2020版高分宝典高考数学二轮微专题复习(江苏专用)讲义：微专题七基本不等式

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题7 不等式 第42练 不等式的概念与性质练习 理1．(2016·镇江模拟)设A ＝12a ＋12b ，B ＝1a ＋b(a ＞0，b ＞0)，则A ，B 的大小关系是________． 2．(2017·河南六市第一次联考)若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是________．(填序号)①a 2＜b 2；②ab ＜b 2；③a ＋b ＜0；④|a |＋|b |＞|a ＋b |.3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能使log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________．4．(2016·济南模拟)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是________．(填序号) ①1x 2＋1＞1y 2＋1； ②ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)； ③sin x ＞sin y ； ④x 3＞y 3.5．对于实数a ，b ，c 有下列命题：①若a ＞b ，则ac ＜bc ；②若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；③若a ＜b ＜0，则a 2＞ab ＞b 2；④若c ＞a ＞b ＞0，则ac －a ＞bc －b；⑤若a ＞b ，1a ＞1b，则a ＞0，b＜0.其中真命题是________．(填序号)6．(2016·北京西城区模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“∧”和“∨”如下：a ∧b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，a ∨b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a ＞b .若正数a ，b ，c ，d 满足ab ≥4，c ＋d ≤4，则下列结论正确的是________．①a ∧b ≥2，c ∧d ≤2; ②a ∧b ≥2，c ∨d ≥2； ③a ∨b ≥2，c ∧d ≤2; ④a ∨b ≥2，c ∨d ≥2.7．若存在x 使不等式x －mex＞x 成立，则实数m 的取值范围为____________．8．设a ＞0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是________． 9．对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式： ①log a (1＋a )＜log a (1＋1a )；②log a (1＋a )＞log a (1＋1a)； ③a 1＋a＜a 1＋1a ；④a1＋a＞a 1＋1a.其中成立的是________．10．(2016·苏州模拟)设a ＞b ＞c ＞0，x ＝a 2＋b ＋c2，y ＝b 2＋c ＋a2，z ＝c 2＋a ＋b2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“＞”连接)11．设x ，y 为实数，满足3≤xy 2≤8,4≤x 2y ≤9，则x 3y4的最大值是________．12．(2017·辽宁五校联考)三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，则ba的取值范围是________．13．(2016·长沙模拟)已知a ，b ，c ∈{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n ＞2时，c n 与a n＋b n的大小关系为______________．(用“＞”连接)14．已知－12＜a ＜0，A ＝1＋a 2，B ＝1－a 2，C ＝11＋a ，D ＝11－a ，则A ，B ，C ，D 的大小关系是________．(用“＞”连接)答案精析1．A ＞B 2.④ 3.② 4.④ 5．②③④⑤解析 ①中，c 的符号不确定，故ac 与bc 的大小关系也不能确定，故为假． ②中，由ac 2＞bc 2知c ≠0，∴c 2＞0，则a ＞b ，故为真．③中，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，b ＜0可得ab ＞b 2，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ，a ＜0可得a 2＞ab ，∴a 2＞ab ＞b 2，故为真．④中，由a ＞b 得－a ＜－b ，∴c －a ＜c －b ， 又c ＞a ，∴0＜c －a ＜c －b ， ∴1c －a ＞1c －b＞0. 又a ＞b ＞0，∴ac －a ＞bc －b，故为真．⑤中，由a ＞b 得a －b ＞0，由1a ＞1b 得b －aab＞0，又b －a ＜0，∴ab ＜0，而a ＞b ， ∴a ＞0，b ＜0，故为真． 6．③解析 不妨设a ≤b ，c ≤d ，则a ∨b ＝b ，c ∧d ＝c .若b ＜2，则a ＜2，∴ab ＜4，与ab ≥4矛盾，∴b ≥2.故a ∨b ≥2.若c ＞2，则d ＞2，∴c ＋d ＞4，与c ＋d ≤4矛盾， ∴c ≤2.故c ∧d ≤2.故③正确． 7．(－∞，0) 解析 由x －mex＞x ，得－m ＞e x×x －x (x ＞0)， 令f (x )＝e x×x －x (x ＞0)， 则－m ＞f (x )min ，f ′(x )＝e x ×x ＋e x ×12x－1≥2×e x－1＞0(x ＞0)，所以f (x )为(0，＋∞)上的增函数，所以f (x )≥f (0)＝0，－m ＞0，m ＜0. 8．P ＞Q解析 由题意可知a ＞1.∴(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)＞0， ∴a 3－1＞a 2－1，∴log a (a 3－1)＞log a (a 2－1)，即P ＞Q . 9．②④解析 因为0＜a ＜1，所以(1＋a )－(1＋1a)＝a ＋1a －1a＜0，则1＋a ＜1＋1a，可知②④成立． 10．z ＞y ＞x解析 方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )＞0，∴y ＞x . 同理，z ＞y ，∴z ＞y ＞x .方法二 令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z ＞y ＞x .11．27解析 由4≤x 2y ≤9，得16≤x 4y2≤81.又3≤xy 2≤8，∴18≤1xy 2≤13，∴2≤x 3y 4≤27.又x ＝3，y ＝1满足条件，这时x 3y 4＝27.∴x 3y4的最大值是27. 12．[23，32]解析 两个不等式同时除以a ，得 将②乘(－1)，得两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.13．c n＞a n＋b n解析 ∵a ，b ，c ∈{正实数}， ∴a n＞0，b n＞0，c n＞0.而a n ＋b n c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c n.∵a 2＋b 2＝c 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝1， ∴0＜a c ＜1,0＜b c＜1. ∵n ∈N，n ＞2，∴(a c)n＜(a c)2，(b c)n＜(b c)2.∴a n ＋b n c n ＝(a c )n ＋(b c )n ＜a 2＋b 2c2＝1.∴a n＋b n＜c n. 14．C ＞A ＞B ＞D解析 由已知得－12＜a ＜0，不妨取a ＝－14，这时A ＝1716，B ＝1516，C ＝43，D ＝45.由此猜测：C ＞A ＞B ＞D . ∵C －A ＝11＋a －(1＋a 2)＝－a a 2＋a ＋11＋a＝－a [a ＋122＋34]1＋a.又∵1＋a ＞0，－a ＞0， (a ＋12)2＋34＞0，∴C ＞A .∵A －B ＝(1＋a 2)－(1－a 2)＝2a 2＞0，∴A ＞B . ∵B －D ＝1－a 2－11－a＝a a 2－a －11－a＝a [a －122－54]1－a.又∵－12＜a ＜0，∴1－a ＞0.又∵(a －12)2－54＜(－12－12)2－54＜0，∴B ＞D .综上所述，C ＞A ＞B ＞D .。

目录目录 (1)一、考纲解读 (2)二、命题趋势探究 (2)三、知识点精讲 (2)(一).不等式的性质 (2)(二).含绝对值的不等式 (3)(三).基本不等式 (3)(四).不等式的证明 (4)四、解答题题型总结 (4)核心考点一:解含绝对值的不等式 (4)核心考点二:含绝对值不等式恒成立，求参数问题 (6)核心考点三:含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题 (8)核心考点四:已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围 (9)核心考点五:比较法（差值法和比值法）证明不等式 (12)核心考点六:利用函数的单调性证明 (13)一、考纲解读1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值.2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位.3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值.4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式.二、命题趋势探究本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档.三、知识点精讲(一).不等式的性质1.同向合成（1）,a b b c a c >>⇒>；（2）,c a b d a c b d >>⇒+>+；（3）0,c 0a b d ac bd >>>>⇒>.（合成后为必要条件）2.同解变形（1）a b a c b c >⇔+>+；（2）0,0,a b c ac bc c ac bc >⇔>>⇔<<；（3）11000a b a b b a>>⇔>>⇔>>. （变形后为充要条件）3.作差比较法0,0a b a b a b a b >⇔>-><⇔-<(二).含绝对值的不等式（1）0,||a x a a x a ><⇔>-<<；0,||,a x a x a x a >>⇔>><-或（2）22||||a b a b >⇔> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论(三).基本不等式（1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =） （2）0,0,22a b a b ab +>>≥（当且仅当等号成立条件为a b =）； 30,0,0,3a b c a b c abc ++>>>≥（当且仅当a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：2222||ad bc a b c d ⋅⇔+≤++a b a b ||||||≤ ②推广：222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.当且仅当向量12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立.(四).不等式的证明（1）作差比较法、作商比较法.（2）综合法——由因到果.（3）分析法——执果索因.（4）数学归纳法.（5）构造辅助函数利用单调性证明不等式.（6）反证法.（7）放缩法.四、解答题题型总结核心考点一:解含绝对值的不等式对于含绝对值的不等式问题，首先要考虑的是根据绝对值的意义去掉绝对值.常用的去绝对值方法是零点分段法.特别用于多个绝对值的和或差不等式问题.若单个绝对值的不等式常用以下结论：|()|()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<<；|()|()()()()()f x g x f x g x f x g x >⇔><-或；22|()||()|()()(()())(()())0f x g x f x g x f x g x f x g x >⇔>⇔+->. 有时去绝对值也可根据22||x x =来去绝对值. 1.在实数范围内，不等式||2|1|1x --≤的解集为 .解析 由于||2|1|1x --≤，即1|2|11x -≤--≤，即|2|2x -≤，所以222x -≤-≤，所以04x ≤≤.所以不等式的解集为[0,4].2.不等式|5||3|10x x -++≥的解集是（ ）A. [5,7]-B. [4,6]-C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞解析 解法一：当5≥x 时，原不等式可变形为1022≥-x ，所以6≥x ；当53<<-x 时，原不等式可变形为108≥，显然不成立；当3-≤x 时，原不等式可变形为4,1022-≤≥-x x 得，所以(][)+∞⋃-∞-∈,64,x . 解法二：利用绝对值的几何意义，35++-x x 表示实数轴上的点x 到点x =-3与x =5的距离之和，要使点x 到点x =-3与x =5的距离之和等于10，只需64=-=x x 或，于是当6≥x ，或4-≤x 可使35++-x x 10≥成立. 故选D.3.已知函数()|2||5|f x x x =---.（1）证明：3()3f x -≤≤；（2）求不等式2()815f x x x ≥-+的解集. 解析 (1)()|2||5|f x x x =--- , |()|2||5|||(2)(5)|3f x x x x x =---≤---=,故3()3f x -≤≤ .(2)由(1)知.当2x ≤ 时,2()815f x x x ≥-+ 的解集为空集; 当25x << 时,2()815f x x x ≥-+ 的解集为{|535}x x -≤< ; 当5x ≥ 时,2()815f x x x ≥-+ 的解集为{|56}x x ≤≤. 综上所述,不等式的解集为{|536}x x -≤≤.核心考点二:含绝对值不等式恒成立，求参数问题1.已知()|1|()f x ax a =+∈R ,不等式()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤.(1)求a 的值；(2)若|()2()|2xf x f k -≤恒成立，求k 的取值范围. 解析 （1）由|1|3ax +≤得42ax -≤≤，又()3f x ≤的解集为{}|21x x -≤≤，所以当0a ≤时，不合题意.当0a >时，42x a a-≤≤得2a =. (2)记()()2()2x h x f x f =-，则1,11()43,1211,2x h x x x x ⎧⎪≤-⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪-≥-⎪⎩， 所以|()|1h x ≤，因此1k ≥，即k 的取值范围是[1,)+∞.2.已知函数()|||2|f x x a x =++-.（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.解析 (1)当3a =- 时,()3|3||2|3f x x x ≥⇔-+-≥2323x x x ≤⎧⇔⎨-+-≥⎩ 或23323x x x <<⎧⎨-+-≥⎩ 或3323x x x ≥⎧⇔⎨-+-≥⎩1x ⇔≤或4x ≥ (2)原命题 ()|4|f x x ⇔≤- 在[1,2] 上恒成立||24x a x x ⇔++-≤-在[1,2] 上恒成立 22x a x ⇔--≤≤-在[1,2] 上恒成立30a ⇔-≤≤ .3. 若关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 . 解析 因为|5||3||5||3||53|8x x x x x x -++=-++≥-++= ,所以min (|5||3|)8x x -++= ,要使|5||3|x x a -++<无解,只需8a ≤ .故实数a 的取值范围是(,8]-∞ .4.已知函数()|21||2|f x x x a =-++,g()3x x =+.(1)当2a =-时，求不等式()()f x g x <的解集；(2)设1a >-，且当1[,)22a x ∈-时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围. 解析 (1)当2a =- 时,不等式()()f x g x < 化为|21||22|30x x x -+---< .设函数|21||22|3y x x x =-+---, 则1521212361xx y x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩ ,其图像如图16—46所示,由图像可知,当且仅当(0,2)x ∈ 时, 0y < ,所以原不等式的解集是{|02}x x << .(2)当1[,)22a x ∈- 时,()1f x a =+ ,不等式()()f x g x ≤ 化为13a x +≤+ , 所以2x a ≥- 对1[,)22a x ∈-都成立,故22a a -≥- . 故43a ≤,从而a 的取值范围是4(1,]3- . 核心考点三:含绝对值（方程）不等式有解，求参数问题1.若关于x 的不等式|||1||2|a x x ≥++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 . 解析 不等式|||1||2|a x x ≥++-有解，则min ||(|1||2|)3a x x ≥++-=，故实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞.2.若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .解析 因为 |||1||()(1)||1|x a x x a x a -+-≥---=-.要使|||1|3x a x -+-≤有解,可使|1|3a -≤,所以313a -≤-≤ ,所以24a -≤≤ . 3.已知a ∈R ，关于x 的方程21||||04x x a a ++-+=有实根，求a 的取值范围.解析 方程21||||04x x a a ++-+= 有实根, 则11404a a ⎛⎫∆=--+≥ ⎪⎝⎭⇒1144a a -+≤. (1)求出绝对值的零点, 104a -=,得14a =;0a =,得0a =. (2)数轴标根,(3)分段讨论:①011()44a a a <⎧⎪⎨---≤⎪⎩ ⇒无解. ② 10411()44a a a ⎧≤<⎪⎪⎨⎪--+≤⎪⎩⇒10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. ③141144a a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩⇒14a =. 综上可得,10,4a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.核心考点四:已知含绝对值不等式的解集，求参数的值或范围1. 设不等式|2|()x a a *-<∈N 的解集为A ，且31,22A A ∈∉ .(1)求a 的值；(2)求函数()|||2|f x x a x =++-的最小值. 解析 （1）因为3,2A ∈且12A ∉，所以3|2|2a -<，且1|2|2a -≥，解得1322a <≤.又a *∈N ，所以1a =.(2)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取等号，所以()f x 的最小值为3.2.设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >.(1) 当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值.解析 (1)当1a =时,()32f x x ≥+可化为12x -≥,由此可得3x ≥或1x ≤-,故不等式 ()32f x x ≥+的解集为{|31}x x x ≥≤或.(2)由()0f x ≤得20x a x -+≤,故此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或 30x a x a x <⎧⎨-+≤⎩, 即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩. 由于0a >,所以不等式组的解集为|2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭ .由题设可得12a -=-,故2a =.3.已知函数()||f x x a =-，其中1a >.(1) 当2a =时，求不等式()4|4|f x x ≥--的解集；(2) 已知关于x 的不等式|(2)2()|2f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤，求a 的值.解析 (1)当2a =时,()26,2|4|2,2426,4x x f x x x x x -+≤⎧⎪+-<<⎨⎪-≥⎩当2x ≤时,由()44f x x ≥--得264x -+≥,解得1x ≤; 当24x <<时, ()44f x x ≥--无解;当4x ≥时, 由()44f x x ≥--得264x -≥,解得5x ≥.所以 ()44f x x ≥--的解集为{|15}x x x ≤≥或 .(2)记()()()22h x f x a f x =+- ,则2,042,()02,a x h x a x a x a x a -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩,由|()|2h x ≤ ,解得1122a a x -+≤≤. 又已知 |()|2h x ≤的解集为{|12}x x ≤≤ ,所以211212a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,于是3a =. 4.若不等式|4|2kx -≤的解集为{}|13x x ≤≤，则实数k = .解析 因为42kx -≤,所以242kx -≤-≤,即26kx ≤≤,又不等式的解集为{}13x x ≤≤. 故2k =.核心考点五:比较法（差值法和比值法）证明不等式1.已知,,a b m 均为正实数，且a b <，求证：a m a b m b+>+. 解析 a m a b m b+-=+ ()()()b a m a b m b b m +-+=+()bm am b b m -=+ ()()b a m b b m -+.因为,,a b m +∈R ，a b <，所以0b a ->,0m >,0b m +>.故()0()a m ab a m b m b b b m +--=>++.所以a m a b m b +>+. 2.已知,,a b +∈R ，且a b ≠,n *∈N . 求证：11()()2()n n n n a b a b ab ++++<+. 解析 ()()112()n n n n a b b a b a +++++-111122n n n n n n a a ab ba b b ++++=++-+-11n n n n ab a b a b ++=+--()()n n n n a b a b a b =-+- ()()n n b a a b =--为确定差的符号,应分0a b >>和0b a >>两种情况讨论.①若0a b >>,n N *∈,则n n a b >,因此()()0n n b a a b --<,故原不等式成立;②若0b a >>,n N *∈,则n n b a >,因此()()0n n b a a b --<,原不等式也成立,综上所述, ()()112()n n n n a b b a b a +++++<.核心考点六:利用函数的单调性证明使用对象：在某区间成立的函数不等式、数值不等式的证明通常是通过辅助函数完成的. 解题程序：（1）移项（有时需要作简单的恒等变形），使不等式一端为0，另一端为所作辅助函数()f x .（2）求()f x 并验证()f x 在指定区间上的单调性.（3）求出区间端点的函数值（或极限值），其中至少有一个为0或已知符号，作比较即得所证.1.已知01x <<，求证：31sin 6x x x -<. 解析 原不等式等价于31sin 0(01)6x x x x -+><<. 令31()sin (01)6f x x x x x =-+≤<，21()cos 12f x x x '=-+2212sin 22x x =-+. 令()sin (01)22x x g x x =-≤<，则11()cos 0222x g x '=-≤， 故()g x 在[0,1)上是减函数，所以当01x <<时，()sin(0)022x x g x g =-<=，故s i n 22x x <. 故22()2()022x x f x '>-+=，所以()f x 在[0,1)上是增函数. 又(0)0f =，所以当01x <<时，()0f x >成立.于是31sin 6x x x -<成立. 2.证明：当02x π<<时，2sin xx x π<<.解析 不等式sin x x <⇔sin 0x x -<.令()sin f x x x =-,()cos 1f x x ='-,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故()f x 在 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减,又()00f =, 所以()()00f x f <= ,所以sin x x <. 不等式2sin x x π>⇔ sin 2x x π>⇔ sin 20x x π->. 令()sin 29x x x π=- ,所以 ()22cos sin cos (tan )0x x x x g x x x x x-==-<' (因为tan x x >). 所以()g x 在(0,)2π上单调递减.又sin 22()022f ππππ=-= , 故当02x π<<时,()02f x f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭,即 ()02f x f π⎛⎫>= ⎪⎝⎭, 于是2sin x x π<,综上所述,2sin xx x π<<.。

