江苏高考数学二轮复习微专题六解不等式及线性规划(课后练习作业)

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6.2 二元一次不等式（组)与简单的线性规划问题[基础送分提速狂刷练］一、选择题1．（2018·唐山模拟）已知点(－3，－1）和点（4,－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为（)A．(－24,7)B．(－7,24)C．（－∞，－7)∪(24，＋∞）D．（－∞，－24)∪(7,＋∞)答案B解析根据题意知（－9＋2－a)·(12＋12－a)<0。

即(a＋7）（a－24）<0，解得－7〈a〈24。

故选B.2．设关于x，y的不等式组错误!表示的平面区域内存在点P（x0，y0）,满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是（)A.错误!B。

错误!C。

错误!D。

错误!答案C解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y＝错误!x－1上的点,只需要可行域的边界点(－m,m）在y＝错误!x－1下方，也就是m<－错误!m－1，即m<－错误!。

故选C。

3．(2017·山东日照一模）已知变量x，y满足错误!则z＝（错误!)2x＋y的最大值为( ）A。

错误! B．2错误! C．2 D．4答案D解析作出满足不等式组的平面区域，如图所示,令m＝2x＋y，则当m取得最大值时，z＝(错误!)2x＋y取得最大值．由图知直线m＝2x＋y经过点A（1，2）时，m取得最大值，所以z max＝(错误!）2×1＋2＝4，故选D。

基本素能训练一、选择题1．（文）(2013·浙江理，2)设集合S＝{x｜x>－2｝，T＝{x|x2＋3x－4≤0},则（∁R S)∪T＝( )A．(－2，1］B．（－∞,－4]C．(－∞，1] D．［1,＋∞)[答案] C[解析］由条件易知∁R S＝{x｜x≤－2｝，T＝｛x｜－4≤x≤1}，所以∁R S∪T＝{x｜x≤1｝．（理)(2013·江西文，6)下列选项中，使不等式x＜错误!＜x2成立的x的取值范围是( ）A．（－∞，－1) B．（－1，0)C．(0，1) D．（1，＋∞)[答案] A[解析] 由错误!>x知错误!－x〉0，错误!〉0即x（1－x2)〉0，所以x 〈－1或0〈x<1；由错误!〈x2知错误!－x2〈0,错误!<0,即x(1－x3)<0，所以x〈0或x〉1，所以x<错误!〈x2的解集为x<－1，选A。

2．(文)a,b,c∈R，下列结论成立的是( ) A．若a〉b，则ac2〉bc2B．若错误!>错误!,则a>bC．若a3〉b3，ab>0，则错误!〈错误!D．若a2〉b2,ab>0,则1a〈错误![答案］C［解析］∵a3>b3，ab>0，∴a〉b>0或0>a〉b，∴错误!〈错误!。

（理)（2012·西城模拟)已知a、b∈R，下列四个条件中，使a>b 成立的必要而不充分的条件是（）A．a>b－1 B．a>b＋1C．|a｜>|b｜D．2a〉2b［答案］A［解析］∵a〉b，b〉b－1，∴a>b－1，但当a>b－1时，a>b未必成立，故选A。

[点评］a>b＋1是a〉b的充分不必要条件，2a>2b是a>b的充要条件；｜a|〉｜b｜是a>b的既不充分也不必要条件．3．(2012·青岛一模）已知a>0，b>0，且2a＋b＝4，则错误!的最小值为（ ）A.14B ．4 C.错误!D ．2 [答案］ C[解析] ∵a >0,b >0，∴4＝2a ＋b ≥2错误!，∴ab ≤2，∴错误!≥错误!，等号在a ＝1，b ＝2时成立．4．（2013·哈六中三模)在坐标平面内，不等式组错误!所表示的平面区域的面积为（ ）A ．2错误!B 。

