03-3 梁的横向振动
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梁的横向弯曲振动试验原理
梁的横向弯曲振动试验的原理是:
1. 将梁的两端固定,使其形成简支梁。
2. 在梁的中部施加一个短时的冲击力,使梁产生横向弯曲振动。
3. 根据牛顿第二定律,力的冲击会使梁发生位移和振动。
4. 梁的振动属于强迫谐振,振动周期取决于其本身的质量和刚度分布。
5. 通过测量梁的振动周期,可以计算出其横向振动的固有频率。
6. 调节激励力的参数,可以获得梁在不同激励下的响应规律。
7. 使用传感器测量梁的位移、应变等,结合信号分析,可以确定梁的动态特性和模态参数。
8. 控制梁的边界条件,使其接近理想的简支状态。
9. 进行多次试验取平均,可以提高结果准确性。
10. 试验符合梁横向弯曲振动的工程动力学理论。
通过该试验可以研究梁的动力学行为,获得其横向弯曲振动的动态特性。
梁的挠曲与振动文中关于梁的挠曲与振动的内容,可以按照以下方式进行论述:梁是一种常见的结构元件,主要用于支撑和传递载荷。
在工程应用中,梁的挠曲和振动问题是一个重要的研究方向。
本文将从梁的基本理论开始,介绍梁的挠曲和振动原理,以及相关的方法和应用。
一、梁的基本理论梁的基本理论包括梁的结构模型、梁的受力分析和梁的位移方程。
在这一部分中,我们将详细介绍梁的结构模型,如欧拉梁理论和蒙元梁理论,并推导出梁的受力分析和位移方程的表达式。
二、梁的挠曲理论梁的挠曲是指在受力作用下,梁发生的曲度变形。
这部分将介绍梁的弯曲应力和挠曲变形的计算,包括梁的弯矩-曲率关系、梁的挠度和梁的挠曲曲线等内容。
同时,还可以讨论梁的挠曲问题在工程中的应用,如在梁设计中的影响因素和设计原则。
三、梁的振动理论梁的振动是指梁在受到外力激励后产生的自由振动或强迫振动。
这部分可以介绍梁的振动特性,如梁的共振频率、振型和振动响应等内容。
同时,还可以讨论梁的振动问题在工程中的应用,如梁的减振措施和振动测试方法等。
四、梁的挠曲与振动的分析方法在梁的挠曲与振动分析中,有多种数值分析方法可以应用,如有限元方法和模态分析等。
本部分可以介绍这些分析方法的基本原理和步骤,并以实例说明其在梁的挠曲与振动分析中的应用。
五、梁的挠曲与振动的应用梁的挠曲与振动问题在工程中具有广泛的应用背景。
这部分可以以实例的形式介绍梁的挠曲与振动问题在不同领域的应用,如桥梁结构、航空航天和机械工程等,以及相应的安全性评估和优化设计等内容。
六、总结通过对梁的挠曲与振动的论述,我们可以得出结论,总结研究的结果和成果,并思考未来在这一领域的发展方向。
同时,还可以指出该领域的研究挑战和存在的问题,为进一步的研究提供借鉴和启示。
以上所述为梁的挠曲与振动文章的一个可能的论述框架,具体内容需要根据实际情况进行发挥和拓展,以充分满足文章的字数要求和信息表达的完整性。
第20卷第6期2022年12月动力学与控制学报JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROLVol.20No.6Dec.2022文章编号:1672 6553 2022 20(6) 101 05DOI:10.6052/1672 6553 2022 047 2022 08 20收到第1稿,2022 09 28收到修改稿.国家自然科学基金资助项目(12172281,11972284),基础加强173计划基金项目(2021 JCJQ JJ 0565),陕西省科技创新团队资助(2022TD 61)和陕西高校青年教师创新团队资助 通信作者E mail:wphu@nwpu.edu.cn轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析刘涛1 周洋忻2 胡伟鹏2(1.榆林市城市投资经营集团有限公司,榆林 719000)(2.西安理工大学土木建筑工程学院,西安 710048)摘要 轴向运动速度和材料的非均匀性对轴向运动功能梯度梁振动问题分析提出了严峻挑战.本文在简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型基础上,基于无限维动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法,构造了横向振动模型的保结构数值格式,并在给定材料参数时给出了数值格式具有良好保结构性能的条件.分别采用微分求积法、复模态法和保结构方法分析横向振动模型的前六阶频率,发现保结构方法得到的频率结果与复模态法得到的结果吻合较好,在此基础上分析了微分求积法的主要误差来源,以指导微分求积法的改进,并为复杂动力学系统的数值求解提供了新途径.关键词 保结构, 轴向运动功能梯度梁, 对称破缺, 广义多辛, 横向振动中图分类号:O302文献标志码:A引言功能梯度材料由于控制界面的成分和组织连续变化,使材料的热应力大为缓和,而在航空航天、机械工程、生物医药等领域应用广泛[1 3].智慧建造[4]这一全新概念的提出,使得传统单一均匀材料无法满足建筑设计工程的需求,因此,功能梯度材料将是未来实现很多智慧建造特殊功能的不二选择.作为智慧建造中的基本力学构件,功能梯度梁的动力学行为分析尤为重要.