江苏高考数学二轮复习微专题十一圆锥曲线的方程及几何性质60页PPT

3 (ii)当 λ≠ 时，方程变形 4

x2 y2 ＋ ＝1， 112 112 16λ2－9 16λ2
. － 4 ， 4 其中 x∈ 3 当 0<λ< 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 y 4 轴上的双曲线满足－4≤x≤4 的部分． 3 当 <λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x 4 轴上的椭圆满足－4≤x≤4 的部分． 当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆．
x2 y2 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 2＋ 2＝1a>b>0，半焦 a b a－c＝1 距为 c，则由已知得 ，解得 a＝4，c＝3， a＋c＝7 则 b2＝a2－c2＝7， x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 16 7 |OP|2 2 (Ⅱ)设 M(x，y)，其中 x∈[－4，4]．由已知 2 ＝λ |OM| 9x2＋112 及点 P 在椭圆 C 上可得 ＝λ2， 2 2 16（x ＋y ） 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中 x∈[－4，4]． 3 (i)当 λ＝ 时，化简得 9y2＝112，所以点 M 的轨迹方 4 4 7 程为 y＝± (－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于 x 轴的线 3 段．
【分析】1.解决本题的关键是利用好点 P，M 坐标之 |OP| 间的关系和几何条件 ＝λ，在分析这个关系时注意根 |OM| 据|OP|，|OM|是点 P，M 到坐标原点的距离，对几何条件 OP 便于利用点 P 在椭圆上的条件， ＝λ 的两端进行平方， OM 这样就建立了关于点 M 坐标之间的一个方程，化简整理 就可得出点 M 的轨迹方程．在解答数学试题时，对题目 中的已知条件进行有目的的变换是解决问题的重要技巧 之一．

F1
.
F0 A2 x
其中 a2 b2 c2 , a 0,b c 0 ， F0 , F1, F2 是对应的焦点。 B1
（1）若三角形 F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
（2）若
A1 A
B1B
，求
b a
的取值范围；
解：（1）∵F0（c，0）F1（0， b2 c2 ），F2（0， b2 c2 ）
①；
∵点 P1, P2 在双曲线上，∴点 P1, P2 的坐标适合方程①。
将 (3, 4
2
),
(
9 4
,
5)
分别代入方程①中，得方程组：
(4 2)2 a2
32 b2
25 a2
(
9)2 4 b2
1
1
将
1 a2
和
1 b2
1
看着整体，解得
a2 1
1 16
1
，
b2 9
∴
a 2 b2
16 即双曲线的标准方程为 y2
9
16
x2 9
1。
点评：本题只要解得 a2 ,b2 即可得到双曲线的方程，没有
必要求出 a,b 的值；在求解的过程中也可以用换元思想， 可能会看的更清楚。
(4) 与双曲线 x 2 y 2 1有共同渐近线， 9 16
且过点 (3,2 3) 。
解析：（4）设所求双曲线方程为 x2 y 2 ( 0) ，
3 m
5 n
1
定义，还要知道椭 圆中一些几何要素
所以，椭圆方程为 y2 x2 1 ． 与椭圆方程间的关
10 6
系。
例 2．设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为

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(2)设椭圆方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0 且 m≠n)． ∵椭圆经过 P1、P2 点，将 P1，P2 两点坐标代入椭圆方程， 得63mm＋ ＋n2n＝＝1， 1. 解得 m＝19，n＝13. ∴所求椭圆方程为x92＋y32＝1.
b2 1
消元
一元二次方程
消y
消x
f (x) 0
g( y) 0
y
SABC
1 2
AB
•d
1 SABC 2 OC • y1 y2
B
c
O
x
A
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(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题
解 题
思 路
直线与圆锥曲线联立消元得到一元二次方程
点差法
点的对称性
：
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5、焦点三角y形性质：
高二数学圆锥曲线复习课PPT 课件演示文稿
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（优质）高二数学圆
锥曲线复习课PPT课 件
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二、基础知识点梳理
1、圆锥曲线的定义
椭圆的定义：
双曲线的定义： 圆锥曲线的统一定义（第二定义） ：
l
d . .M F
l d .M .
F
l d.M .
F
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2、圆锥曲线的标准方程
Image (2)（20191·新1课6标全国高考）在平面直角1坐6标系9xOy中，椭圆
C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为 过F1的2直. 线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程2为____．
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【解析】(1)选C.不妨设E（-c,0），F（c,0），则