第一部分 一 16一、选择题1．(文)(2015·唐山市一模)已知全集U ＝{x |x 2>1}，集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，则∁U A ＝( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪[3，＋∞) C ．(－∞，－1)∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)[答案] C[解析] ∵U ＝{x |x 2>1}＝{x |x >1或x <－1}，A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，∴∁U A ＝{x |x <－1或x ≥3}．(理)(2014·唐山市一模)己知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，B ＝{x |log 4x >12}，则( )A ．A ∩B ＝∅ B ．B ⊆AC ．A ∩(∁R B )＝RD ．A ⊆B[答案] A[解析] A ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}，B ＝{x |log 4x >12}＝{x |x >2}，∴A ∩B ＝∅.[方法点拨] 解不等式或由不等式恒成立求参数的取值范围是高考常见题型．1．解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．2．解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．3．解不等式与集合结合命题时，先解不等式确定集合，再按集合的关系与运算求解． 4．分段函数与解不等式结合命题，应注意分段求解．2．(文)(2014·天津理，7)设a 、b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] (1)若a >b ，则①a >b ≥0，此时a |a |>b |b |；②a >0>b ，显然有a |a |>b |b |；③0≥a >b ，此时0<|a |<|b |，∴a |a |>a |b |>b |b |，综上a >b 时，有a |a |>b |b |成立．(2)若a |a |>b |b |，①b ＝0时，有a >0，∴a >b ；②b >0时，显然有a >0，∴a 2>b 2，∴a >b ；③b <0时，若a ≥0时，a >b ；若a <0，则－a 2>－b 2，∴a 2<b 2，∴(a ＋b )(a －b )<0，∴a >b ，综上当a |a |>b |b |时有a >b 成立，故选C ．(理)(2014·四川文，5)若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a d >b cB ．a d <b cC ．a c >b dD ．a c <b d[答案] B[解析] ∵c <d <0，∴1d <1c <0，∴－1d >－1c >0，又∵a >b >0，∴－a d >－b c >0，即a d <bc.选B ．[方法点拨] 不等式的性质经常与集合、充要条件、命题的真假判断、函数等知识结合在一起考查，解题时，关键是熟记不等式的各项性质，特别是各不等式成立的条件，然后结合函数的单调性求解．3．(文)若直线2ax ＋by －2＝0(a 、b ∈R )平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a ＋1b 的最小值是( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 [答案] D[解析] 直线平分圆，则必过圆心． 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝11.∴圆心C (1,2)在直线上⇒2a ＋2b －2＝0⇒a ＋b ＝1.∴2a ＋1b ＝(2a ＋1b )(a ＋b )＝2＋2b a ＋a b ＋1＝3＋2b a ＋ab ≥3＋22，故选D ． (理)(2015·湖南文，7)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4 [答案] C[解析] 考查基本不等式．根据1a ＋2b ＝ab ，可得a >0，b >0，然后利用基本不等式1a ＋2b ≥21a ×2b求解ab 的最小值即可；∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0，∵ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab，∴ab ≥22，(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为22，故选C ．[方法点拨] 1.用基本不等式a ＋b2≥ab 求最值时，要注意“一正、二定、三相等”，一定要明确什么时候等号成立，要注意“代入消元”、“拆、拼、凑”、“1的代换”等技巧的应用．2．不等式恒成立问题一般用分离参数法转化为函数最值求解或用赋值法讨论求解． 4．(文)(2015·天津文，2)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x －2y ≤0，x ＋2y －8≤0，则目标函数z ＝3x＋y 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．14[答案] C[解析] z ＝3x ＋y ＝52(x －2)＋12(x ＋2y －8)＋9≤9，当x ＝2，y ＝3时取得最大值9，故选C ．此题也可画出可行域如图，借助图象求解．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2[答案] A[解析] 由x ，y 满足的约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，由图可知当直线z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7.5．(2015·四川文，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查命题及其关系．a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确．选A ．6．(文)(2015·福建文，5)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] C[解析] 考查基本不等式．由已知得，1a ＋1b ＝1，a >0，b >0，则a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋1b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当b a＝ab，即a ＝b ＝2时取等号． (理)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab 的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．2[答案] C[解析] ∵a >0，b >0，∴4＝2a ＋b ≥22ab ， ∴ab ≤2，∴1ab ≥12，等号在a ＝1，b ＝2时成立．7．设z ＝2x ＋y ，其中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25x ≥m .若z 的最小值为3，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] A[解析] 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－33x ＋5y ≤25，表示的平面区域，由于z ＝2x ＋y 的最小值为3，作直线l 0：x ＝m 平移l 0可知m ＝1符合题意．[方法点拨] 1.线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是由最优解确定目标函数中参数的取值范围．2．解决线性规划问题首先要画出可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题可通过验证解决．3．确定二元一次不等式组表示的平面区域：①画线，②定侧，③确定公共部分；解线性规划问题的步骤：①作图，②平移目标函数线，③解有关方程组求值，确定最优解(或最值等)．8．(文)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52B ．72C ．154D ．152[答案] A[解析] ∵a >0，∴不等式x 2－2ax －8a 2<0化为 (x ＋2a )(x －4a )<0，∴－2a <x <4a ， ∵x 2－x 1＝15，∴4a －(－2a )＝15，∴a ＝52.(理)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．(0，12]C ．[12，2]D ．(0,2] [答案] C[解析] 因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ．9．(文)(2014·新课标Ⅰ文，11)设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3 D ．5或－3[答案] B[解析] 当a ＝－5时，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－5，x －y ＝－1，得交点A (－3，－2)，则目标函数z＝x －5y 过A 点时取最大值，z max ＝7，不合题意，排除A 、C ；当a ＝3时，同理可得目标函数z ＝x ＋3y 过B (1,2)时，z min ＝7符合题意，故选B ．(理)(2014·北京理，6)若x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12[答案] D[解析] 本题考查了线性规划的应用． 若k ≥0，z ＝y －x 没有最小值，不合题意． 若k <0，则不等式组所表示的平面区域如图所示． 由图可知，z ＝y －x 在点(－2k，0)处取最小值－4，故0－(－2k )＝－4，解得k ＝－12，即选项D 正确．10．(2015·江西质量监测)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于5，则a 的值为( )A ．－11B ．3C ．9D ．9或－11[答案] C[解析] 由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC ，其中A (1,0)，B (0,1)，C (1,1＋a )且a >－1，因为S △ABC ＝5，所以12×(1＋a )×1＝5，解得a ＝9.11．(2015·南昌市一模)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．－12[答案] C[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0x ＋y －4≤0y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1－y ＝0y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2，z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝10－4m ＝2，解得m ＝2.12．(2015·洛阳市期末)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．对∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A ．6＋2B ．6－2C ．22＋2D ．22－2[答案] B[解析] 由已知得：f ′(x )＝2ax ＋b ，f (x )≥f ′(x )恒成立即ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，∴b 2≤－4a 2＋4ac ，∴b 2a 2＋2c 2≤－4a 2＋4ac a 2＋2c 2＝－4＋4c a 1＋2·⎝⎛⎭⎫c a 2，设c a ＝t ，令g (t )＝4(t －1)1＋2t 2，令t －1＝m ，则g (t )＝4m 1＋2(m ＋1)2＝4m2m 2＋4m ＋3＝42m ＋3m＋4≤426＋4＝6－2，当且仅当2m ＝3m，即m ＝32时等号成立，故选B ． 二、填空题13．(文)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y －2－1≤0，x －ky ＋k ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k＝________.[答案] ±1[解析] 本题可以通过画图解决，如图直线l ：x －ky ＋k ＝0过定点(0,1)．当k ＝±1时，所围成的图形是轴对称图形．(理)设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝x 2＋y 2的最大值为________．[答案] 41[解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，画出可行域如图，易知x ＝4，y ＝5时，z 有最大值，z ＝42＋52＝41.14．(文)(2015·天津文，12)已知a ＞0，b ＞0，ab ＝8，则当a 的值为________时，log 2a ·log 2(2b )取得最大值．[答案] 4[解析] log 2a ·log 2(2b )≤⎝⎛⎭⎫log 2a ＋log 2(2b )22＝14[log 2(2ab )]2＝14(log 216)2＝4， 当a ＝2b 时取等号，结合a >0，b >0，ab ＝8，可得a ＝4，b ＝2.(理)(2015·重庆文，14)设a ，b >0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． [答案] 3 2[解析] 考查基本不等式．由2ab ≤a 2＋b 2两边同时加上a 2＋b 2，得(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)两边同时开方即得：a ＋b ≤2(a 2＋b 2)(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取“＝”)；从而有a ＋1＋b ＋3≤2(a ＋1＋b ＋3)＝2×9＝32(当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时，“＝”成立)故填：3 2.15．(2014·邯郸市一模)已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1＋x 2≠0时，有f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1,1]恒成立，则实数m 的取值范围是________．[答案] [－1,1][解析] ∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数， ∴当x 1、x 2∈[－1,1]且x 1＋x 2≠0时， f (x 1)＋f (x 2)x 1＋x 2>0等价于f (x 1)－f (－x 2)x 1－(－x 2)>0，∴f (x )在[－1,1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )min ＝f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1，1]恒成立， 即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1,1]恒成立， ∴m 2－2am －3≤0，设g (a )＝m 2－2am －3，则⎩⎪⎨⎪⎧ g (－1)≤0，g (1)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3.∴－1≤m ≤1. ∴实数m 的取值范围是[－1,1]． 三、解答题16．(文)(2015·湖北文，21)设函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (x )＋g (x )＝e x ，其中e 为自然对数的底数．(1)求f (x )，g (x )的解析式，并证明：当x >0时，f (x )>0，g (x )>1；(2)设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x )＋(1－a )＜f (x )x＜bg (x )＋(1－b )． [分析] 考查1.导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2.函数的基本性质． (1)将等式f (x )＋g (x )＝e x 中x 用－x 来替换，并结合已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，构造方程组即可求出f (x )，g (x )的表达式；当x >0时，由指数与指数函数的性质知e x >1,0<e －x <1，进而可得到f (x )>0.然后再由基本不等式即可得出g (x )>1.(2)要证明ag (x )＋(1－a )<f (x )x <bg (x )＋(1－b )，即证f (x )>axg (x )＋(1－a )x 和f (x )<bxg (x )＋(1－b )x .于是构造函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立．[解析] (1)由 f (x )，g (x )的奇偶性及f (x )＋g (x )＝e x ， ① 得：－f (x )＋g (x )＝e －x .②联立①②解得f (x )＝12(e x －e －x )，g (x )＝12(e x ＋e －x )．当x >0时，e x >1,0<e －x <1，故 f (x )>0.③ 又由基本不等式，有g (x )＝12(e x ＋e －x )>e x e －x ＝1，即g (x )>1.④ (2)由(1)得f ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫e x －1e x ′＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋e x e 2x ＝12(e x ＋e －x)＝g (x ),⑤ g ′(x )＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ′＝12⎝⎛⎭⎫e x －e x e 2x ＝12(e x －e －x)＝f (x )，⑥ 当x >0时，f (x )x >ag (x )＋(1－a )等价于f (x )>axg (x )＋(1－a )x ，⑦ f (x )x<bg (x )＋(1－b )等价于f (x )<bxg (x )＋(1－b )x . ⑧设函数h (x )＝f (x )－cxg (x )－(1－c )x ，由⑤⑥，有h ′(x )＝g (x )－cg (x )－cxf (x )－(1－c )＝(1－c )[g (x )－1] －cxf (x ). 当x >0时，1°若c ≤0，由③④，得h ′(x )>0，故h (x )在[0，＋∞) 上为增函数，从而h (x )>h (0)＝0，即f (x )>cxg (x )＋(1－c )x ，故⑦成立．2°若c ≥1，由③④，得h ′(x )<0，故h (x )在[0，＋∞)上为减函数，从而h (x )<h (0)＝0，即f (x )<cxg (x )＋(1－c )x ，故⑧成立．综合⑦⑧，得ag (x )＋(1－a )<f (x )x <bg (x )＋(1－b )．(理)(2015·福建文，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [分析] 考查导数的综合应用．(1)求导函数f ′(x )，解不等式f ′(x )>0并与定义域求交集，得函数f (x )的单调递增区间；(2)构造函数F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(1，＋∞)．欲证明f (x )<x －1，只需证明F (x )的最大值小于0即可；(3)当k ≥1时，易知不存在x 0>1满足题意；当k <1时，构造函数G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，利用导数研究函数G (x )的单调性，讨论得出结论．[解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)． 由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0. 解得0<x <1＋52. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52. (2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有F ′(x )＝1－x 2x. 当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1.(3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意． 当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x. 由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0， x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1. 当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．17．(文)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝－a x(a >0)． (1)当a ＝1时，若曲线y ＝f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与曲线y ＝g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，求实数x 0的值；(2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝1x 2. 因为函数f (x )在点M (x 0，f (x 0))处的切线与函数g (x )在点P (x 0，g (x 0))处的切线平行，所以1x 0＝1x 20，解得x 0＝1. (2)若∀x ∈(0，e]，都有f (x )≥g (x )＋32. 记F (x )＝f (x )－g (x )－32＝ln x ＋a x －32， 只要F (x )在(0，e]上的最小值大于等于0，F ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2， 则F ′(x )、F (x )随x 的变化情况如下表：当a ≥e 所以F (e)＝1＋a e －32≥0，得a ≥e 2，所以a ≥e. 当a <e 时，函数F (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，e)上单调递增，F (a )为最小值，所以F (a )＝ln a ＋a a －32≥0，得a ≥e ， 所以e ≤a <e ，综上a ≥ e.(理)设函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x－1. (1)当a ＝1时，求曲线f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ＝13时，设函数g (x )＝x 2－2bx －512，若对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立，求实数b 的取值范围．[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x －a －1－a x2， (1)当a ＝1时，f (x )＝ln x －x －1，∴f (1)＝－2，f ′(x )＝1x－1，∴f ′(1)＝0 ∴f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝－2(2)f ′(x )＝1x －a －1－a x 2＝－ax 2＋x －(1－a )x 2＝－(x －1)[ax －(1－a )]x 2，f (x )的定义域为(0，＋∞)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x 2，f (x )的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1) 当a ≠0时，1－a a >1，即0<a <12时，f (x )的增区间为(1，1－a a )，减区间为(0,1)，(1－a a，＋∞)1－a a ＝1，即a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减 1－a a <1，即a >12或a <0，当a >12时，f (x )的增区间为(1－a a ，1)，减区间为(0，1－a a )，(1，＋∞)当a <0时，f (x )的增区间为(0，1－a a )，(1＋∞)；减区间为(1－a a，1)． (3)当a ＝13时，由(Ⅱ)知函数f (x )在区间(1,2)上为增函数， 所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝－23对于∀x 1∈[1,2]，∃x 2∈[0,1]，使f (x 1)≥g (x 2)成立⇔g (x )在[0,1]上的最小值不大于f (x )在[1,2]上的最小值－23(*) 又g (x )＝x 2－2bx －512＝(x －b )2－b 2－512，x ∈[0,1] ①当b <0时，g (x )在[0,1]上为增函数，g (x )min ＝g (0)＝－512>－23与(*)矛盾 ②当0≤b ≤1时，g (x )min ＝g (b )＝－b 2－512， 由－b 2－512≤－23及0≤b ≤1得，12≤b ≤1 ③当b >1时，g (x )在[0,1]上为减函数，g (x )min ＝g (1)＝712－2b ≤－23， 此时b >1 综上所述，b 的取值范围是[12，＋∞)． [方法点拨] 注意区分几类问题的解法．①对任意x ∈A ，f (x )>M (或f (x )<M )恒成立．②存在x ∈A ，使f (x )>M (或f (x )<M )成立．。

