(完整版)2019届江苏省高考数学二轮复习微专题3.平面向量问题的“基底法”和“坐标法”

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

平面向量常用方法归纳1、基底法 在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.【例1.1】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则__________． 【答案】16- 【解析】方法一：基底法 ()()()1625092-=-+=⋅++⋅+=+⋅+=⋅MC MB MC MB AM AM MC AM MB AM AC AB 方法二：极化恒等式法161004194122-=⋅-=-=⋅BC AM AC AB 【例1.2】已知菱形的边长为2，，点分别在边上，，．若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】方法一：基底法AB AC ⋅=ABCD 120BAD ,E F ,BC DC BE BC DF DC 1AE AF 23CE CF 122356712()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-=-⋅-=+⋅+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=⋅32111321DC BC DC AD BC AB CF CE AF AE μλμλ，()()⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++-∴3111242μλλμλμμλ令μλ+=x ，λμ=y ，则原式可化为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+-3111242x y y x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==6165y x ，65=+∴μλ.方法二：解析法建立如图所示直角坐标系，则：()0,2B ，()3,1C ，()3,1-D ，又 BC BE λ=，DC DF μ=，易得()λλ3,2-E ，()3,12-μF()1224=--+=⋅∴λμμλAF AE ，()32222-=--+=⋅λμμλCF CE ，下同方法一. 65=+∴μλ【练习1.1】已知直角梯形中，//,,,是腰上的动点，则的最小值为____________.【答案】5 【提示】本题仍然推荐基底法和坐标法，可令DC DP λ=，当43=λ时取得最小值5.【练习1.2】如图，△ABC 是边长为32的等边三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上的任意一点，则BP AP ⋅的取值范围是 .【答案】[]13,1 【提示】本题可以使用基底法和极化恒等式两种方法处理，当然也可以使用解析法处理..2、平方法在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律，即22||a a =.【例2.1】设,a b 是两个非零向量，( )A ．若||||||a b a b +=-，则a b ⊥B ．若a b ⊥，则||||||a b a b +=-C ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ，使得b a λ=D ．若存在实数λ，使得b a λ=，则||||||a b a b +=-【答案】CABCD AD BC 090ADC ∠=2,1AD BC ==P DC 3PA PB +C AB P【解析】方法一：平方法 对式子||||||b a b a -=+进行两边平方处理， 易得：1,cos -=b a ，即向量a 与b 反向，而“存在实数λ，使得b a λ=”表示向量a 与b 共线，故选项C 正确.方法二：三角不等式由三角不等式||||||||b a b a +≤-等号成立的条件是向量a 与b 反向，下同方法一.【例2.2】11. 如图，在△ABC 中，3BAC π∠=，D 为AB 的中点，P 为CD 上一点，且满足AP t AC =13AB +，若△ABC 的面积为332，则||AP 的最小值为 【答案】2【解析】由AP t AC =13AB +，点D 为AB 的中点，易得： AD AC t AP 32+=，又P D C 、、 三点共线，31=∴t ， AB AC AP 3131+=∴， 则A AC AB AB AC AB AC AP cos ||||2313131||222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=，又233sin ||||21==∆A AC AB S ABC ，∴6||||=AC AB ，2||=≥=∴AP ， 当且仅当6||||==AC AB 时取等号.【练习2.1】设12,e e 为单位向量，非零向量12,,b xe ye x y R =+∈.若12,e e 的夹角为6π，则||||x b 的最大值等于__________．【答案】2【提示】平方法转化成二次函数最值问题，数形结合也可处理.【练习2.2】设为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数，||b ta +的最小值为1（ ）A.若确定，则||a |唯一确定B.若确定，则||b 唯一确定C.若||a 确定，则唯一确定D.若||b 确定，则唯一确定【答案】B【提示】平方法转化成一次二此不等式恒成立问题，或使用数形结合方法处理.3、投影法 平面向量数量积（点乘）：||||cos ,a b a b a b ⋅=<>θt θθθθ③b 在a 上的投影是||cos ,.b a b <>④投影有正有负，正负代表投影的位置.【例3.1】如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB 是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】C【解析】i AP 在向量AB 上的投影有三种情况，分别是52 AP AP 、的投影是0，1AP ，3AP ，6AP 的投影是1，4AP ，7AP的投影是2， 所以共有三个不同的结果，故选C.【例3.2】如图，在等腰直角ABO ∆中，1,OA OB C ==为AB 上靠近点A 的四等分点，过C 作AB 的垂线l ，P 为垂线上任一点，设,,OA a OB b OP p ===，则()p b a -等于( ) A ．12- B. 12 C ．32- D. 32【答案】A【提示】投影法(1,2,,7)i P i =(1,2,,7)i AB AP i ⋅=()2||41||||41AB AB AB AB OP a b p -=⋅-=⋅=-⋅， 又ABO ∆ 是等腰直角三角形，且1==OB OA ，2||=∴AB ，∴()21||412-=-=-⋅AB a b p .【练习3.1】已知，是平面单位向量，且．若平面向量满足，则 ． 【答案】332 【提示】方法一：投影法由题意知1||||21==e e ，又121=⋅=⋅e b e b ，由向量数量积的几何意义，可知b 在1e 与2e 上的投影均为1，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 则向量b 如图所示，由几何关系易得332||=b 方法二：坐标法1e 2e 1212e e ⋅=b 121b e b e ⋅=⋅=b =建立如图所示的直角坐标系，设()y x b ,= 易得：()0,11=e ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=23,212e ，121=⋅=⋅b e b e ，可得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=12321y x x ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==331y x ， 332||=∴b 方法三：数形结合121=⋅=⋅b e b e ，01cos ||||cos ||||2211>==∴θθe b e b ，21θθ=∴，又2121=⋅e e ，3,21π=e e ， 621πθθ==∴或65π（舍） 代回已知11=⋅e b ，易得332||=b 【练习3.2】在ABC 中，5BC =，G ，O 分别为ABC 的重心和外心，且5OG BC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．上述三种情况都有可能【答案】B【提示】方法一利用重心和外心的性质，利用投影的思想来处理5=⋅BC OG 这个条件，方法二利用基底代换，把条件5=⋅BC OG 转化为余弦定理形式来判断C ∠为钝角.4、坐标法 几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。