§7.5　合情推理与演绎推理考情考向分析　以理解类比推理、归纳推理和演绎推理的推理方法为主，常以演绎推理的方法根据几个人的不同说法作出推理判断进行命题．注重培养学生的推理能力；在高考中以填空题的形式进行考查，属于中低档题．1．合情推理(1)归纳推理①定义：从个别事实中推演出一般性的结论，称为归纳推理(简称归纳法)．②特点：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理①定义：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理(简称类比法)．②特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．(3)合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．2．演绎推理(1)演绎推理由一般性的命题推演出特殊性命题的推理方法称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——一般性的原理；②小前提——特殊对象；③结论——揭示了一般原理与特殊对象的内在联系．概念方法微思考1．合情推理所得结论一定是正确的吗？提示　合情推理所得结论是猜想，不一定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则不正确．2．合情推理对我们学习数学有什么帮助？提示　合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论，证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．3．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大前提是否可以省略？提示　大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清楚的时候，大前提可以省略．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　√　)(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　×　)(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(　√　)(4)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是a n＝n(n∈N*)．(　×　)(5)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　×　)题组二　教材改编2．[P64例1]已知在数列{a n}中，a1＝1，当n≥2时，a n＝a n－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想a n的表达式是________．答案　a n＝n2解析　a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想a n＝n2.3．[P68T4]在等差数列{a n}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋a n＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N*)成立，类比上述性质，在等比数列{b n}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案　b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)解析　利用类比推理，借助等比数列的性质，29b＝b1＋n·b17－n，可知存在的等式为b1b2…b n＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．题组三　易错自纠4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理错误的原因是________．答案　小前提错误解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提错误．5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．(填序号)答案　①④解析　显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交．(1＋x)(1＋x)6．观察下列关系式：1＋x＝1＋x；2≥1＋2x，3≥1＋3x，……，由此规律，得到的第n个关系式为________．答案　(1＋x )n ≥1＋nx解析　左边为等比数列，右边为等差数列，所以第n 个关系式为(1＋x )n ≥1＋nx (n ∈N *)．题型一　归纳推理命题点1　与数式有关的的推理例1 (1)《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“”表示的十进制数是________．答案　17解析　由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号 “”表示二进制数的010001，转化为十进制数的计算为1×20＋0×21＋0×22＋0×23＋1×24＋0×25＝17.(2)观察下列式子：1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，根据以上式子可以猜想：1＋122321221325312213214274＋＋…＋<________.12213212 0192解析　由题意得，不等式右边分数的分母是左边最后一个分数的分母的底数，所以猜想的分母是2 019，分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以a 2 018＝3＋(2 018－1)×2＝4 037.命题点2　与图形变化有关的推理例2 分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n ＝6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为________．答案　364解析　由图可知，每一个图形中小三角形的个数等于前一个图形小三角形个数的3倍加1，所以，n ＝1时，a 1＝1；n ＝2时，a 2＝3＋1＝4；n ＝3时，a 3＝3×4＋1＝13；n ＝4时，a 4＝3×13＋1＝40；n ＝5时，a 5＝3×40＋1＝121；n ＝6时，a 6＝3×121＋1＝364.思维升华 归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与式子有关的推理．观察每个式子的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．跟踪训练1 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为________．答案　55解析　由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55.题型二　类比推理例3 (1)已知{a n }为等差数列，a 1 010＝5，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝5×2 019.若{b n }为等比数列，b 1010＝5，则{b n }类似的结论是________________．答案　b 1b 2b 3…b 2 019＝52 019解析　在等差数列{a n }中，令S ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019，则S ＝a 2 019＋a 2 018＋a 2 017＋…＋a 1，∴2S ＝(a 1＋a 2 019)＋(a 2＋a 2 018)＋(a 3＋a 2 017)＋…＋(a 2 019＋a 1)＝2 019(a 1＋a 2 019)＝2 019×2a 1 010＝10×2 019，∴S ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 019＝5×2 019.在等比数列{b n }中，令T ＝b 1b 2b 3…b 2 019，则T ＝b 2 019b 2 018b 2 017…b 1，∴T 2＝(b 1b 2 019)(b 2b 2 018)(b 3b 2 017)…(b 2 019b 1)＝(b )2 019，21 010∴T ＝b 1b 2b 3…b 2 019＝(b 1 010)2 019＝52 019.(2)祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出祖暅：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等．祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图所示，其中图(1)是一个半径为R 的半球体，图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体．(圆柱和圆锥的底面半径和高均为R )利用类似的方法，可以计算抛物体的体积：在xOy 坐标系中，设抛物线C 的方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，将曲线C 围绕y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体．利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为________．答案　π2解析　构造如图所示的直三棱柱，高设为x ，底面两个直角边长为2,1，由底面积相等得到，2x ＝π×12，x ＝.π2下面说明截面面积相等，设截面距底面为t ，矩形截面长为a ，圆形截面半径为r ，由左图得到，＝，∴a ＝2(1－t )，a 21－t1∴截面面积为2(1－t )×＝(1－t )π，π2由右图得到，t ＝1－r 2(坐标系中(图略)易得)，∴r 2＝1－t ，∴截面面积为(1－t )π，∴二者截面面积相等，∴体积相等．∴抛物体的体积为V 三棱柱＝Sh ＝×2×1×＝.12π2π2思维升华 类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．跟踪训练2 在平面上，设h a ，h b ，h c 是△ABC 三条边上的高，P 为三角形内任一点，P 到相应三边的距离分别为P a ，P b ，P c ，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间中，P a h a P b h b P ch c 则三棱锥中的类似结论为____________________．答案　＋＋＋＝1P a h a P b h b P c h c P dhd 解析　设h a ，h b ，h c ，h d 分别是三棱锥A －BCD 四个面上的高，P 为三棱锥A －BCD 内任一点，P 到相应四个面的距离分别为P a ，P b ，P c ，P d ，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.P a h a P b h b P c h c P dh d 题型三　演绎推理例4 设同时满足条件：①≤b n ＋1(n ∈N *)；b n ＋b n ＋22②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ；(2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解　(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4,3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，S n ＝na 1＋d ＝－n 2＋9n .n (n －1)2(2){S n }为“特界”数列．理由如下：由－S n ＋1＝S n ＋S n ＋22(S n ＋2－S n ＋1)－(S n ＋1－S n )2＝＝＝－1<0，a n ＋2－a n ＋12d 2得<S n ＋1，S n ＋S n ＋22故数列{S n }满足条件①；而S n ＝－n 2＋9n ＝－2＋(n ∈N *)，(n －92)814则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }满足条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．思维升华 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是显然的，则可以省略．跟踪训练3 某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A ，B ，C ，D ，E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，A ，C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知今天是星期________．答案　四解析　因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E 车明天可以上路，E 车周四限行，所以今天不是周三；因为B 车昨天限行，所以今天不是周一，不是周五，也不是周日；因为A ，C 两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周二和周六，所以今天是周四．1．观察下列各式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是____________________．答案　n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2解析　由题中式子可以归纳：等式左边为连续自然数的和，有2n －1项，且第一项为n ，则最后一项为3n －2，等式右边均为2n －1的平方．2．观察下列三角形数阵：1　1315 1719111 113115117119……按照以上排列的规律，第16行从左到右的第2个数为________．答案　1243解析　前15行共有＝120(个)数，15×(15＋1)2所以第16行第2个数为a 122＝＝.12×122－112433．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝.2Sa ＋b ＋c 类比这个结论可知：四面体P －ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P －ABC 的体积为V ，则r ＝________.答案　3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析　由类比推理可知r ＝.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 44．已知 ＝2， ＝3， ＝4，…，类比这些等式，若 ＝2＋23233＋38384＋4154156＋ab6(a ，b 均为正数)，则a ＋b ＝________.ab答案　41解析　观察等式 ＝2， ＝3，＝4，…，第n 个应该是 2＋23233＋38384＋415415＝(n ＋1)，则第5个等式中a ＝6，b ＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1n ＋1(n ＋1)2－15．有一个游戏，将标有数字1,2,3,4的四张卡片分别随机发给甲、乙、丙、丁4个人，每人一张，并请这4人在看自己的卡片之前进行预测：甲说：乙或丙拿到标有3的卡片；乙说：甲或丙拿到标有2的卡片；丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．结果显示：这4人的预测都不正确，那么甲、乙、丙、丁4个人拿到的卡片上的数字依次为________．答案　4,2,1,3解析　由于4个人预测不正确，其各自的对立事件正确，即甲：乙、丙没拿到3；乙：甲、丙没拿到2；丙：甲没拿到1；丁：甲没拿到3.综上，甲没拿到1,2,3，故甲拿到了4，丁拿到了3，丙拿到了1，乙拿到了2.6．已知f (x )＝，x ≥0，若f 1(x )＝f (x )，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))，n ∈N *，则f 2 019(x )的表达式为________．x 1＋x答案　f 2 019(x )＝x 1＋2 019x解析　f 1(x )＝，f 2(x )＝＝，f 3(x )＝＝，…，f n ＋1(x )＝f (f n (x ))＝x 1＋x x1＋x1＋x1＋x x 1＋2x x 1＋2x 1＋x 1＋2x x 1＋3x，x1＋(n ＋1)x归纳可得f 2 019(x )＝.x 1＋2 019x7．二维空间中，圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中，球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3.应用合情推理，若四维空间中，“特级球”的43三维测度V ＝12πr 3，则其四维测度W ＝________.答案　3πr 4解析　二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；观察发现S ′＝l ，三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝πr 3，观察发现V ′＝S ，43∴四维空间中“特级球”的三维测度V ＝12πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝12πr 3，∴W ＝3πr 4.8．天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为________年．答案　己酉解析　天干是以10为一个周期循环，地支以12为一个周期循环，从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为起点，则80÷10＝8，则2029的天干为己，80÷12＝6余8，则2029的地支为酉．9．已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋≥2，x ＋＝＋＋≥3，x ＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x ＋≥n ＋1(n ∈N *)，1x 4x 2x 2x 24x 227x 3x 3x 3x 327x 3a x n 则a ＝________.答案　n n解析　第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .10．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2 018这2 017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数______．答案　336解析　因为这些整数能被2除余1且被3除余1，所以这些数组成的数列的通项a n ＝6n ＋1，设6n ＋1≤2 018，∴6n ≤2 017，∴n ≤336.16所以此数列的项数为336.11．设f (x )＝，先分别求f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想一般性13x ＋3结论，并给出证明．解　f (0)＋f (1)＝＋130＋3131＋3＝＋＝＋＝，11＋313＋33－123－3633同理可得f (－1)＋f (2)＝，f (－2)＋f (3)＝，3333并注意到在这三个特殊式子中，自变量之和均等于1.归纳猜想得当x 1＋x 2＝1时，均有f (x 1)＋f (x 2)＝.33证明：设x 1＋x 2＝1，f (x 1)＋f (x 2)＝.3312．设f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明：(1)a >0且－2<<－1；b a(2)方程f (x )＝0在(0,1)内有两个实根．证明　(1)因为f (0)>0，f (1)>0，所以c >0,3a ＋2b ＋c >0.由a ＋b ＋c ＝0，消去b 得a >c >0；再由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c 得a ＋b <0且2a ＋b >0，所以－2<<－1.b a(2)因为抛物线f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c 的顶点坐标为，(－b 3a ，3ac －b 23a )又因为－2<<－1，b a所以<－<.13b 3a 23因为f (0)>0，f (1)>0，而f ＝＝－(－b 3a )3ac －b 23a a 2＋c 2－ac 3a ＝－<0，(a －c 2)2＋3c 243a 所以方程f (x )＝0在区间与内分别有一个实根，故方程f (x )＝0在(0,1)内有(0，－b 3a )(－b 3a ，1)两个实根．13．一质点从坐标原点出发，按如图的运动轨迹运动，每步运动一个单位，例如第3步结束时该质点所在位置的坐标为(0,1)，第4步结束时质点所在位置的坐标为(－1,1)，那么第2 018步结束时该质点所在位置的坐标为________．答案　(16，－22)解析　当运动：1＋1＋2＋2步时，坐标为(－1，－1)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4步时，坐标为(－2，－2)；当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6步时，坐标为(－3，－3)；……当运动：1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n (n 为偶数)步时，坐标为.(－n 2，－n 2)而1＋1＋2＋2＋3＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋…＋n ＋n ≤2 018，即n (n ＋1)≤2 018(n ∈N *)，解得n ≤44.当n ＝44时，该点的坐标为(－22，－22)，共走了1 980步，此时还需向右走38步，故最终坐标为(16，－22)．14.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，…，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为________．答案　8解析　由题意知，第1层的点数为1，第2层的点数为6，第3层的点数为2×6，第4层的点数为3×6，第5层的点数为4×6，…，第n (n ≥2，n ∈N *)层的点数为6(n －1)．设一个点阵有n (n ≥2，n ∈N *)层，则共有的点数为1＋6＋6×2＋…＋6(n －1)＝1＋6·＝3n 2－3n ＋n (n －1)21，由题意，得3n 2－3n ＋1＝169，即(n ＋7)·(n －8)＝0，所以n ＝8，故共有8层．15.某电子设备的锁屏图案设计的操作界面如图①所示，屏幕解锁图案的设计规则如下：从九个点中选择一个点为起点，手指依次划过某些点(点的个数在1到9个之间)就形成了一个线路图(线上的点只有首次被划到时才起到确定线路的作用，即第二次被划到不会成为确定线路的点)，这个线路图就形成一个屏幕解锁的图案，则图②所给线路中可以成为屏幕解锁图案的是________．(填序号)答案　ab解析　由解锁图案的设计规则可知，所给的线路图可以成为屏幕解锁图案的充分条件是：构成线路图的所有的点能且只能起到一次确定线段的作用．将屏保九宫格编号如下：则能形成a线路的方案是：a：1→5→9→2→8→6→4→3→7或者b：7→5→3→4→6→8→2→9→1，两者都能成为屏幕解锁图案；能形成b线路的方案是：c：6→5→4→2→7→8→9→5→8或者d：6→5→4→2→7→8→5→9→8或者e：8→9→5→8→7→2→4→6或者f：8→5→9→7→2→4→6或者g：8→5→4→2→7→9→5→6，其中f能成为屏幕解锁图案；能形成c 线路的方案是：h ：7→6→5→9→3→2→1→6或者i ：7→6→1→2→3→9→5→6或者j ：6→5→9→3→2→1→6→7或者k ：6→1→2→3→9→5→6→7或者l ：7→6→3→2→1→6→9→5→6或者m ：7→6→3→2→1→6→5→9→6或者n ：7→6→9→5→6→1→2→3→6，其中点6在所有的方案中至少起到两次确定线段的作用，都不能成为屏幕解锁图案．故本题正确答案为ab.16．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得AC ＝DB ＝AB ，以CD 为一边在线段AB 的上方14做一个正六边形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF 做相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为S n ，现给出有关数列{S n }的四个命题：①数列{S n }不是等比数列；②数列{S n }是递增数列；③存在最小的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n >2 019；④存在最大的正数a ，使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019.其中真命题的序号是________．(请写出所有真命题的序号)答案　①②④解析　由题意，得图1中的线段为a ，S 1＝a ，图2中的正六边形的边长为，a 2S 2＝S 1＋×4＝S 1＋2a ，a 2图3中的最小正六边形的边长为，a 4S 3＝S 2＋×4＝S 2＋a ，a 4图4中的最小正六边形的边长为，a 8S 4＝S 3＋×4＝S 3＋，a 8a 2由此类推，S n －S n －1＝(n ≥2)，a2n －3即{S n }为递增数列，且不是等比数列，(S n )min ＝S 1＝a ，若使对任意正整数n ，都有S n >2 019，则a >2 019.所以不存在最小的正数a .即①②正确，③错误；因为S n ＝S 1＋(S 2－S 1)＋(S 3－S 2)＋…＋(S n －S n －1)＝a ＋2a ＋a ＋＋…＋＝a ＋a 2a 2n －32a (1－12n －1)1－12＝a ＋4a <5a (n ≥2，n ∈N *)，(1－12n －1)又S 1＝a <5a ，所以存在最大的正数a ＝，2 0195使得对任意的正整数n ，都有S n <2 019，即④正确．。