6个解答题专项强化练(三) 解析几何1．已知圆M ：x 2＋y 2－2x ＋a ＝0.(1)若a ＝－8，过点P (4,5)作圆M 的切线，求该切线方程；(2)若AB 为圆M 的任意一条直径，且OA ―→·OB ―→＝－6(其中O 为坐标原点)，求圆M 的半径．解：(1)若a ＝－8，则圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝9，圆心M (1，0)，半径为3. 若切线斜率不存在，圆心M 到直线x ＝4的距离为3，所以直线x ＝4为圆M 的一条切线； 若切线斜率存在，设切线方程为y －5＝k (x －4)，即kx －y －4k ＋5＝0，则圆心到直线的距离为|k －4k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝815，即切线方程为8x －15y ＋43＝0.所以切线方程为x ＝4或8x －15y ＋43＝0.(2)圆M 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1－a ，圆心M (1，0)，则OM ＝1，半径r ＝1－a (a <1)． 因为AB 为圆M 的任意一条直径，所以MA ―→＝－MB ―→，且|MA ―→|＝|MB ―→|＝r ，则OA ―→·OB ―→＝(OM ―→＋MA ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝(OM ―→－MB ―→)·(OM ―→＋MB ―→)＝OM ―→2－MB ―→2＝1－r 2，又因为OA ―→·OB ―→＝－6，解得r ＝7，所以圆M 的半径为7.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1，0)，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆的标准方程；(2)已知椭圆的弦AB 过点F ，且与x 轴不垂直．若D 为x 轴上的一点，DA ＝DB ，求AB DF的值．解：(1)法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.法二：由题意，知2a ＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝4，所以a ＝2. 又c ＝1，a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝3，所以椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)． ①当k ＝0时，AB ＝2a ＝4，FD ＝FO ＝1，所以AB DF＝4；②当k ≠0时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，把直线AB 的方程代入椭圆方程，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以x 0＝－4k23＋4k 2，所以y 0＝k (x 0＋1)＝3k3＋4k2， 所以AB 的垂直平分线方程为y －3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4k 23＋4k 2. 因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 23＋4k 2，0，所以DF ＝－k 23＋4k 2＋1＝3＋3k23＋4k 2.又因为AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝12＋12k23＋4k2，所以AB DF＝4.综上，得AB DF的值为4.法二：①若直线AB 与x 轴重合，则AB DF＝4； ②若直线AB 不与x 轴重合，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，所以x 1－x 2·x 04＋y 1－y 2·y 03＝0，所以直线AB 的斜率为y 1－y 2x 1－x 2＝－3x 04y 0，所以直线AB 的垂直平分线方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)．因为DA ＝DB ，所以点D 为AB 的垂直平分线与x 轴的交点，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 04，0，所以DF ＝x 04＋1.因为椭圆的左准线的方程为x ＝－4，离心率为12，由AFx 1＋4＝12，得AF ＝12(x 1＋4)， 同理BF ＝12(x 2＋4)．所以AB ＝AF ＋BF ＝12(x 1＋x 2)＋4＝x 0＋4，所以AB DF＝4. 综上，得AB DF的值为4.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM ―→·AB ―→＝－32b 2.(1)求椭圆的离心率；(2)若a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC .记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：(1)由题意，A (a,0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2. 所以OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，AB ―→＝(－a ，b )．因为OM ―→·AB ―→＝－32b 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b .因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c . 所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32. (2)证明：法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ，D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2. 直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2，所以k 1k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2＝14x 1x 2－12m －1x 1－12mx 2＋m m －1x 1－2x 2＝14x 1x 2－12m x 1＋x 2＋12x 1＋m m －1x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋122m －x 2＋m m －1x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1k 2为定值14.法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1.从而A (2,0)，B (0,1)，直线AB 的斜率为－12.设C (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －x 0＋y 0，x24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，解得x ＝x 0或x ＝2y 0. 所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 0，12x 0.所以k 1k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1k 2为定值14.4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→.求证：λ＋μ为定值；②若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围．解：(1)由题设知c ＝1，－a 2c＝－2，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)①证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把直线l 的方程代入椭圆的方程得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k2.由PA ―→＝λAF ―→，PB ―→＝μBF ―→知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k 2＝－－4－1＝－4(定值)．②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22， 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，∴x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k2，故△AOB 的面积S ＝OA ·OB2＝k 2＋122k 2＋1k 2＋2.令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)， 故S ＝t 22t －1t ＋1＝12＋1t －1t2. 再令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫u －122＋94∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，22.5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点(点P 在x 轴上方)．(1)若QF ＝2FP ，求直线l 的方程；(2)设直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2.是否存在常数λ，使得k 1＝λk 2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2＝4，b 2＝3，所以c ＝a 2－b 2＝1，所以F 的坐标为(1,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为x ＝my ＋1， 代入椭圆方程，消去x ，得(4＋3m 2)y 2＋6my －9＝0， 则y 1＝－3m ＋61＋m 24＋3m 2，y 2＝－3m －61＋m 24＋3m 2. 若QF ＝2FP ，则－y 2＝2y 1，即y 2＋2y 1＝0， 所以－3m －61＋m 24＋3m 2＋2×－3m ＋61＋m24＋3m 2＝0， 解得m ＝255，故直线l 的方程为5x －2y －5＝0.(2)由(1)知，y 1＋y 2＝－6m 4＋3m 2，y 1y 2＝－94＋3m 2，所以my 1y 2＝－9m 4＋3m 2＝32(y 1＋y 2),所以k 1k 2＝y 1x 1＋2·x 2－2y 2＝y 1my 2－1y 2my 1＋3＝32y 1＋y 2－y 132y 1＋y 2＋3y 2＝13， 故存在常数λ＝13，使得k 1＝13k 2.6.如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，其离心率e ＝12，左准线方程为x ＝－8.(1)求椭圆的方程；(2)过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，I 1，I 2分别为△F 1AF 2，△F 1BF 2的内心. ①求四边形F 1I 1F 2I 2与△AF 2B 的面积比；②是否存在定点C ，使CA ―→·CB ―→为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a2c ＝8，解得a ＝4，c ＝2，故b ＝23，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①设△F 1AF 2的内切圆半径为r ，则S △F 1I 1F 2＝12·F 1F 2·r ＝12·2c ·r ＝2r ，S △F 1AF 2＝12·(AF 1＋AF 2＋F 1F 2)·r ＝12·(2a ＋2c )·r ＝6r ，∴S △F 1I 1F 2∶S △F 1AF 2＝1∶3， 同理S △F 1I 2F 2∶S △F 1BF 2＝1∶3， ∴S 四边形F 1I 1F 2I 2∶S △AF 2B ＝1∶3.②假设存在定点C (s ，t )，使得CA ―→·CB ―→为常数．若直线AB 存在斜率，设AB 的方程为y ＝k (x ＋2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，由此得x 1＋x 2＝－16k 23＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－483＋4k 2，∴CA ―→·CB ―→＝(x 1－s ，y 1－t )·(x 2－s ，y 2－t ) ＝(x 1－s )(x 2－s )＋(y 1－t )(y 2－t )＝(x 1－s )(x 2－s )＋[k (x 1＋2)－t ][k (x 2＋2)－t ] ＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k 2－tk －s )(x 1＋x 2)＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝1＋k216k 2－483＋4k 2＋2k 2－tk －s －16k23＋4k2＋s 2＋t 2＋4k 2－4tk ＝－12tk －12s －333＋4k2＋s 2＋t 2＋4s －5. ∵与k 无关，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12t ＝0，－12s －33＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0，此时CA ―→·CB ―→＝－13516；若直线AB 不存在斜率，则A 与B 的坐标为(－2，±3)，CA ―→·CB ―→＝(s ＋2，t －3)·(s ＋2，t ＋3)＝(s ＋2)2＋t 2－9，将⎩⎪⎨⎪⎧s ＝－114，t ＝0代入，此时CA ―→·CB ―→＝－13516也成立．综上所述，存在定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－114，0，使得CA ―→·CB ―→为常数．。