微专题3 平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1 如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上．若BE →＝λBC →，D F →＝19λDC →，则 AE →·A F →的最小值为________．(例1)变式1 在△ABC 中，已知AB ＝10，AC ＝15，∠BAC ＝π3，点M 是边AB 的中点，点N 在直线AC 上，且AC →＝3AN →，直线CM 与BN 相交于点P ，则线段AP 的长为________．变式2若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为________．处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点二：“坐标运算”．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．1. 设E ，F 分别是Rt △ABC 的斜边BC 上的两个三等分点，已知AB ＝3，AC ＝6，则AE →·A F→＝________．2. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·A F →＝2，则AE →·B F →＝________．3. 如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE→＝3332，则AB 的长为________．(第2题) (第3题) (第4题) 4. 如图，在2×4的方格纸中，若a 和b 是起点和终点均在格点上的向量，则向量2a ＋b 与a －b 夹角的余弦值是________．5. 已知向量OA →与OB →的夹角为60°，且|OA →|＝3，|OB →|＝2，若OC →＝mOA →＋nOB →，且OC→⊥AB →，则实数m n＝________． 6. 已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足AQ →＝23AP →＋13AC →，则|BQ →|的最小值是________． 7. 如图，在Rt △ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP →＝12PC →，点M ，N 在过点P 的直线上，若AM →＝λAB →，AN →＝μAC →，λ，μ>0，则λ＋2μ的最小值为________．(第7题) (第8题) (第9题) 8. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点．若BE→＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________．9. 如图，在直角梯形ABCD 中，若AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，则1m ＋1n的最小值为________． 10. 已知三点A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)，P 为平面ABC 上的一点，AP →＝λAB →＋μAC→且AP →·AB →＝0，AP →·AC →＝3.(1) 求AB →·AC →的值；(2) 求λ＋μ的值．微专题。

思路探寻2考点透视= OA ∙ AB + CA2= OA ∙()AO + OB + CA 2= CA 2- OA 2+ OA ∙ OB = CA 2- OA 2= CA 2-1,当CA =2时， OC ∙ AB + CA ∙CB 取得最大值为3.首先根据三角形和外接圆的特点选择 OA 、OB 作为基底，并结合已知条件求出基底 OA 、OB 的数量积；然后用基底 OA 、 OB 表示出 OC 、 AB 、 CA 、CB，并根据向量的数量积公式求解.图3图4例3.如图4，在等腰直角△ABC 中，AC =2,点M 为线段AB 上的动点(包含端点)，点D 为AC 的中点，将AC 绕点D 旋转到EF ，则 ME ∙MF 的最小值为_____.解：连接MD ，则 ME ∙ MF =() MD + DE ∙()MD + ED =||MD 2-|| DE 2,当MD ⊥AB 时，MD 最小，即||MDmin=，由|| DE 2=1，可得 ME ∙ MF 最小值为-12.解答本题，需以 MD 、DE 为基底，并用基底表示出平面向量 ME 、MF ，将问题转化为求|| MD min.再结合图形的特点，确定|| MD 取最小值时的情形，即可解题.三、利用投影法运用投影法求解平面向量数量积问题，需根据平面向量数量积的几何意义，构造出相应的几何图形，通过研究几何图形中的垂直、平行等关系，确定向量投影之间的关系，从而求得平面向量的数量积.运用投影法解题，需熟练掌握并运用向量数量积的几何意义、模长公式、余弦函数的性质.例4.若在菱形ABCD 中，AC =4,则 CA ∙AB =______.解：如图5所示，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴2AO =AC =4，且AC ⊥BO ，∴||AB cos ∠CAB =AO =2，∴CA ∙ AB =-|| AC ∙|| AB cos ∠CAB =-8.根据题意画出图形，通过观察图形，可以确定AB在CA 方向上的投影即为|| A O ，于是连接BD ，根据菱形的性质：对角线互相垂直，构造出直角三角形，即可通过解直角三角形求出投影||A O 的长度，从而利用射影法求得 CA ∙AB 数量积的大小.图5图6例5.在△ABC 中，∠ABC =π3,点O 是△ABC 的外心， BA ∙ BO =2, BC ∙ BO =4,则 BA ∙ BC =______.解：如图6所示，设AB ，BC 中点分别为D ，E ，连接OD ，OE ，则OD ⊥AB ，OE ⊥BC ,由 BA ∙BO =2，可得|| BA ∙|| BO cos ∠OBD =12||BA ∙|| BA =2，故||BA =2，由 BC ∙BO =4，可得|| BC ∙|| BO cos ∠OBE =12|| BC ∙|| BC =4,故||BC =22,所以 BA ∙ BC =|| BA ∙||BC cos ∠ABC =22.要求 BA 、 BC 的数量积，需求出向量 BA 、BC 的模长，于是根据 BO 及其在 BA 、BC 上的投影关系，分别求得|| BA 、||BC 的大小，就能根据射影法顺利求出目标向量数量积的大小.相比较而言，坐标法比较常用，且解题过程较为简单；射影法比较灵活，但通常很难想到.无论运用哪种方法，都需熟练掌握并运用平面向量的数量积公式及其几何意义、向量运算法则及其几何意义，根据已知条件和解题需求，选用合适的方法进行求解.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）50。