特别是在装配式智慧建造过程中,功能梯度梁运输及吊装过程的横向振动特性对运输和吊装过程的稳定性影响显著.Sankar[5]基于Euler Bernoulli梁理论,得到了横向载荷作用下功能梯度梁弹性范围内的解.Reddy[6]基于vonKarman几何非线性理论,建立了功能梯度梁的非线性Euler Bernoulli梁模型和Timoshenko梁模型.丁虎[7]、王忠民等[8]轴向运动功能梯度梁振动模型,并分别采用伽辽金法和微分求积法分析其振动特性,为本文分析功能梯度梁横向振动过程奠定了基础.刘金建等[9]基于Euler梁理论研究了轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性问题.Balireddy和Pitchaimani[10]分析了时变轴向载荷作用下功能梯度梁振动特性及稳定性.从本质上讲,功能梯度梁的材料非均匀性和梁式结构的轴向运动均属于动力学对称破缺[11]因素.对于含有对称破缺因素的动力学系统,本课题组基于多辛分析方法,建立了广义多辛分析方法[12]这一保结构理论框架,并解决了一系列复杂动力学问题[13 16].因此,本文将基于保结构思想,分析轴向运动功能梯度梁的横向振动频率特性,为功能梯度梁的横向振动控制提供参考.1 轴向运动功能梯度梁横向振动模型本节参考文献[8,9],简要回顾轴向运动功能梯度梁横向振动动力学模型的建立过程.考虑一轴向运动的简支功能梯度矩形截面梁(图1),梁长度为L,横截面宽度为b、高为h,轴向运动速度为定常速度,大小为η.为了刻画材料特性沿界面高度方向的梯度,假定功能梯度材料有效杨氏模量和有效Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报2022年第20卷密度均为z坐标的函数,即E(z)和ρ(z).图1 轴向运动功能梯度梁的物理模型Fig.1 Physicalmodeloffunctionallygradedbeamwithanaxialvelocity以含两种组分(如金属材料和陶瓷材料)的功能梯度材料为例,其有效材料参数可表述为:E(z)=(Ec-Em)(z/h+1/2)k+Em =Em[(βE-1)(z/h+1/2)k+1]ρ(z)=(ρc-ρm)(z/h+1/2)k+ρm =ρm[(βρ-1)(z/h+1/2)k+1](1)其中Ec,Em,ρc,ρm分别为两种材料组分的物理参数,βE=Ec/Em,βρ=ρc/ρm,k为梯度指标.需要说明的是,从式(1)即可推导出功能梯度梁的中性层与几何对称中心重合.基于Euler Bernoulli梁基本假设,依据文献[8],功能梯度梁上任意点的位移可由梁轴线上任意点的轴向位移u(x,t)和横向位移w(x,t)表述:ux(x,z,t)=u(x,t)-z xw(x,t)+ηtuz(x,z,t)=w(x,t)(2)功能梯度梁上任意点的正应变分量和正应力分量分别为:εx= xu-z xxwσx=E(z)εx=E(z)( xu-z xxw)(3)由其描述的梁的应变能可表述为:U=12∫L0∫AσxεxdAdx =12∫L0[D1( xu)2-2D2 xu xxw+ D3( xxw)2]dx(4)其中,A为梁的横截面面积,并且:(D1,D2,D3)=∫AE(z)(1,z,z2)dA功能梯度梁上任意点两个方向的速度分量分别为:vx= tux(x,z,t) = tu(x,t)-z txw(x,t)+ηvz= tw(x,t)+η xw(x,t)(5)由此描述的梁的动能可表述为:K=12∫L0∫Aρ(z)(v2x+v2z)dAdx= 12∫L0{I1[( tu)2+η2+2η tu+( tw)2+ η2( xw)2+2η tw xw]-2I2η txw- 2I2 tu txw+I3( txw)2}dx(6)其中(I1,I2,I3)=∫Aρ(z)(1,z,z2)dA由哈密顿原理,忽略梁的轴向惯性力及其由轴向惯性力诱导的横向分布载荷项,并消去轴向位移项,得到轴向运动功能梯度梁横向振动方程:(D3-D22D1) xxxxw-(I3-I2D2D1) ttxxw+ I1( ttw+η2xxw+2η txw)=0withw(0,t)=0w(L,t)=0xxw(0,t)=0 xxw(L,t)={0(7)2 振动模型的近似对称形式及保结构离散引入如下中间变量: tw= xψ=D1φ-D1I1χD2I2-D1I3, xw=φ, xχ=φ,并定义状态向量:z=(w,φ,χ,ψ,φ)T,轴向运动功能梯度梁横向振动方程(不含边界条件)可以写成如下近似一阶对称形式:M tz+K xz= zS(z)+τ(z)(8)其中,M,K∈R5×5为反对称矩阵:M=00001000000000000000-10000,K= 0D3-D22D1001D22D1-D30000000I2D2D1-I3000I3-I2D2D10000010拟哈密顿函数为:S(z)=-12[I1η2w2+(D3-D22D1)φ2-201Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第6期刘涛等:轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析 I1χ2+(I3-I2D2D1)ψ2]余项为:τ(z)=[-2I1ηψ,0,φ,0,0]T.