悬臂梁式压电振子的弯曲振动微分方程

压电梁弯曲振动方程及等效体力的计算
贾玉斌;孙雨南;秦秉坤;印平
【期刊名称】《北京理工大学学报》
【年(卷),期】1999(19)5
【摘要】目的为研究石英音叉型角速率传感器提供设计参数方法根据压电理论和弹性力学理论,讨论石英晶体振梁不同方向(光轴z和电轴x)振动的弹性柔顺常数存在的差别,导出压电梁弯曲振动的微分方程,并利用有限差分方法对几种典型的电极图形进行数值计算结果与结论提出等效体力概念,给出了压电梁等效体力计算的一般公式,优选了振梁型传感器的电极图形。

【总页数】5页(P599-603)
【关键词】等效体力;振梁型传感器;压电梁振动;弯曲振动
【作者】贾玉斌;孙雨南;秦秉坤;印平
【作者单位】北京理工大学光电工程系;北京联合大学专业基础部
【正文语种】中文
【中图分类】TN384;TP212
【相关文献】
1.梁端带粘性阻尼器的弯曲振动梁的复模态与等效阻尼常数的求解方法 [J], 邓龙龙;邓志坚;邓燕华
2.圆盘形弯曲振动压电变压器等效电路及特性研究 [J], 黄以华;施俊;周康源
3.用精确电场法和等效电路法计算压电双晶片梁的等效电容 [J], 江山;廉紫阳;戴隆
翔;胡洪平
4.用精确电场法和等效电路法计算压电双晶片梁的等效电容 [J], 江山;廉紫阳;戴隆翔;胡洪平;
5.压电梁弯曲振动电极的位置效率和等效电路(英文) [J], 贾玉斌;孙雨南;秦秉坤因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一、概述悬臂梁是工程中常见的结构，其横向自由振动微分方程的推导是理解结构动力学的重要环节。

哈密顿原理是一个物理学上的基本原理，能够提供系统的最小作用量原理。

本文将利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程，旨在深入探讨结构动力学中的基本原理，为工程研究提供理论支持。

二、背景知识1. 悬臂梁悬臂梁是一种常见的结构形式，其特点是其中一端固定，另一端悬挂。

悬臂梁在工程中广泛应用，如桥梁、建筑、机械等领域。

2. 哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一个基本原理，它描述了系统的最小作用量原理。

哈密顿原理是拉格朗日原理的推广，它通过最小化系统的作用量来描述系统的运动方程。

三、悬臂梁的横向自由振动悬臂梁的横向自由振动是指在无外界力的情况下，悬臂梁自身由于外界扰动而产生的振动。

我们可以利用哈密顿原理来推导悬臂梁的横向自由振动微分方程。

四、哈密顿原理推导1. 系统的广义坐标我们需要确定系统的广义坐标。

悬臂梁的横向自由振动可以使用横向位移作为广义坐标来描述。

假设悬臂梁的长度为L，质量为m，弹性系数为k，则系统的横向位移可以用函数y(x, t)来表示。

2. 系统的作用量系统的作用量S可以表示为积分形式，即S = ∫L dt其中L为拉氏量，表示系统的动能T和势能V的差值。

在悬臂梁的横向自由振动中，系统的动能可以用动能函数T表示，系统的势能可以用势能函数V表示。

则拉氏量可以表示为L = T - V其中动能函数T可以表示为T = ∫0L 1/2 * m * (∂y/∂t)^2 * dx势能函数V可以表示为V = ∫0L 1/2 * k * y^2 * dx3. 哈密顿原理的应用根据哈密顿原理，系统的作用量S在运动的路径上取极值。

我们可以通过变分法来求解作用量S的极值问题。

假设横向位移y(x, t)在固定边界条件下使得作用量S取得极值，则可以得到横向位移函数y(x, t)满足的运动方程。

五、悬臂梁的横向自由振动微分方程通过哈密顿原理的推导，我们可以得到悬臂梁的横向自由振动微分方程。

悬臂梁抗弯刚度为ei挠曲线的近似微分方程
悬臂梁抗弯刚度为ei的微分方程可以表示为：
d²y/dx² = -M(x)/ei
其中，y是梁的挠曲度，x是梁的自变量，M(x)是梁上的弯矩。