第 11 讲 │ 圆锥曲线定义、方程与性质
第 11 讲 圆锥曲线定义、方程与性质
第 11 讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．圆锥曲线的统一性 (1)从方程的形式看，在直角坐标系中，椭圆、双曲线和 抛物线这三种曲线的方程都是二元二次的，所以也叫二次曲 线． (2)从点的集合(或轨迹)的观点看，它们都是与定点和定 直线距离的比是常数 e 的点的集合(或轨迹)，这个定点是它 们的焦点，定直线是它们的准线，只是由于离心率 e 取值范 围的不同，而分为椭圆、双曲线和抛物线三种曲线． (3)这三种曲线都可以是由平面截圆锥面得到的截线，因 而才称之为圆锥曲线．
△AOB
的面积
S
＝
1 2
1＋k2 |x1|
1＋k12 |x2| ＝
1＋k22 2 1＋4k2k2＋4.
第 11 讲 │ 要点热点探究
令 1＋k2＝t(t>1)，则 S＝2 4t2＋t92t－9＝2
1 －t92＋9t ＋4.
令
g(t)
＝
－
9 t2
＋
9 t
＋
4
＝
－
9
1t －12
2
＋
25 4
(t>1)
，
第 11 讲 │ 要点热点探究
【解答】 依题意，设双曲线的半焦距为 c，由离心率 e ＝2＝ac，得 c＝2a，b＝ 3a，B(0， 3a)，F(－2a,0)．设 C(x,0)， 故B→C＝(x，－ 3a)，B→F＝(－2a，－ 3a)，由B→C·B→F＝0， 得 x＝32a，所以 C32a，0.
【点评】 本题的“几何味”特别浓，这就为本题 注入了活力．圆锥曲线的有关问题常常与平面几何知 识相结合，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的 重视，也只有这样才能挖掘出丰富 │ 规律技巧提炼

函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代

物线y2＝2x上，求这个三角形的边长． (链接教材P45例2)
[解] 如图，设正三角形 OAB 的顶点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，则 y21＝2x1， y22＝2x2，由 OA＝OB，则 x21＋y21 ＝x22＋y22， ∴x21－x22＋2x1－2x2＝0，
即(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝0， ∵x1>0，x2>0， ∴x1＝x2，即 A、B 关于 x 轴对称．
焦点弦AB长 AB＝x1＋x2＋p AB＝p－x1－x2 AB＝y1＋y2＋p AB＝p－y1－y2
1．圆心在抛物线y2＝2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相 切的圆的方程是___(_x_－__12_)_2＋__(_y_±_1_)2_＝__1____． 2．抛物线y2＝2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5，则线 段AB中点的横坐标是____2____．
线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则四种标准形式下的焦点弦、焦半径公式为：
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
焦半径PF PF＝x0＋p2 PF＝p2－x0 PF＝y0＋p2 PF＝p2－y0
抛物线的焦点弦问题
斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交 于两点A、B，求线段AB的长． (链接教材P46T6) [解] 法一：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线的焦 点坐标为F(1,0)，
所以直线 AB 的方程为 y＝x－1，① 将方程①代入抛物线方程 y2＝4x， 得(x－1)2＝4x. 化简பைடு நூலகம் x2－6x＋1＝0.
本题法一利用传统的基本方法求出A、B两点坐标，再利用两 点间距离公式求出AB的长； 法二充分利用抛物线的定义，把过焦点的这一特殊的弦分成 两个焦半径的和，转化为到准线的距离的和，这是思维产生 质的飞跃的表现．

答案 A
解析 如图所示,抛物线C:y2=4x的焦点坐标为F(1,0),过C上一点M作其准线
的垂线,垂足为N,若∠NMF=120°,可得|MF|=|MN|,∠NFO=∠FNM=30°.
4 3
又由|DF|=2,所以|NF|= 3 ,在等腰三角形
MNF 中,可
4
得|MF|= .
3
设
4
M(x0,y0),根据抛物线的定义,可得|MF|=x0+1=3,解
解析 设椭圆C的左焦点为F1,如图,连接AF1,BF1,因为|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|,
所以四边形AF1BF为平行四边形.
又 AF⊥BF,所以四边形
π
AF1BF 为矩形,所以∠F1AF= ,则
2
|OF1|=|OF|=|OA|=2 3.
由直线 y=
π
3x 可知∠AOF=3,则|AF|=|OF|=|OA|=2
||
p=3.
P 在 x 轴的
突破点二 圆锥曲线的几何性质
命题角度1 圆锥曲线的几何性质
x2 y2
x2 y2
[例 2—1]已知双曲线 C1: 2 − 2 =1(a>0,b>0)以椭圆 C2: + =1 的焦点为顶
4
3
a
b
点,左、右顶点为焦点,则双曲线 C1 的渐近线方程为(
A. 3x±y=0
B.x± 3y=0
.
答案 (1)ACD
(2)4
解析 (1)由题意知,m>0 且 m2-1>0.由已知可得 2 --1=1,解得 m=2 或 m=1(舍去负值),故椭圆
2
C 的方程为 3
2
+ 2 =1.