第 2 讲不等式与线性规划考情解读 1.在高考取主要考察利用不等式的性质进行两数的大小比较、一元二次不等式的解法、基本不等式及线性规划问题．基本不等式主要考察求最值问题，线性规划主要考察直接求最优解和已知最优解求参数的值或取值范围问题.2.多与会合、函数等知识交汇命题，以选择、填空题的形式表现，属中档题．1．四类不等式的解法(1)一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2＋bx＋ c>0( a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝ 0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与 x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集．(2)简单分式不等式的解法①变形 ?f x>0(<0) ? f(x)g(x)>0(<0) ；g x②变形 ?f x≥ 0( ≤?0)f( x)g(x) ≥ 0( ≤且0)g(x) ≠ 0.g x(3) 简单指数不等式的解法①当 a>1 时， a f(x)>a g(x)? f(x)>g(x)；②当 0< a<1 时， a f(x) >a g(x)? f(x)<g(x)．(4)简单对数不等式的解法①当 a>1 时， log a f(x)>log a g(x) ? f(x)>g(x)且 f( x)>0 ， g(x)>0；②当0< a<1 时， log a f( x)>log a g(x)? f(x)<g(x)且 f(x)>0，g(x)>0.2．五个重要不等式(1)|a| ≥0，a2≥ 0(a∈R )．(2)a2＋b2≥2ab(a、b∈R )．a＋ b(3)2≥ ab(a>0， b>0)．a＋ b 2(4) ab≤(2) (a， b∈R)．(5)a2＋ b2 a＋ b2ab(a>0， b>0) ．2≥2≥ ab≥a＋ b3．二元一次不等式(组 )和简单的线性规划(1)线性规划问题的相关观点：线性拘束条件、线性目标函数、可行域、最优解等．(2)解不含实质背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②依据线性目标函数的几何意义确立最优解；③求出目标函数的最大值或许最小值．4．两个常用结论(1) ax2a>0，＋ bx＋ c>0( a≠0)恒建立的条件是<0.2a<0，(2) ax＋ bx＋ c<0( a≠0)恒建立的条件是<0.热门一一元二次不等式的解法例 1(1)(2013 安·徽 )已知一元二次不等式f(x)<0 的解集为x|x<－1或x>1，则 f(10x)>0 的解集2为 ()A ． { x|x<－ 1 或 x>－ lg 2}B ． { x|－ 1<x<－ lg 2}C． { x|x>－ lg 2}D ． { x|x<－ lg 2}(2) 已知函数f(x)＝ (x－ 2)(ax＋ b)为偶函数，且在 (0，＋∞)单一递加，则 f(2－ x)>0 的解集为 ()A ． { x|x>2 或 x<－ 2}B ． { x|－ 2< x<2}C． { x|x<0 或 x>4} D ． { x|0<x<4}思想启示答案(1)D (1) 利用换元思想，设(2)C10x＝ t，先解f(t)>0.(2) 利用f(x)是偶函数求b，再解f(2 －x)>0.分析(1) 由已知条件0<10x<12，解得x<lg 12＝－ lg 2.(2)由题意可知 f(－ x)＝ f(x)．即 (－ x－ 2)(－ ax＋ b) ＝ (x－2)(ax＋b) ，(2a－ b)x＝ 0 恒建立，故 2a－b＝ 0，即 b＝ 2a，则 f(x)＝ a(x－ 2)(x＋ 2)．又函数在 (0，＋∞)单一递加，所以 a>0.f(2 －x)>0 即 ax(x－ 4)>0 ，解得 x<0 或 x>4.应选 C.思想升华二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识，也是高考的热门，“三个二次”的相互转变表现了转变与化归的数学思想方法．(1)不等式x－1≤0的解集为 ()2x＋ 1A ． (－12， 1]1B ．[－2，1]1C ． (－∞，－ 2)∪ [1，＋ ∞)1D ． (－∞，－ 2]∪ [1，＋ ∞)(2) 已知 p ：? x 0∈ R ， mx 02＋1≤0，q ：? x ∈ R ， x 2＋ mx ＋ 1>0.若 p ∧ q 为真命题，则实数 m 的取 值范围是 ()A ． (－∞，－ 2)B ． [－ 2,0)C ． (－2,0)D ． [0,2]答案 (1)A (2)C分析(1) 原不等式等价于 (x － 1)(2x ＋ 1)<0 或 x －1＝ 0，即－ 1<x<1 或 x ＝ 1，2 所以不等式的解集为 (－ 1， 1]，选 A.2(2) p ∧ q 为真命题，等价于 p ，q 均为真命题．命题 p 为真时， m<0；命题 q 为真时， 2＝ m －4<0 ，解得－ 2<m<2. 故 p ∧ q 为真时，－ 2<m<0. 热门二 基本不等式的应用例 2(1)(2014 ·湖北 )某项研究表示：在考虑行车安全的状况下，某路段车流量 F( 单位时间内经过丈量点的车辆数，单位：辆 /时) 与车流速度 v(假定车辆以同样速度 v 行驶，单位：米 /秒 )、均匀车长 l(单位：米 )的值相关，其公式为 F ＝ 276 000v.v ＋ 18v ＋ 20l①假如不限制车型， l ＝ 6.05，则最大车流量为 ________辆 /时；②假如限制车型， l ＝5，则最大车流量比①中的最大车流量增添 ________辆 /时．(2)(2013 山·东 )设正实数 x ，y ，z 知足 x 2－ 3xy ＋ 4y 2－z ＝0，则当xy获得最大值时，2＋ 1－2的最zx yz大值为 ( )9A ．0B ．1C.4 D ．3思想启示(1) 把所给 l 值代入，分子分母同除以 v ，结构基本不等式的形式求最值； (2) 重点是找寻xyz 获得最大值时的条件．答案(1) ① 1 900 ② 100 (2)B76 000v分析 (1) ① 当 l ＝ 6.05 时， F ＝ v 2＋ 18v ＋ 121＝76 000≤76 000＝76 000＝ 1 900.v ＋121＋ 182121＋ 1822＋ 18v v ·v当且仅当 v ＝ 11 米 /秒时等号建立，此时车流量最大为1 900 辆 /时．② 当 l ＝ 5 时， F ＝ 2 76 000v＝76 000 ≤ 76 000＝76 000＝ 2 000.v ＋ 18v ＋ 10010010020＋ 18v ＋ v ＋ 18 2 v ·v ＋ 18当且仅当 v ＝ 10 米/ 秒时等号建立， 此时车流量最大为 2 000 辆 /时．比 ①中的最大车流量增添100 辆 /时．(2) 由已知得 z ＝ x 2－ 3xy ＋ 4y 2， (*)则xy＝ 2 xy2＝1≤1，当且仅当 x ＝ 2y 时取等号，把 x ＝ 2y 代入 (*) 式，得 z ＝ 2y 2，z x － 3xy ＋ 4yx4yy ＋ x － 3所以 2＋1－ 2＝ 1＋1－12 ＝－1－1 2＋ 1≤1，x y z y y yy所以当 y ＝ 1 时， 2x ＋ 1y － 2z 的最大值为 1.思想升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑 ”等技巧，使其知足基本不等式中 “正 ”(即条件要求中字母为正数 )、 “定 ”(不等式的另一边一定为定值 )、 “等 ”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误．(1) 若点 A(m ， n)在第一象限，且在直线x＋ y ＝ 1 上，则 mn 的最大值为 ________．3 42(2) 已知对于 x 的不等式 2x ＋ x － a ≥7在 x ∈ (a ，＋ ∞)上恒建立，则实数 a 的最小值为 ()35A ．1 B.2 C ．