• •)必过数材美—a + b1. 基本不等式 ,ab < 一厂(1) 基本不等式成立的条件： a >0, b >0. (2) 等号成立的条件：当且仅当 a = b. 2. 几个重要的不等式(1)a 1 2 + b 2> 2ab(a , b € R)； (2)?+ 2(a , b 同号);1答案：182. __________________________________________________ 若实数x , y 满足xy = 1，贝U x 2 + 2y 2的最小值为 _________________________________________ .解析：x 2+ 2,= x 2 + f.2y)2>2x( 2y)= 2 2, 所以x 2+ 2V 2的最小值为2 2. 答案：2 23. ______________________________________________________________________ 若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 ________________________ m 2.第三节基本不等式及其应用⑶ab w号 2(a , b € R) ； (4)a 2+b 2 —(a ,b € R ).3. 算术平均数与几何平均数a + b设a >0, b >0,则a , b 的算术平均数为 一計，几何平均数为.ab ,基本不等式可叙述 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x > 0, y > 0，则(1)如果xy 是定值p,那么当且仅当x = y 时，x + y 有最小值是2 , p(简记：积定和最小).［小题体验］1. (2019南京调研)已知m , n 均为正实数，且m + 2n = 1,则mn 的最大值为 ____________ . 解析：■/ m + 2n = 1,二 m 2n wm+ 2n 2= £ 即卩 mn w £ 当且仅当 m = 2n =-时，mn \ 2 J 4 821取得最大值§.解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10 — x)m ,由题知O v x v 10,则面积 S = x(10— x )w x +罗-x 2 = 25，当且仅当 x = 10 — x ,即x =5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值 25 m 2.答案：25必过易措美1 •使用基本不等式求最值，“一正” “二定”“三相等”三个条件缺一不可.2•“当且仅当 a = b 时等号成立”的含义是“ a = b ”是等号成立的充要条件，这一点 至关重要，忽略它往往会导致解题错误.3•连续使用基本不等式求最值，要求每次等号成立的条件一致. ［小题纠偏］91. (2019启东检测)函数y = x +—；(x > 1)的最小值为 ____________ •x — 1 解析：■/ x > 1，二 x — 1> 0 , ••• y = x +—・=(x — 1) + 二 + 1 > 2x — 1 •壬 + 1 = 7,当且仅当 x = 4 时取等号.x — 1 x — 1 \ ' 』x — 1答案：712.函数 f(x) = x + x 的值域为 _______________________ 答案：(一a, — 2] U [2,+^ )(2)如果x + y 是定值q ,那么当且仅当 x = y 时,xy 有最大值是普(简记：和定积最大考点一利用基本不等式求最值重点保分型考点一一师生共研［典例引领］1. ________________________________________________________________ (2018启东期末)设正实数a, b满足a + b= 1,则；+ *的最小值为__________________________ •解析：•/ a+ b= 1,...殍4= b+4 3+^ = b+空* 4》, b4a* 4= 8,当且仅当b=4a，即a= 1 b=2时aba b a b a b a b 3 3 等号成立，• b+ 4的最小值为8.a b答案：892. (2019常州调研)若实数x满足x>—4，则函数f(x) = x+ 的最小值为•解析：因为x>—4,所以x+ 4>0,所以f(x)=x+xh=x+4+xb—4》29x+F— 4=2，当且仅当x+ 4=止，即x=-1时取等号.答案：22 2 13. (2018徐州调研)已知实数x, y满足x+ y= 3，昨|y|，则怎寸+匚二?的最小值为解析:因为(2x + y)2+ (x — 2y)2= 5(x 2+ y 2)= 15,所以令(2x + y)2= t , (x — 2y)2= 1,所以 4= h +代+分哉1 4 = 1 + 二 (2x + y f + (x — 2y f = t15仅当t = 5, 尸10时取等号，所以143云匚厂+ np 的最小值为3.答案:［由题悟利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路: (1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解•常用的方法有：拆项法、 变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行 “1的代换求目标函数最值.［即时应31.设O v x v p 则函数y = 4x(3— 2x)的最大值为 解析：y = 4x(3 — 2x)= 2[2x(3 — 2x)] < 2 当且仅当2x = 3— 2x ,即x = 3时，等号成立.4 又因为3 € 0,所以函数 y = 4x(3 — 2x) 0v x v 3的最大值为 9 2.答案：9 9 2,y 满足x 2+ 2xy — 3 = 0,贝V 2x + y 的最小值是3— x 2y = IT ，2 23 — x 3x +33所以 2x + y = 2x +==： 2x 2x 22.已知正数x ,解析：由题意得当且仅当x = y = 1时，等号成立. 答案：3一 a °+ 4b 4 + 1 “ 冃「，+、，3. （2017天津高考）若a , b € R, ab >0，贝U~b 的取小值为 ________两部分资金）.（1） 将2018年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用m 万元的函数;（2）该厂家2018年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：⑴由题意可知，当 m = 0时，x = 1, 所以1 = 3— k ,解得k = 2,即卩x = 3 —8 + 16x每1万件产品的销售价格为 1.5 X 迂严（万元）,4 解析：因为ab > 0,所以L ab + 4b 4 +1 2 ；4a 4b 4 +ab ab'a 2 = 2b 2,当且仅当1时取等号，故l ab = 1呼2的最小值是4.答案：4考点二基本不等式的实际应用 经调查测算，某产品的年销售量重点保分型考点一一师生共研 ［典例引领］（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元(m >0)k满足x =3- m +1（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1万件.已知2018年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入 2 m + 1所以2018年的利润y = x *5 X8+ 16x— (8 + 16x + m)x=4+ 8x — m = 4+ 8m = 28 — 16m + 1m(m > 0).所以利润y 表示为年促销费用的函数关系式是16y =28—m+r m(m 》0).4,当且仅当m+> m + "m = 3时取等号. 所以 y w — 8+ 29= 21,⑵由（1）知y =— + 29(m > 0).因为m > 0时,16 m + 1m +1 = 8,+ (m + 1) > 2 16 m + 1即当m = 3时，y 取得最大值21.所以当该厂家2018年的促销费用投入 3万元时，厂家获得的利润最大，为21万元.［由题悟法］解实际应用题的3个注意点(1) 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.(2) 根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. (3) 在求函数的最值时，一定要在定义域 (使实际问题有意义的自变量的取值范围 )内求解.［即时应用］某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD ,公园由形状为长方形的休闲区 A 1B 1C 1D 1和人行道(阴影部分)组成.已 知休闲区A 1B1C 1D 1的面积为4 000 m 2,人行道的宽分别为 4 m 和10 m(如图所示).的解析式;⑵要使公园所占面积最小，则休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计?解：⑴设休闲区的宽为 a m ，则长为ax m , ,2中 20 10由 a x = 4 000,得 a = .\x2S(x) = (a + 8)(ax + 20) = a x + (8x + 20)a + 160 = 4 000 + (8x + 20)(2)S(x)= 80畅 *五 +±J+ 4 160》80你 X 2寸2& 寺 + 4 160 = 1 600 + 4 160 = 5 760,当且仅当2 x = 5，即x = 2.5时，等号成立，此时a = 40, ax = 100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽应分别设计为100 m,40 m.考点三利用基本不等式求参数的值或范围 重点保分型考点一一师生共研(1)若设休闲区的长和宽的比_厂一x(x > 1)，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S(x) B 1 C 14 160(x > 1). D c10m10m则5 .x +［典例引领］1 11. (2019淮安调研)若x € (0,1)时，不等式m W一 +----- 恒成立，则实数m的最大值为X 1 —x解析：■/ x € (0,1),「. 1 — x € (0,1),T x + (1 - x)= 1,1 — x x 1当且仅当 宁=占，即x = 1时取等号， x1 — x2 • m W 4,即实数m 的最大值为4. 答案：4x ?+ ax + 112.已知函数f(x)= - (a € R )，若对于任意的 x € N *, f(x)> 3恒成立，则a 的取x + 1值范围是 _________A *Q设 g(x)= x + 一，x € N ，贝y g(x)= x + 8> 4 2，当 x = 2 2时等号成立, 17 17又 g(2) = 6 , g(3) = 丁.因为 g(2) > g(3)，所以 g(x)min =亍所以-x + x + 3 W — 3所以a > — 8，故a 的取值范围是 一3,+ m \［由题悟法］求解含参数不等式的求解策略(1) 观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围.(2) 在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式, 体现了主元与次元的转化.［即时应用］••• 0v1 一 x X )] =2 + 二-+=4,解析: 对任意x € N , f(x)> 3，即 x 2+ ax + 11x +11. (2019东台月考)若对任意x >0, 三a 恒成立，则a 的最小值为解析：丁厘x1=3 + 2= 5,当且仅当x =-，即x = 1时取等号，x打Ix 1 — x 七[X +(1> 2+ 21 —x x即 +8- 3■/ x > 0,1_ + 3x + 11， x + 3+_15.:要使x2^^ w a恒成立，则故a的最小值为2.已知正数 x , y 满足x + 2 2xy < ^x + y)恒成立，求实数 入的最小值.解：依题意得x + 2 2xy < x + (x + 2y)= 2(x + y)，即X ；xy 匕2(当且仅当x = 2y 时取等号)，即唏y 的最大值为2•又“音y ，因此有存2，即入的最小值为2・CZI 0 □1=1欝雇窗月空躡宓购懺尿鎚一抓基础，多练小题做到眼疾手快1 21. （2019连云港调研）若x >0, y >0,且Iog 2x + log 2y = 2,则j + y 的最小值为 解••• xy = 4,x + y > 2 xy = .2,当且仅当1= 2且xy = 4,即x = 2, y = 2 2时取等号,•-1+ -的最小值为-2.x y 答案：22x2.当x > 0时，f(x)= -2—^的最大值为 ___________ 解析: 因为x > 0，所以f(x)=2^2.—I 三 2= 1 x +x1当且仅当x =丄，即x = 1时取等号.x 答案：111 b3. （2018苏州期末）已知a >0, b >0，且一 + [= 1,贝“ 3a + 2b +_的最小值为 __________a b a1 1解析：■/ a > 0, b > 0,且 一 +1 = 1,a b • 3a + 2b — b = 3a g+ b 2b £+ — ?= 5 + 琴 + 警 5 + ^9= 11，当且仅当 a = b = 2 时取等号，• 3a — 2 b — b 的最小值为11.a 答案：114.当 3v x v 12时，解析:x - 3 12— x—x 2— 15x - 3636X = 36 , 即卩 X = 6 时，y max = 3.答案：35. （2018通州期末）若log 4（a + 4b ） = log 2 , ab ，则a + b 的最小值是 解析：■/ log 4（a + 4b ） = log 2 ab , •- log 2 a + 4b = Iog 2.ab , a + 4b > 0, ab > 0.a + 4b = ab , 即卩 a + 4b = ab ,••• a + b 的最小值是 9.答案：9均仓储时间为彳天，且每件产品每天的仓储费用为 1元.为使平均到每件产品的生产准备费生产产品80件. 答案：80—保咼考，全练题型做到咼考达标1 4 1 41.（2019盐城调研）若x > 0, y >0,且x +[+ y + y w 9，则[+ y 的最大值为 1 4解析：令X + y = n , 1+寸m ，• m n = （x + y ） £ + f 卜 5+ ；+ 节> 9.》9, ? 9> m + n > m + ：m + n w 9 m2” + 9— 3 . 59+ 3 5• m — 9m +9w o ,解得-w m w •1+ -的最大值为9+25 x y 2当且仅当 •a +b =（a +b ）型=9,当且仅当a = 2b = 6时取等号. a6.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产 x 件，则平用与仓储费用之和最小，每批应生产产品件.解析：每批生产X 件，则平均每件产品的生产准备费用是800元，每件产品的仓储费用x = 80时成立，所以每批36+ 15 = 3. X=-x + 36 + 15< - 2 =20,当且仅当警x ,即是：元，则8x 0+8"答案:1 1 22•已知ab = I ，a , b € (0,1)，则宀 + 代的最小值为 解析：由题意得b = 4a ，所以0< 1< 1, 即a € 4, 1 ,/曰 1 2 1 8a 1 2宀 得 + = + = + + 2.1 — a 1 — b 1 — a 4a — 1 1 — a 4a— 14(1 — a)+ (4a — 1)= 3，记 S =则 S = 4—a + 4^ = 3[(4— 4a) + (4a - 1)] 4—a + 皐=3 + f_t —1 +2—01 > 2+警，当且仅当—=警三丄时等号成立，3 4a — 1 4— 4a所以所求最小值为4+丫.3答案：4+ ¥2 13. (2018连云港期末)已知x >0, y >0，且2x + 4y = 4,则】+ y 的最小值是 解析：•/ x > 0, y > 0，且 2x + 4y = 4,4= 2x + 4y > 2 2x +2y ，即卩 x + 2y W 2,3 1.2+ -的最小值是4. x y 答案：42 24. (2019湖北七市(州)协作体联考)已知直线 ax + by — 6 = 0(a >0, b >0)被圆x + y — 2x —4y = 0截得的弦长为2霞，则ab 的最大值是 __________ .解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x — 1)2+ (y — 2)2= 5，圆心坐标为(1,2),半径r= 5,故直线过圆心，即 a + 2b = 6,所以a + 2b = 6>2 a 2b ,可得ab <舟，当且仅当 a =2 4a — 1 当且仅当 x + y (x +2y )=24+x = 2y 时等号成立,釵+x=4,答案：95.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计2b= 3时等号成立，即ab的最大值是9 2.其横断面的面积为 9 3 m 2,且高度不低于.3 m ，记防洪堤横断面的腰长为 x m ,夕卜周长（梯形的上底与两腰长的和）为ym ,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省 （即横断面的外周长最小），则防洪堤的腰长 x = __________ .