F(1,0)，
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
题型分类·深度剖析
题型一 圆锥曲线中的范围、最值问题
思维启迪 解析 探究提高
【例 1】 已知抛物线 C：y2＝4x， 过点 A(－1,0)的直线交抛物线 C → ＝λAQ →. 于 P、Q 两点，设AP (1)若点 P 关于 x 轴的对称点为 M，求证：直线 MQ 经过抛物线 C 的焦点 F； 1 1 (2)若 λ∈3，2，求|PQ|的最 大值．
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
基础知识·自主学习
要点梳理
2
难点正本 疑点清源 1.直线和圆锥曲线问题解 法的一般规律
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
“ 联立方程求交点，根 与系数的关系求弦长， 根的分布找范围，曲线 定义不能忘”．
a．Δ > 0 时，直线和圆锥曲线相 交于不同两点； b．Δ ＝ 0 时，直线和圆锥曲线相 切于一点； c．Δ < 0 时，直线和圆锥曲线没 有公共点．
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
1 10 1 当 λ＋ λ ＝ 3 ，即 λ＝3时，|PQ|2 有最大值 4 7 . 3 112 ，|PQ|的最大值为 9
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分

（2） 、已知点 M 到点 F(4,0)的距离比它到直线 l：x＋5＝0 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
解析： 如图， 设点 M 的坐标为(x， y)， 由于点 M 到点 F(4,0) 的距离比它到直线 l：x＋5 ＝0 的距离小 1，则点 M 到点 F(4,0) 的距离与它到直线 l′：x＋4＝0 的距离相等，根据抛物线的定 义可知点 M 的轨迹是以 F 为焦点，直线 l′为准线的抛物线， p 且 ＝4，即 p＝8. ∴点 M 的轨迹方程为 y2＝16x. 2
归纳总结
求轨迹方程时，如果能够准确把握一些曲线的定义，先判断 曲线类型再求方程，往往对解题起到事半功倍的效果．
学以致用
x2 y2 P 是椭圆上任 F2 是椭圆 2＋ 2＝1(a>b>0)的两焦点， (1)F1、 a b 垂足为点 Q， 从任一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂线， 一点， 则点 Q 的轨迹为( A．圆 C．双曲线 ) B．椭圆 D．抛物线
问题探究 探究2： 直线与圆锥曲线的位置关系
例 2、 （1）设直线 l ：y ＝kx ＋1，抛物线 C：y2＝4x，当 k 为何值时，l 与 C 相切、相交、相离.
y＝kx＋1 解析 联立方程组 2 y ＝4x 整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. 当 k≠0 时，方程 k2x2＋(2k－4)x＋1＝0 为一元二次方程． ∴Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ，消去 y，
∵|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6. 又∵动圆过点 A，∴|CM|＝|AM|，则|BM|＋|AM|＝6>4. 根据椭圆的定义知，点 M 的轨迹是以点 B(－2,0) 和点 A(2,0)为 焦点的椭圆，其中，2a＝6,2c＝4，∴a＝3，c＝2. ∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 故所求圆心的轨迹方程为 ＋ ＝1. 9 5

[解析]过B作BE垂直准线l于E(图略)、因为 ＝ 、Fra bibliotek所以M为中点、
所以MB＝ AB、
又斜率为 、∠BAE＝30°、
所以BE＝ AB、所以BM＝BE、
所以M为抛物线的焦点、所以p＝2．
[答案]2
1．(20xx·南京模拟)椭圆 ＋ ＝1的离心率是________．
[解析]由椭圆方程可得a＝5、b＝3、c＝4、e＝ ．
【解析】(1)因为双曲线x2－ ＝1(b>0)经过点(3、4)、所以9－ ＝1、得b＝ 、所以该双曲线的渐近线方程是y＝±bx＝± x．
(2)设直线FA的倾斜角为α、因为焦点F(0、1)、定点A(2 、0)、
所以tanα＝ ＝－ 、sinα＝ 、
如图、作MB⊥l、垂足为点B、由抛物线的定义可得：FM＝MB、
[解析]设F、B、C的坐标分别为(－c、0)、(0、b)、(1、0)、则FC、BC的中垂线分别为
x＝ 、y－ ＝ ．
联立方程组 解出
m＋n＝ ＋ >0、即b－bc＋b2－c>0、即(1＋b)·(b－c)>0、所以b>c．从而b2>c2、
即有a2>2c2、
[解析]设点A(x1、y1)、C(x2、y2)、因为四边形OABC为矩形、所以点B(x1＋x2、y1＋y2)、则问题转化为方程组
存在实数解的问题．
展开第三个方程、整理得x1x2＝ ．易知直线OA和OC的斜率均存在、分别设为k、－ 、由 得x ＝ 、同理x ＝ 、因此 · ＝ 、即关于k2的二次方程(k2)2－ ·k2＋1＝0有正解、即 －4≥0、且3 －8>0、又a>b、所以a2≥3b2、所以 ≤e<1、故椭圆的离心率的最小值为 、此时矩形OABC为正方形．