与标准的多辛形式不同,近似对称形式含有如下对称破缺因素[11]:①系数矩阵M,K及哈密顿函数S(z)显含空间变量;②哈密顿函数梯度存在余项τ(z);③系数矩阵M非严格地反对称,因此将其分解K=K+K⌒0D3-D22D1001/2D22D1-D30000000I2D2D1-I3000I3-I2D2D10-1/2-1/2001/20+00001/2000000000000001/21/2001/20 ①和③两个对称破缺因素引起的横向振动模型多辛结构残差和局部能量耗散均可以参照文献[11]显式给出,第②个对称破缺因素在模拟仿真中的处理方式可参照参考文献[17]进行.为避免与已有工作重复,在此不给出详细表达式和具体处理步骤,只在模拟结果中给出离散的多辛结构残差,以间接证明后续构造算法的有效性和保结构性能.在梁长度方位内(0≤x≤L)采用空间步长进行均匀划分单元,并对系统采用时间步长进行Preissmann离散,得到保结构差分格式:Mδ+tzji+1/2+Kδ+xzj+1/2i= zS(zj+1/2i+1/2)+τ(zj+1/2i+1/2)(9)其中:zj+1/2i+1/2=14(zji+zji+1+zj+1i+zj+1i+1),δ+x,δ+t均为一阶前向差分.限于篇幅,格式的展开形式和消参后的形式不再给出,同时,离散的多辛结构残差和离散的局部能量耗散项也不再列出.需要强调的是,多辛结构残差是衡量格式保结构性能的重要依据,后续在数值结果中会详细讨论.3 数值算例为了将结果与文献[8,9]的部分结果进行对比,材料参数取值如下:Ec=390GPa,Em=210GPa,ρc=3960kg/m3,ρm=7800kg/m3.为保证数值格式的保结构性能,依照广义多辛理论[12],需要选取合适的时间步长使得在每一时间步内,离散的多辛结构绝对残差不超过差分格式的数值截断误差,即Δi≤o(Δt,Δx),其中o(Δt,Δx)为格式的数值截断误差.为了计算方便,忽略高阶项并取Δt/Δx=0.5后,可以将数值截断误差上限估计值近似取为:o(Δt,Δx)≤[o]=7Δt2(10)在考虑梯度指标取值较大的情形下,确定容许的最大时间步长.取k=105,将时间步长取值从Δt=0.001s逐渐增大,当式(10)刚好严格满足时,得到最大允许时间步长为Δt=0.064s,此时的多辛结构残差与数值截断误差上限估计值之间的关系如图2所示.因此,在后续模拟过程中,取时间步长为Δt=0.05s,空间步长为Δx=0.1m,就能保证所构造的格式具有良好的保结构性能.分别取k=0.001,100两种梯度指标,分别采用微分求积法(DQM)[8]、复模态法(CMM)[9]和保结构方法(SPM)模拟轴向运动功能梯度梁的横向振动过程,得到梁的前六阶频率值如表1所示.从表1中不难发现,采用保结构分析方法得到的结果与复模态法得到的结果整体吻合较好.随着频率阶次升高,复模态法和保结构方法得到的频率结果明显低于微分求积法得到的结果.考察微分求积法的求解过程,可知微分求积法得到的结果产生以上偏差的主要原因在于以下两个方面:①在进行微分求积运算之前,将偏微分方程化为常微分方程过程中,只考虑了方程解的一阶频率分301Copyright ©博看网. All Rights Reserved.动 力 学 与 控 制 学 报2022年第20卷量而忽略了高阶频率分量;②微分求积法采用非均匀网格离散,无法判断每一时间步内不等式(Δi≤o(Δt,Δx))的满足情况,不具有评价其保结构性能的条件.复模态法在一定程度上克服了上述两方面的问题,故得到的结果与本文保结构方法得到的结果吻合较好.上述结果表明,复模态法和保结构方法在分析轴向运动功能梯度梁横向振动问题中均具有较好的数值精度.图2 轴向运动功能梯度梁的物理模型Fig.2 Evolutionoftheabsoluteresidualofthemulti symplecticstructure表1 前六阶频率结果对比(Hz)Table1 Comparisionofthefirstsixfrequencies(Hz)kModeNo.DQMCMMSPM1st18.038518.038518.03852nd72.580172.533972.53390.0013rd161.1975160.0018160.00184th289.8806286.2147286.21425th458.9380452.7311452.70966th666.2039659.9018659.30891st9.78499.78499.78482nd32.909132.228632.22591003rd80.361078.439278.42984th148.1315144.3618143.81005th237.2027231.2156230.90356th346.7738338.8033338.32714 结论基于动力学系统的对称破缺理论和广义多辛分析方法,本文针对轴向运动功能梯度梁横向振动的动力学模型,发展了保结构分析方法,并用于分析轴向运动功能梯度梁横向振动的频率分布情况.