解析：设横断面的高为h ,由题意得 AD = BC + 2 •= BC + x , h ,所以 9习 3= 2（AD + BC ）h = *（2BC + x ） fx ,故 BC =乎一2,18 3x所以 y = BC + 2x =匚 + 〒2 < x v 6),当且仅当18=乎（2< x v 6）, 即卩x = 2 3时等号成立.2 答案：2 3416-（2018苏州期末）已知正数x , y 满足x +y =1则x^+不的最小值为 4 14 11解析：令 x + 2= a , y + 1= b ,贝U a + b = 4(a >2, b > 1)，所以+ = +二=；(a x + 2 y +1 a b 4'a +b =15+4b +b 》1(5+7=4,当且仅当a =8, b =3,即x =3, y =1 时取等号•则 土+注的最小值为4.答案：947 （2018南通三模）若正实数x , y 满足x + y = 1,则：+ f 的最小值是 __________ . 解析：因为正实数 x , y 满足 x + y = 1,所以 y + 4 = 丫 + 4 x + y = 丫+ 4^+ 4>2 ■'y 4x +x y x y x y \ x y 4= 8，当且仅当y = 4x ,即x = 3, y = 3时取“=”，所以x + y 的最小值是8.答案：88 （2018扬州期末）已知正实数x, y 满足x + y = xy,则^3x 1 + j 2打的最小值为 ___________ .得 2W X V 6,BC = 18 - 2> 0,L x 2从而y =虫+ 3x > 2 x 2驚=63,+ b)解析：■/ x + y = xy .3x + 2y = 3x (y — 1 卩 2yfx — 1) x — 1 y — 1 x — 1 y — 15xy — 3x — 2y = 5x + 5y — 3x — 2y = 2x + 3y . xy — x — y + 1 x + y — x — y + 11 1又x + y =xy 可化为y +1=1⑵因为 9x + 3y = 32x+ 3y > 2 32x +y= 18,所以9x + 3y 的最小值为18 ,当且仅当 9x = 3y ，即卩2x = y = 2? x = 1, y = 2时取“= 三上台阶，自主选做志在冲刺名校31. (2018启东期中)已知a 为锐角，则 2tan a+的最小值为 _________tan 2 a解析：T a 为锐角，.•• tan a> 0,当且仅当tan a= 3,即a=守寸取得等号=鹫贽5,2；2x?+5=2 6+5当且仅当2x2=3y 2时取等号,• x —1 +老的最小值为2 6+ 5. 答案：2 6 + 53_ 2求函数y = x + 2 ------- 3的最大值;2X 3(2)设O v x v 2,求函数y = x 4- 2x 的最大值.解: (1)y =如-3)+2x —+ 3= 当 x v 3时，有 3 — 2x >0,3— 2x 8 - 所以 3—T+ 3—x ，23— 2x8 3 — 2x当且仅当3— 2x = 2 =8 3 — 2x ， 即x =—2时取等号./• 2tan a+3tan 2 a=2tan a+23(1 — tan a ) 2tan a3 _ 2tan atan a/• 2tan a+ 3tan 2 a 的最小值为 ••• 2x + 3y = (2x + 3y)lon a > 2 23 2tan a答案：32. (2018苏北四市联考)已知对满足x + y + 4= 2xy 的任意正实数 x , y ,都有x + 2xy + y 2— ax — ay + 1 > 0,则实数a 的取值范围为 ___________________ .解析：法一： 由 x + y + 4= 2xy W x :y 得(x + y)2— 2(x + y)— 8>0，又 x , y 是正实数， 得 x + y > 4.原不等式整理可得(x + y)2— a(x + y) + 1 > 0，令 x + y = t , t > 4,贝U t 2— at + 1 > 0, t € [4 ,+s ) (*)恒成立，当 △= a 2— 4< 0,即—2W a < 2 时，(*)式恒成立；当 a v — 2 时，对称轴t = 2v — 1, (*)式恒成立；当a >2时，对称轴t =学，要使(*)式恒成立，则a v 4,且法二：由 x + y + 4 = 2xy w-得(x + y)2— 2(x + y)— 8> 0，又 x, y 是正实数，得 x + y >4.原不等式整理可得(x + y)2 — a(x + y) + 1 >0，令 x + y = t , t >4,贝U t 2— at + 1>0, t € [4, + 8) (*)恒成立，则a W t +1 min =节，故实数a 的取值范围是 —a, 17 .答案：—8, 13•某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C(x),1当年产量不足 80千件时，C(x) = V + 10x(万元)•当年产量不小于 80千件时，C(x) = 51x +3售完.16— 4a + 1>172v a < 4.综上可得(*)式恒成立时,17则实数a 的取值范围是10 000x —1 450(万元). 每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式.⑵当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.05 X 1 000x万元，依题意得：当0 v X V 80 时，L(x)= (0.05 X 1 000x)-承2—10x - 250=- #x2+ 40x—250.当x > 80 时，L(x) = (0.05 X 1 000x) - 51x- + 1 450 - 250= 1 200 - x+10 000x .-」x2+ 40x- 250, 0v x v 80, 3所以L(x)={ r10 000、801 200 - x+ —, x > 80.1 2⑵当0v x V 80 时，L(x) =- 3(x—60) + 950.此时，当x= 60时，L(x)取得最大值L(60) = 950万元.当x > 80 时，L(x) — 1 200-10000 = 1 200 - 200= 1 000.x此时x —10 000，即x—100时，L(x)取得最大值1 000万元.由于950V 1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为 1 000万元.板块命题点专练(九) 不等式高考真翩隼中研究一命題规律'验自身能力学习至此阶■(培(匕能力如何庶题评怙.命题点一一元二次不等式解析：由题意可知A—{x|- 2W x w 2}, B—{x|x v 1}，故A n B—{x|- 2< x v 1}.1.(2017山东高考改编)设函数y—4- x2的定义域为A,函数y—ln(1 - x)的定义域为B,则A n B—_______ .答案：［—2,1)2. (2014江苏高考)已知函数f(x)—x + mx- 1,若对于任意x€ ［m , m + 1］，都有f(x)v 0成立，则实数m的取值范围是__________ .c2f(m —2m —1 v 0,解析：由题可得f(x) v 0对于x€ ［m , m + 1］恒成立，即八' 2解f(m + 1 —2m + 3m v 0,得一v m v 0.2答案：―丰03. (2012江苏高考)已知函数f(x)= x 2+ ax + b(a , b € R)的值域为［0,+^ )，若关于x 的不等式f(x)v c 的解集为(m , m + 6)，则实数c 的值为 _____________________ .2解析：因为f(x)的值域为［0,+)，所以△= 0，即a 2= 4b ,所以x 2+ ax + a — c v 0的42解集为(m , m + 6)，易得m , m + 6是方程x 2 + ax +》—c = 0的两根，由一元二次方程根与2m + 6=— a ,系数的关系得a 2 丨 m (m + 6 尸 4—c ，解得c = 9. 答案：9命题点二简单的线性规划问题x — 2y + 4> 0,1.(2016江苏高考)已知实数 x , y 满足2x + y — 2> 0, 贝V x 2 + y 2的取值范围是〔3x — y — 3< 0,解析：根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则 (x , y)为阴影区域内的动点.d=Jx 2+ y 2可以看做坐标原点 O 与可行 域内的点(x , y)之间的距离.数形结合，知 d 的最大值是OA 的长，dx — 2y + 4 = 0,的最小值是点 O 到直线2x + y — 2 = 0的距离•由 y 可 |3x — y — 3 = 0得 A(2,3),所以d max = 22+ 32 = V13 , d min = J^+|2=所以d '的最小值为£，最大值为13.所x — 2y — 2< 0,2. (2018全国卷I )若x , y 满足约束条件 x — y + 1>0,贝V z = 3x + 2y 的最大值为：yw 0,以x 2+ y 2的取值范围是4, 13答案:釦3解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.由z=3x + 2y,得y=—号乂+ 电作直线I o：y= —2x.平移直线I o,当直线y= —2x +彳过点(2,0)时，Z 取最大值，Z max= 3X 2+ 2X 0= 6.答案：63x+ 2y—6< 0,3. (2017全国卷川改编)设x, y满足约束条件x>0,y> 0,围是________ .解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：y= x，平移直线I0，当直线z= x—y过点A(2,0)时，z取得最大值2,当直线z= x—y过点B(0,3)时，z取得最小值—3,所以z= x—y的取值范围是[—3,2].答案：[—3,2]x+ 2y—5> 0,4. (2018全国卷H )若x, y满足约束条件x—2y+ 3> 0,iX—5W 0,ir耳一y=01y , 一彳013耳+2厂6=0则z= x—y的取值范则z= x + y的最大值为解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示.由图可知当直线x + y= z过点A时z取得最大值. flf+2y-5^0X<x-2y+3=0f由x=5, lx —2y+ 3 = 0,得点A(5,4) ,••• z max= 5 + 4 = 9.答案：95. (2018北京咼考)若x, y满足x+ K y w 2x,则—叶2y—x的最小值是、'x -5x + K y,解析：由条件得1ly w 2x,x —y + 1 w 0,即f 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影2x—y> 0,部分所示.+ 4 1 1设 z = 2y — x ,即 y = ?x + -z ,1作直线I o ： y = -x 并向上平移，显然当 10过点A （1,2）时，z 取得最小值，z min = 2X 2 — 1 =3・答案：36.（2017天津高考）电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已 知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于 600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2倍•分别用x , y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.（1） 用x , y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（2） 问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：（1）由已知，x , y 满足的数学关系式为该二元一次不等式组所表示的平面区域为图中的阴影部分中的整数点.y©9 8 V\7x+6y=60\ 4 ■ □'2 1\ l 2 3 1 5 仪8Q *&Ox+2&y=0 X（2）设总收视人次为z 万，则目标函数为 z = 60x + 25y.考虑z = 60x + 25y ,将它变形为y =— + £,这是斜率为—号，随z 变化的一族平行又因为x , y 满足约束条件，所以由图可知，当直线 z = 60x + 25y 经过可行域上的点 M70x +60y W 600, 5x + 5y > 30,x < 2y ,7x + 6y w 60, | x + y > 6, 即 x — 2y w 0,x》°,y > 0,直线・25为直线在y 轴上的截距，当 25取得最大值时,z 的值最大.时，截距25最大，即z 最大.]7x + 6y = 60,一解方程组得点M 的坐标为（6,3）.IX - 2y = 0,所以电视台每周播出甲连续剧 6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.命题点三基本不等式1.（2017江苏高考）某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30.答案：302. (2016 •苏高考)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A = 2sin Bsin C ,贝U tan Atan Btan C 的最小值是 _____________ .解析：在锐角三角形 ABC 中，因为sin A = 2sin Bsin C , 所以 sin(B + C)= 2sin Bsin C ,所以 sin BcosC + cosBsin C = 2sin Bsin C ,等号两边同除以 cosBcosC ,得 tan B + tan C = 2tan Btan C.因为A , B , C 均为锐角，所以 tan Btan C — 1 > 0，所以 tan Btan C > 1.又由 tan Btan C > 1 得 tan A > 1，所以 tan A >2. tan A — 22(tan A — 2) + 4(tan A — 2 什 4 tan A — 2解析：由题意,一年购买6x 0次，则总运费与总存储费用之和为警6+ 4x= 当且仅当 x = 30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是 所以 tan A = tan [ n — (B + C)] =— tan (B + C)= tan B + tan Ctan Btan C — 12tan Btan C ①tan Btan C — 1.由①得tan Btan C = tan Atan A — 2.所以 tan Atan Btan C = tan 2Atan A — 2=(tan A — 2) + 4tan A — 2x =240,当且仅当tan A — 2 =4tan A —即tan A= 4时取得等号.>2 ,4+ 4= 8,+ 4故tan A tan Btan C 的最小值为 8. 答案：8a 1 一3. (2018天津高考)已知a , b € R,且a -3b + 6= 0，贝U 2 +十的最小值为解a — 3b + 6 = 0,.・ a — 3b = — 6・...2a + 4= 2a + 2-3b > 2 2a 2-3b = 2 2a -3b8=2 2-6= 2X 2-3= J ,当且仅当＜=-3b ， 即F=-3，时等号成立.|a - 3b + 6= 0, [b = 1 答案：J 44. (2017全国卷I 改编)已知F 为抛物线C : y 2= 4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直 线11, 12,直线11与C 交于A , B 两点，直线12与C 交于D , E 两点，贝V |AB|+ |DE |的最小 值为 .解析：抛物线C : /= 4x 的焦点为F(1,0), 由题意可知h, 12的斜率存在且不为 0.不妨设直线》的斜率为k ,则 l 1： y = k(x - 1), l 2： y =- $x - 1),消去 y ,得 k 2x 2- (2k 2 + 4)x + k 2= 0,设 A(X 1, y 1), B (X 2, y 2),由抛物线的定义可知,4 4|AB|= X 1 + X 2+ 2= 2+ 十+ 2= 4 + 十 同理得 |DE| = 4 + 4k 2,所以 |AB|+ |DE|= 4 + 表 + 4 + 4k 2 = 8+ 4 表+ k 2 >8+ 8= 16,当且仅当 寺=k 2,即 k = ±1时取等号，故|AB|+ |DE|的最小值为16. 答案：16355y 2= 4x , y = k x - 1所以x 1+ x 2=2k 2+ 44 k 2,于是y W—4+ 2=— 2 故函数的最大值为—(2)因为O v x v 2,所以2 —x> 0,所以y= J x 4—2x = 2 • x 2—x W 2 ^2~" = 2,当且仅当x= 2 —x，即x= 1时取等号，所以当x= 1时，函数y=“J x4—2x的最大值为.2.10. (2019 泰州调研)已知x>0, y> 0,且2x+ y= 4.(1) 求xy的最大值及相应的x, y的值；(2) 求9x+ 3y的最小值及相应的x, y的值.解: (1)因为4= 2x+ y，2,2xy? xy W 2,所以xy的最大值为2,当且仅当2x= y= 2, 即x = 1, y= 2 时取“=".+ 4。

