必过教材美直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax + By + C = 0(A,B 不同 时为0)代入圆锥曲线 C 的方程F(x ，y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量 x(或变 量y)的一元方程.］Ax + By + C = 0,即 消去 y ,得 ax 2 + bx + c = 0.F x , y =0(1) 当0时，设一元二次方程 ax 2+ bx + c = 0的判别式为 △,贝V △>0?直线与圆锥曲 线C 相交； △= 0?直线与圆锥曲线C 相切△V 0?直线与圆锥曲线 C 相离.(2) 当a = 0, b z 0时，即得到一个一次方程，则直线 I 与圆锥曲线C 相交，且只有一个 交点，此时，若C 为双曲线，则直线I 与双曲线的渐近线的位置关系是平彳 —若C 为抛物线，则直线I 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.［小题体验］2 2 1 .若直线y = kx 与双曲线x — y = 1相交，贝V k 的取值范围是 ___________ . 9 42 2 2解析：双曲线x — y = 1的渐近线方程为y = ±3x ,若直线y = kx 与双曲线相交，数形结合得M - 3, 2 -答案：- 3,32 22•已知椭圆C : x 2+ y 2= 1(a > b >0), F( 2, 0)为其右焦点，过点 F 且垂直于x 轴的直a b 线与椭圆相交所得的弦长为 2，则椭圆C 的方程为解析：由题意得组=2,I aa 2=b 2+c 2,2 2 所以椭圆C 的方程为中+ y2 = 1.2 2 第九节 直线与圆锥曲线a = 2,答案：*+14 223.经过椭圆X2 + y2= 1的一个焦点作倾斜角为45°勺直线l，交椭圆于A, B两点•设0为坐标原点，则—O A -0B等于 _________ .解析：依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y—0= tan 45°x —1），即y2=x —1,代入椭圆方程号+ y2= 1并整理得3x2—4x= 0,解得x= 0或x= 4，所以两个交点坐标分别为（0, —1）, 3, 1，所以6X ―B = —3,同理，直线I经过椭圆的左焦点时，也可得—0? -OB = —1.故"O X CE B 的值为一3.答案：—1必过易错关1 .直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.2 •直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点.［小题纠偏］1•过点（0,1）作直线，使它与抛物线y2= 4x仅有一个公共点，这样的直线有__________ 条.解析：结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x= 0，过点（0,1）且平行于x轴的直线以及过点（0,1）且与抛物线相切的直线（非直线x= 0）.答案：3b 2 22 .直线V= b x + 3与双曲线x2—y2= 1的交点有个.a a b解析：因为直线V=b x + 3与双曲线的渐近线y=b x平行，a a所以它与双曲线只有1个交点.答案：1考点一直线与圆锥曲线的位置关系重点保分型考点一一师生共研［典例引领］x2V2J6 已知椭圆C：孑+ b2= 1（a> b>0）的两个焦点分别为F1（—2,0）, F2（2,0），离心率为亏.过点F 2的直线1(斜率不为0)与椭圆C 交于A , B 两点，线段 AB 的中点为D , O 为坐标原点, 直线OD 交椭圆于M , N 两点.(1)求椭圆C 的方程；⑵当四边形MF 1NF 2为矩形时，求直线l 的方程. c =2,解: (1)由题意可知 C =¥,解得a = ■_ 6, b = 2. a 3 a 2= b 2 + c 2,2 2故椭圆C 的方程为x +y =1. 6 2⑵由题意可知直线l 的斜率存在.设其方程为 y = k(x — 2),点 A(x i , y i ), B (x 2, y 2), M (x 3, y 3), N (—X 3,— y 3),-2 2舟管+, 1,由6 2y = k x — 2 —4ky1+ y2= k(x1 + x2- 4)=碍,因此直线 OD 的方程为x + 3ky = 0(k z 0).因为四边形 MF 4NF 2为矩形,即(x 3 — 2 , y 3) (•— X 3 — 2，— y 3)= 0 ,4— x 2 — y 3= 0.22 9k +14— l+F = a［由题悟法］1. 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x , y 的方程组，消去 y(或x)得 元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.