研究结果表明:本文构造的数值求解算法在求解步长满足给定条件时具有良好的保结构性能,得到的前六阶频率值与复模态法得到的结果吻合较好,同时分析了微分求积法得到的结果与保结构方法和复模态法得到的结果有明显差距的原因,为微分求积法的进一步改进指明了方向,也为轴向运动功能梯度梁横向振动这类复杂动力学问题的求解提供了新途径.参 考 文 献1ReddyJN,ChinCD.Thermomechanicalanalysisoffunctionallygradedcylindersandplates.JournalofTher malStresses,1998,21(6):593~6262NaebeM,ShirvanimoghaddamK.Functionallygradedmaterials:areviewoffabricationandproperties.AppliedMaterialsToday,2016,5:223~2453BartlettNW,TolleyMT,OverveldeJTB,etal.A3D printed,functionallygradedsoftrobotpoweredbycom bustion.Science,2015,349(6244):161~1654TuanAN,AielloM.Energyintelligentbuildingsbasedonuseractivity:asurvey.EnergyandBuildings,2013,56:244~2575SankarBV.Anelasticitysolutionforfunctionallygradedbeams.CompositesScienceandTechnology,2001,61(5):689~6966ReddyJN.Microstructure dependentcouplestresstheo riesoffunctionallygradedbeams.JournaloftheMechan icsandPhysicsofSolids,2011,59(11):2382~23997DingH,ChenLQ.Galerkinmethodsfornaturalfre quenciesofhigh speedaxiallymovingbeams.JournalofSoundandVibration,2010,329(17):3484~34948姚晓莎,王忠民,赵凤群.轴向运动功能梯度梁的横向振动.机械工程学报,2013,49(23):117~122(YaoXS,WangZM,ZhaoFQ.Transversevibrationofaxiallymovingbeammadeoffunctionallygradedmateri als.JournalofMechanicalEngineering,2013,49(23):117~122(inChinese))9刘金建,蔡改改,谢锋,等.轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析.动力学与控制学报,2016,14(6):533~541(LiuJJ,CaiGG,XieF,etal.Stabilityanalysisontransversevibrationofaxiallymovingfunctionallygradedviscoelasticbeams.JournalofDynamicsandControl,2016,14(6):533~541(inChi nese))10BalireddySN,PitchaimaniJ.Stabilityanddynamicbehaviourofbi directionalfunctionallygradedbeamsubjec tedtovariableaxialload.MaterialsTodayCommunica tions,2022,32:10404311HuW,WangZ,ZhaoY,etal.Symmetrybreakingofinfinite dimensionaldynamicsystem.AppliedMathematicsLetters,2020,103:106207401Copyright ©博看网. All Rights Reserved.第6期刘涛等:轴向运动功能梯度梁横向振动问题的保结构分析12HuWP,DengZC,HanSM,etal.Generalizedmulti symplecticintegratorsforaclassofhamiltoniannonlinearwavePDEs.JournalofComputationalPhysics,2013,235:394~40613宋明哲,邓子辰,赵云平,等.含弱阻尼空间结构的耦合动力学保结构分析.