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微专题3平面向量问题的“基底法”与“坐标法”例1如图,在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC,AB＝2，BC＝1,∠ABC＝60°，动点E和F 分别在线段BC和DC上．若错误!＝λ错误!，错误!＝错误!错误!,则错误!·错误!的最小值为________．（例1）变式1在△ABC中,已知AB＝10，AC＝15，∠BAC＝π3，点M是边AB的中点，点N在直线AC上，且错误!＝3错误!,直线CM与BN相交于点P，则线段AP的长为________．变式2若a，b,c均为单位向量，且a·b＝0,(a－c）·（b－c）≤0，则|a＋b－c|的最大值为________．处理平面向量问题一般可以从两个角度进行：切入点一：“恰当选择基底”．用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底,再用该基底表示向量，其实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算和数乘运算．切入点二:“坐标运算"．坐标运算能把学生从复杂的化简中解放出来，快速简捷地达成解题的目标．对于条件中包含向量夹角与长度的问题，都可以考虑建立适当的坐标系，应用坐标法来统一表示向量，达到转化问题，简单求解的目的．1。

第3讲 平面向量[考情考向分析] 1.江苏高考对平面向量侧重基本概念与基本计算的考查．重点是向量的数量积运算.2.向量作为工具，常与三角函数、数列、解析几何等结合，考查向量的综合运用．解题时要注意解析法和转化思想的渗透．热点一 平面向量的线性运算例1 (1)如图，在△ABC 中，AD →＝13AB →，DE ∥BC 交AC 于点E ，BC 边上的中线AM 交DE 于点N ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用a ，b 表示向量AN →，则AN →＝____________.答案 16(a ＋b )解析 因为DE ∥BC ，所以DN ∥BM ， 则△AND ∽△AMB ，所以AN AM ＝ADAB.因为AD →＝13AB →，所以AN →＝13AM →.因为M 为BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(a ＋b )，所以AN →＝13AM →＝16(a ＋b )．(2)(2018·江苏启东中学模拟)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，点E 是BC 的中点．若AC →＝xAE →＋yAD →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的值为________．答案 54解析 由题意得，AE →＝12(AC →＋AB →)＝12(AC →＋3DC →)＝12(AC →＋3AC →－3AD →)＝2AC →－32AD →， ∴AC →＝12AE →＋34AD →，故x ＋y ＝12＋34＝54.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意向量共线定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1 (1)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________． 答案 12解析 由∠AOC ＝135°知，点C 在直线y ＝－x (x <0)上， 设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，∵OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，∴有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)， 得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消去a 得λ＝12.(2)如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E ，F 两点，且交对角线AC 于点K ，其中，AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________．答案 29解析 ∵AE →＝25AB →，AF →＝12AD →，∴AB →＝52AE →，AD →＝2AF →.由向量加法的平行四边形法则可知，AC →＝AB →＋AD →， ∴AK →＝λAC →＝λ(AB →＋AD →) ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫52AE →＋2AF →＝52λAE →＋2λAF →，由E ，F ，K 三点共线，得52λ＋2λ＝1，可得λ＝29.热点二 平面向量的数量积例2 (1)(2018·江苏兴化一中模拟)在△ABC 中，点D ，E 分别在线段AC ，BC 上，AD →·BE →＝AB →·DE →，若AE ，BD 相交于点F ，且|BF →|＝3，则BE →·BF →＝________. 答案 3解析 如图，由已知，得AD →·BE →－AB →·DE →＝0，∴(AB →＋BD →)·BE →－AB →·(DB →＋BE →)＝0， ∴BD →·BE →－AB →·DB →＝0，∴BD →·(BE →＋AB →)＝0，即BD →·AE →＝0，∴BD ⊥AE ，在Rt△BEF 中，BE →·BF →＝|BF →|2＝3.(2)(2018·江苏扬州中学模拟)如图，已知AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，M 为BC 的中点，D 为以AC 为直径的圆上一动点，则AM →·DC →的最小值是________．答案 8－4 5解析 以AC 的中点O 为原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－2,0)，C (2，0)，O (0,0)，M (2，－2)，设D (2cos α，2sin α)， ∴AM →＝(4，－2)， DC →＝(2－2cos α，－2sin α)，∴AM →·DC →＝4×(2－2cos α)＋4sin α ＝8＋45sin(α－θ)，其中tan θ＝2，∵sin(α－θ)∈[－1,1]，∴(AM →·DC →)min ＝8－4 5.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算、数量积的几何意义，特别要注意向量坐标法的运用．(2)求解几何图形中的数量积问题，把向量分解转化成已知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算，也是一种较为简捷的方法．跟踪演练2 (1)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝________.答案 32解析 方法一 设AB →＝4a ，AD →＝3b ， 其中|a |＝|b |＝1， 则DC →＝2a ，AM →＝2b .由AC →·BM →＝(AD →＋DC →)·(BA →＋AM →)＝－3， 得(3b ＋2a )·(2b －4a )＝－3， 化简得a ·b ＝18，所以AB →·AD →＝12a ·b ＝32.方法二 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (4,0)，设D (3cos α，3sin α)，则C (3cos α＋2,3sin α)，M (2cos α，2sin α)． 由AC →·BM →＝－3，得(3cos α＋2,3sin α)·(2cos α－4,2sin α)＝－3， 化简得cos α＝18，所以AB →·AD →＝12cos α＝32.(2)如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，若向量AM →＝14AB →＋mAC →，且AM →的终点M 在△ACD 的内部(不含边界)，则AM →·BM →的取值范围是________．答案 (－2,6)解析 AM →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋mAC →(BA →＋AM →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋mAC →⎝ ⎛⎭⎪⎫－34AB →＋m ·AC → ＝－316×16＋16m 2＝16m 2－3，由平行四边形法则可得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34， 所以AM →·BM →的取值范围是(－2,6)． 热点三 平面向量的综合问题例3 (1)已知正实数x ，y 满足向量a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2，1)共线，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，32，且a ·(a－c )≥0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174 解析 由a ＝(x ＋y,2)，b ＝(xy －2,1)共线得x ＋y ＝2(xy －2)， 则x ＋y ＋4＝2xy ≤(x ＋y )22，即(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0， 当且仅当x ＝y 时等号成立． 又由x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4. 不等式a ·(a －c )≥0， 即a 2≥a ·c ，所以(x ＋y )2＋4≥m (x ＋y )＋3，即(x ＋y )2－m (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4， 则t 2－mt ＋1≥0，t ∈[4，＋∞)．