得(1 + 3k 2)x 2— 12k 2x + 12k 2— 6= 0, 所以x 1 + x 2=212k 2 1 + 3k '所以AB 的中点D 的坐标为'6k 2 2 — 2k?、1 + 3k 2, 1 + 3k2 , x + 3ky = 0,由 x 2 y f+ = 1,6 2 ，解得 y3= 1+?, x3 = — 3% 所以 所以 解得 k =±(.故直线i 的方程为y = ±，(x — 2).(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.2. 判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点第一：可以限定所给(1) 联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况.(2) 判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式△起着关键性的作用，参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.［即时应用］(2019泰州中学高三学情调研)已知椭圆的离心率为扌，焦距为2,直线y= kx(x z 0)与椭圆C交于A, B两点，M为其右准线与x 轴的交点，直线AM , BM分别与椭圆C交于A i, B i两点，记直线A iB i的斜率为k i.(1) 求椭圆C的方程；(2) 是否存在常数入使得k i=入讪亘成立？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由.2 2解：⑴设椭圆方程为a + *= i(a> b> 0),由椭圆的焦距2c= 2,得c= i.由椭圆的离心率e=許吩得 a = 2,则b2= a2-c2= i,2所以椭圆C的方程为；+ y2= i.(2)设A(x o, y o),贝y B(-x o, —y o), k=严，2y2= 2-x0,又右准线方程为x = 2,贝V M(2,0),x直线AM的方程为y=匚—2(x - 2),消去y,整理得[(x o- 2)2+ 2y2]x2- 8y0x + 8y o-2(x°- 2)2= 0,因为方程的两个根为x o, xA i,比8y 2― 2(x o― 2 f 4(2—x o —2fx o- 2f 4 —3x o所以xo xAi= x o —2 2+ 2y2 = x o-22+ 2丸=xo‘则xA i= 3― 2xo, yA i = ~^(xA i —2) = 3y2 ,3—2x o x o—2' 3—2x o即存在X=— 3，使得k i =入k 旦成立.考点二定点、定值问题 重点保分型考点一一师生共研则A i i4 — 3x o y o ] 3 — 2x o 3 — 2x o ' 同理可得 4 + 3x o 3 + 2x ‘ y o — 3+2x o，贝U k i =— 6y o 2x o3k ,［典例引领］2 2 f (2017 全国卷 I )已知椭圆 C: a 2+ 治=1(a > b > 0),四点 P i (1,1), P 2(0, 1), P3 — 1, P",尹 中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求C 的方程； ⑵设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点•若直线 P 2A 与直线P 2B 的斜率的和 为一1,证明：I 过定点. 解：(1)由于P 3, P 4两点关于y 轴对称， 故由题设知椭圆 C 经过P 3, P 4两点. 1113 又由孑+ b 2＞孑+ 4b 2知，椭圆C 不经过点P 1, 所以点P 2在椭圆C 上.2 故椭圆C 的方程为x +y = 1. 4 (2)证明：设直线 P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为 k 1, k 2. 如果I 与x 轴垂直，设l ：x = t,由题设知埒0，且|t| V 2,可得A, B 的坐标分别为 1从而可设 I : y = kx + m(m ^ 1).2将y = kx + m 代入x + y 2= 1得 4(4k 2+ 1)x 2+ 8kmx + 4m 2— 4 = 0. 由题设可知 △= 16(4k 2— m 2+ 1) > 0.设 A(X 1, y 1), B (X 2, y 2), 解得a 2=：， |b 2= 1. 则 k 1 + k 2 = 4 -12-2 2t 4- t 2+ 2 2t =—1,得t = 2，不符合题设. 因此x1+ x2=8km1’x1X2 =4m2— 44k2+ 1.k1 + k2 = y2 —1 X2kx1 + m —1 +kx2+ m—1 X1X2_ 2kx i X 2+ (m — 1 (X i + X 2)X 1X 2由题设k i + k ?