京方严学学科教师一对一辅导讲义模块一：不等式知 识 梳 理一． 不等式的基本性质；不等式的比较方法。

二． 不等式的类型：一元二次不等式；绝对值不等式；三角不等式；基本不等式 三． 基本不等式：推广形式：a b c ++≥.（,,a b c 均为正数）最值问题：一正二定三相等——积定值，和最小；和定值，积最大。

四． 公式的正用逆用例如 逆用就是 ，注意 “添、拆、项、”技巧和公式等号成立的条件等．五． 两个变形(1) ,调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数；（当且仅当 时成立）(2)（当且仅当 时取等号 )．热 身 训 练1.已知ln 2ln 3,23a b ==，则a b 与的大小关系是 .2．已知0,0a b >>，3a b +=，则的最大值为 . 3.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x y x y x y>>+=+则的最小值是 .题 型 分 类1.基本不等式的运用及推广例1． 设，则 的最小值是 .变式训练：1.若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。

2.函数212()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________。

2.常数代换——“1的代换”例2．已知0,0,2a b a b >>+=，则 ＝的最小值是 .变式训练：1.设,x y 是正实数，35x y xy +=，则34x y +的最小值为 .2. 设,x y 是正实数满足1x y +=，则4121x y +++的最小值为 .3．齐次式分离常数法 齐次式分离常数；对一次进行整体换元。

例3．设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值为 .变式训练：已知,x y 是正实数满足(1)(1)36x y -+=，则x y +的最小值为 .4.三个未知数的情形结合问题，整体思想，转换成两个未知数。

微专题七　基本不等式一、填空题1. 函数y＝4x2＋取最小值时x的值为_______________．9x22. 函数y＝sin x＋，x∈的最小值为________．4sin x(0，π2]3. 已知a，b为正数，且直线ax＋by－6＝0与直线2x＋(b－3)y＋5＝0互相平行，则2a＋3b的最小值为________．4. 已知函数f(x)＝log2(x－2)．若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n 的最小值是________．5. 已知正实数x，y满足(x－1)(y＋1)＝16，则x＋y的最小值为________．6. 设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为________.(x＋1)(2y＋1)xy7. 已知α，β为锐角，且tanα＝，tanβ＝，则当10tanα＋3tanβ取得最小2tt15值时，α＋β的值为________．8. 已知a，b为正实数，且(a－b)2＝4(ab)3，则＋的最小值为________．1a1b9.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则＋的最小值为2a 2＋1a 2b 2＋4b ________．10.已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则的最小值为________．c 2＋5a ＋b 二、 解答题11. (1) 已知x ＜，求函数y ＝的最大值；124x 2－2x ＋12x －1(2) 函数y ＝(x >－2)的最大值．x ＋22x ＋512. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f ′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，求的最大值．b 2a 2＋c 213. 如图所示的矩形区域长6 m ，宽4 m ．现欲将矩形区域Ⅰ～Ⅳ设计成钢化玻璃舞台，将中间阴影部分设计成可升降的舞台，若区域Ⅰ和区域Ⅱ完全相同，长与宽之比为λ，区域Ⅲ和区域Ⅳ完全相同，长与宽之比为μ，λ＞1，μ＞1，区域Ⅱ和Ⅳ的较短边长分别为a m 和b m.(1) 试将a 和b 用λ，μ表示；(2)若λμ＝9，当λ，μ为何值时可升降舞台的面积最大？并求出最大面积．14. 如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ )为、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区2π3域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧相切于点S .设∠POS ＝α(单位：rad)，假设所有公路的宽度均忽略不PQ ︵ 计．(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值．。

第4讲 基本不等式及其应用考试要求 1.基本不等式的证明过程(A 级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C 级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式,然后研究最值问题.知 识 梳 理1.基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件:a >0,b >0.(2)等号成立的条件:当且仅当a ＝b 时取等号. (3)适用于求含两个代数式的最值. 2.几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ). (2)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号). (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22,(a ,b ∈R ). (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一) 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 3.算术平均数与几何平均数设a >0,b >0,则a ,b 的算术平均数为a ＋b2,几何平均数为ab ,基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数,当两个正数相等时两者相等. 4.利用基本不等式求最值问题 已知x >0,y >0,则(1)如果积xy 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值2p (简记:积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值p 24(简记:和定积最大).诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当a ≥0,b ≥0时,a ＋b2≥ab .( )(2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 成立的条件是相同的.( )(3)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为2.( )(5)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 解析 (2)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ,b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0,b ≥0.(3)函数y ＝x ＋1x 值域是(－∞,－2]∪[2,＋∞),没有最小值. (4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为－5. (5)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分条件. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(教材改编)设x >0,y >0,且x ＋y ＝18,则xy 的最大值为________.解析 ∵x >0,y >0,∴x ＋y2≥xy , 即xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81, 当且仅当x ＝y ＝9时,(xy )max ＝81. 答案 813.(教材改编)若0<x <1,则x （3－2x ）的取值范围是________. 解析 由0<x <1知3－2x >0, 故x （3－2x ）＝12·2x （3－2x ） ≤12·2x ＋（3－2x ）2＝324,当且仅当x ＝34时,上式等号成立. ∴0<x （3－2x ）≤324.答案 ⎝⎛⎦⎥⎤0，324 4.(2019·南通、扬州等六市调研)已知a ,b ,c 均为正数,且abc ＝4(a ＋b ),则a ＋b ＋c 的最小值为________.解析 由题意可得c ＝4（a ＋b ）ab ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ,又a ,b ,c 均为正数,则a ＋b ＋c ＝a ＋4a ＋b ＋4b ≥2a ·4a ＋2b ·4b ＝8,当且仅当a ＝b ＝2时取等号,故a ＋b ＋c 的最小值是8. 答案 85.(教材改编)①若x ∈(0,π),则sin x ＋1sin x ≥2；②若a ,b ∈(0,＋∞),则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b ；③若x ∈R ,则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ≥4.其中正确结论的序号是________.解析 ①因为x ∈(0,π),所以sin x ∈(0,1], 所以①成立；②只有在lg a >0,lg b >0, 即a >1,b >1时才成立； ③⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋4x ＝|x |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ≥2|x |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x ＝4,当且仅当x ＝±2时“＝”成立. 答案 ①③考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值【例1－1】 (1)已知0<x <1,则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________. (2)已知x <54,则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________.解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋（4－3x ）22＝43, 当且仅当3x ＝4－3x ,即x ＝23时,取等号.(2)因为x <54,所以5－4x >0, 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x,即x ＝1时,等号成立.故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1.(3)由于x >1,故y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1,即x ＝3＋1时,等号成立. 答案 (1)23 (2)1 (3)23＋2角度2 利用基本不等式求二元函数的最值【例1－2】 (1)(2019·盐城模拟)已知正数x ,y 满足x ＋2y －xy ＝0,则x ＋2y 的最小值为________.(2)已知x ＞0,y ＞0,x ＋3y ＋xy ＝9,则x ＋3y 的最小值为________.(3)(2018·苏州期末)已知ab ＝14,a ,b ∈(0,1),那么11－a ＋21－b的最小值为________.解析 (1)由x ＋2y －xy ＝0,得2x ＋1y ＝1,且x >0,y >0.∴x ＋2y ＝(x ＋2y )×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4y x ＋xy ＋4≥4＋4＝8.当且仅当4y x ＝xy ,即x ＝4,y ＝2时等号成立. (2)法一 (消元法) 由已知得x ＝9－3y1＋y.因为x ＞0,y ＞0,所以0＜y ＜3, 所以x ＋3y ＝9－3y1＋y ＋3y＝121＋y＋3(y ＋1)－6≥2121＋y·3（y ＋1）－6＝6,当且仅当121＋y＝3(y＋1),即y＝1,x＝3时,(x＋3y)min＝6. 法二∵x＞0,y＞0,9－(x＋3y)＝xy＝13x·(3y)≤13·⎝⎛⎭⎪⎫x＋3y22,当且仅当x＝3y时等号成立.设x＋3y＝t＞0,则t2＋12t－108≥0,∴(t－6)(t＋18)≥0,又∵t＞0,∴t≥6.故当x＝3,y＝1时,(x＋3y)min＝6.(3)因为b＝14a,a∈(0,1),所以11－a ＋21－b＝11－a＋21－14a＝11－a＋24a－1＋2＝2a＋1－4a2＋5a－1＋2.令2a＋1＝t,则a＝t－12,原式＝t－t2＋9t2－92＋2＝192－⎝⎛⎭⎪⎫t＋92t＋2≥192－2t·92t＋2＝4＋423,当且仅当t＝322,即a＝32－24∈(0,1)时取等号,故原式的最小值为4＋423.答案(1)8(2)6(3)4＋42 3规律方法(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指满足等号成立的条件.(2)在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.(3)条件最值的求解通常有三种方法:一是消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形,利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子,然后利用基本不等式求解最值；三是对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.易错警示 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意应用条件；(2)尽量避免多次使用基本不等式,若必须多次使用,一定要保证等号成立的条件一致.【训练1】 (1)若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy ,则3x ＋4y 的最小值是________. (2)(2018·徐州考前模拟)已知正实数m ,n 满足m ＋n ＝3,则m 2＋1m ＋n 2n ＋1的最小值为________.解析 (1)法一 由x ＋3y ＝5xy 及x ,y 均为正数可得15y ＋35x ＝1,∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5.(当且仅当3x 5y ＝12y 5x ,即x ＝1,y ＝12时,等号成立), ∴3x ＋4y 的最小值是5. 法二 由x ＋3y ＝5xy ,得x ＝3y5y －1, ∵x >0,y >0,∴y >15,∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －15≥135＋23625＝5,当且仅当y ＝12时等号成立,∴(3x ＋4y )min ＝5.(2)令n ＋1＝t ,t >1,则n ＝t －1,由m ＋n ＝m ＋t －1＝3,得m ＋t ＝4,所以m 2＋1m ＋n 2n ＋1＝m ＋1m ＋（t －1）2t ＝m ＋1m ＋t ＋1t －2＝2＋1m ＋1t ＝2＋14(m ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1t ＝2＋14×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t m ＋m t ≥2＋12＋14×2t m ·mt ＝3,当且仅当m ＝t ＝2时取等号,故m 2＋1m ＋n 2n ＋1的最小值为3.答案 (1)5 (2)3考点二 基本不等式的综合应用【例2】 (1)设x ,y ,z 均为大于1的实数,且z 为x 和y 的等比中项,则lg z 4lg x ＋lg zlg y 的最小值为________.(2)(2018·天津卷)已知a ,b ∈R ,且a －3b ＋6＝0,则2a ＋18b 的最小值为________. 解析 (1)由题意得z 2＝xy ,lg x >0,lg y >0, ∴lg z 4lg x ＋lg z lg y ＝12（lg x ＋lg y ）4lg x ＋12（lg x ＋lg y ）lg y＝18＋lg y 8lg x ＋12＋lg x 2lg y ＝58＋lg y 8lg x ＋lg x 2lg y ≥58＋2116＝98,当且仅当lg y 8lg x ＝lg x2lg y ,即lg y ＝2lg x , 即y ＝x 2时取等号.(2)由a －3b ＋6＝0,得a ＝3b －6,所以2a ＋18b ＝23b －6＋123b ≥223b －6×123b ＝2×2－3＝14,当且仅当23b －6＝123b ,即b ＝1时等号成立. 答案 (1)98 (2)14规律方法 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值. (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练2】 (1)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7,则a ＋1b 2－1的最小值为________. (2)(2019·苏、锡、常、镇四市调研)若实数x ,y 满足xy >0,则x x ＋y ＋2yx ＋2y 的最大值为________.解析 (1)因为2log a b ＋3log b a ＝7,所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0,解得log a b ＝12或log a b ＝3,因为a >b >1,所以log a b ∈(0,1),故log a b ＝12,从而b ＝a ,因此a ＋1b 2－1＝a＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥3,当且仅当a ＝2时等号成立. (2)因为xy >0,所以x x ＋y ＋2y x ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y2＝1＋1xy ＋3＋2y x≤1＋13＋22＝4－22, 当且仅当x y ＝2yx ,即x 2＝2y 2时取等号. 答案 (1)3 (2)4－2 2考点三 利用基本不等式解决恒成立及实际应用问题 角度1 利用基本不等式解决恒成立问题【例3－1】 (1)已知a >0,b >0,若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立,则m 的最大值为________.(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R ),若对于任意的x ∈N *,f (x )≥3恒成立,则a 的取值范围是________. 解析 (1)由3a ＋1b ≥ma ＋3b ,得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b ＝9b a ＋ab ＋6.又a >0,b >0,所以9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab 时等号成立),∴m ≤12,∴m 的最大值为12. (2)对任意x ∈N *,f (x )≥3恒成立,即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立,即知a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ,x ∈N *,则g (2)＝6,g (3)＝173. ∵g (2)>g (3),∴g (x )min ＝173,∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83,∴a ≥－83,故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.答案 (1)12 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞角度2 利用基本不等式解决实际应用问题【例3－2】 (2019·南京模拟)一位创业青年租用了如图所示的一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜,他在正方形的边BC ,CD 上分别取点E ,F (不与正方形的顶点重合),连接AE ,EF ,F A ,使得∠EAF ＝45°.现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区,△AEF 部分规划为蜂巢区,△CEF 部分规划为蜂蜜交易区.若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2,蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2,则这三个区域的总投入最少需要多少元?解设阴影部分面积为S,三个区域的总投入为T.则T＝2×105·S＋105·(1－S)＝105·(S＋1),所以只要求S的最小值即可得T的最小值.设∠EAB＝α(0°<α<45°),在△ABE中,因为AB＝1,∠B＝90°,所以BE＝tan α,则S△ABE ＝12AB·BE＝12tan α.又∠DAF＝45°－α,所以S△ADF ＝12tan(45°－α).所以S＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12⎝⎛⎭⎪⎫tan α＋1－tan α1＋tan α.令x＝tan α∈(0,1),则S＝12⎝⎛⎭⎪⎫x＋1－x1＋x＝12⎝⎛⎭⎪⎫x－x－1x＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2x＋1－1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x＋1）＋2x＋1－2≥12(22－2)＝2－1.当且仅当x＋1＝2x＋1,即x＝2－1时取等号.此时T＝2×105,所以三个区域的总投入T的最小值约为2×105元.规律方法(1)应用基本不等式判断不等式是否成立:对所给不等式(或式子)变形,然后利用基本不等式求解.(2)条件不等式的最值问题:通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解. (3)求参数的值或范围:观察题目特点,利用基本不等式确定相关成立条件,从而得参数的值或范围.【训练3】 若不等式x ＋2xy ≤a (x ＋y )对任意的实数x ,y ∈(0,＋∞)恒成立,则实数a 的最小值为________.解析 由题意得a ≥x ＋2xy x ＋y ＝1＋2yx1＋y x恒成立.令t ＝yx (t >0),则a ≥1＋2t 1＋t 2,再令1＋2t ＝u (u >1),则t ＝u －12,故a ≥u 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＝4u ＋5u －2. 因为u ＋5u ≥25(当且仅当u ＝5时等号成立),故u ＋5u －2≥25－2,从而0<4u ＋5u －2≤425－2＝5＋12,故a ≥5＋12,即a min ＝5＋12. 答案5＋12一、必做题1.已知a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的序号是________. ①a 2＋b 2>2ab ；②a ＋b ≥2ab ；③1a ＋1b >2ab；④b a ＋ab ≥2.解析 因为a 2＋b 2≥2ab ,当且仅当a ＝b 时,等号成立,所以①错误；对于④,因为ab >0,所以b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.对于②,③,当a <0,b <0时,明显错误.答案 ④2.用长为16 cm 的铁丝围成一个矩形,则所围成的矩形的最大面积是________ cm 2. 解析 设矩形长为x cm(0<x <8),则宽为(8－x )cm,面积S ＝x (8－x ).由于x >0,8－x >0,可得S ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8－x 22＝16,当且仅当x ＝8－x ,即x ＝4时,S max ＝16.所以矩形的最大面积是16 cm 2. 答案 163.当x >0时,函数f (x )＝2xx 2＋1有最________值,为________. 解析 由于x >0,所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1,当且仅当x ＝1时取等号.答案 大 14.函数y ＝x 2＋2x 2＋1的最小值为________.解析 y ＝x 2＋1＋1x 2＋1＝x 2＋1＋1x 2＋1≥2,当且仅当x 2＋1＝1x 2＋1,即x ＝0时,y 取到最小值2. 答案 25.若正实数x ,y 满足2x ＋y －xy ＝－6,则xy 的最小值是________.解析 因为x ,y 为正实数,所以2x ＋y ≥22xy ,则xy －6≥22xy ,即(xy －32)(xy ＋2)≥0,则xy ≥32,即xy ≥18,当且仅当x ＝3,y ＝6时取等号,故xy 的最小值是18.答案186.(2019·苏、锡、常、镇四市调研)已知a>0,b>0,且2a＋3b＝ab,则ab的最小值是________.解析因为a>0,b>0,所以ab＝2a＋3b≥26ab,解得ab≥26,当且仅当2a＝3b时取等号,故ab的最小值是2 6. 答案2 67.若a,b∈R,ab>0,则a4＋4b4＋1ab的最小值为________.解析a4＋4b4＋1ab≥4a2b2＋1ab＝4ab＋1ab≥24ab·1ab＝4(前一个等号成立条件是a2＝2b2,后一个等号成立的条件是ab＝12,两个等号可以同时取得,则当且仅当a2＝22,b2＝24时取等号). 答案 48.(2019·扬州一模)设正实数x,y,z满足x2－3xy＋4y2－z＝0,则当xyz取得最大值时,2x＋1y－2z的最大值为________.解析由已知得z＝x2－3xy＋4y2,(*)则xyz ＝xyx2－3xy＋4y2＝1xy＋4yx－3≤1,当且仅当x＝2y时取等号,把x＝2y代入(*)式,得z＝2y2,所以2x ＋1y－2z＝1y＋1y－1y2＝－⎝⎛⎭⎪⎫1y－12＋1≤1.答案 19.已知x,y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6,则z＝x2＋4y2的取值范围为________.解析∵2xy＝6－(x2＋4y2),而2xy≤x2＋4y22,∴6－(x2＋4y2)≤x2＋4y22,∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号).又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0,即2xy ≥－6,∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12 (当且仅当x ＝－2y 时取等号). 综上可知,4≤x 2＋4y 2≤12. 答案 [4,12]10.(2018·镇江期末)已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4,对任意x ∈[1,3],不等式f (x )≥0恒成立,则实数k 的最大值为________.解析 因为x 2－kx ＋4≥0,∀x ∈[1,3],则kx ≤x 2＋4,即k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x min ,因为x ∈[1,3],所以x ＋4x ≥2x ·4x ＝4,当且仅当x ＝2时取等号,所以k ≤4,即k 的最大值是4. 答案 411.已知x >－1,y >0且满足x ＋2y ＝1,则1x ＋1＋2y 的最小值为________. 解析 ∵x >－1,y >0且满足x ＋2y ＝1, ∴x ＋1>0,且(x ＋1)＋2y ＝2, ∴1x ＋1＋2y ＝12[(x ＋1)＋2y ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋2y ＝52＋12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2y x ＋1＋2（x ＋1）y≥52＋12×22y x ＋1·2（x ＋1）y ＝92,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2y x ＋1＝2（x ＋1）y x ＋2y ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝23时取等号,故1x ＋1＋2y 的最小值为92. 答案 92二、选做题12.已知正实数x ,y 满足5x 2＋4xy －y 2＝1,则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________. 解析 由5x 2＋4xy －y 2＝1可得(5x －y )(x ＋y )＝1,设x ＋y ＝k (k >0),则5x －y ＝1k ,联立可解得x ＝k 6＋16k ,y ＝5k 6－16k ,那么12x 2＋8xy －y 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫k 6＋16k 2＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫k 6＋16k ⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 6－16k －⎝ ⎛⎭⎪⎫5k 6－16k 2＝3k24＋112k 2＋116≥23k 24·112k 2＋116＝73,当且仅当3k 24＝112k 2,即k ＝33时等号成立. 答案 7313.(2019·苏北四市联考)如图,墙上有一壁画,最高点A 离地面4 m,最低点B 离地面2 m,观察者从距离墙x (x >1)m,离地面高a (1≤a ≤2)m 的C 处观赏该壁画,设观赏视角∠ACB ＝θ.(1)若a ＝1.5,问:观察者离墙多远时,视角θ最大? (2)若tan θ＝12,当a 变化时,求x 的取值范围.解 (1) 当a ＝1.5时,过C 作AB 的垂线,垂足为D ,则BD ＝0.5,且θ＝∠ACD －∠BCD ,由已知观察者离墙x m,且x >1, 则tan ∠BCD ＝0.5x ,tan ∠ACD ＝2.5x ,所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝ 2.5x －0.5x 1＋2.5×0.5x 2＝2x 1＋1.25x 2＝2x ＋1.25x ≤2254＝255, 当且仅当x ＝52>1时取等号.又tan θ在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增,所以当观察者离墙52 m 时,视角θ最大.(2)由题意得tan ∠BCD ＝2－a x ,tan ∠ACD ＝4－ax ,又tan θ＝12,所以tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD ) ＝2x x 2＋（a －2）·（a －4）＝12, 所以a 2－6a ＋8＝－x 2＋4x . 当1≤a ≤2时,0≤a 2－6a ＋8≤3, 所以0≤－x 2＋4x ≤3, 即⎩⎨⎧x 2－4x ≤0，x 2－4x ＋3≥0， 解得0≤x ≤1或3≤x ≤4, 因为x >1,所以3≤x ≤4. 所以x 的取值范围是[3,4].。