点评：根据条件求椭圆方程所常用的主要方法是定义法和待定系数法．定义法的 要点是根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，待定系数法的要点是 根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数 a，b.如果不知焦点在哪一个坐标轴上 时，一般可设所求椭圆的标准方程为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦 点位置，用待定系数法求出 m，n 的值即可．
3. 已知点 F1，F2 分别为双曲线ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为双曲线 右 5 支解上析的：任在意双一曲点线，中若，PPPFF为212的右最支小上值一为点9，a，则则P双F1曲＝线PF的2＋离2心a，率则为PP_FF_212_＝__P__F_P2＋．F22a2＝ PF2＋P4aF22＋4a≥2 4a2＋4a＝8a(当且仅当 PF2＝2a 时取等号)，因为已知中PPFF212min ＝9a，故 PF2≠2a，在双曲线右支上点 P 满足(PF2)min＝c－a，则 c－a＞2a，即 c ＞3a，故 e＞3.又由PPFF212≥9a，即c－ca－＋a2a2≥9a 可得 e≤2 或 e≥5.综上可得，e≥5， 则 e＝5.
(3) 设椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 D 在椭圆上，DF1 ⊥F1F2，FD1FF12＝2 2，△DF1F2 的面积为 22，求该椭圆的标准方程．
(1) x42－y52＝1 解析：双曲线 C：ax22－by22＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax. 椭圆中：a2＝12，b2＝3，所以 c2＝a2－b2＝9，c＝3，即双曲线的焦点为(±3,0)．
(3)
0，
3 2
解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得，AF＋BF＝2a＝4，所以

∴MO2＋MO1>4，
∴ MO2－ MO1＝ 3. ∴ M 的轨迹是以 O1、 O2 为焦点，实轴长为 3 的双曲线的左 支， 3 2 2 2 7 ∴ a＝ ， c＝2，∴b ＝ c － a ＝ ， 2 4 4 x 2 4 y2 ∴ M 点的轨迹方程为 － ＝ 1(x<0)． 9 7
求圆锥曲线的标准方程
第2章
圆锥曲线与方程
第2章
圆锥曲线与方程
圆锥曲线的定义 (1)椭圆的定义中，平面内动点与两焦点F1、F2的距离之和大
于F1F2这一条件不可忽视．若这个距离之和小于F1F2，则这
个动点轨迹不存在；若距离之和等于F1F2，则动点轨迹是线 段F1F2.
(2)双曲线的定义中，要注意条件2a<F1F2，这一条件可以用
轨迹问题
求动点的轨迹方程，实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关
系，即动点坐标(x，y)所适合的等式f(x，y)＝0.因此要分析形 成轨迹的动点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种 联系的形式，建立等式．
设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过原点作圆的弦OA， 求OA中点B的轨迹方程．
[解 ] 法一(直接法 )：设 B 点坐标为(x， y)， 由题意，得 OB2＋ BC2＝ OC2，如图所示， 即 x2＋ y2＋ [(x－ 1)2＋ y2]＝ 1， 12 2 即 OA 中点 B 的轨迹方程为(x－ ) ＋ y 2 1 ＝ (去掉原点 )． 4
③如果e＝1，则动点P的轨迹是抛物线．
已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且O1O2
＝4，动圆M与O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系， 求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线． [解] 如图以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立 平面直角坐标系． 由O1O2＝4，有O1(－2,0)，O2(2,0)． 设动圆的半径为r， 由动圆M与圆O1内切，有MO1＝|r－1|. 由动圆M与圆O2外切，有MO2＝r＋2. ∴MO2＋MO1＝3或MO2－MO1＝3， ∵O1O2＝4，