(*) 对于方程t 2－mt ＋1＝0，当Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2时，(*)式恒成立；当m <－2时，相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m 2<－1，(*)式恒成立；当m >2时，由相应二次函数y ＝t 2－mt ＋1的对称轴t ＝m2<4，且16－4m ＋1≥0，得2<m ≤174.综上可得，当m ≤174时，(*)式恒成立，则实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174. (2)在△ABC 中，若BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，则sin A sin C 的值为________．答案2解析 方法一 由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →，得2bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＋ac ×a 2＋c 2－b 22ac＝ab ×a 2＋b 2－c 22ab，化简可得a ＝2c .由正弦定理得sin A sin C ＝ac＝ 2.方法二 作AO ⊥BC ，以O 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)， 所以AC →＝(c ，－a )， AB →＝(b ，－a )，BC →＝(c －b,0)，BA →＝(－b ，a )，CA →＝(－c ，a )，CB →＝(b －c,0)，则由BC →·BA →＋2AC →·AB →＝CA →·CB →， 得b 2＋2cb ＋2a 2－c 2＝0，所以b 2－2cb ＋c 2＝(c －b )2＝2(a 2＋b 2)， 所以BC ＝2AB .由正弦定理得sin A sin C ＝BCAB＝ 2.思维升华 向量和三角函数、解析几何、不等式等知识的交汇是高考的热点，解决此类问题的关键是从知识背景出发，脱去向量外衣，回归到所要考查的知识方法．跟踪演练3 (1)若向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，且|a ＋b |≤2a ·b ，则cos(α－β)的值是________． 答案 1解析 因为|a ＋b |≤2a ·b ，所以(cos α＋cos β)2＋(sin α＋sin β)2≤2cos(α－β)， 且cos(α－β)≥0，所以2＋2cos(α－β)≤4cos 2(α－β)， 2cos 2(α－β)－cos(α－β)－1≥0，所以cos(α－β)≥1或cos(α－β)≤－12(舍去)，所以cos(α－β)＝1.(2)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 解析 令Q (c ，d )，由新的运算，可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ，12sin x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，12sin x ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x ，得d ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －π6，∴y ＝f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.1．(2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA→＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．答案 78解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，则 BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点， 则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b . AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a －23b＝－29a 2－29b 2＋59a ·b＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1，可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56a ＋16b ⎝ ⎛⎭⎪⎫16a －56b＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.2．(2017·江苏)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1,1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案 3解析 如图，设OD →＝mOA →，DC →＝nOB →，则在△ODC 中，有OD ＝m ，DC ＝n ，OC ＝2，∠OCD ＝45°，由tan α＝7，得cos α＝210， 又由余弦定理知，⎩⎨⎧m 2＝n 2＋(2)2－22n cos 45°，n 2＝m 2＋(2)2－22m cos α，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝2－2n ， ①n 2－m 2＝2－25m ， ②①＋②得4－2n －25m ＝0，即m ＝10－5n ，代入①得12n 2－49n ＋49＝0， 解得n ＝74或n ＝73，当n ＝73时，m ＝10－5×73＝－53<0(舍去)，当n ＝74时，m ＝10－5×74＝54，故m ＋n ＝54＋74＝3.3．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.2解析 由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.4．(2018·扬州树人学校模拟)在△ABC 中，AH 是底边BC 上的高，点G 是三角形的重心，若AB ＝2，AC ＝4，∠BAH ＝30°，则(AH →＋BC →)·AG →＝________.答案 6解析 如图，在△ABC 中，AH 是底边BC 上的高，AB ＝2，∠BAH ＝30°，∴AH ＝ 3.由题意得BC →＝AC →－AB →.∵点G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)．∴BC →·AG →＝(AC →－AB →)·13(AB →＋AC →)＝13(AC →2－AB →2)＝4. 又AH →·AG →＝|AH →||AG →|cos∠DAH ＝|AH →|×|AG →|×|AH →||AD →|＝|AH →|×|AG →|×|AH →|32|AG →|＝23|AH →|2＝2. ∴(AH →＋BC →)·AG →＝AH →·AG →＋BC →·AG → ＝2＋4＝6.5．(2018·江苏盐城中学模拟)在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB→|AB →|＋AC →|AC →|，则△PBC 面积的最小值为________．2解析 以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0，C (0，t )，∵AP →＝4AB→|AB →|＋AC →|AC →|＝(4,0)＋(0,1)＝(4,1)，∴P (4,1)． 又|BC →|＝t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，BC 的方程为tx ＋y t ＝1， ∴点P 到直线BC 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2，∴△PBC 的面积为S ＝12·BC ·d＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，∴△PBC 面积的最小值为32.6．(2017·江苏)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ， ∴3sin x ＋3cos x ＝0，∴23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0，∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤7π6，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.A 组 专题通关1．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝________. 答案 1解析 由|a ＋b |＝10，得|a ＋b |2＝10， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝10.①又|a －b |＝6，所以a 2－2a ·b ＋b 2＝6，② 由①－②，得4a ·b ＝4，则a ·b ＝1.2．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＋y ＝________. 答案 13解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16，∴x ＋y ＝13.3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a ，c 的夹角大小为________． 答案 120°解析 设a 与c 的夹角为θ，∵a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，则b ＝－2a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52，∴a ·c ＝－52.∴cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525·5＝－12， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.4．