2 D.2答案 (1)3 (2)B分析(1) 由于点 A(m ， n)在第一象限，且在直线x ＋ y＝ 1 上，所以 m ， n>0 ，且 m ＋n＝ 1.3434m n m ＋ nm n13m n 1所以3 4 2， n ＝2 时，取等号 )．所以·≤( 2 ) ( 当且仅当3＝＝ ，即 m ＝ ·≤ ，即 mn ≤3，3 442 23 4 4 所以 mn 的最大值为 3.2＝ 2(x － a)＋ 2 ＋ 2a(2)2x ＋ x － ax － a≥2·x － a2＋ 2a ＝ 4＋ 2a ，x － a3由题意可知4＋ 2a ≥7，得 a ≥ ，2即实数 a 的最小值为 3，应选 B.2热门三简单的线性规划问题例 3(2013 ·湖北 )某旅游社租用A、B 两种型号的客车安排900 名客人旅游， A、B 两种车辆的载客量分别为36 人和 60 人，租金分别为 1600 元 /辆和 2400 元 /辆，旅游社要求租车总数不超出 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆．则租金最少为 ()A ．31 200 元B．36 000 元C． 36 800 元D．38 400 元思想启示经过设变量将实质问题转变为线性规划问题．答案C分析设租 A 型车 x 辆， B 型车 y 辆时租金为 z 元，x＋ y≤21y－x≤7则 z＝ 1 600x＋ 2 400y, x、 y 知足36x＋ 60y≥900，x，y≥0， x、 y∈N画出可行域如图直线 y＝－2x＋z过点 A(5,12) 时纵截距最小，3 2 400所以 z min＝ 5×1 600＋ 2 400 ×12＝ 36 800，故租金最少为36 800 元．思想升华(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是确立目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题第一要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形联合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要正确地设出变量，确立可行域和目标函数．x>0(1) 已知实数 x， y 知足拘束条件4x＋3y≤4，则 w＝y＋1的最小值是 ()y≥0xA．－2 B．2 C．－1 D．12x－y＋ 1>0 ，(2)(2013北·京 )设对于 x、 y 的不等式组 x＋m<0，表示的平面地区内存在点P(x0， y0)，y－m>0知足 x0－ 2y0＝ 2，求得 m 的取值范围是 ()A.－∞，4 B. －∞，133C. －∞，－2D. －∞，－533答案 (1)D (2)C分析(1) 画出可行域，如下图．y ＋ 1表示可行域内的点(x ， y)与定点 P(0，－ 1)连线的斜率，察看图形可知PA 的斜率最小w ＝ x为 －1－0＝ 1，应选 D.0－1(2) 当 m ≥0 时，若平面地区存在， 则平面地区内的点在第二象限， 平面地区内不行能存在点 P(x 0，y 0)知足 x 0－ 2y 0＝ 2，所以 m<0.如下图的暗影部分为不等式组表示的平面地区．1要使可行域内包括y ＝ 2x － 1 上的点，只要可行域界限点11 2(－ m ，m)在直线 y ＝ 2x － 1 的下方即可，即 m<－2m － 1，解得 m<－ 3.1．几类不等式的解法一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根，也是相应的二次函数图象与x 轴交点的横坐标，即二次函数的零点；分式不等式可转变为整式不等式 (组 )来解；以函数为背景的不等式可利用函数的单一性进行转变．2．基本不等式的作用二元基本不等式拥有将“积式 ”转变为 “和式 ”或将 “和式 ”转变为 “积式 ”的放缩功能，经常用于比较数 (式 )的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒建立问题．解决问题的重点是弄清分式代数式、函数分析式、不等式的结构特色，选择好利用基本不等式的切入点，并创建基本不等式的应用背景，如经过“代换 ”、“拆项 ”、 “凑项 ”等技巧，改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件．利用基本不等式求最值时要注意 “一正、二定、三相等 ”的条件，三个条件缺一不行．3．线性规划问题的基本步骤(1) 定域 —— 画出不等式 (组)所表示的平面地区， 注意平面地区的界限与不等式中的不等号的对应；(2) 平移 —— 画出目标函数等于 0 时所表示的直线 l ，平行挪动直线， 让其与平面地区有公共点，依据目标函数的几何意义确立最优解，注意要娴熟掌握最常有的几类目标函数的几何意义；(3) 求值 —— 利用直线方程组成的方程组求解最优解的坐标，代入目标函数，求出最值 .真题感悟1． (2014·山东 )已知实数x y) x， y 知足 a <a (0<a<1) ，则以下关系式恒建立的是 (A. 21 >21 B ． ln(x2＋1)>ln( y2＋ 1) x＋ 1y＋1C． sin x>sin y33 D ． x >y答案D分析由于 0<a<1，a x<a y，所以 x>y.采纳赋值法判断， A 中，当 x＝ 1，y＝ 0 时，1<1，A 不行2立． B 中，当 x＝ 0，y＝－ 1 时， ln 1<ln 2 ，B 不建立． C 中，当 x＝ 0，y＝－π时， sin x＝ sin y ＝ 0， C 不建立． D 中，由于函数y＝ x3在R上是增函数，应选 D.x＋ 2y－ 4≤0，2． (2014 ·浙江 )当实数 x，y 知足 x－ y－ 1≤0，时， 1≤ax＋ y≤4恒建立，则实数 a 的取值范x≥1围是 ________．答案[1，3 ] 2分析画可行域如下图，设目标函数 z＝ ax＋ y，即 y＝－ ax＋z，要使 1≤z≤4 恒建立，则 a>0，1≤2a＋ 1≤4，即可，解得33数形联合知，知足1≤a≤ .所以 a 的取值范围是1≤a≤ .1≤a≤422押题精练1．为了迎接2014年3 月8 日的到来，某商场举行了促销活动，经测算某产品的销售量P 万件 (生产量与销售量相等 )与促销花费 x 万元知足 P＝ 3－2，已知生产该产品还需投入成本 (10 x＋ 1＋ 2P)万元 (不含促销花费 )，产品的销售价钱定为(4＋20P )万元 /万件．则促销花费投入万元时，厂家的收益最大？()A ．1B．1.5C． 2 D ． 3答案A分析设该产品的收益为y 万元，由题意知，该产品售价为2×(10＋ 2P) 万元，所以y＝P10＋ 2P)×P－ 10－2P－ x ＝4－ x(x>0) ，所以 y ＝ 17 － (4＋ x ＋ 1)≤17 －2×(P16 －x＋1x＋1244＝ x＋ 1，即 x＝ 1 时取等号 )，所以促销花费投入 1 万元x＋ 1×x＋＝ 13(当且仅当x＋1时，厂家的收益最大，应选 A.3x－ y≤0，2．若点 P(x，y)知足线性拘束条件x－ 3y＋ 2≥0，点 A(3， 3)，O 为坐标原点，则→ →OA·OPy≥0，的最大值为 ________．答案6分析→→→ →由题意，知 OA＝ (3， 3)，设 OP＝ (x， y)，则 OA·OP＝ 3x＋ 3y.令 z＝ 3x＋ 3y，如图画出不等式组所表示的可行域，可知当直线 y＝－3x＋33z 经过点 B 时， z 获得最大值．3x－ y＝ 0，解得x＝ 1，3)，故 z 的最大值为3×1＋3× 3＝ 6.由即 B(1，x－ 3y＋ 2＝0，y＝ 3，→→即 OA·OP的最大值为 6.(介绍时间： 50 分钟 )一、选择题1． (2014 ·四川 )若 a>b>0 ，c<d<0，则必定有 ()a b a bA. c>dB. c<da b a bC.d> cD. d<c答案D分析令 a＝ 3，b＝ 2， c＝－ 3， d＝－ 2，则ac＝－ 1，bd＝－ 1，所以 A ，B 错误；a＝－ 3，b＝－2，d 2 c 3a b所以 d <c ，所以 C 错误．