= — 1,故(2k + 1)X i X 2+ (m — 1)(x i + X 2)= 0.2口 r, 4m — 4 — 8km即(2k + 1) 一+ (m — 1) 一2= 0. 4k 2+ 1 4k 2+ 1当且仅当 m >— 1 时，△>0，于是 I : y = — ^^X + m , 即卩 y + 1 = — m ^(X — 2),所以I 过定点(2, — 1).［由题悟法］定点、定值问题的求解策略(1) 定点问题的求解策略把直线或曲线方程中的变量 X , y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得 到一个关于X , y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.(2) 定值问题的求解策略在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取 特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与 变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值.［即时应用］(2019徐州一模)已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆 C 的一个焦点F 在抛物线y 2= 4x 的准线上，且椭圆 C 过点P 1, 2，直线I 与椭圆C 交于A , B 两点.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线I 的斜率为1,且不过点P ,设直线PA , PB 的斜率分别为k 1, k 2,求证：心+ k 2为定值. 解：(1)抛物线/= 4x 的准线方程为x =— 1，由题意知F (— 1,0).2 2设椭圆C 的方程为勺+書=1(a >b >0).a b ' '［硏= 1, a 2 = 4,则由题意可得 1 9 解得2孑 + 4?= 1, 血=3.2 2故椭圆C 的方程为x + y = 1.解得k =—m + 1 24 3⑵证明：因为直线l 的斜率为2，且不过点P 1, 3 ,所以可设直线l 的方程为y = 2x + m(m ^ 1). 2 2 x +y = 1 4十3 ， 联立方程组消去 y 得 x 2 + mx + m 2— 3 = 0.设 A(x i , y", B (X 2,『2), 2 2 △= m - 4m - 3 > 0, 故有 X 1+ X 2=- m , X 1X 2= m 2- 3.3 3y 1- 2 y 2- 2所以k 1 + k 2= 1十 1X 1— 1 X 2— 1 y1-3 (XL 1 j(x 2— 1 ) -1 十 y2-2 x1 2x 1 + m -- 1 十 =X 1- 1 X 2- 1 _ X 1X 2+ (m — 2 怪1十 X 2 — 2m + 3— X 1X 2 - X j + X 2 十 12m — 3+ m - 2 — m — 2m + 3= 2 = 0m — 3 — (— m 十 1， 考点三最值、范围问题 重点保分型考点一一师生共研［典例引领］(2018苏北四市期末)如图，在平面直角坐标系2 2 圆C ： x 2+ y 2 = 1(a >b >0)的离心率为 乎，且右焦点 a b 2xOy 中，已知椭离为6.2.(1)求椭圆C 的(2)设A 为椭圆C 的左顶点，P 为椭圆C 上位于 的垂线，交y 轴于点N. x 轴上方的点，直线 PA 交y 轴于点M ,过点F 作MF ①当直线 PA 的斜率为1时，求△ FMN 的外接圆的方程; ②设直线AN 交椭圆C 于另一点Q 求厶AP Q 的面积的最大值.m— -12 2所以椭圆C 的方程为 去+ y= 1.16 8 ⑵由题意可设直线 PA 的方程为y = k(x + 4), k >0,贝U M(0, 4k),所以P ，Q 关于原点对称，即 P Q 过原点.所以△ APQ 的面积 S =」OA (y p — W)= 2 X 16k 2^3^< 8 2,2 1 + 2k 12k +1所以△ AP Q 的面积的最大值为 8 2.［由题悟法］圆锥曲线中的最值问题解决方法(1)代数法：从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本 不等式法、换元法、导数法等方法求最值.(2)几何法：从圆锥曲线的几何性质的角度考虑，根据圆锥曲线几何意义求最值.［即时应用］2 2 1已知椭圆*= 1(a >b >0)的离心率为，且经过点P 1,c=t a 2， 2 解：(1)由题意得l c+ 2 = 6厲解得，a = 4,c= 2迄，贝b =蓉,所以k MF 0 — 4k2.2— 0 =— 2k , kFN1 2k ，所以直线FN 的方程为y「打 (x — 2 2)，贝V N 0, - k .