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________． 答案 －3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)， ∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.5．(2018·淮安模拟)如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点．若CE ⊥AD ，垂足为E ，则EB →·EC →的值为________．答案 －277解析 EB →·EC →＝(EA →＋AB →)·EC →＝AB →·EC → ＝(AD →＋DB →)·EC →＝CD →·EC →＝－EC →2， 由余弦定理，得BC ＝9＋4－2×3×2×cos 120°＝19， 得cos C ＝4＋19－9419＝7219，AD ＝72，S △ACD ＝334， 所以CE ＝337，所以EB →·EC →＝－277.6．在△ABC 中，已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →，则cos C 的最小值是________． 答案23解析 已知AB →·AC →＋2BA →·BC →＝3CA →·CB →， 可得bc cos A ＋2ac cos B ＝3ab cos C ，由余弦定理得a 2＋2b 2＝3c 2，由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝23a 2＋13b22ab ≥23，当b ＝2a 时取到等号，故cos C 的最小值为23. 7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则k 的值为________． 答案 54解析 因为e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量， 所以e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝cos 2π3＝－12，又a ·b ＝0，所以(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0， 即k －12－2＋(－2k )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，解得k ＝54.8．(2018·南通模拟)在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝4，且AB →·AC →＝12，设P 是平面ABC 上的一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是________． 答案 －658解析 由AB ＝5，AC ＝4，且AB →·AC →＝12，得cos A ＝35，如图，以A 为坐标原点，AC所在直线为x 轴建立直角坐标系，则C (4,0)，B (3,4)， 设点P 的坐标为P (x ，y )，则PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，－y )·(7－2x,4－2y ) ＝2x 2－7x ＋2y 2－4y＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －742＋2(y －1)2－658，即PA →·(PB →＋PC →)的最小值是－658.9．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a －b |＝|a ＋2b |，求β－α的值． 解 因为|2a －b |＝|a ＋2b |， 所以|2a －b |2＝|a ＋2b |2，所以8a ·b ＝3(|a |2－|b |2)＝0，所以a ·b ＝0. 又因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)， 所以a ·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(β－α)＝0， 因为0<α<β<π，所以β－α＝π2.10．(2018·苏北六市调研)在平面直角坐标系xOy 中，设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)若|a ＋b |＝|c |，求sin(α－β)的值；(2)设α＝5π6，0<β<π，且a ∥(b ＋c )，求β的值．解 (1)因为a ＝(cos α，sin α)，b ＝(－sin β，cos β)，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32， 所以|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ·b ＝－cos αsin β＋sin αcos β＝sin(α－β)． 因为|a ＋b |＝|c |，所以|a ＋b |2＝c 2， 即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，所以1＋2sin(α－β)＋1＝1，即sin(α－β)＝－12.(2)因为α＝5π6，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12.故b ＋c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin β－12，cos β＋32.因为a ∥(b ＋c )， 所以－32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos β＋32－12⎝⎛⎭⎪⎫－sin β－12＝0. 化简得，12sin β－32cos β＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝12. 因为0<β<π，所以－π3<β－π3<2π3.所以β－π3＝π6，即β＝π2.B 组 能力提高11．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，角A 的角平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的值为________． 答案 58解析 可设AB 的中点为D ，根据条件AO 为∠BAC 的角平分线，从而可得AO →＝k 2AB →＋k 3AC →，k >0.又D ，O ，C 三点共线及D 为AB 的中点， 便可得出AO →＝λ2AB →＋(1－λ)AC →，从而由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝λ2，k3＝1－λ，所以k ＝34，所以x ＋y ＝58.12．(2018·江苏海门中学模拟)如图，在扇形AOB 中，OA ＝4，∠AOB ＝120°，P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ，若OP →·OA →＝8，则OC →·AP →的值为________．答案 4解析 由题意可知，OP →·OA →＝4×4×cos∠AOP ＝8， 则cos∠AOP ＝12，∠AOP ＝60°，结合平面几何知识可得OC ＝PC ＝12OP ，由向量的运算法则可知OC →·AP →＝OC →·(OP →－OA →)＝12OP →·(OP →－OA →)＝12×42－12×8＝4. 13．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解 (1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x ⎝⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22， 即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<5π4， ∴x ＋π4＝7π6，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0， ∴tan 2α＝－35. 14．(2018·江苏泰州中学模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝2π3.(1)求AB →·BC →的值；(2)设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP →＝xAB →＋yAC →，其中x ，y ∈R .求xy 的取值范围．解 (1)AB →·BC →＝AB →·(AC →－AB →) ＝AB →·AC →－|AB →|2＝－12－1＝－32.(2)以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B (1,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设P (cos θ，sin θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，由AP →＝xAB →＋yAC →，得(cos θ，sin θ)＝x (1,0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.所以cos θ＝x －y 2，sin θ＝32y .所以x ＝cos θ＋33sin θ，y ＝233sin θ， xy ＝233sin θcos θ＋23sin 2θ＝33sin 2θ＋13(1－cos 2θ)＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π6＋13.因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，2θ－π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，7π6， 所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π3时，xy 的最大值为1；当2θ－π6＝－π6或2θ－π6＝7π6，即θ＝0或θ＝2π3时，xy 的最小值为0.故xy 的取值范围是[0,1]．。