动力学与控制学报,2019,17(5):419~424(SongMZ,DengZC,ZhaoYP,etal.Couplingdynamicstructure perseveringanalysisofspatialstructurewithweakdamping.JournalofDynamicsandControl,2019,17(5):419~424(inChinese))14HuW,HuaiY,XuM,etal.Mechanoelectricalflexiblehub beammodeloflonic typesolvent freenanofluids.MechanicalSystemsandSignalProcessing,2021,159:10783315HuW,XuM,SongJ,etal.Couplingdynamicbehaviorsofflexiblestretchinghub beamsystem.MechanicalSystemsandSignalProcessing,2021,151:10738916HuW,XuM,ZhangF,etal.Dynamicanalysisonflexiblehub beamwithstep variablecross section.Mechani calSystemsandSignalProcessing,2022,180:10942317HuWP,DengZC,WangB,etal.Chaosinanembeddedsingle walledcarbonnanotube.NonlinearDynamics,2013,72(1 2):389~398STRUCTURE PRESERVINGANALYSISONTRANSVERSEVIBRATIONOFFUNCTIONALLYGRADEDBEAMWITHANAXIALVELOCITYLiuTao1 ZhouYangxin2 HuWeipeng2(1.YulinCityInvestmentConstructionDevelopmentCo.,Ltd.,Yulin 719000,China)(2.SchoolofCivilEngineeringandArchitecture,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an 710048,China)Abstract Theaxialvelocityandthematerial’sheterogeneityintroducethegreatchallengeonthevibrationanalysisofthefunctionallygradedbeamwithanaxialvelocity.Inthiswork,thedynamicmodelofthetransversevibrationofthefunctionallygradedbeamwithanaxialvelocityisreviewedinbrieffirstly.Basedonthedynamicsymmetrybreakingtheoryandthegeneralizedmulti symplecticmethodfortheinfinite dimensionalsystem,astructure preservingnumericalschemeforthedynamicmodelisdeveloped.Inthenumericalsimulation,thecriti calsteplengthsatisfyingthegeneralizedmulti symplecticconditionisobtainedwiththegivenmaterialparame ters.Thefirstsixfrequenciesofthetransversevibrationmodelarepresentedemployingthedifferentialquadraturemethod,thecomplexmodalmethodandthestructure preservingmethodrespectively.Fromthenumericalre sults,itcanbefoundthatthefirstsixfrequenciesobtainedbyusingthestructure preservingmethodarehighlyconsistentwiththoseobtainedbyusingthecomplexmodalmethod.Toimprovetheprecisionofthedifferentialquadraturemethod,themainfactorsresultingintheerrorareinvestigated.Themaincontributionofthisworkisproposinganewapproachtoanalyzethecomplexdynamicproblemlikethetransversevibrationofthefunctionallygradedbeamwithanaxialvelocityconsideredinthispaper.Keywords structure preserving, functionallygradedbeamwithanaxialvelocity, symmetrybreaking, generalizedmulti