①当直线 1 1PA 的斜率为 1，即 k = 1 时，M(0,2), N(0,-4), F(2 2，0)， 因为MF 丄FN ，所以圆心为(0, - 1)，半径为3, 所以△ FMN 的外接圆的方程为 x 2+ (y + 1)2= 9.k x + 4 ,②联立 x 2 y 2消去 y ,整理得(1 + 2k 2)x 2 + 16k 2x + 32k 2- 16 = 0,+ ^-= 1 16 84 — 8k解得x1=-4或X2= 1+尿，所以p4- 8k 2 1+ 2k 2, 8k1 + 2k 2，1 又直线AN 的方程为y =—以債+ 4), 同理可得，Q —4 8k ,2k 2,—1 + 2k2 ,3，过它的两个焦点 F 1,当且仅当2k =；,即k =a ”=6—F 2分别作直线11与12, l l 交椭圆于A , B 两点，12交椭圆于C , D 两点，且1l 丄12.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求四边形ABCD 的面积S 的取值范围. 解：⑴由C = £ 得 a = 2c ,所以 a 2= 4c 2, b 2= 3c 2,a 2 将点P 1, 2的坐标代入椭圆方程得 c 2 = 1, 2 2 故所求椭圆方程为x + y= 1.4 3(2)若11与12中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为 0，此时四边形的面积为 S = 6.1若11与12的斜率都存在，设11的斜率为k ，则12的斜率为—7.k 不妨设直线11的方程为y = k(x + 1), 设 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), y= k (x +1, x 2 y 2-+3 = 1消去 y 整理得，(4k 2+ 3)x 2+ 8k 2x + 4k 2— 12 = 0,△= 64k 4— 4(3 + 4k 2)(4k 2— 12) = 144 k 2+ 144> 0, 8 k 2 4 k ? — 12仃 L 【、II O tv -re所以 x 1 + x 2=—彳［2 丄 3 , x 1 X 2= 2丄 3 ,4k 十3 4k 十3所以凶一X 2|= X 1 + X 22 — 4x 1x 2=：胃鳥1,. 2 2所以 S = 2AB CD = 4岸 3 樣 + 4 , 令 k 2= t € (0, + g ), 所以 S =72 1 +12(4t + 3 )(3t + 4 )6 12t 2+ 25t + 12 — 6t = 12t 2+ 25t + 126 12t + ¥+ 25联立$ 所以 AB =1 + k 2x i — X 2|=212 k + 1 4k 2 + 3 ,同理可得一保高考，全练题型做到高考达标2 21. (2019徐州第一中学检测)若双曲线X9 — 丁 =1与直线y = kx — 1有且仅有一个公共点,则这样的直线有 ________ 条.2 2解析：把直线y = kx — 1代入双曲线x— \ = 1中， 消去 y ,得(4 — 9k 2)x 2 + 18kx — 45= 0,当4— 9k 2= 0，即k = ±3时，直线与双曲线相交，有一个交点； 当4— 9k 2工0，即k 工±3时，令 △= 0,得182k 2+ 4(4 — 9k 2)x 45= 0，解得k = ±7，此时直线与双曲线相切，有一个交点.3 综上，k 的值有4个，即这样的直线有 4条. 答案：42 22•已知椭圆C : +才=1的左、右顶点分别为 M , N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是—1，则直线PM 的斜率为 ___________ .42 2解析：设P(X 0,y °),则x 0+ y 0= 1,直线PM 的斜率k pM = 一咒，直线PN 的斜率k pN = 匕,4 3 X 0 十 2 X 0 — 2 可得 k pM k PN = 2,0 ’ =— 3，故 k pM = — 3 • 1 = 3.X 0— 44 4 k PN答案：33 .已知抛物线y 2= 2px 的焦点F 与椭圆16x 2 + 25, = 400的左焦点重合，抛物线的准线 与x 轴的交点为K ,点A 在抛物线上且 AK = Q2AF ，则点A 的横坐标为 ______________________ .2 2解析：16x 2+ 25y 2= 400 可化为 x + y= 1,1故直线I 的方程为y — 2= — ^(x — 4), 即 x + 2y — 8= 0. 答案：x + 2y — 8= 0> 6- A = 28849 49 所以S €器6 .综上可知，四边形 ACBD 面积的取值范围是 czi0 □1=125 16则椭圆的左焦点为F(—3,0),又抛物线y2= 2px的焦点为p, 0，准线为x =—p, 所以p=—3, 即卩p=—6,即y2= —12x, K(3,0).设 A(x , y),则由 AK = 2AF 得 (x — 3)2 +2[(x + 3)2 + y 2]，即 x 2+ 18x + 9+ — 0,又 y 2=— 12x ，所以 x 2+ 6x + 9= 0,解得 x =— 3. 