平面向量A 组——抓牢中档小题1．（2018·南京学情调研）设向量a ＝(1,－4),b ＝（－1,x ），c ＝a ＋3b 。

若a ∥c ，则实数x ＝________. 解析:因为a ＝(1,－4)，b ＝(－1，x )，c ＝a ＋3b ＝（－2，－4＋3x )．又a ∥c ，所以－4＋3x －8＝0，解得x ＝4。

答案：42．(2018·无锡期末）已知向量a ＝(2,1），b ＝(1，－1)，若a －b 与m a ＋b 垂直，则m 的值为________． 解析：因为a ＝（2,1),b ＝(1，－1），所以a －b ＝(1,2)，m a ＋b ＝(2m ＋1,m －1），因为a －b 与m a ＋b 垂直,所以(a －b ）·（m a ＋b ）＝0，即2m ＋1＋2（m －1)＝0，解得m ＝错误!.答案：错误!3．已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________。

解析:由题意知a ＋λb ＝k [－（b －3a ）］， 所以错误!解得错误! 答案:－错误!4．已知｜a |＝1,|b ｜＝错误!，且a ⊥（a －b ），则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：∵a ⊥(a －b)，∴a ·(a －b)＝a 2－a ·b ＝1－错误!cos 〈a,b 〉＝0，∴cos 〈a,b 〉＝错误!，∴〈a,b 〉＝π4。

答案:错误!5．在△ABC 中，O 为△ABC 的重心，AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°，则AO ，―→·错误!＝________。

解析：设BC 边中点为D ，则错误!＝错误! 错误!，错误!＝错误!（错误!＋错误!)，∴ 错误!·错误!＝错误!（错误!＋错误!)·错误!＝错误!×（3×2×cos 60°＋32）＝4.答案:46。

第9讲 平面向量及其应用1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用．复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视．2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等．会用向量解决某些简单的几何问题．1. 在ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a 、b 表示)2.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，则λ＝________.3.若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，则|a －b |＝________.4.已知向量P ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，则|P |的取值范围是________．【例1】 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫1sinx ，－1sinx ，b ＝(2，cos2x)．(1) 若x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？ (2) 若x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3，求函数f(x)＝a·b 的最小值．【例2】 设向量a ＝(4cosα，sinα)，b ＝(sinβ，4cosβ)，c ＝(cosβ，－4sinβ)． (1) 若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2) 求|b ＋c |的最大值；(3) 若tanαtanβ＝16，求证：a ∥b .【例3】 在△ABC 中，已知2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC 2，求角A ，B ，C 的大小．【例4】 已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2) .(1) 若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2) 若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积 .1. (2008·安徽)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.2.(2011·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD →＝________.3.(2011·江苏)已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b＝0，则实数k 的值为________.4.(2011·浙江)若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．5.(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)． (1) 求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2) 设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．6.(2011·陕西)叙述并证明余弦定理．(2010·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1) 设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，若z ∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2) 已知a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b. 解：(1) 由题意：x ＋y ＝(sinB ＋cosB ，sinC ＋cosC)，(1分) ∵ z ∥(x ＋y )，∴ cosB(sinC ＋cosC)＝－cosC(sinB ＋cosB)， ∴ cosBsinC ＋cosCsinB ＝－2cosBcosC ，(3分)∴cosBsinC ＋cosCsinBcosBcosC＝－2，即：tanB ＋tanC ＝－2. (6分) (2) ∵ sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，∴ sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2cosAsinC ，(8分) ∴ sin(A ＋C)＝－2cosAsinC ， 即：sinB ＝－2cosAsinC.(10分) ∴ b ＝－2c·b 2＋c 2－a 22bc ，(12分)∴ －b 2＝b 2＋c 2－a 2，即：a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ， ∴ 2b 2＝8b ，∴ b ＝0(舍去)或4.(14分)向量及其应用1. 已知△ABC 外接圆的圆心为O ，BC>CA>AB ，则OA →·OB →，OA →·OC →，OB →·OC →的大小关系为________．【答案】 OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC → 解析： 0＜∠AOB ＜∠AOC ＜∠BOC ＜π，y ＝cosx 在(0，π)上单调减，∴ cos ∠AOB ＞cos ∠AOC ＞cos ∠BOC,∴ OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →.2. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tanA tanB ＝2c b .(1) 求角A ；(2) 若m ＝(0，－1)，n ＝⎝⎛⎭⎫cosB ，2cos 2C2，试求|m ＋n|的最小值． 解： (1) 1＋tanA tanB ＝2c b 1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinCsinB ，即sinBcosA ＋sinBcosB sinBcosA ＝2sinCsinB ，∴sin (A ＋B )sinBcosA ＝2sinC sinB ，∴ cosA ＝12.∵ 0＜A ＜π， ∴ A ＝π3.(2) m ＋n ＝(cosB,2cos 2C2－1)＝(cosB ，cosC)，∴ |m ＋n|2＝cos 2B ＋cos 2C ＝cos 2B ＋cos 2⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝1－12sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6. ∵ A ＝π3，∴ B ＋C ＝2π3，∴ B ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 从而－π6＜2B －π6＜7π6.