symplectic, transversevibrationReceived20August2022,revised28September2022.TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(12172281,11972284),FoundationStrengtheningProgrammeTechnicalAreaFund(2021 JCJQ JJ 0565),theFundoftheScienceandTechnologyInnovationTeamofShaanxi(2022TD 61)andFundoftheYouthInno vationTeamofShaanxiUniversities CorrespondingauthorE mail:wphu@nwpu.edu.cn501Copyright ©博看网. 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三支点梁的振动响应计算设两段梁的阵型函数分别为:Y 1(x 1)=A 1sinβx 1+B 1cosβx 1+C 1shβx 1+D 1chβx 1Y 2(x 2)=A 2sinβx 2+B 2cosβx 2+C 2shβx 2+D 2chβx 2式中, β4=ω2ρA EJ端点条件为:x 1=0,Y 1=0,∂2Y 1∂x 12 x 2=0,Y 2=0,∂2Y 2∂x 22连续条件为:x 1=L 1, x 2=L 2, Y 1=Y 2=0 ∂Y 1∂x 1=− ∂Y 2∂x 2, ∂2Y 1∂x12= ∂2Y 2∂x 22将连续条件代入阵型函数表达式中,得:A 1sinβL 1+C 1shβL 1=0 A 2sinβL 2+C 2shβL 2=0A 1cosβL 1+C 1chβL 1=− A 2cosβL 2−C 2chβL 2 −A 1sinβL 1+C 1shβL 1=−A 2sinβL 2+C 2shβL 2为使上面的齐次方程组有非零解,其系数矩阵的行列式必须等于零,即: |sinβL 1shβL 10000sinβL 2shβL 2cosβL 1chβL 1−sinβL 1shβL 1cosβL 2chβL 2sinβL 2−shβL 2|=0展开后整理得: cotβL 1+cotβL 2=cthβL 1+cthβL 2 即可解出 βr =⋯ (r =1,2,……)所以: Y 1r (x 1)=A 1r sinβr x 1+C 1r shβr x 1 Y 2r (x 2)=A 2r sinβr x 2+C 2r shβr x 2又根据 A 1sinβL 1+C 1shβL 11r =(A 1C 1)r =−shβL1sinβL 1所以振型函数为: Y 1r (x 1)=shβr x 1+ε1r sinβr x 1Y 2r (x 2)=shβr x 2+ε2r sinβr x 2 (其中令C 1=C 2=1)梁对激励f(x,t)的响应设 梁为均匀梁,ρ,A,E,J 为常数,方程为:ρA ∂2y ∂t 2+EJ ∂4y∂x 4=f(x,t) ○1 设 y (x,t )=∑Y r (x )q r (t)∞r=1 ○2 将○2式代入○1式中,两边同乘以Y s (x ),在整个区间内(0<x<L )积分,并考虑振型函数的正交性,则将原方程解耦为:q r (t )+ωr 2q r (t )=Q r (t ) (r =1,2,…)式中 Q r (t )=∫f (x,t )Y r (x )dx L0 (r =1,2,…)据杜哈梅积分公式,得:q r (t )=1ωr∫Q r (τ)t0sinωr (t −τ)dτ+q r0cosωr t +q r0ωrsinωr t将上式代入○2式中,梁的响应为: y (x,t )=∑Y r (x)[1ωr∫Q r(τ)t0sinωr (t −τ)dτ+q r0cosωr t +q r0ωrsinωr t]∞r=1其中, Y r (x )=shβr x +εr sinβr x Q r (t )=∫f (x,t )Y r (x )dx L0 q r0=∫ρAf(x)L 0Y r (x )dx q r0=∫ρAg(x)L 0Y r (x )dx 式中,f(x)是初始坐标,g(x)是初始速度AUG 23 2011Matlab 画出的数值解振形: Ansys 仿真振形:AUG 23 2011AUG 23 2011AUG 23 2011AUG 23 2011在轴向力作用下三支点梁的横向振动响应(代力法)将中间的支撑去掉, 代之以约束反力r(t), 这样连续梁变为简支梁。
桥梁振动在各个梁上面横向分布情况研究随着国民经济的发展,对交通的需求日益提高,众多的高速公路及城市快速干道相继修建。
公路桥梁上行驶车辆的轴重加重、速度提高,车流密度也相应提高。
同时简支板梁桥[1]又是小跨径桥梁最常用的桥型之一。
板梁桥的主要缺点是跨径不宜过大。
跨径超过一定限制时,截面显著增大,从而导致自重过大,不经济。
此外,装配式板桥是通过铰缝传递横向荷载的,整体性差,因而在通过特殊重载车辆时无超载挖潜能力。
特别是在车辆动载作用下,桥面板的铰缝混凝土可能完全开裂或脱落,造成梁板之间的横向联系破坏,而且车辆在桥上行驶都会产生冲击影响,而冲击影响一般都是用冲击系数简化的方法,即将车辆荷载的动力作用影响用车辆的静力乘以冲击系数来表示。