§7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考情考向分析　以画二元一次不等式(组)表示的平面区域、目标函数最值的求法为主，兼顾由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及简单线性规划问题的实际应用，加强转化与化归和数形结合思想的应用意识．本节内容在高考中主要以填空题的形式进行考查，中低档难度．1．二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域Ax ＋By ＋C >0不包括边界直线Ax ＋By ＋C ≥0直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数关于x ，y 的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ，y )可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题概念方法微思考1．不等式x≥0表示的平面区域是什么？提示　不等式x≥0表示的区域是y轴的右侧(包括y轴)．2．可行解一定是最优解吗？二者有何关系？提示　不一定．最优解是可行解中的一个或多个．最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　×　)(2)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　√　)(3)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示．(　√　)(4)线性目标函数的最优解是唯一的．(　×　)(5)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　×　)题组二　教材改编2．[P74T1]点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是________．答案　(－7,24)解析　点(3,1)和(－4,6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，说明将这两点坐标代入3x－2y＋a后，符号相反，所以(9－2＋a)(－12－12＋a)<0，解得－7<a<24.3．[P77T2]不等式组Error!所表示的平面区域的面积是________．答案　25解析　直线x －y ＋4＝0与直线x ＋y ＝0的交点为A (－2，2)，直线x －y ＋4＝0与直线x ＝3的交点为B (3,7)，直线x ＋y ＝0与直线x ＝3的交点为C (3，－3)，则不等式组表示的平面区域是一个以点A (－2,2)，B (3,7)，C (3，－3)为顶点的三角形及其内部，所以其面积为S △ABC ＝×5×1012＝25.4．[P84T4]设变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x －3y 的最小值为________．答案　－8解析　画出可行域与目标函数线如图(阴影部分含边界)，由图可知，目标函数在点(－2,2)处取最小值－8.题组三　易错自纠5．(2018·全国Ⅰ)若x ，y 满足约束条件Error!则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．答案　6解析　作出满足约束条件的可行域如图阴影部分(包含边界)所示．由z ＝3x ＋2y ，得y ＝－x ＋.32z 2作直线l 0：y ＝－x ，平移直线l 0，当直线y ＝－x ＋过点(2,0)时，z 取最大值，z max ＝3×2＋2×03232z 2＝6.6．已知x ，y 满足Error!若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．答案　－1解析　先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.题型一　二元一次不等式(组)表示的平面区域命题点1　不含参数的平面区域问题例1 在平面直角坐标系中，不等式组Error!表示的平面区域的面积是________．答案　3解析　作出不等式组表示的平面区域是以点O (0,0)，B (－2，0)和A (1，)为顶点的三角形及3内部区域，即如图所示的阴影部分(含边界)，由图知该平面区域的面积为×2×＝.1233命题点2　含参数的平面区域问题例2 若不等式组Error!表示的平面区域的形状是三角形，则a的取值范围是______．答案　(0,1]∪[43，＋∞)解析　作出不等式组Error!表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l：x＋y＝a在l1，l2之间(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．思维升华平面区域的形状问题主要有两种题型(1)确定平面区域的形状，求解时先画满足条件的平面区域，然后判断其形状；(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先画满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．跟踪训练1 (1)不等式组Error!表示的平面区域的形状为________三角形．答案　等腰直角解析　作出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知平面区域的形状为等腰直角三角形(阴影部分，含边界)．(2)已知由不等式组Error!确定的平面区域Ω的面积为7，则k的值为________．答案　－1解析　作出不等式组Error!所表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，可知该区域是等腰直角三角形且面积为8.由于直线y ＝kx ＋2恒过点B (0，2)，且原点的坐标恒满足y －kx ≤2，当k ＝0时，y ≤2，此时平面区域Ω的面积为6，由于6<7，由此可得k <0.由Error!可得D ，(2k －1，4k －2k －1)依题意应有×2×＝1，12|2k －1|解得k ＝－1或k ＝3(舍去)．题型二　求目标函数的最值问题命题点1　求线性目标函数的最值例3 (1)(2018·全国Ⅱ)若x，y满足约束条件Error!则z＝x＋y的最大值为________．答案　9解析　由不等式组画出可行域如图阴影部分(含边界)．目标函数x＋y取得最大值⇔斜率为－1的直线x＋y＝z(z看作常数)在y轴上的截距最大，由图可得当直线x＋y＝z过点C时，z取得最大值．由Error!得点C(5,4)，∴z max＝5＋4＝9.(2)(2018·南通模拟)已知实数x，y满足约束条件Error!则z＝|x|＋|y－3|的取值范围是________．答案　[1,7]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则0≤x≤4且0≤y≤3，所以z＝|x|＋|y－3|＝x－y＋3，平移目标直线y＝x－z＋3经过点A(4,0)时，z取得最大值7，经过点B(1,3)时，z取得最小值1，所以z的取值范围为[1,7]．命题点2　求非线性目标函数的最值例4 (1)(2018·徐州模拟)已知(x ，y )满足Error!则k ＝的最大值为________．y x ＋1答案　1解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)：因为k 的几何意义为可行域内的点P (x ，y )与定点A (－1，0)连线的斜率，则由图象可知AB的斜率最大，其中B (0,1)，此时k ＝＝1.10＋1(2)(2018·扬州模拟)若实数x ，y 满足约束条件Error!则x 2＋y 2的取值范围是______．答案　[14425，25]解析　作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，则x 2＋y 2表示可行域内的点到坐标原点的距离的平方．由图知(x 2＋y 2)max ＝42＋32＝25，(x 2＋y 2)min ＝2＝，(1232＋42)14425所以x 2＋y 2的取值范围为.[14425，25]命题点3　求参数值或取值范围例5 已知实数x ，y 满足Error!如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝____.答案　5解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，联立直线方程Error!可得交点坐标为A ，(m ＋13，2m －13)由目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，所以－＝－1，解得m ＝5.m ＋132m －13思维升华 常见的三类目标函数(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2.(3)斜率型：形如z ＝.y －b x －a跟踪训练2 (1)若实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝2x －y 的最大值为________．答案　10解析　先根据约束条件画出可行域，如图阴影部分所示(含边界)，将z ＝2x －y 的最大值转化为直线y ＝2x －z 在y 轴上截距的最小值．当直线y ＝2x －z 经过点A 时，在y 轴上的截距最小，z 最大，又A(3，－4)，故z的最大值为10.(2)已知x，y满足Error!且z＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为________．答案　2解析　由约束条件Error!作出可行域(图略)，z＝3x－y的最大值为2，联立Error!解得A(2,4)，可知直线mx－y＝0必须过点A，可得2m－4＝0，解得m＝2.(3)已知实数x，y满足不等式组Error!则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为________．答案　13解析　画出不等式组Error!表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，可知当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1,1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，最小值为13.1．设点(x，y)满足约束条件Error!且x∈Z，y∈Z，则这样的点共有________个．答案　12解析　画出Error!表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)，由图可知，满足x ∈Z ，y ∈Z 的(x ，y )为(－4，－1)，(－3,0)，(－2,1)，(－2,0)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，共12个．2．设不等式Error!表示的平面区域为M .若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．答案　[2,5]解析　由约束条件作出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．因为函数y ＝kx －2的图象为恒过定点A (0，－2)，且斜率为k 的直线l ，由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2，故实数k 的取值范围是[2,5]．3．在直角坐标平面内，不等式组Error!所表示的平面区域的面积为，则t 的值为______．32答案　1解析　不等式组Error!所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由Error!解得交点B (t ，t ＋1)．在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)．由平面区域的面积S ＝＝，(1＋t ＋1)×t 232得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)．4．已知变量x ，y 满足约束条件Error!且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________.答案　1解析　作出线性约束条件表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意；若m ≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为－的动直线y ＝－x ＋.1m 1m zm若m <0，则－>0，数形结合知使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；1m 若m >0，则－<0，数形结合可知，当动直线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y )在线段AB1m 上，使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，即－＝－1，则m ＝1.1m 综上可知，m ＝1.5．(2019·如皋调研)已知实数x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋2y 的最大值为_______．答案　143解析　约束条件Error!对应的可行域如图阴影部分(含边界)所示：当目标函数所在直线过点A 时，z 取得最大值，解方程组Error!得A ，此时x ＋2y ＝＋＝(43，53)43103.1436．(2018·全国Ⅲ)若变量x ，y 满足约束条件Error!则z ＝x ＋y 的最大值是________．13答案　3解析　画出可行域如图阴影部分(含边界)所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－3x ＋3z ，作出直线y ＝－3x ，13并平移该直线，当直线y ＝－3x ＋3z 过点A (2,3)时，目标函数z ＝x ＋y 取得最大值为2＋×3＝13133.7．若不等式组Error!表示的平面区域为三角形且其面积等于，则z ＝x －y 的最小值为4312________．答案　－2解析　作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分含边界所示)，由Error!得A (1－m,1＋m )，同理B ，C (2，0)，D (－2m,0)，(23－43m ，23＋23m )S △ABC ＝S △ADC －S △BDC ＝·DC ·(|y A |－|y B |)＝＝，12(1＋m )2343解得m ＝1或m ＝－3，由图象，得要使可行域ABC 存在，则－2m <2，即m >－1，即m ＝1，即A (0,2)，B ，C (2,0)；(－23，43)由图象，得当直线z ＝x －y 过点A (0,2)时，z 取得最小值为－2.128．设变量x ，y 满足约束条件Error!则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为________．(12)答案　18解析　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，要求目标函数z ＝2x ＋y 的最大值，只需求解函数z ′＝2x ＋y 的最小值，(12)结合目标函数的几何意义可知，目标函数在点C (1,1)处取得最小值z ′min ＝2＋1＝3，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为3＝.(12)(12)189．若x ，y 满足约束条件Error!则的最小值为________．y ＋1x ＋2答案　23解析　画出x ，y 满足约束条件Error!的可行域如图阴影部分所示(含边界)．的几何意义为可行域内的动点P (x ，y )与定点Q (－2，－1)连线的斜率，y ＋1x ＋2当P 位于B (1,1)时，直线PQ 的斜率最小，此时k min ＝＝.1＋11＋22310．(2018·南通模拟)甲、乙两种食物的维生素含量如下表：维生素A(单位/kg)维生素B(单位/kg)甲35乙42分别取这两种食物若干并混合，且使混合物中维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，则混合物重量的最小值为________ kg.答案　30解析　设甲食物重x kg ，乙食物重y kg ，∵维生素A ，B 的含量分别不低于100,120单位，∴Error!作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，由Error!得Error!即A (20,10)，混合物重z ＝x ＋y ，平移直线z ＝x ＋y ，由图知，当直线过A (20,10)时，z 最小值为20＋10＝30.11．变量x ，y 满足Error!(1)设z ＝，求z 的最小值；yx(2)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的最大值．解　由约束条件Error!作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界)．由Error!解得A .(1，225)由Error!解得C (1,1)．由Error!解得B (5,2)．(1)因为z ＝＝，y x y －0x －0所以z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率，观察图形可知z min ＝k OB ＝.25(2)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是可行域内的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域内的点B 到(－3,2)的距离最大，d max ＝＝8，(－3－5)2＋(2－2)2故z 的最大值为64.12．若x ，y 满足约束条件Error!(1)求目标函数z ＝x －y ＋的最值；1212(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解　(1)作出可行域如图阴影部分所示(含边界)，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线x －y ＋＝0，当直线过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.1212所以z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－<2，a2解得－4<a <2.故a 的取值范围是(－4,2)．13．(2018·南通模拟)已知实数x ，y 满足Error!且(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，则实数k 的最小值是________．答案　4解析　画出Error!表示的可行域，如图阴影部分(含边界)所示，直线l ：(k －1)x －y ＋k －2＝0过定点(－1，－1)，若(k －1)x －y ＋k －2≥0恒成立，即可行域在直线下方，直线l 的斜率为k －1，当斜率最小时，k 最小．当直线过点(0,2)时，k －1有最小值＝3，k 的最小值为4.2＋1114．设x ，y 满足约束条件Error!则z ＝的最大值为________．|yx ＋3|答案　1解析　由约束条件作出可行域(如图阴影部分含边界)，可知z 恒大于等于0，则目标函数z ＝的几何意义是可行域内(包括边界)的点与点A (－3,0)连线的斜率的绝对值|yx ＋3|的取值范围，由可行域可知直线|k AB |＝＝1，|k AC |＝＝，故最大值为1.|－1－0－2－(－3)||0－1－3－0|1315．记不等式组Error!的解集为D ，若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，则a 的取值范围是________．答案　(－∞，7]解析　若∀(x ，y )∈D ，不等式a ≤3x ＋y 恒成立，即求z ＝3x ＋y 的最小值，作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示：当y＝－3x＋z经过A(1,4)点时，z最小，此时z min＝3×1＋4＝7，∴a≤7.16．已知函数y＝f(x)单调递增，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，实数x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，求z＝x2＋y2－6x＋4y＋14的最小值．解　因为函数y＝f(x－2)的图象关于点(2,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，所以函数y＝f(x)是奇函数．因为f(x2－2x)＋f(－2y－y2)≤0，所以f(x2－2x)≤－f(－2y－y2)，所以f(x2－2x)≤f(2y＋y2)，因为函数y＝f(x)是增函数，所以x2－2x≤y2＋2y，所以x2－y2－2(x＋y)≤0，所以(x＋y)(x－y)－2(x＋y)≤0.所以(x＋y)(x－y－2)≤0，所以点(x，y)对应的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，因为z＝x2＋y2－6x＋4y＋14，所以z＝(x－3)2＋(y＋2)2＋1，所以z表示可行域内的点(x，y)到点(3，－2)的距离的平方再加1，观察图形得，当圆和直线x ＋y ＝0相切时，z 最小，因为d ＝＝，|3－2|12＋1222所以d 2＝，所以z min ＝＋1＝.121232。