答案：—3x 2 y 224. (2019江都中学检测)已知双曲线 孑一詁=1(a >0, b >0)的两条渐近线与抛物线y =2px(p >0)的准线分别交于 A , B 两点，若双曲线的离心率为 2, O 为坐标原点，△ AOB 的面 积为弓3 1，贝y p= ______________ .22b解析：•••双曲线字—存=1的渐近线方程是y = ±^x ,抛物线y 2= 2px(p >0)的准线方程是x = — p ,A ,B 两点的纵坐标分别是 y = ±f ,•••双曲线的离心率为 2,2 2 2• 2= C —2— = e 2— 1= 3,贝H b = 3, a a a ••• A , B 两点的纵坐标分别是尸詈=甲, 又厶AOB 的面积为于, ••• 2X 3p x p =33,解得 P =竽. 又论 + X 2= 8,知 + y 2= 4, 所以也二也=—1,X 1 — X 2 22 25.已知(4,2)是直线l 被椭圆訂+ f = 1所截得的线段的中点，则I 的方程是解析：设直线l 与椭圆相交于A(X 1, y 1), B(X 2, y 2). 两式相减并化简得嵌X j + x 2 4(y 1 + y 2 j16. (2018海门中学检测)如图，过抛物线 y = ”x 4 5的焦点F 的直线I 与抛物线和圆x 2 + (y4答案：18.已知直线l 过抛物线C ： y 2= 2px(p >0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线 l 与 抛物线C 交于A , B 两点，且AB = 12,若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ ABM 的面积 为 .解析：由题意知，抛物线 C 的焦点坐标为 p 0 ,对称轴为x 轴，准线为x =—:.因为 直线l 与x 轴垂直，所以 AB = 2p = 12, p = 6,又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直1线AB 的距离为 6，所以△ ABM 的面积 S =6X 12= 36.解得 x = ±2,则 A( — 2,1), D(2,1),2 -1)2= 1 交于 A , B ,解析：不妨设直线因为 B( — 1,1), C(1,1),所以 刁B = (1,0), 1DC = (— 1,0),所以 瓦B Bc =— 1.答案：—12 27. (2019宁海中学调研)已知椭圆/+洽=1(a > b > 0)，点A , B 1, B 2, F 依次为其左顶 点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 AB ?与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为 _________ .解析：根据题意得，直线 AB 2的方程为：y =b x + b ,aA直线B 1F 的方程为：y = b x — b ,c 联立两直线方程解得 x = 2ac . a — c化简得 2c 2 + ac — a 2= 0, 即 2e 2+ e — 1 = 0,1又0v e v 1,解得e = 2又由题意可得 2ac =a — c答案：369. (2018镇江期末)已知椭圆 C : X 2+古=1(a > b > 0)的离心率为 ，且点 一.3, 2在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；⑵若直线l 交椭圆C 于P , Q 两点，线段P Q 的中点为H , O 为坐标原点，且 OH = 1, 求厶PO Q面积的最大值.2所以椭圆C 的方程为专+ y 2= 1.⑵设 I 与 x 轴的交点为 D(n,0),直线 l ： x = my + n , P(X 1, y", Q (X 2, y 2),x = my + n , 联立 x 2 2消去 x ，整理得(4 + m 2)y 2+ 2mny + n 2— 4= 0,4+y =1… 1 1则 SA PO Q = ^OD|y 1 — y 2= 2|n||y 1 — y 2|.令 T = n (y 1 — y ?) = n [(y i + y 2) — 4y i y 2]=24 + m _______ t16+ m 2 2=t 2+ 24t + 144当且仅当t = 学，即t = 12时，S A PO Q = 1, 所以△ PO Q 面积的最大值为 1. X 2 210.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆 C : 4 + y = 1的解：(1)由已知得c =」a 2，a +4b 2=1， 解得〜a 2= 4,b 2= 1,所以 y 1 + y 2= —2mn4 + m 2, 4 + m 2,192 4+ m 22 2 ,设 t = 4+ m 2(t > 4),则 y 1y 2= my + y 2 片 2n = 4n2 = 4 + m 2, 由OH=“，得n2=辭宁,w2t + 学 + 241 48’左顶点A作直线I，与椭圆C和y轴正半轴分别交于点P, Q(1)若AP = PQ,求直线I的斜率;(2)过原点O 作直线I 的平行线，与椭圆 C 交于点M , N ，求证：为定值.