振动力学(梁的横向振动).

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哈密顿原理推导悬臂梁的横向自由振动微分方程

一、概述悬臂梁是工程中常见的结构，其横向自由振动微分方程的推导是理解结构动力学的重要环节。

哈密顿原理是一个物理学上的基本原理，能够提供系统的最小作用量原理。

本文将利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程，旨在深入探讨结构动力学中的基本原理，为工程研究提供理论支持。

二、背景知识1. 悬臂梁悬臂梁是一种常见的结构形式，其特点是其中一端固定，另一端悬挂。

悬臂梁在工程中广泛应用，如桥梁、建筑、机械等领域。

2. 哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一个基本原理，它描述了系统的最小作用量原理。

哈密顿原理是拉格朗日原理的推广，它通过最小化系统的作用量来描述系统的运动方程。

三、悬臂梁的横向自由振动悬臂梁的横向自由振动是指在无外界力的情况下，悬臂梁自身由于外界扰动而产生的振动。

我们可以利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程。

四、哈密顿原理推导1. 系统的广义坐标我们需要确定系统的广义坐标。

悬臂梁的横向自由振动可以使用横向位移作为广义坐标来描述。

假设悬臂梁的长度为L，质量为m，弹性系数为k，则系统的横向位移可以用函数y(x, t)来表示。

2. 系统的作用量系统的作用量S可以表示为积分形式，即S = ∫L dt其中L为拉氏量，表示系统的动能T和势能V的差值。

在悬臂梁的横向自由振动中，系统的动能可以用动能函数T表示，系统的势能可以用势能函数V表示。

则拉氏量可以表示为L = T - V其中动能函数T可以表示为T = ∫0L 1/2 * m * (∂y/∂t)^2 * dx势能函数V可以表示为V = ∫0L 1/2 * k * y^2 * dx3. 哈密顿原理的应用根据哈密顿原理，系统的作用量S在运动的路径上取极值。

我们可以通过变分法来求解作用量S的极值问题。

假设横向位移y(x, t)在固定边界条件下使得作用量S取得极值，则可以得到横向位移函数y(x, t)满足的运动方程。

五、悬臂梁的横向自由振动微分方程通过哈密顿原理的推导，我们可以得到悬臂梁的横向自由振动微分方程。

梁的横向弯曲振动试验原理

梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。

2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。

3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。

4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。

5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。

6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。

7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。

8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。

9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。

10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。

通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。

振动力学与结构动力学-(第一章).

摩擦力： Fd cdx2sgxn
c d ：阻力系数
在运动方向不变的半个周期内计算耗散能量，再乘2：
Ecdx2sgxndx2
T/4
c T/4 d
x3dt
8 3
cd02
A2
等效粘性阻尼系数：
ce
8
3
cd0
A
24
四、结构阻尼
由于材料为非完全弹性，在变形过程中材料的内摩擦所引起的阻尼称为结构阻尼
特征：应力－应变曲线存在滞回曲线
6
第一章概论
§1-1 动荷载及其分类 - 从广义上讲，如果表征一种运动的物理量作时而增大时而减
小的反复变化，就可以称这种运动为振动。 - 如果变化的物理量是一些机械量或力学量，例如物体的位移
、速度、加速度、应力及应变等，这种振动便称为机械振动。 - 各种物理现象，诸如声、光、热等都包含振动
7
– 知识要点：结构被动控制、主动控制的基本概念。常用主动控制方法的原理。结构主动控制在机械、土木结构工程中应用简介。
– 重点难点：理解各种控制方法的原理及其具体实现。 – 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合。
主要参考书： • 刘延柱.振动力学.北京：高等教育出版社,1998 • 倪振华. 振动力学. 西安：西安交通大学出版社，1989 • 张准、汪凤泉. 振动分析.南京：东南大学出版社，1991 • 陈予恕.非线性振动. 天津：天津科技出版社，1983 • 龙驭球等编著.《结构力学》下册. 北京：高等教育出版社，1994
– 教学方法：课堂讲授与引导讨论相结合
• 第六章结构反应谱与地震荷载计算（8学时）
– 知识要点：结构反应谱、单自由度和多自由度地震荷载计算公式、规范中地震荷载计算公式。