§7.2　一元二次不等式及其解法考情考向分析　以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b 2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a >0)的图象方程ax 2＋bx ＋c=0(a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a 没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}Error!{x |x ∈R }ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示　ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是Error!ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是Error!题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．(　√　)题组二　教材改编2．[P67例1(2)]不等式－x2－2x＋3>0的解集为________________．答案　{x|－3<x<1}解析　原不等式可化为x2＋2x－3<0，得－3<x<1.(－12，13)3．[P71习题T6]若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.答案　－14解析　∵x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，1213∴Error!解得Error!∴a ＋b ＝－14.题组三　易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案　(－4,1)解析　由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0，得－4<x <1.5．函数y ＝ 的定义域为________．1－x x ＋2答案　(－2,1]解析　由≥0⇒－2<x ≤1，1－x x ＋2得函数的定义域为(－2,1]．6．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案　(－2,2]解析　设方程(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＝0，当a ≠2时，由题意得，Error!∴－2<a <2；当a ＝2时，原式化为－4<0，不等式恒成立，∴－2<a ≤2.题型一　一元二次不等式的求解命题点1　不含参的不等式例1 已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝________.答案　(0,2)解析　由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－1<x <2}，B ＝{y |y ＝2x }＝{y |y >0}，∴A ∩B ＝{x |0<x <2}＝(0,2)．命题点2　含参不等式例2 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．解　原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以(x －1)<0.(x －1a )所以当a >1时，解为<x <1；1a当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <.1a综上，当0<a <1时，不等式的解集为Error!；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为Error!.命题点3　分式不等式例3 已知关于x 的不等式<1.(a ＋1)x －3x －1(1)当a ＝1时，解该不等式；(2)当a 为任意实数时，解该不等式．解　(1)当a ＝1时，不等式化为<1，2x －3x －1可得<0，∴1<x <2，x －2x －1∴不等式的解集为{x |1<x <2}．(2)原不等式可化为<0，ax －2x －1可化为(ax －2)(x －1)<0，当a ＝0时，x >1.当a <0时，(x －1)>0，(x －2a )∴x >1或x <.2a当a >0时，(x －1)<0，(x －2a)若>1，即0<a <2时，可得1<x <，2a 2a若＝1，即a ＝2时，x ∈∅，2a若0<<1，即a >2时，<x <1.2a 2a综上，当a <0时，原不等式的解集为Error!，当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x >1}，当0<a <2时，原不等式的解集为Error!，当a ＝2时，原不等式的解集为∅，当a >2时，原不等式的解集为Error!.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 解不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )．解　原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－，x 2＝.a 4a 3当a >0时，不等式的解集为∪；(－∞，－a 4)(a 3，＋∞)当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为∪.(－∞，a 3)(－a 4，＋∞)题型二　三个“二次”的关系例4 (1)已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<m 的解集为(n ，n ＋10)，求实数m 的值．解　由已知可得Δ＝b 2－8c ＝0，∴c ＝，b 28由不等式2x 2＋bx ＋－m <0的解集为(n ，n ＋10)，b 28可得方程2x 2＋bx ＋－m ＝0的两根为n ，n ＋10，b 28∴10＝ ＝，b 24－b 24＋2m 2m ∴m ＝50.(2)已知方程x 2＋ax ＋2＝0的两根都小于－1，求实数a 的取值范围．解　设f(x)＝x2＋ax＋2，2由题意可得Error!解得2<a<3，2∴实数a的取值范围是(2，3)．思维升华一元二次不等式ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2即为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或ax2＋bx＋c<0)的解集的两个端点．跟踪训练2 若α，β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个根，且α<2<β，求实数m的取值范围．解　设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，∵α，β是方程f(x)＝0的根，且α<2<β，∴f(2)<0，∴4＋2(2m－1)＋4－2m<0，∴m<－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．题型三　一元二次不等式恒成立问题命题点1　在R上的恒成立问题例5 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．解　当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立．当m≠0时，则Error!即－4<m<0.综上，－4<m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．命题点2　在给定区间上的恒成立问题例6 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，求实数m的取值范围．解　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m 2＋m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．(x －12)34有以下两种方法：方法一　令g (x )＝m 2＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)34当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <，所以0<m <；6767当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是Error!.方法二　因为x 2－x ＋1＝2＋>0，(x －12)34又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <.6x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m <即可．6x 2－x ＋16(x －12)2＋346767所以m 的取值范围是Error!.引申探究1．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“f (x )<5－m 无解”，如何求m 的取值范围？解　若f (x )<5－m 无解，即f (x )≥5－m 恒成立，即m ≥恒成立，又x ∈[1,3]，6x 2－x ＋1得m ≥6，即m 的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f (x )<5－m 恒成立”改为“存在x ，使f (x )<5－m 成立”，如何求m 的取值范围．解　由题意知f (x )<5－m 有解，即m <有解，则m <max ，6x 2－x ＋1(6x 2－x ＋1)又x ∈[1,3]，得m <6，即m 的取值范围为(－∞，6)．命题点3　给定参数范围的恒成立问题例7 若mx 2－mx －1<0对于m ∈[1,2]恒成立，求实数x 的取值范围．解　设g (m )＝mx 2－mx －1＝(x 2－x )m －1，其图象是直线，当m ∈[1,2]时，图象为一条线段，则Error!即Error!解得<x <，1－321＋32故x 的取值范围为.(1－32，1＋32)思维升华 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练3 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围．解　(1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，即－6≤a ≤2，∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图②，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Error!　即Error!可得Error!　解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即Error!　即Error!可得Error!　∴－7≤a<－6，综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需Error!即Error!66解得x≤－3－或x≥－3＋.∴实数x的取值范围是66(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．1．已知集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |(x ＋1)(x －5)<0}，则A ∩B ＝________.答案　[0,5)解析　由题意得B ＝{x |－1<x <5}，故A ∩B ＝{x |x ≥0}∩{x |－1<x <5}＝[0,5)．2．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为________．答案　Error!解析　∵不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－1,2，且a <0，即Error!解得Error!则所求不等式可化为2x 2＋x －1>0，解得x <－1或x >.123．(2018·江苏省南京市秦淮中学模拟)不等式≥1的解集为________．1－2x x ＋3答案　(－3，－23]解析　不等式≥1⇔≤0⇔(3x ＋2)(x ＋3)≤0且x ≠－3⇔－3<x ≤－，即不等式的1－2x x ＋33x ＋2x ＋323解集为.(－3，－23]4．若存在实数x ∈[2,4]，使x 2－2x ＋5－m <0成立，则m 的取值范围为________．答案　(5，＋∞)解析　m >x 2－2x ＋5，设f (x )＝x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4，x ∈[2,4]，当x ＝2时f (x )min ＝5，∃x ∈[2,4]使x 2－2x ＋5－m <0成立，即m >f (x )min ，∴m >5.5．已知x 2＋px ＋q <0的解集为Error!，则不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为________．解析　∵x 2＋px ＋q <0的解集为Error!，∴－，是方程x 2＋px ＋q ＝0的两实数根，1213则Error!解得Error!∴不等式qx 2＋px ＋1>0可化为－x 2＋x ＋1>0，1616即x 2－x －6<0，解得－2<x <3，∴不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}．6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品售价每提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为________元．(填符合要求的区间)答案　(12,16)解析　设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．7．不等式x 2－2ax －3a 2<0(a >0)的解集为________．答案　{x |－a <x <3a }解析　x 2－2ax －3a 2<0⇔(x －3a )(x ＋a )<0，∵a >0，∴－a <3a ，不等式的解集为{x |－a <x <3a }．8．已知函数f (x )＝Error!则不等式f (f (x ))≤3的解集为________．解析　当x ＝0时，f (f (x ))＝f (0)＝0≤3，当x >0时，f (f (x ))＝f (－x 2)＝(－x 2)2－2x 2≤3，即(x 2－3)(x 2＋1)≤0，解得0<x ≤；3当－2<x <0时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝(x 2＋2x )2＋2(x 2＋2x )≤3，即(x 2＋2x －1)(x 2＋2x ＋3)≤0，即－2<x <0；当x ≤－2时，f (f (x ))＝f (x 2＋2x )＝－(x 2＋2x )2≤3，解得x ≤－2.综上，不等式的解集为{x |x ≤}．39．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为{x |m <x <m ＋6}，则实数c 的值为________．答案　9解析　由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b＝2＋b －.(x ＋a 2)a 24∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －＝0，即b ＝，a 24a 24∴f (x )＝2.(x ＋a 2)∵f (x )<c ，∴2<c ，即－－<x <－＋.(x ＋a 2)a 2c a 2c ∴Error!②－①得，2＝6，∴c ＝9.c 10．若不等式x 2＋ax ＋4≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值范围为________．答案　[－5，＋∞)(x＋4x)解析　由题意，分离参数后得，a≥－.(x＋4x)设f(x)＝－，x∈(0,1]，则只要a≥[f(x)]max即可．由于函数f(x)在区间(0,1]上单调递增，所以[f(x)]max＝f(1)＝－5，故a≥－5.11．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.(1)解关于a的不等式f(1)>0；(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．解　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，33即a2－6a－3<0，解得3－2<a<3＋2.33∴原不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}．(2)∵f(x)>b的解集为(－1,3)，∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，∴Error!解得Error!12．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．(1)求f(x)的解析式；(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，∴0和5是方程2x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则Error!∴b ＝－10，c ＝0，f (x )＝2x 2－10x .(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )＋t ≤2恒成立等价于2x 2－10x ＋t －2≤0恒成立，∴2x 2－10x ＋t －2在x ∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.设g (x )＝2x 2－10x ＋t －2，x ∈[－1,1]，则由二次函数的图象(图略)可知g (x )＝2x 2－10x ＋t －2在区间[－1,1]上为减函数，∴g (x )max ＝g (－1)＝10＋t ，∴10＋t ≤0，即t ≤－10.即实数t 的取值范围是(－∞，－10]．13．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是________．答案　(－235，＋∞)解析　方法一　设f (x )＝x 2＋ax －2，由Δ＝a 2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为f (0)＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，函数f (x )图象的示意图如图．所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－.235方法二　因为不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，所以a >－x 在区间[1,5]上有解，2x因为函数y ＝和y ＝－x 在区间[1,5]上单调递减，2x所以－x ∈，所以a >－.2x [－235，1]23514．(2018·苏北三市模拟)已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a >0，则实数a 的取值范围是________．答案　(1,5]解析　设f (x )＝x 2－2(a －2)x ＋a ，当Δ＝4(a －2)2－4a <0，即1<a <4 时，f (x )>0 对x ∈R 恒成立；当a ＝1时，f (－1)＝0，不合题意；当a ＝4时，f (2)＝0 符合题意；当Δ>0 时，由Error!即Error!即4<a ≤5.综上所述，实数a 的取值范围是(1,5]．15．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含1个整数，则a 的取值范围是_____．答案　[－1,3]解析 因为关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0，当a >1时，不等式的解集为{x |1<x <a }，当a <1时，不等式的解集为{x |a <x <1}，当a ＝1时，不等式的解集为∅，要使得解集中至多包含1个整数，则a ＝1或1<a ≤3或－1≤a <1，所以实数a 的取值范围是a ∈[－1,3]．16．设a <0，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，求b －a 的最大值．解　当a <b <0时，∀x ∈(a ，b )，2x ＋b <0，所以(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，可转化为∀x ∈(a ，b )，a ≤－4x 2，所以a ≤－4a 2，所以－≤a <0，14所以0<b －a <；14当a <0<b 时，(4x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，当x ＝0时，(4x 2＋a )(2x ＋b )＝ab <0，不符合题意；当a <0＝b 时，由题意知x ∈(a,0)，(4x 2＋a )2x ≥0恒成立，所以4x 2＋a ≤0，所以－≤a <0，14所以0<b －a ≤.14综上所述，b －a 的最大值为.14。

