux ( )a ax 1 2
x x N ( x ) ( 1 ) x x x x 2 1 2 1
(4.4)
记节点位移矢量 (nodal displacement vector)是 u1 e (4.5) δ u2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
因此，用形函数矩阵表达的单元内任一点的位移函数是
可记作
(4.13)
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（8）引入边界条件（Treatment of boundary conditions） 为获取许可位移场，需引入边界条件
B Cu ( ): u 0 1
(4.14)
由于u 1 0 ，可划去它所对应的行和列，这样基于许可位移 场的系统总势能为
( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) EA EA EA T ( ( ( 1 ) 2 ) 2 ) u u u l 1 1 l l 2 2 2 0F 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) u u u 2 EA EA 3 3 3 2 ( 2 ) ( 2 ) l l
4.势能函数对未知位移 求变分，满足 u3 0, 0 ，得如下方程式 的条件是 m in
u 2 ,u 3
（9）建立系统弹性方程
u2
u3
(1 ) (2) E(1) A E(2) A l(1) l(2) R2 = (2) E(2) A F3 (2) l
e
δ (1 )
u1 u2
( 1 ) ( 1 ) 1 1 E A ( 1 ) K (1) 1 1 l
P
(1 )
R1 R2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
第二个单元：
δ
(2)
u2 u3
(2 ) (2 1 E A ) 1 K (2) 1 1 l (2 )
u 1 1 1 () x B () x δ ( 1 ) ( 1 ) u l l 2
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
u 1 1 2 () x B() x δ ( 2 ) ( 2 ) u l l 3 （12）各单元应力
u1
1 单元1 2
u2
E2 , A2 , l2
单元2 3
F3 10N
x
图 4-1 杆件结构
（1）确定坐标系、单元离散，确定位移变量, 外载荷及边界 条件。
4.1 杆件系统的有限元分析方法
要建立两种坐标系：单元坐标系（局部坐标系）、整体坐标 系。根据自然离散, 坐标系建立成一维, 单元划分为两个, 给出 相应的节点1、2、3以及相应的坐标值（见图4-1）。在局部 坐标系中，取杆单元的左端点为坐标原点，图4-2为任取的一 个杆单元。
( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
（4.17）
利用物理方程，求单元的应力
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) E E B () x δ
（4.18）
4.1 杆件系统的有限元分析方法
（13）各支点反力 各支反力公式是由单元最小势能原理得到的，即
( 1 ) ( 1 ) u R 1 1 E A 1 1 Kδ P （4.19） ( 1 ) u P 1 1 l 2 2 为了清楚起见, 将上述两杆结构代入具体数 ( 1 ) ( 2 ) 7 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) 2 值： ， ， ， E E 2 1 0 P a A l l 1 0 c m 2 A 2 c m
P
(2)
R2 F3
整体结构的总势能是所有单元的势能的和，即
( 1 ) ( 1 ) u u u 1 E 1 1 1 A 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) R R 1 2 ( 1 ) u u u 1 1 2 l 2 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) u u u 1 1 1 1 E A 2 2 2 R F 2 3 ( 2 ) u u u 1 1 2 l 2 3 3 3 T T
4.1 杆件系统的有限元分析方法
根据最小势能原理， e 其中节点载荷矩阵为
0 ，得
e e e K δ P
(4.11)
P1 P P2 （7）把所有单元按结构形状进行组集（assembly of discrete elements） 对于图4.1所示结构 第一个单元：
u1 在这里，把表达成整体位移矢量 u 2的函数，如下： u 3
4.1 杆件系统的有限元分析方法
( 1 ) ( 1 ) E A l(1 ) T (1 u 1 ) ( 1 ) 1 E A u (1 2 ) 2 l u 3 0 ( 1 ) ( 1 ) E A (1 0 T l) u R u 1 1 1 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) EA E A E A 1 u R u 2 2 ) ) ) 2 2 l(1 l(2 l(2 u F u ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 3 3 3 EA EA (2 ) l) l(2
（5）应力 由弹性力学的物理方程知：
e e u E E 1 e e e () x E B () x δ S () x δ l e e u l 2
(4.8)
（6）利用最小势能原理导出单元刚度矩阵
单元的势能表达式：
4.1 杆件系统的有限元分析方法
1 T 1 T (4.12) δ K δ P δ 2 2 上式的即为整体刚度矩阵。即根据最小势能原理，由各单元 刚度矩阵求出的整体刚度矩阵。下式是由整体刚度矩阵表达的系 统方程： (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
E A l(1) (1) (1) R 1 E A R 2 l(1) F 3 0 E A l(1) (1 ) (2) E(1) A E(2) A (2) (1 ) l l (2) E(2) A (2) l u 1 (2) (2) E A (2) u2 l u (2) (2) E A 3 l(2) 0
（3）形函数矩阵的推导 由单元的节点条件, 两个节点坐标为x1、x2,两个节点位移 u (x )|xx u 为u(x)|xx u ， 1 2，代入上式插值模式公式得： a1 a 2 x1 u1
1
2
a1 a 2 x 2 u 2
求解得到
a u x ( u u )/ ( x x ) 1 1 1 1 2 1 2 a ( u u )/ ( x x ) 2 1 2 1 2
4.1 杆件系统的有限元分析方法
( )a ax 这样， ux 可以写成如下矩阵形式 1 2
a1 u ( x) [1 x] a2
u1 1 x1 a1 a u 1 x 2 2 2
1 x a 1 1 u 1 a2 1 x2 u2
第4章 杆单元和梁单元
本章主要介绍利用杆单元及梁单元进行结构静力学的有限 元分析原理。首先介绍了杆单元的分析方法，详细给出了采用 杆单元进行有限元分析的整个过程；紧接着介绍了平面梁单元 ，以一个平面悬臂梁力学模型为分析实例，分别采用材料力学 、弹性力学解析计算以及有限元法进行了分析与求解，以加深 读者对有限元法的理解。
e u (x )N (x )δ
（4）应变 由弹性力学的几何方程知1维杆单元满足
(4.6)
u u u ud N ( x ) 1 1 1 1 1 ( x ) B e e (4.7) u u u x d x l l 2 2 2
(4.3)
1
导出
1 u1 a 1 x u 1 1 1 u () x [ 1x ] 1x N (x) u a 1x u 2 2 2 2 =
得到形函数矩阵（shape function matrix）
4.1 杆件系统的有限元分析方法
杆件只承受轴向力，可以视为一种特殊的梁单元，本节将采 用有限元法来分析杆件系统，以下给出规范的有限元法中关于杆 单元的推导过程，以及整个杆系的求解过程。 如图4-1所示的杆件结构，左端铰支，右端作用一个集中力， 相关参数如图。具体求解过程如下：
E1 , A1 , l1
e Ue We u1 1 1 e (x) (x)d P P 1 2 2 2 u2 u1 1 le 1 e T e e (S(x)δ (x)) (B(x)δ (x))A dx P P 1 2 2 0 2 u2 1 eT le T e e e 1 eT e δ B E BA dxδ P δ 0 2 2