这个微分方程描述了梁在受到外力时的弯曲情况。

根据这个微分方程，我们可以推导出悬臂梁的挠曲线。

假设悬臂梁长度为L，在x=0处支撑，梁的一端没有支撑，假定梁端
的挠度和弯矩为0。

在这种情况下，由于没有支撑，梁受到的弯矩只有悬挂处的重力产生的弯矩。

因此，可以将弯矩表示为M(x) = mgx，其中m是梁的质量，g是重
力加速度。

将这个弯矩代入微分方程，得到：
d²y/dx² = -mgx/ei
这是一个关于x的二阶线性微分方程，可以通过求解得到悬臂梁的挠
曲线。

解微分方程需要先求出相应的特征方程，特征方程为：
λ² + (mg/ei) = 0
解出特征方程的根为：
λ = ±√(-mg/ei)
根据这个根，可以得到悬臂梁的挠曲线：
y = A*cos(√(-mg/ei)*x) + B*sin(√(-mg/ei)*x)
其中，A和B是常数，根据悬臂梁的边界条件可以求解。

悬臂梁的挠曲线是一个正弦曲线，这是因为悬挂在一端的梁的自重使得其在这个点上弯曲。

可以根据这个挠曲线来计算悬臂梁的最大挠度和最大应力等参数，用于设计工程中的悬臂梁。

总之，悬臂梁抗弯刚度为ei的微分方程是描述悬臂梁在受外力作用下弯曲情况的数学模型。

通过求解微分方程可以得到悬臂梁的挠曲线，为工程设计提供了基础支持。

悬臂梁的微分方程以及边界条件
悬臂梁是一种常见的结构，它由一端固定支撑，另一端悬空。

在工程领域中，我们经常使用微分方程来描述悬臂梁的运动行为。

微分方程可以帮助我们理解悬臂梁在受力作用下的弯曲程度，以及如何选择适当的边界条件来求解问题。

悬臂梁的微分方程通常可以表示为弯曲曲线的方程。

这个方程描述了悬臂梁上任意一点的弯曲程度和受力状态。

通过求解微分方程，我们可以得到悬臂梁在不同位置的弯曲情况。

为了求解悬臂梁的微分方程，我们需要给出边界条件。

边界条件是指在悬臂梁的两个端点处所施加的限制条件。

这些条件可以是悬臂梁在两个端点处的位移、转角或力的大小等。

通过给出适当的边界条件，我们可以确定悬臂梁的弯曲行为。

例如，我们可以假设悬臂梁的一端固定支撑，另一端受到垂直向下的力。

这个边界条件可以表示为悬臂梁在一端的位移为零，另一端的弯曲角度为零。

通过这个边界条件和微分方程，我们可以求解出悬臂梁在不同位置的位移和弯曲角度。

悬臂梁的微分方程和边界条件在工程领域中有广泛的应用。

它们可以帮助我们设计和分析悬臂梁的结构，了解不同受力条件下的弯曲情况，从而确保悬臂梁的安全性和稳定性。

悬臂梁的微分方程和边界条件是描述和求解该结构行为的重要工具。

通过合理选择悬臂梁的边界条件，并利用微分方程进行求解，我们可以深入了解悬臂梁的弯曲行为，为工程实践提供科学依据。

悬臂梁动力学方程
悬臂梁动力学方程是描述悬臂梁振动的基本方程，它的推导过程涉及到牛顿第二定律和杆件理论等知识。

首先，我们假设悬臂梁的长度为L，质量为m，弹性模量为E，惯性矩为I，横向位移为y(x,t)，横向力为F(x,t)。

根据牛顿第二定律，可以得到悬臂梁的运动方程：
m∂²y/∂t²+ EI∂⁴y/∂x⁴= F(x,t)
其中，∂²y/∂t²表示横向加速度，∂⁴y/∂x⁴表示曲率，F(x,t)表示作用在悬臂梁上的外力。