03-3 梁的横向振动

燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★下面着重讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固有振型。 1、简支梁
简支梁的边界条件为
Y 0 0,
d 2Y 0 0, 2 dx
Y L 0,
d 2Y L 0 2 dx
将第一组边界条件代入下式
Y x C1sin x C2cos x C3sh x C4ch x 2 d Y x 2 2 2 2 C sin x C cos x C sh x C ch x 1 2 3 4 2 dx
★取微段dx，如图所示，用 Q(x,t) 表示剪切力， M(x,t)表示弯矩。
★在铅直 y 方向的运动方程为
2 y x, t Q x A x dx Q Q dx f x, t dx 2 t x
燕山大学机械工程学院
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
等截面均质梁的固有振动为
y ( x, t ) C1 sin x C2 cos x C3sh x C4 ch x
A sin t B cos t
d2 d 2Y ( x) 2 EJ ( x) ( x) A( x)Y ( x) 0 2 2 dx dx
若单位体积质量(x)==常数，横截面积A(x)=A=常数，横截
面对中心主轴的惯性矩J(x)=J=常数。
4 d 振型方程可以简化为 EJ Y ( x) 2 AY ( x) 0 dx 4 2 d 4Y x 4 A 4 式中 Y x 0 4 dx EJ 该方程为四阶

振动力学—连续系统

建坐标系oxy
弦的横向振动
y(x,t)为弦上坐标为x处的横截面在t时刻的横向位移l。
取微元，分析受力，如图
杆的纵向振动
假定：细长等截面杆, 振动时横截面仍保持为平面，横截面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。参数：杆长l，截面积S，材料密度，弹性模量E
EI d 4Y d 2T a 2 , 4 Y IV , 2 T ，则上式为：令 m dx dt IV T 2 Y a Y T
Y IV T a 2 Y T
2
梁的弯曲振动
方程
T 2T 0
Y
( 4)

2
a
2
Y 0
T Aei (t )
各态遍历过程
相关函数
自相关函数性质
1 偶函数
Rx ( ) Rx ( )
2 周期随机过程的自相关函数仍是周期函数 X (t ) X (t ) Rx ( ) Rx ( T ) 3 4
2 Rx (0) x
2 2 x x Rx ( ) Rx (0)
T(t ) 2T (t ) 0
X ( x)
2
a
2 0
X ( x) 0
杆的纵向振动
解为时间域，初值问题空间域，边值问题固支边条件
T (t ) Aei (t )
X ( x) C1 sin

a0
x C2 cos

a0
x
x=0时，u(0,t)=X(0)· T(x)=0，即X(0)=0 x=l时，u(l,t)=X(0)· T(l)=0，即X(l)=0
x=H(0) f

梁的双向横振动

考虑到边界上变分，
对于位移边界条件等于
又对于力边界条件是任意的，0同时由于域内
是任意的
得到梁双向振动微分方程
由于Jyz的存在，导致方程是耦合的
只有各个截面的主惯性轴相互平行，选取两个主惯性平面为xoy 和xoz面，使各截面的Jyz=0，方程解耦。的轴线]和[简化到轴线的外载荷] 在同一个平面, 载荷和梁的主惯性轴一个平面
不在一个平面？？分解到两个主方向上—---------两个平面内
如图所示，以变形前的轴线作为x轴，建立空间坐标系xyz 弹性线上各点的位移将有沿 y ，z 上的两个分量
V=v(x,t) W=w(x,t)
梁上任意一点a的位移，在三个方向上的分量上分别为
得到a点的轴向应力及应变为动能和势能的表达式为
Z轴的惯性矩 Y轴惯性矩
关于yz轴的惯性积
考虑作用在梁上的分布载荷Fy(x，t)和Fz(x，t),以及作用于两端的弯矩和剪力Qy0, Qz0, My0, 等，得到主动力的虚功为：
将动能势能虚功带入变分式

梁横向振动的近似解法

梁横向振动的近似解法弹性体的固有振动有两种提法，一种是微分方程的特征值问题，另一种是泛函的驻值问题。

从精确解得角度看，两者完全等价，从近似解得角度看，求泛函驻值问题比求微分方程的近似解容易。

精确解法主要是分离变量法，此处略去不谈。

一方程的建立假设：梁的各截面中心主惯性轴在同一平面，外载也在同一平面，梁在该平面内的横向振动引起弯曲变形，低频振动时可以忽略剪切变形及截面绕中性轴转动惯量的影响。