考试内容等级要求基本不等式C一元二次不等式C线性规划A合情推理与演绎推理B分析法与综合法A反证法A数学归纳法的原理A数学归纳法的简单应用B§7.1　不等关系与不等式考情考向分析　以理解不等式的性质为主，在高考中主要以填空题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合．属低档题．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error! (a，b∈R)(2)作商法Error! (a ∈R ，b >0)2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性a >b ⇔b <a ⇔传递性a >b ，b >c ⇒a >c ⇒可加性a >b ⇔a ＋c >b ＋c ⇔同向可加性Error!⇒a ＋c >b ＋d ⇒Error!⇒ac >bc可乘性Error!⇒ac <bc注意c 的符号同向同正可乘性Error!⇒ac >bd ⇒可乘方性a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n >1)a ，b 同为正数可开方性a >b >0⇒>(n ∈N ，且n a n b n >1)a ，b 同为正数概念方法微思考1．若a >b ，且a 与b 都不为0，则与的大小关系确定吗？1a 1b提示　不确定．若a >b ，ab >0，则<，即若a 与b 同号，则分子相同，分母大的反而小；1a 1b 若a >0>b ，则 >，即正数大于负数．1a 1b 2．两个同向不等式可以相加和相乘吗？提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．(　√　)(2)若>1，则a >b .(　×　)ab(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　×　)(4)a >b >0，c >d >0⇒>.(　√　)a d bc (5)ab >0，a >b ⇔<.(　√　)1a 1b 题组二　教材改编2．[P3练习T1]若a ，b 都是实数，则“－>0”是“a 2－b 2>0”的________条件．a b 答案　充分不必要解析　－>0⇒>⇒a >b ⇒a 2>b 2，a b a b 但由a 2－b 2>0≠－>0.a b 3．[P66练习T1]雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．答案　4.5t <28 000解析　由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t <28 000.题组三　易错自纠4．若a >b >0，c <d <0，则下列一定正确的序号为________．①－>0；②－<0；③>；④<.a c b d a c b d a d b c a d b c 答案　④解析　∵c <d <0，∴0<－d <－c ，又0<b <a ，∴－bd <－ac ，即bd >ac ，又∵cd >0，∴>，即>.bd cd ac cd b c ad当a ＝5，c ＝－5，b ＝4，d ＝－4时，易知①②不正确．5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的____________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案　充分不必要解析　若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”12的充分不必要条件．6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________．π2π2答案　(－π，0)解析　由－<α<，－<－β<，α<β，π2π2π2π2得－π<α－β<0.题型一　比较两个数(式)的大小例1 (1)若a <0，b <0，则p ＝＋与q ＝a ＋b 的大小关系为________．b 2a a 2b 答案　p ≤q解析　(作差法)p －q ＝＋－a －bb 2a a 2b ＝＋＝(b 2－a 2)·b 2－a 2a a 2－b 2b (1a －1b)＝＝，(b 2－a 2)(b －a )ab (b －a )2(b ＋a )ab因为a <0，b <0，所以a ＋b <0，ab >0.若a ＝b ，则p －q ＝0，故p ＝q ；若a ≠b ，则p －q <0，故p <q .综上，p ≤q .(2)若P ＝－，Q ＝－(a >0)，则P ，Q 的大小关系是________．a ＋3a ＋2a ＋2a ＋1答案　P <Q解析　Q －P ＝(－)－(－)a ＋2a ＋1a ＋3a ＋2＝－>0，1a ＋2＋a ＋11a ＋3＋a ＋2所以P <Q .(3)若a ＝，b ＝，c ＝，则a ，b ，c 的大小关系为________．ln 33ln 44ln 55答案　c <b <a解析　方法一　易知a ，b ，c 都是正数，＝＝log 8164<1，b a 3ln 44ln 3所以a >b ；＝＝log 6251 024>1，b c 5ln 44ln 5所以b >c .即c <b <a .方法二　对于函数y ＝f (x )＝，y ′＝，ln x x 1－ln xx 2易知当x >e 时，函数f (x )单调递减．因为e<3<4<5，所以f (3)>f (4)>f (5)，即c <b <a .(4)已知a >b >0，比较a a b b 与a b b a 的大小．解　∵＝＝a －b ，a ab b a b b a a a －b b a －b (a b )又a >b >0，故>1，a －b >0，ab ∴a －b >1，即>1，(a b)a ab ba b b a又a b b a >0，∴a a b b >a b b a ，∴a a b b 与a b b a 的大小关系为a a b b >a b b a .思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法．跟踪训练1 (1)已知p ∈R ，M ＝(2p ＋1)(p －3)，N ＝(p －6)(p ＋3)＋10，则M ，N 的大小关系为________．答案　M >N解析　因为M －N ＝(2p ＋1)(p －3)－[(p －6)(p ＋3)＋10]＝p 2－2p ＋5＝(p －1)2＋4>0，所以M >N .(2)若a >0，且a ≠7，则77a a 和7a a 7的大小关系为________．答案　77a a >7a a 7解析　＝77－a a a －7＝7－a ，77a a 7a a 7(7a)则当a >7时，0<<1,7－a <0，7a 则7－a >1，∴77a a >7a a 7；(7a)当0<a <7时，>1,7－a >0，7a则7－a >1，∴77a a >7a a 7.(7a)综上，77a a >7a a 7.题型二　不等式的性质1．若<<0，则下列不等式：1a 1b①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的不等式有________．(填序号)答案　①④解析　因为<<0，所以b <a <0，a ＋b <0，ab >0，1a 1b 所以a ＋b <ab ，|a |<|b |，在b <a 两边同时乘以b ，因为b <0，所以ab <b 2.因此正确的是①④.2．已知a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么下列不等式中一定成立的是________．(填序号)①ab >ac ；②c (b －a )<0；③cb 2<ab 2；④ac (a －c )>0.答案　①解析　由c <b <a 且ac <0，知c <0且a >0.由b >c ，得ab >ac 一定成立．3．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①>；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c )．c a cb 其中所有正确结论的序号是________．答案　①②③解析　由不等式性质及a >b >1，知<，1a 1b 又c <0，∴>，①正确；c a cb构造函数y＝x c，∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴a c<b c，②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，③正确．思维升华常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．题型三　不等式性质的应用命题点1　应用性质判断不等式是否成立例2 已知a>b>0，给出下列四个不等式：a－b a b①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为________．(填序号)答案　①②③解析　由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；a b∵a>b>0，∴>，a－b a b∴()2－(－)2ab b a b＝2－2b＝2(－)>0，a－b a b∴>－，③成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a 3＋b 3<2a 2b ，④不成立．命题点2　求代数式的取值范围例3 已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案　(－4,2)　(1,18)解析　∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.引申探究1．若将本例条件改为－1<x <y <3，求x －y 的取值范围．解　∵－1<x <3，－1<y <3，∴－3<－y <1，∴－4<x －y <4.又∵x <y ，∴x －y <0，∴－4<x －y <0，故x －y 的取值范围为(－4,0)．2．若将本例条件改为－1<x ＋y <4,2<x －y <3，求3x ＋2y 的取值范围．解　设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则Error!∴Error!即3x ＋2y ＝(x ＋y )＋(x －y )，5212又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－<(x ＋y )<10,1<(x －y )<，52521232∴－<(x ＋y )＋(x －y )<，325212232即－<3x ＋2y <，32232∴3x ＋2y 的取值范围为.(－32，232)思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①逐一给出推理判断或反例说明．②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．跟踪训练2 (1)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是________．(填序号)①>； ②a 2<ab ；1a －b 1b③<； ④a n >b n (n ∈N *)．|b ||a ||b |＋1|a |＋1答案　③解析　(特值法)取a ＝－2，b ＝－1，逐个检验，可知①②④项均不正确；③项，<⇔|b |(|a |＋1)<|a |(|b |＋1)⇔|a ||b |＋|b |<|a ||b |＋|a |⇔|b |<|a |，|b ||a ||b |＋1|a |＋1∵a <b <0，∴|b |<|a |成立，故填③.(2)设a >b >c >0，x ＝，y ＝，z ＝，则x ，y ，z 的大小关a 2＋(b ＋c )2b 2＋(c ＋a )2c 2＋(a ＋b )2系是________．(用“>”连接)答案　z >y >x解析　方法一　由题易知，x >0，y >0，z >0，又y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二　令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝，y ＝，1820z ＝，故z >y >x .261．下列命题中，正确的序号是________．①若a >b ，c >d ，则ac >bd ；②若ac >bc ，则a >b ；③若<，则a <b ；a c 2b c2④若a >b ，c >d ，则a －c >b －d .答案　③解析　①取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知①错误；②当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以②错误；③因为<，所以c ≠0，a c 2b c2又c 2>0，所以a <b ，③正确；④取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知④错误，故填③.2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是________．答案　f (x )>g (x )解析　f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，则f (x )>g (x )．3．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ；(1＋1a )②log a (1＋a )>log a ；(1＋1a)③a 1＋a < ；11a a +④a 1＋a >.11a a +其中正确的不等式是________．(填序号)答案　②④解析　当0<a <1时，函数y ＝log a x 与y ＝a x 均为(0，＋∞)上的减函数．∵0<a <1，∴1＋a <1＋，∴②④正确．1a4．若6<a <10，≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是________．a 2答案　(9,30)解析　∵c ＝a ＋b ≤3a 且c ＝a ＋b ≥，3a 2∴9<≤a ＋b ≤3a <30.3a 25．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s ，t 的大小关系为________．答案　t ≤s解析　s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t .6．若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是________．π2π2答案　(－3π2，π2)解析 ∵－<α<，∴－π<2α<π.π2π2∵－<β<，∴－<－β<，π2π2π2π2∴－<2α－β<.3π23π2又α－β<0，α<，∴2α－β<.π2π2∴－<2α－β<.3π2π27．已知a ＋b >0，则＋与＋的大小关系是________．a b 2b a 21a 1b答案　＋≥＋a b 2b a 21a 1b解析　＋－＝＋a b 2b a 2(1a ＋1b )a －b b 2b －a a 2＝(a －b )·＝.(1b 2－1a 2)(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴≥0.(a ＋b )(a －b )2a 2b 2∴＋≥＋.a b 2b a 21a 1b8．已知有三个条件：①ac 2>bc 2；②>；③a 2>b 2，其中能成为a >b 的充分条件的是________．a c b c答案　①解析　由ac 2>bc 2可知c 2>0，即a >b ，故“ac 2>bc 2”是“a >b ”的充分条件；②当c <0时，a <b ；③当a <0，b <0时，a <b ，故②③不是a >b 的充分条件．9．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则－>0；c a d b②若ab >0，－>0，则bc －ad >0；c a d b③若bc －ad >0，－>0，则ab >0.c a d b其中正确的命题是________．(填序号)答案　①②③解析　∵ab >0，bc －ad >0，∴－＝>0，∴①正确；c a d b bc －ad ab∵ab >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又－>0，即>0，c a d b bc －ad ab∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．10．设α∈，T 1＝cos(1＋α)，T 2＝cos(1－α)，则T 1与T 2的大小关系为________．(0，12)答案　T 1<T 2解析　T 1－T 2＝(cos 1cos α－sin 1sin α)－(cos 1cos α＋sin 1sin α)＝－2sin 1sin α<0.故T 1<T 2.11．(1)若bc －ad ≥0，bd >0，求证：≤；a ＋b b c ＋d d(2)已知c >a >b >0，求证：>.a c －a b c －b证明　(1)∵bc ≥ad ，bd >0，∴≥，c d a b∴＋1≥＋1，∴≤.c d a b a ＋b b c ＋d d(2)∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.Error!⇒<c a c b⇒Error!⇒>.a c －a b c －b12．已知1<a <4,2<b <8，试求a －b 与的取值范围．a b解　因为1<a <4,2<b <8，所以－8<－b <－2.所以1－8<a －b <4－2，即－7<a －b <2.又因为<<，所以<<＝2，181b 1218a b 42即<<2.18a b13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是________．答案　0<x <2且0<y <2解析　由题意得Error!则Error!由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得Error!或Error!又xy <4，可得Error!14．(2018·江苏无锡天一中学质检)设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f ()，q ＝f，r ＝[f (a )＋ab (a ＋b 2)12f (b )]，则下列关系式中正确的是________．(填序号)①q ＝r <p ；②p ＝r <q ；③q ＝r >p ；④p ＝r >q .答案　②解析　由于b >a >0，所以>>0，a ＋b 2ab 所以ln >ln ，则q >p .a ＋b 2ab 而p ＝ln ＝(ln a ＋ln b )＝r ，故②正确．ab 1215．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是________．(填序号)①a ln b >b ln a ；②a ln b <b ln a ；③a e b <b e a ；④a e b >b e a .答案　②④解析　令y ＝，0<x <1.则y ′＝，可见函数y ＝在(0,1)上单调递增．所以<，②ln x x 1－ln x x 2ln x x ln b b ln a a 正确．令f (x )＝，0<x <1，则f ′(x )＝＝<0，所以函数f (x )＝在(0,1)上单调递e x x x e x －e x x 2(x －1)e x x 2e x x 减，又因为0<b <a <1，所以f (a )<f (b )，即<，所以a e b >b e a ，故②④正确．e a a e b b16．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c <2a ，求的取值范围．c a解　由已知及三角形三边关系得Error!∴Error!∴Error!两式相加，得0<2×<3，∴的取值范围为.c a c a (0，32)。