为了求解上述方程，需要对其进行边界条件的约束。

悬臂梁的边界条件为：
y(0,t) = 0 悬臂端点位移为0
∂y/∂x(0,t) = 0 悬臂端点的切线力为0
∂²y/∂x²(L,t) = 0 悬臂梁的弯曲角度为0
EI∂³y/∂x³(L,t) = M(t) 悬臂梁的弯矩为M(t)
其中，M(t)表示作用在悬臂梁上的弯矩。

通过对运动方程和边界条件进行求解，可以得到悬臂梁的振动模态和振动频率。

具体求解方法包括分离变量法、拉普拉斯变换法、有限元法等。

总之，悬臂梁动力学方程是描述悬臂梁振动的基本方程，它的推导过程需要涉及到牛顿第二定律和杆件理论等知识，求解方法包括分离变量法、拉普拉斯变换法、有限元法等。

基于压电悬臂梁的振动能量获取装置的建模及数值仿真周璇;王海;李晗;王战;夏小品【摘要】振动能是自然环境中广泛存在的一种能量，振动式发电机可将其提取并转换为可直接利用的电能。

设计了一种用于收集环境中低频振动能的三质量块压电悬臂梁装置，利用压电薄膜的正压电效应将机械能转化成电能。

建立悬臂梁的数学模型，用ANSYS软件建立悬臂梁的仿真模型，然后对其进行模态分析，耦合分析，谐响应分析并绘制出压电振子的频率-电压曲线图。

研究结果表明该悬臂梁产生的电压可以满足无线传感器节点的使用要求，且优于单质量块悬臂梁。

% Vibration generator can extract and convert vibration energy that exists in the natural environment into electric power. A design proposal of a piezoelectric cantilever beam with three mass blocks makes use of direct piezoelectric effect to extract low-frequency vibration energy. This paper is aimed at establishing the mathematical model of the cantilever beam, using ANSYS software to establish the simulation model of the beam, and then using the modal analysis, coupling analysis, harmonic response analysis and it maps out the curve of frequency-voltage. The results shows that Piezoelectric Cantilever Beam with three mass blocks is superior to only one mass block,and the voltage generated from the cantilever beam can satisfy wireless sensor nodes.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2013(000)003【总页数】5页(P98-102)【关键词】振动能;压电悬臂梁;三质量块;ANSYS【作者】周璇;王海;李晗;王战;夏小品【作者单位】安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000;安徽工程大学机械与汽车工程学院，安徽芜湖 241000【正文语种】中文【中图分类】TK-91 引言现今人们对环境问题格外重视，无线传感器网络的研究正受到越来越多的关注，研究内容分布也非常广泛，涵盖了从理论到实现、从节能到安全等多个方面。

悬臂梁固有频率的计算若相对于n β的2C 值表示为2n C ，根据式中的1n C ，2n C 可以表示为21cos cosh ()sin sinh n n n n n n l lC C l lββββ+=-+；因此1cos cosh (x)C (cos x cosh x)(sin x sinh x),1,2,...sin sinh n n n n n n n n n n l lW n l l ββββββββ⎡⎤+=---=⎢⎥+⎣⎦由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：1112222221234441.875104() 4.694091()7.854757()EI EI EI Al Al Alωωωρρρ===，，， 112222454410.995541()14.1372()EI EI Al Alωωρρ==，；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：4242442224(,)(,)(1)0w x t w x t E w I wEI A I kG kG x t x t t ρρρ∂∂∂∂+-++=∂∂∂∂∂；边界条件：(0)(0)0w x x φ====（1），0x lx lw x x φφ==∂∂-==∂∂（2）； 设方程的通解为：(,)Csincos n n xw x t w t lπ=；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：422222224442224r ()(1)0nnn r n r E n w w kG l l kG l ρππαπ-+++=；其中22I EI r A A αρ==，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为222222=n n EI n w l A lαππρ=；当n=1,2,3,4,5时可分别求得固有频率为：222221234522222491625EI EI EI EI EI w w w w w A l A l A l A l A lπππππρρρρρ=====多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5个相等的集中质量12345m 5m m m m m =====。