∂2∂x 2 EJ ∂2y ∂x 2 +ρA ∂2y ∂t 2=p x,t −∂∂xm x,t (1) p(x,t),m(x,t)分别为单位长度梁上分布的外力和外力矩。

假设：y(x,t)=Y(x)bsin(ωt +ϕ)代入(1)式的齐次形式，有：(EJY ′′)′′−ω2ρAY =0 (2)上式改写成：(EJY ′′i )′′=ω2ρAY i上式两边同时乘以Y i 并在全梁上积分，i ，j 互换得到两个式子并相减等于0可以得到主振型的关于质量和刚度正交性，并且可以得到相应的频率p378。

固有频率的变分式命题：这个式子与边界条件的组合所确定的特征值ω2及相应的特征函数Y(x) 等价于下列泛函所取驻值及相应的自变函数，该自变函数满足位移边界条件P389。

ω2=st EJ(Y ′′)2dx l 0ρAY 2dx l 0 (3)证明：1，(3)式各驻值及相应的函数Y(x)是(2)式的的特征值和特征函数。

驻值时，一阶变分等于0，δ(ω2)=0展开后，得到三个item 相加得0：EJY ′′ ′′−ω2ρAY δYdx − EJY ′′ ′l0δY ︱0l +EJY ′′δY ‘︱0l=0 (∗) 由δY 的任意性，第一个item 等于0，可以得到(2)式，由第二、三项可以得到Y(x)的边界条件。

2，(3)式加(2)式后反过来可以得到δ(ω2)=0。

从而证明泛函的驻值问题与微分方程的特征值问题完全等价。

另外，可以由泛函(3)证明主振型的正交性。

振动力学(梁的横向振动)

火箭
火箭的助推梁在发射过程中受到推力的作用会产生横向振动，影响火箭的稳定性和安全性。研究梁的横向振动有助于优化火箭的结构设计，提高其稳定性和安全性。
06
未来研究方向和展望
理论研究的发展
精确建模
深入研究梁的横向振动特性，建立更为精确的数学模型，以描述更为复杂的振动行为。
非线性动力学
研究梁在强振动或接近失稳状态下的非线性动力学行为，揭示更为丰富的振动特性。
高层建筑
高层建筑的楼面梁在风、地震等外部激励下会产生横向振动，影响楼面设备和人员的安全。研究梁的横向振动有助于优化高层建筑的结构设计，提高其抗风、抗震性能。
机械系统
机械装备
机械装备中的传动梁、支撑梁等部件在运转过程中会产生横向振动，影响设备的正常运行和寿命。研究梁的横向振动有助于优化机械设备的结构设计，提高其稳定性和可靠性。
梁的横向振动的重要性
梁的横向振动对结构的稳定性、安全性和疲劳寿命等都有重要影响，因此对梁的横向振动的研究具有重要的理论价值。
随着科学技术的发展，对梁的横向振动的深入研究可以为新型结构的设计和优化提供理论支持，促进工程技术的进步和创新。
02
梁的横向振动的基本理论
线性振动的定义
线性振动
数值模拟与实验验
证
发展更为高效的数值模拟方法，并加强实验验证，以提高理论模型的可靠性和实用性。
控制方法的改进
智能控制
利用现代控制理论和方法，结合智能材料和传感器，开发更为高效和智能的振动控制策略。
主动控制
研究和发展更为先进的主动控制方法，以实现对梁振动的高效抑制和优化。
混合控制
结合被动控制和主动控制的优势，开发混合控制策略，以提高控制效果和降低能耗。

梁的横振动振动基础复习

梁的横振动方程的解
采用分离变量法最终得到梁横振动的一般解

其中
4 2 S
EI
t , x A cosh x B sinh x C cos x D sin x co t
A、B、C、D由边界条件确定
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
边界条件对梁振型的影响
(1) 两端固定的梁
位移为零 x0,xl 0
位移曲线斜率为零
频率方程
x
0
x 0 , x l
cosh l cos l 1
质点振动系统的衰减振动
• 衰减振动方程：
2 d d 2 2 0 0 2 dt dt
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
质点振动系统的衰减振动