解：⑴依题意，椭圆C 的左顶点A(— 2,0),2 216k — 4 "吊2 — 8k则—2 x p = ■ 2 . 1，从而 X p =2. 4k 十 1 1 + 4k因为AP = P Q,所以x p =— 1. 22— 8k 2 所以石页2=— 1,解得k =设直线I 的斜率为k(k >0)，点P 的横坐标为X p ,则直线I 的方程为 y = k(x + 2).y =k x +2, 联立名y-1,得(4k 2+ 1)x 2+ 16k 2x + 16k 2— 4 = 0,(2)证明：设点N 的横坐标为 X N .结合⑴知，直线MN 的方程为 y = kx.y = kx , 联立X 22xr + y 2=1，得x N =4 1 + 4k 2.2 —8k 21 + 4k 2+ 21 4—=1(定值). 4 X 1 + 4 k 2上台阶，自主选做志在冲刺名校1. (2019苏州调研)如图, 2 2 x 2+ ]=1(a > b > 0)的离心率为在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆C :-2，椭圆上的动点p 到一个焦点的距离的最小值为3( 2 — 1).(1)求椭圆C 的(2)已知过点M(0,— 1)的动直线I 与椭圆C 交于A , B 两点，试判断以线段 AB 为直径 的圆是否恒过定点，并说明理由.从而APN^MN2 2⑵当直线i 的斜率为0时，对于18+£+1,令y =— i ,得x = ±4, 此时以线段 AB 为直径的圆的方程为x 2 + (y + 1)2+ 16.当直线I 的斜率不存在时，以线段 AB 为直径的圆的方程为 x 2+ y 2= 9.x = 0,解得 <即两圆的交点为(0,3),记T(0,3).l.y = 3,猜想以线段 AB 为直径的圆恒过定点 T(0,3).当直线I 的斜率存在且不为 0时，设直线l 的方程为y = kx — 1(k z 0), A(X i , y ,), B (X 2,y = kx — i , 由 X 2 y 2 “得(1 + 2^)X — 4kx — 16+ 0,ii +y T 1,)4k16所以△=(-4k) + 64(1 +2k) = 144k+ 64>0, Xi + X2= 7+k , X1X2+-i+?・因为 TA TB — = (x i , y i — 3) (X 2, y 2 — 3) = X i x 2 + y i y 2 — 3(y i + y 2)+ 9 = x i X 2 + (kx i — 1)(kx 22 — 16(k 2+ 1)i6k 2—1)— 3(kx1 —1+ kx 2 — 6 7 8 + 9 = (k +1)xi X 2 —4k(x1 + x2) + 16 =2- —2 + 16 =1 + 2k2 + 16= 0,所以TA 丄TB ，故以线段 AB 为直径的圆过点 T(0,3).综上，以线段 AB 为直径的圆恒过定点(0,3). 2. (2019盐城模拟)如图，已知F i , F 2分别是椭圆 > b >0)的左、右焦点，点P(— 2,3)是椭圆C 上一点，且7 求椭圆C 的方程；2 2 28 设圆 M : (x — m) + y = r (r >0).- --------------------------------------- > --- > ---- > --- >①设圆 M 与线段PF 2交于 A , B 两点，若MA + MB = MP + MF 2,且AB = 2,求r 的值; ②设m = — 2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G , H 两点(均异于点P).试问：是否存在这样的正数 r ,使得G , H 两点恰好关于坐标原点 O 对称？若存在，求出 r 的 值；若不存在，请说明理由.解：⑴因为点P( — 2,3)是椭圆C 上一点，且 PF ,丄x 轴, 所以椭圆的半焦距 c = 2,22.2.22由与+ b = 1,得 y = b ，所以 一 = ------- =3, a b a a a联立 x 2+y +12=16, X 2+ y 2+ 9,y 2).1 + 2k 1 + 2k —16 1 +2 k2化简得a2—3a—4= 0，解得a= 4，所以b2= 12,2 2所以椭圆C的方程为,6+占=i.C:PF2 2故存在满足条件的正数 r ，且r = 罗.._ --- > ---- > --- > --- > ⑵①因为 MA + MB = MP + MF 2,-- > --- > --- > --- > ------ > --- > 所以 MA — MP = MF 2— MB ，即 PA = BF 2. 所以线段PF 2与线段AB 的中点重合(记为点QQ, 由⑴知Q 0, 2 .因为圆M 与线段PF ?