∴ 当sin ⎝⎛⎭⎫2B －π6＝1，即B ＝π3时，|m ＋n|2取得最小值12. 所以，|m ＋n|min ＝22. 基础训练1. －14a ＋14b 解析：MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b.2. －0.5 解析：a ＋λb ＝m[－(b －2a )]，则⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝1，λ＝－m λ＝－12.3. 3 解析： |a －b|＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋4－2×1×2×cos π3＝ 3.4. [0,2] 解析：设a 与b 的夹角为θ，则|P|＝1＋1＋2cosθ＝2＋2cosθ(θ∈[0，π])． 例题选讲例1 解：(1) 若a 与b 平行，则有1sinx ·cos2x ＝－1sinx ·2，因为x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，sinx ≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a 与b 不能平行．(2) 由于f(x)＝a·b ＝2sinx ＋－cos2x sinx ＝2－cos2x sinx ＝1＋2sin 2x sinx ＝2sinx ＋1sinx ，又因为x ∈⎝⎛⎦⎤0，π3，所以sinx ∈⎝⎛⎦⎤0，32， 于是2sinx ＋1sinx ≥22sinx·1sinx ＝22，当2sinx ＝1sinx，即sinx ＝22，x ＝π4时取等号，故函数f(x)的最小值等于2 2. 变式训练 已知向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m·n ＝0. (1) 求tanA 的值；(2) 求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域．点拨： 平面向量与三角结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算．解： (1) m·n ＝sinA －2cosA ＝0tanA ＝2.(2) f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝－2⎝⎛⎭⎫sinx －122＋32， ∵ x ∈R, ∴ sinx ∈[－1,1]，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为⎣⎡⎦⎤－3，32. 例2 (1)解：b －2c ＝(sinβ－2cosβ，4cosβ＋8sinβ)，a 与b －2c 垂直，∴ 4cosα(sinβ－2cosβ)＋sinα(4cosβ＋8sinβ)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.(2) 解：b ＋c ＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)，|b ＋c|＝(sinβ＋cosβ)2＋16(cosβ－sinβ)2＝17－15sin2β≤17＋15＝42， |b ＋c|的最大值为4 2.(3) 证明：由tanαtanβ＝16得sinαsinβ＝16cosαcosβ， 即4cosα4cosβ－sinαsinβ＝0，所以a ∥b.变式训练 已知向量a ＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b ＝(1,2)． (1) 若a ∥b ，求tanθ的值；(2) 若|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值．解： (1) 因为a ∥b ，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ， 于是4sinθ＝cosθ，故tanθ＝14.(2) 由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝－22. 又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或3π4.例3 解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bccosA ＝3bc ，所以cosA ＝32，又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由 3|AB →|·|AC →|＝3BC 2得bc ＝3a 2，于是sinC·sinB ＝3sin 2A ， 所以sinC·sin ⎝⎛⎭⎫5π6－C ＝34，sinC·⎝⎛⎭⎫12cosC ＋32sinC ＝34， 因此2sinC·cosC ＋23sin 2C ＝3，sin2C －3cos2C ＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3<2C －π3＜4π3，从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或2π3，故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3.例4 (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ asinA ＝bsinB.即a·a 2R ＝b·b2R，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ，∴ △ABC 为等腰三角形． (2) 解：由题意可知m·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴ a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. ∴ ab ＝4或－1(舍去)，∴ S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3.高考回顾1. (－3，－5) 解析：取A(0,0)则B(2,4)，C(1,3)．由BC →＝AD →得D(－1，－1)．即BD →＝(－3，－5)．2.152 解析：AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·AB →＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos 2π3＝152. 3. 54 解析：a·b ＝0，(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，k －52＋k ＝0，k ＝54. 4. ⎣⎡⎦⎤π6，5π6 解析：|α||β|sinθ＝12，sinθ＝12|β|≥12，又θ∈(0，π)， ∴ θ∈⎣⎡⎦⎤π6，5π6.5. 解：(1)(解法1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)． 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ， 则：E 为B 、C 的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)，故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210； (2) 由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.或者：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3,5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.6. 解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，则有a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ； b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.证明： 如图 a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC 2→－2|AC →||AB →|cosA ＋AB →2＝b 2－2bccosA ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.同理可证b 2＝a 2＋c 2－2accosB ， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.。