Zhuangbei Yingyong yu Yanjiu♦装备应用与研究线性悬臂梁式压电振子的理论分析与仿真杨晋宁曹雅莉（甘肃机电职业技术学院，甘肃天水741001）摘要:悬臂梁式压电俘能系统的输出电压和功率与压电振子的结构尺寸、外界激振频率等都有着密切的联系。

同时，线性压电振子当与环境振动激励产生共振时才能获得最大的输出功率，而其固有频率又与压电振子的结构尺寸等参数有关。

因此，为了在实际应用中提高俘能效率，参数悬臂梁式压电俘能系统性能的°悬臂式压电振子结构了相关的理论分析，并通过COM+OL Multiphysics有限元软件，对系统输出电压和功率受外界激振频率、负载、外激励加速度的影响规律进行了仿真分析，而为悬臂式压电振子结构，系统固有频率提供了参X关键词：压电振子；固有频率;激振频率；负载;仿真0引言界中的能，其中振动能、用的能2其能时受到时、、环境等因素的X能其为电能2有电子、实时的能X实际上2利用界中的振动电提动力，可振动能为机电系统的电能X用压电效应理在环境中的振动能有高的能密、环保、高输出电压和功率实结构等，因而关⑴X在理论中，压电式悬臂梁为压电式振动俘能系统结构的等效k用线性动学其建模与分析，故常将它称为线性悬臂梁式压电振子X文为了步提高能量换效率，在对悬臂梁式压电振子结构和尺寸理论分析的础上，利用COMSOL Multiphysics,外界激振频率等参数对输出电压和功率的分析，为悬臂梁式压电振子结构提理论参X!压电能量收集器的理论分析1.1基本结构和原理能量中最典的结构悬臂梁式，其具有诸点X为步提高能量换效率，使压电结构的固有频率、外界激振频率和三者有效匹配起来k文采用压电效应理下的矩形悬臂梁结构k如图1示X该结构的中间层用铜材料的金属k在的下方各粘有一层很薄的PZT-5H压电陶瓷k用串联连接的输出方式k构成双晶压电振子k Z轴为极方向°压电振子的左端固定，另一端放置一个材料为45钢的质量块,用压电结构的固有频率k便外界频环境中的振动能量X在外界振动的激励下，将会激压电振子振动而发生弯曲形,使上下两片PZT-5H压电陶瓷分别受到拉伸和压缩用，结合压电效应原理此时外输出电压°该结构采用激励方向与极化方向相垂直的＜=1振动式，使其共振频项目名称：2019年度甘肃省高等学校创新能力提升项目（2019A-238）图1矩形悬臂梁式压电结构率更，更与外界环境产生共振°悬臂梁式压电结构尺寸参数如表1所示X表1悬臂梁式压电结构尺寸参数名称参数数值/mm压电振子长度'50.00压电振子宽度%20.00基体厚度0.25PZT-5H厚度0.20质量块长度'n8.00质量块宽度20.00质量块厚度& 2.001.2固有频率根据文献［2-3"提出的分布式参数动学，在忽略质量惯性矩和剪切变形影响的前提下，线性悬臂梁式压电振子等效为一个Euler#B ernou l li梁，然后利用Euler#Bemou l li方程其机电耦合行为进行建模X过理论推导k得到计算各阶固有频率的公式⑷：■fi t，匸1，2,…⑴式中为压电振子的弹性量;p为压电振子的等效密'为压电振子的％为压电振子的宽度；&为压电振子的厚度（&=&e十2&p）x由（1）式可看出k压电振子的与$、％和&之间呈正比关系k 与P和'关系X当压电振子的一端放质量块时k相当了P的大小k从而起的作用X2有限元分析在COMSOL Multiphysics多物理场仿真软件中，按照表1示数据对悬臂梁式双晶压电振子三建，如图2示°过k得压电振子的表应图，如图3示，"込位于压电振子根部，为使压电振子产生更多的电能,压电装备应用与研'♦Zhuangbei Yingyong yu Yanjiu 片应粘贴于此处冈。