应选 D.2．以下不等式必定建立的是()21 A ． lg x＋4 >lg x(x>0)1B ． sin x ＋sin x ≥ 2(x ≠k π， k ∈ Z )C ． x 2＋ 1≥2|x|(x ∈ R )1D.x 2 ＋ 1>1( x ∈ R ) 答案 C分析应用基本不等式： x ， y>0，x ＋y2 ≥ xy(当且仅当 x ＝ y 时取等号 ) 逐一剖析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当 x>0 时， x 2＋11＝ x ，≥··42所以 lg2＋ 1，应选项 A 不正确；x 4 ≥lg x( x>0) 运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当 x ≠k π， k ∈ Z 时， sin x 的正负不定，应选项 B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；1当 x ＝ 0 时，有 x 2＋ 1＝ 1，应选项 D 不正确．3． (2013 ·重庆 )对于 x 的不等式 x 2－ 2ax － 8a 2<0(a>0) 的解集为 (x 1， x 2) ，且 x 2－ x 1＝ 15，则 a 等于 ()5 7 A. 2B. 215 15 C. 4D. 2答案 A分析由 x 2 － 2ax － 8a 2<0 ，得 (x ＋ 2a)( x － 4a)<0，因 a>0，所以不等式的解集为 (－ 2a,4a) ，即x 2＝ 4a ， x 1＝－ 2a ，由 x 2－ x 1＝ 15，得 4a －( －2a)＝ 15，解得 a ＝ 52.4． (2014 ·重庆 )若 log 4(3a ＋4b)＝ log 2 ab ，则 a ＋ b 的最小值是 ( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C．6＋4 3D．7＋43答案Dab>0 ，a>0，分析由题意得ab≥0，所以b>0.3a＋4b>0，又 log 4(3a＋ 4b)＝ log 2 ab，所以 log 4(3a＋ 4b)＝ log4ab，43所以 3a＋ 4b＝ ab，故＋＝1.所以 a＋b＝ (a＋ b)(4＋3)＝ 7＋3a＋4ba b b a3a 4b≥7＋2· ＝7＋43，b a当且仅当3ab＝4ba时取等号．应选D.x＋ y－5≤05．已知变量 x， y 知足拘束条件x－ 2y＋ 1≤0，则 z＝x＋ 2y－ 1 的最大值为 ()x－ 1≥0A ．9B ． 8C． 7 D ． 6答案Bx＋ y－ 5≤0分析拘束条件x－2y＋ 1≤0所表示的地区如图，x－ 1≥0由图可知，当目标函数过A(1,4) 时获得最大值，故z＝ x＋ 2y－ 1 的最大值为1＋ 2×4－ 1＝ 8.二、填空题6．已知f(x)是R 上的减函数，A(3，－ 1)，B(0,1)是其图象上两点，则不等式|f(1 ＋ln x)|<1 的解集是 ________．答案(1，e2) e分析∵ |f(1＋ ln x)|<1，∴ － 1<f(1＋ ln x)<1 ，∴ f(3)< f(1＋ ln x)<f(0)， 又 ∵ f(x) 在 R 上为减函数，∴ 0<1 ＋ln x<3， ∴ － 1<ln x<2，12∴ e <x<e .x － y ≤0，7．若x ， y 知足条件x ＋ y ≥0，且 z ＝ 2x ＋ 3y 的最大值是5，则实数a 的值为 ________．y ≤a ，答案1分析 画出知足条件的可行域如图暗影部分所示，则当直线z ＝ 2x ＋ 3y 过点 A( a ， a)时， z ＝2x＋ 3y 获得最大值 5，所以 5＝ 2a ＋ 3a ，解得 a ＝1.8． 若点 A(1,1)在直线 2mx ＋ ny － 2＝0 上，此中 mn>0，则 1＋ 1的最小值为 ________．m n答案32＋ 2分析∵ 点 A(1,1)在直线 2mx ＋ ny － 2＝0 上，∴ 2m ＋ n ＝ 2，∵ 1 ＋ 1＝ ( 1 ＋ 1)2m ＋ n ＝ 1(2＋2m ＋ n＋ 1)m n m n 22n m1 2m n 3＋ 2，≥ (3＋2n· )＝2m 2当且仅当2m ＝ n，即 n ＝ 2m 时取等号，n m∴ 1＋ 1的最小值为3＋ 2.m n2三、解答题9．设会合 A 为函数 y ＝ln( － x 2－ 2x ＋8) 的定义域，会合B 为函数 y ＝ x ＋1的值域，会合 Cx ＋ 11为不等式 ( ax － a )(x ＋ 4) ≤0的解集．(1) 求 A ∩B ；(2) 若 C? ?R A ，求 a 的取值范围．解 (1)由－ x 2－ 2x ＋8>0 得－ 4< x<2，即 A ＝ (－ 4,2)．y＝ x＋1＝(x＋1)＋1－1，x＋ 1x＋ 1当 x＋ 1>0，即 x>－ 1 时 y≥2－ 1＝ 1，此时 x＝0，切合要求；当 x＋ 1<0，即 x<－ 1 时， y≤－ 2－ 1＝－ 3，此时 x＝－ 2，切合要求．所以 B＝ (－∞，－ 3]∪ [1，＋∞)，所以 A∩B＝ (－ 4，－ 3]∪ [1,2) ．1(2)(ax－a)( x＋ 4)＝ 0 有两根1 x＝－ 4 或 x＝ a2.1当 a>0 时， C＝{ x|－ 4≤x≤a2} ，不行能C? ?R A；当 a<0 时， C＝{ x|x≤－ 4 或 x≥a 12} ，若 C? ?R A，则121，a2≥2，∴a≤2∴ －22， 0)．2≤a<0.故 a 的取值范围为 [ －2132处获得极大值，在x＝ x2处获得极小值，且10．已知函数 f( x)＝ ax－bx＋ (2－ b)x＋ 1 在 x＝x130<x1<1< x2<2.(1)证明： a>0；(2)若 z＝ a＋ 2b，求 z 的取值范围．(1)证明求函数 f(x)的导数f′(x)＝ ax2－ 2bx＋ 2－ b.由函数 f(x)在 x＝ x1处获得极大值，在 x＝ x2处获得极小值，知 x1、 x2是 f′(x)＝0 的两个根，所以 f′(x)＝ a(x－ x1)(x－ x2) ．当 x<x1时， f(x)为增函数， f′(x)>0，由 x－ x1<0，x－ x2<0 得 a>0.f，(2) 解在题设下， 0<x1<1<x2<2 等价于 f，f，2－ b>0，即a－ 2b＋ 2－ b<0，4a－ 4b＋2－ b>0 ，化简得2－ b>0，a－ 3b＋ 2<0，4a－ 5b＋2>0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上的三条直线：2－ b ＝0， a － 3b ＋ 2＝ 0,4a － 5b ＋ 2＝0 所围成的 △ ABC 的内部，其三个极点分别为4 6 A 7，7 ， B(2,2)， C(4,2)．16z 在这三点的值挨次为， 6,8.所以 z 的取值范围为 (16， 8)．711．某工厂生产某种产品，每天的成本C(单位：万元 )与日产量 x(单位：吨 )知足函数关系式C＝ 3＋ x ，每天的销售额 S(单位：万元 )与日产量 x 的函数关系式S ＝ k＋ 5， 0<x<6，3x ＋ x － 814， x ≥ 6. 已知每天的收益 L ＝ S － C ，且当 x ＝ 2 时， L ＝ 3.(1) 求 k 的值；(2) 当天产量为多少吨时，每天的收益能够达到最大，并求出最大值．(1)由题意可得 L ＝ k＋2， 0<x<6，解2x ＋ x － 811－x ， x ≥6.k由于当 x ＝ 2 时， L ＝ 3，所以 3＝ 2×2＋＋ 2，解得 k ＝18.(2) 当 0<x<6 时， L ＝ 2x ＋ 18＋ 2，所以x － 818＋ 18＝－ [2(8 － x)＋18－ x18＋ 18＝6，L ＝ 2(x － 8)＋x － 88－ x ] ＋ 18≤－ 28－ x当且仅当 2(8－ x)＝ 18，即 x ＝ 5 时获得等号．8－x 当 x ≥6 时， L ＝11－ x ≤5.所以当 x ＝ 5 时 L 获得最大值 6.所以当天产量为 5 吨时，每天的收益能够达到最大，最大值为 6 万元．。