包络曲线振动衰减曲线 t
• •
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
fn
l
2 l
n 2
2
EI S
Prof. Sheng Meiping Northwestern Polytechnical University
• •
（4）悬臂梁
x0 0
2 x 2
x l
边界条件
x
0
x0
3 0 x 3
0
x l
频率方程 cosh l cos l 1

梁的横向受迫振动

振动力学
连续系统振动
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连续系统振动
1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动杆的纵向受迫振动梁的横向自由振动梁的横向受迫振动转动惯量、剪切变形对梁振动的影响轴向力作用对梁的横向振动的影响梁横向振动的近似解法
目录
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连续系统振动
1 杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动 1.2固有频率和主振型 1.3主振型的正交性
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其上所有质点都做简谐运动。可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dU U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此，称之为弹性体系统。同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从虎克定律。由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在

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由此解得
弹性体的振动
所以固有频率
EI , (i 1, 2) A 振型为 i (i ) Φ ( x) C sin i x C sin x l 第 i 阶振型有 i － 1
1
2
2 2 i 2 i i a 2 l
个节点。节点坐标
l2
EI A
i xk k l
其它边界条件用类似的方法给出。
弹性体的振动
2、梁弯曲自由振动的解
令振动方程中的干扰力为0，得到
2 x2
4
2u 2u EI x2 A t 2
2
对于均匀梁，振动方程为
u u a 2 0 4 x t
2
其中EI a A源自弹性体的振动假定有分离变量形式的解存在，令
0
x 0
d 2Φ Φ(l ) 0, 2 dx
0
x l
代入特征方程的解
( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
以及
Φ( x) C1 2 sin x C2 2 cos x C3 2 sh x C4 2 ch x
弹性体的振动
则有
d q(t ) 2 q(t ) 0 2 dt
2
d Φ ( x) 4 Φ( x) （称为特征方程） 4 dx
其中
4

4
2
a
2
弹性体的振动
方程的通解为
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x
动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。
弹性体的振动
取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为 M 和 Q ，其正负号的规定和材料力学一样。
则微段梁dx沿z方向的运动方程为：
2 Q u Q Q dx fdx Adx 2 x t
弹性体的振动
弹性体的振动
振动力学
------弹性体的振动
弹性体的振动
梁的横向振动
仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振
动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。
弹性体的振动
1、运动微分方程
在梁的主平面上取坐标 xoz，原点位于梁的左端截面的形心， x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振
即
Q u A 2 f x t
2
利用材料力学中的关系
M Q x
2u M EI 2 x
得到梁的弯曲振动方程
2 2 u u EI 2 A 2 f 2 x x t 2
弹性体的振动
边界条件
和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。（1）固定端：挠度和转角为0，即
sin l sh l C1 sin x C1 cos x ch l cos l sin l sinh l C1 sh x C1 ch x ch l cos l
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
弹性体的振动
得到则
C2 C4 0, C2 C4 0
2 (C2 C4 ) 0
以及
C1 sin l C3 sh l 0
C1 2 sin l C3 2 sh l 0
则以及频率方程
C3 0
sin l 0
i i , (i 1, 2) l
u( x, t ) u(0, t ) 0, 0 x x 0
弹性体的振动
（2）简支端：挠度和弯矩为0，即
u( x, t ) u(0, t ) 0, EI 0 2 x x 0
2
（3）自由端：弯矩和剪力为0，即
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) EI 0, EI 0 2 2 x x x x 0 x 0
C2 C4 0,
以及
(C1 C3 ) 0
C1 sin l C2 cos l C3 sh l C4 ch l 0 C1 cos l C2 sin l C4 sh l C3 ch l 0
弹性体的振动
求得
C3 C1
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
q(t ) C5 sin t C6 cos t
由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数
F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率 wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。
弹性体的振动
【例1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。解：边界条件为挠度和弯矩为0。
d 2Φ Φ(0) 0, 2 dx
即
4 2 2 2 l
EI A
kl xk , i (k 1, 2 i 1)
9 2 3 2 l
EI A
弹性体的振动
【例 2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。解：边界条件为挠度和转角为0，即
Φ(0) 0, Φ(0) 0
代入特征方程的解得到
Φ(l ) 0, Φ(l ) 0
sin l sh l C2 C4 C1 ch l c o s l
化简后得到频率方程
cos l ch l 1
求出后得到固有频率
i a
2 i
2 i
EI , (i 1, 2) A
弹性体的振动
振型为
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x