但是冲击系数受很多的因素影响,而且车辆荷载对中小型桥梁产生的振动效应对桥梁的影响也是不可忽略的,因此,移动车辆荷载引起的简支板梁桥动力效应越来越被工程技术界所关注。
一、车桥振动的研究现状及发展动态车辆以一定的速度通过桥梁,桥梁受到车辆荷载的激励会产生振动,反过来桥梁的振动对于车辆来说也是一种反激励,因此车辆和桥梁的振动是一个相互影响,相互耦合的过程,我们称之为车桥耦合振动问题[2]。
关于车辆通过桥梁时的振动研究己有一百多年的历史,起源于铁路桥梁。
早在1825年[3],世界上建成第一座铁路桥梁以来,科技工作者就开始了对车载和桥梁相互作用研究探索的漫长过程。
1844年,法国和英国桥梁科研工作者对著名Britannia桥做了模型试验。
1849年,R.willisZl月提交了第一份关于桥梁振动研究的报告,探讨了Chester铁路桥梁倒塌的原因。
在随后的一个世纪中,人们对车桥共振问题作了大量的理论和实验研究,对弄清车桥共振机理,揭示激励的原因和车桥共振的特点都有了较为深入的了解,并且.具有一定的实践价值。
我们一般称其为车桥振动的古典理论。
实际上,由于实际桥梁和车辆藕合振动系统本身的复杂性,并且车型和桥型又种类繁多,以及引起振动的各种激振源的随机性,古典理论显然不能全面合理的模拟车桥耦合振动问题。
梁横向弯曲振动的振型正交性),(]),()([),(222222t x p x t x u x EI x t t x u m =∂∂∂∂+∂∂齐次方程为:0]),()([),(222222=∂∂∂∂+∂∂x t x u x EI x t t x u m ]),()([),(222222x t x u x EI x t t x u m ∂∂∂∂-=∂∂根据分离变量法,设:)()(),(t q x t x u φ=,可得:0)()(2=+t q t qω )(])()([22222x m dxx d x EI dx d φωφ= 上式即为分析频率和振型的特征方程。
设对于第i 、j 两阶频率,有:)(])()([22222x m dx x d x EI dx d i i i φωφ= )(])()([22222x m dx x d x EI dx d j j j φωφ= 上面第一式两边乘以)(x j φ,并沿杆长积分得:)()(])()([)(22222x x m dx x d x EI dx d x j i i i j φφωφφ=⎰⎰⎰==l j i i l j i i li j dx x x m dx x x m dx dx x d x EI dx d x 020202222)()()()(])()([)(φφωφφωφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=+-=-=-=-==l j i li j li j l j i li j li j i l j l i j l j i li j l j i li j l i j li j dx dx x d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d d dx x d x EI dx x d x EI dx x d dx x d x EI dx d x dx x d x EI d dx x d dx x d x EI dx d x xd dx x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x x d dx x d x EI dx d dx x d x EI dx d x dx x d x EI dx d d x dx dx x d x EI dx d x 0222202222022022022220022022*********02202222)()()(])()([)(])()([)()()()(])()([)(])()([)(])()([)(])()([)()(])()([])()([)()(])()([])()([)(]))()([()(])()([)(φφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφφ 对于基本边界条件,有:0])()([)(022=li j dx x d x EI dx d x φφ0])()([)(022=li j dx x d x EI dx x d φφ 则有:⎰⎰⎰==lj i i l j i li j dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 同理有:⎰⎰⎰==lj i j l j i lj i dx x x m dx dx x d dx x d x EI dx dx x d x EI dx d x 020222202222)()()()()(])()([)(φφωφφφφ 两式相减得到:0)()()(022=-⎰lj i j i dx x x m φφωω当22j i ωω≠时,有:0)()(0=⎰ljidx x x m φφ令:iliiM dx x x m =⎰0)()(φφ为振型i 对应的广义质量。