交于A , B 两点，所以 k "Q k AB = k )M Q kPF 2= — 1,=—1,解得 m =—98,所以 M Q ==彊又 AB = 2，所以 r =普 2+ 12= 17.②假设存在正数r 满足题意. 由G , H 两点恰好关于原点对称，设G(X o , y o ),贝y H( — x o ,— y °),不妨设x o < 0.因为P(— 2,3), m =— 2,所以两条切线的斜率均存在， 设过点P 与圆M 相切的直线的斜率为 k ,则切线方程为 y — 3 = k(x + 2)，即 kx — y + 2k + 3= 0, 由该直线与圆 M 相切，得 r = _^=2,1卩k = 土、I 2 , ^1 + k 2 V r 所以两条切线的斜率互为相反数，即k pG =— k pH ,V 0 — 3 — y ° — 3— 6所以 ,2=— —x , 2，化简得 x o y o =— 6, 即卩 y o =, x o 十 2 — X o 十 2 *x o2 2代入x 十12 = 1,化简得x — 16x 2 + 48= o , 解得x °=— 2(舍去)或x °=— 2 3, y 0= 3,G(— 2 3, -3), H(2 3,— 3),所以 所以所以k PG =—123 3 记所以r=1 十232 6打7故存在满足条件的正数r，且r = 罗.板块命题点专练(十三)圆锥曲线学习曲匕、阶H 卵上能力彌，期伸古.高考真理第中研究一命题规律，验自身能力命题点一椭圆X 2----- >-- >1.(2018浙江高考)已知点P(0,1),椭圆—+ 卜m(m > 1)上两点A , B 满足AP = 2 PB ,则当m = _________ 时，点B 横坐标的绝对值最大.-- > ---- >解析：设 A(x i , y i ), B(x 2, Y 2),由 AP = 2PB ,-X i = 2X 2, 得即 X 1=- 2x 2, y 1= 3— 2y2.1 - y i =2 y 2— 1,2管 +(3 - 2y2)= m ,因为点A , B 在椭圆上，所以2I X2 24 + y 2= m ,解得 y 2= 4m + 4,所以 X2= m - (3 — 2y 2)2=- ^m 2 + ；m - 9 所以当m = 5时，点B 横坐标的绝对值最大. 答案：5y 2h”=1(a > h > 0)的右焦点，直线 y =云与椭圆交于 =90°则该椭圆的离心率是b.------------------------------ > -- >因为/ BFC = 90° 所以 BF -CF = 0, 所以(+ 留；(一乎a )+ (- b )= 0, 即 c 2- 3a 2 + ^h 2= 0,4a 4h 将h 2 = a 2-c 2代入并化简，得a 2= 3c 2,2. (2016江苏高考)如图，在平面直角坐标系 新―5)2 + 4W 4,解析：将y =；代入椭圆的标准方程,得?+器1h 2所以x =，故 B -_23a , b ，C，-- >又因为F(c,0)，所以BF =-h , "Ci?= ,2 '所以e 2= c 2= 2，所以e =¥(负值舍去).a 3 3 答案：」33. (2017江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2y 2 1E :孑+ b 2= 1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F i , F 2,离心率为2， 两准线之间的距离为 8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过 点F i 作直线PF i 的垂线l i ,过点F 2作直线PF 2的垂线12.(1) 求椭圆E 的标准方程；(2) 若直线1i , 12的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标. 解：(i)设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆E 的离心率为2,两准线之间的距离为 8,2c i 2a o所以8,a 2 c解得 a = 2, c = i ,于是 b = j a 2— c 2=,2 2因此椭圆E 的标准方程是7 + y = i.4 3 ⑵由(i)知，F i (— i,0), F 2(i,0). 设p(x 0, y °),因为P 为第一象限的点， 故 X 0>0, y °> 0.当X 0= i 时，I 2与l i 相交于F i ，与题设不符.当i 时，直线PF i 的斜率为詰，直线PF 2的斜率为X —因为l i 丄PF i , l 2± PF 2，所以直线l i 的斜率为一心，直线l 2的斜率为一3 ,y 0 y 0从而直线l i 的方程为X 0+ iy=—H （x + i ）,即 X 0 — y （）= i 或 x 0+ y （）= i.直线l 2的方程为y = 由①②，解得 x =— X 0, X 0 — i ■0yr （x — i ）.X o— iy = y 0所以Q — X 。