线性规划问题【例2】(1)(xx·安徽高考)不等式组⎩⎨⎧x ＋y －2≥0x ＋2y －4≤0x ＋3y －2≥0，表示的平面区域的面积为________．(2)(xx·湖北高考)某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为( )A ．31 200元B ．36 000元C ．36 800元D ．38 400元(3)(xx·全国新课标Ⅰ高考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3， p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3【解析】 (1)作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S △ABC ＝12×2×(2＋2)＝4.(2)先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．设租用A 型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x＋60y≥900，x＋y≤21，y－x≤7，x，y∈N，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min＝36 800(元)．(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≥1x－2y≤4表示的平面区域如图阴影部分．设z＝x＋2y，当z＝x＋2y过(2，－1)时z取得最小值0，结合四个命题中p1，p2正确．故选C.【答案】(1)4 (2)C (3)C【规律方法】 1.线性规划问题的三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是知最优解或可行域确定参数的值或取值范围．2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题：解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．2021年高考数学二轮复习线性规划问题2．(1)(xx·陕西质检)如果实数x，y满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋1≥0y＋1≥0x＋y＋1≤0，那么z＝4－x·2y的最大值为( )A．8 B．4 C．2 D．1【解析】可行域如图(阴影部分)所示，A，B，C的坐标分别为(－1,0)，(－2，－1)，(0，－1)，直线y＝2x＋t过点B(－2，－1)时，t取得最大值3，故z＝4－x·2y＝2－2x＋y的最大值为8，选A.【答案】 A(2)(xx·忻州联考)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥0x＋y≤3y≥x＋1表示的平面区域为Ω，直线y＝kx－1与区域Ω有公共点，则实数k的取值范围为( )A．(0,3] B．[－1,1]C．(－∞，3] D．[3，＋∞)【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．直线y＝kx－1显然经过定点M(0，－1)，由图形直接观察知，当直线y＝kx－1经过直线y＝x＋1和直线x＋y＝3的交【答案】 D点C (1,2)时，k 最小，此时k CM ＝2－－11－0＝3，因此k ≥3，即k ∈[3，＋∞)．故选D.q28510 6F5E 潞<23514 5BDA 寚27170 6A22 樢.k22259 56F3 図32528 7F10 缐31551 7B3F 笿27001 6979 楹222621 585D塝.。