2019江苏高考数学二轮练习教学案（祥解）--平面向量及其应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

1.掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用、复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视、2.在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等、会用向量解决某些简单的几何问题、1.ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，那么MN →＝________.(用a 、b 表示)2.设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －2a )共线，那么λ＝________.3.假设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2且a 与b 的夹角为π3，那么|a －b |＝________.4.向量P ＝a |a|＋b|b|，其中a 、b 均为非零向量，那么|P |的取值范围是________、【例1】向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sinx ，－1sinx ，b ＝(2，cos2x)、(1)假设x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，试判断a 与b 能否平行？ (2)假设x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，求函数f(x)＝a ·b 的最小值、【例2】设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)、(1)假设a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)假设tan αtan β＝16，求证：a ∥b .【例3】在△ABC 中，2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|＝3BC 2，求角A ，B ，C 的大小、 【例4】△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2).(1)假设m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)假设m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积.1.(2017·安徽)在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，假设AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，那么BD →＝________.2.(2017·上海)在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，那么AB →·AD →＝________. 3.(2017·江苏)e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，假设a ·b ＝0，那么实数k 的值为________.4.(2017·浙江)假设平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，那么α与β的夹角θ的取值范围是________、5.(2017·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1，－2)、B(2,3)、C(－2，－1)、 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值、 6.(2017·陕西)表达并证明余弦定理、(2017·江苏泰州一模)(本小题总分值14分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.(1)设向量x ＝(sinB ，sinC)，向量y ＝(cosB ，cosC)，向量z ＝(cosB ，－cosC)，假设z ∥(x ＋y )，求tanB ＋tanC 的值；(2)a 2－c 2＝8b ，且sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，求b.解：(1)由题意：x ＋y ＝(sinB ＋cosB ，sinC ＋cosC)，(1分) ∵z ∥(x ＋y )，∴cosB(sinC ＋cosC)＝－cosC(sinB ＋cosB)， ∴cosBsinC ＋cosCsinB ＝－2cosBcosC ，(3分)∴cosBsinC ＋cosCsinB cosBcosC＝－2， 即：tanB ＋tanC ＝－2.(6分) (2)∵sinAcosC ＋3cosAsinC ＝0，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝－2cosAsinC ，(8分) ∴sin(A ＋C)＝－2cosAsinC ， 即：sinB ＝－2cosAsinC.(10分) ∴b ＝－2c ·b 2＋c 2－a 22bc ，(12分) ∴－b 2＝b 2＋c 2－a 2，即：a 2－c 2＝2b 2，又a 2－c 2＝8b ， ∴2b 2＝8b ，∴b ＝0(舍去)或4.(14分)第9讲平面向量及其应用1.△ABC 外接圆的圆心为O ，BC>CA>AB ，那么OA →·OB →，OA →·OC →，OB →·OC →的大小关系为________、 【答案】OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →解析：0＜∠AOB ＜∠AOC ＜∠BOC ＜π，y ＝cosx 在(0，π)上单调减，∴cos ∠AOB ＞cos ∠AOC ＞cos ∠BOC,∴OA →·OB →＞OA →·OC →＞OB →·OC →.2.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且1＋tanA tanB ＝2cb . (1)求角A ；(2)假设m ＝(0，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cosB ，2cos 2C 2，试求|m ＋n|的最小值、 解：(1)1＋tanA tanB ＝2cb1＋sinAcosB sinBcosA ＝2sinC sinB ，即sinBcosA ＋sinBcosB sinBcosA ＝2sinC sinB ， ∴sin A ＋B sinBcosA ＝2sinC sinB ，∴cosA ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)m ＋n ＝(cosB,2cos 2C2－1)＝(cosB ，cosC)，∴|m ＋n|2＝cos 2B ＋cos 2C ＝cos 2B ＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6.∵A ＝π3，∴B ＋C ＝2π3，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3. 从而－π6＜2B －π6＜7π6.∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＝1，即B ＝π3时，|m ＋n|2取得最小值12. 所以，|m ＋n|min ＝22. 基础训练1.－14a ＋14b 解析：MN →＝34(a ＋b )－(a ＋12b )＝－14a ＋14b.2.－0.5解析：a ＋λb ＝m[－(b －2a )]，那么⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝1，λ＝－m λ＝－12.3.3解析：|a －b|＝a 2＋b 2－2a ·b ＝1＋4－2×1×2×cos π3＝ 3.4.[0,2]解析：设a 与b 的夹角为θ，那么|P|＝1＋1＋2cos θ＝2＋2cos θ(θ∈[0，π])、例题选讲例1解：(1)假设a 与b 平行，那么有1sinx ·cos2x ＝－1sinx ·2，因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，sinx ≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a 与b 不能平行、(2)由于f(x)＝a ·b ＝2sinx ＋－cos2x sinx ＝2－cos2x sinx ＝1＋2sin 2x sinx ＝2sinx ＋1sinx ，又因为x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3，所以sinx ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32，于是2sinx ＋1sinx ≥22sinx ·1sinx ＝22，当2sinx＝1sinx ，即sinx ＝22，x ＝π4时取等号，故函数f(x)的最小值等于2 2.变式训练向量m ＝(sinA ，cosA)，n ＝(1，－2)，且m ·n ＝0. (1)求tanA 的值；(2)求函数f(x)＝cos2x ＋tanAsinx(x ∈R )的值域、 点拨：平面向量与三角结合是高考中的一个热点，此题主要考查平面向量数量积的坐标运算、解：(1)m ·n ＝sinA －2cosA ＝0tanA ＝2.(2)f(x)＝cos2x ＋2sinx ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sinx －122＋32， ∵x ∈R,∴sinx ∈[－1,1]，当sinx ＝12时，f(x)取最大值32；当sinx ＝－1时，f(x)取最小值－3.所以函数f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，32.例2(1)解：b －2c ＝(sin β－2cos β，4cos β＋8sin β)，a 与b －2c 垂直，∴4cos α(sin β－2cos β)＋sin α(4cos β＋8sin β)＝0，sin(α＋β)＝2cos(α＋β)，即tan(α＋β)＝2.(2)解：b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c|＝sin β＋cos β2＋16cos β－sin β2＝17－15sin2β≤17＋15＝42，|b ＋c|的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β， 即4cos α4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b.变式训练向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)、 (1)假设a ∥b ，求tan θ的值；(2)假设|a|＝|b|,0＜θ＜π，求θ的值、解：(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5， 所以1－2sin2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1， 于是sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4， 所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4. 因此θ＝π2或3π4.例3解：设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，由2AB →·AC →＝3|AB →|·|AC →|得2bccosA ＝3bc ，所以cosA ＝32， 又A ∈(0，π)，因此A ＝π6.由3|AB →|·|AC →|＝3BC 2得bc ＝3a 2，于是sinC ·sinB ＝3sin 2A ， 所以sinC ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝34，sinC ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cosC ＋32sinC ＝34， 因此2sinC ·cosC ＋23sin 2C ＝3，sin2C －3cos2C ＝0， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π3＝0. 由A ＝π6知0＜C ＜5π6，所以－π3<2C －π3＜4π3， 从而2C －π3＝0或2C －π3＝π，即C ＝π6或2π3， 故A ＝π6，B ＝2π3，C ＝π6或A ＝π6，B ＝π6，C ＝2π3. 例4(1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形、(2)解：由题意可知m ·p ＝0，即a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab ， 由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. ∴ab ＝4或－1(舍去)，∴S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3. 高考回顾1.(－3，－5)解析：取A(0,0)那么B(2,4)，C(1,3)、由BC →＝AD →得D(－1，－1)、即BD →＝(－3，－5)、2.152解析：AB →·AD →＝AB →·(AB →＋BD →)＝AB →·AB →＋AB →·BD →＝32＋3×1×cos 2π3＝152. 3.54解析：a ·b ＝0，(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，k －52＋k ＝0，k ＝54.4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6解析：|α||β|sin θ＝12，sin θ＝12|β|≥12，又θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.5.解：(1)(解法1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)， 那么AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)、 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42、210.(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ， 那么：E 为B 、C 的中点，E(0,1)，又E(0,1)为A 、D 的中点，所以D(1,4)，故所求的两条对角线的长分别为BC ＝42、AD ＝210； (2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t)、 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得：(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115.或者：AB →·OC →＝tOC →2，AB →＝(3,5)，t ＝AB →·OC →|OC →|2＝－115.6.解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍、或：在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，那么有a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ； b 2＝a 2＋c 2－2accosB ； c 2＝a 2＋b 2－2abcosC. 证明：如图a 2＝BC →·BC →＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →) ＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2 ＝AC 2→－2|AC →||AB →|cosA ＋AB →2＝b 2－2bccosA ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.同理可证b 2＝a 2＋c 2－2accosB ， c 2＝a 2＋b 2－2abcosC.。