2021年高考数学二轮复习 处理好“线性规划问题”的规划专题检测（含解析）1．实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥|x －1|，y ≤1，则不等式组所围成图形的面积为________．答案 1解析 实数x ，y 满足 ⎩⎨⎧y ≥|x －1|，y ≤1，它表示的可行域如图所示．不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，所以所围成图形的面积为12×2×1＝1.2．已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y .设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2，∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝________. 答案 6解析 画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.4．设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为________． 答案 (1,1＋2) 解析变形目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 21＋m <2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．5．若P 是满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y －2≤0，y >0表示的平面区域内的任意一点，点P 到直线3x＋4y －12＝0的距离为d ，则d 的取值范围是________．答案 [1，125)解析 作出可行域为△AOB (但不包括OB 上的点)及直线3x ＋4y －12＝0，如图所示．结合图形，可知点A (1,1)到直线3x ＋4y －12＝0的距离最小，最小值d min ＝|3＋4－12|5＝1；原点O (0,0)到直线3x ＋4y －12＝0的距离最大，最大值d max ＝|0×3＋0×4－12|5＝125.又y >0，所以d ∈[1，125)．6．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，则m 的取值范围是________．答案 (－∞，－23)解析 问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可得m <0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，故－m －2m －2>0，即m <－23.7．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值为________． 答案 3解析 如图所示，作出不等式组所表示的可行域，故当直线y ＝34x －14z 在x 轴上的截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由图，可知当y ＝34x －14z 经过点C 时z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －5y ＋10＝0，x ＋y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，即C (5,3)，故目标函数的最大值为z ＝3×5－4×3＝3.8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0表示的平面区域为Ω，其中k ≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k 的值为________． 答案 1解析 依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S △OAD ＋S △OBC 最小，又直线x ＋y ＋2＝0与y 轴的交点的坐标为A (0，－2)，直线x ＋y ＋2＝0与y ＝kx 的交点的坐标为D (－2k ＋1，－2kk ＋1)，直线y ＝kx 与x ＝1的交点的坐标为C (1，k )，k ≥0，所以S △OAD ＋S △OBC ＝12|OA |·|x D |＋12|OB |·|y C |＝2k ＋1＋12·k ＝2k ＋1＋12＋k 2－12＝2k ＋1＋k ＋12－12≥2－12＝32，当且仅当2k ＋1＝k ＋12时取等号，即k ＝1或k ＝－3(舍去)． 所以满足条件的k 的值为1.9．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元． 答案 22解析设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0,4)，B (0,8)，C (103，43)． 当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值．所以z min ＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元． 10．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________． 答案 4解析 由z ＝abx ＋y ，得y ＝－abx ＋z ，所以直线的斜率为－ab <0，作出可行域，如图，由图象，可知当y ＝－abx ＋z 经过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，8x －y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4， 即B (1,4)，代入z ＝abx ＋y ＝8，得ab ＋4＝8，即ab ＝4，所以a ＋b ≥2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以a ＋b 的最小值为4.11．给定区域D：⎩⎪⎨⎪⎧x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．12．(xx·盐城模拟)已知t是正实数，如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y≤t，x－y≤0，x≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．答案2＋2 2解析画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t，所以22t＋22t－t2＝1，求得t＝22－1＝22＋2，即t min＝2＋2 2. 29116 71BC 熼 v26521 6799 枙w3 25544 63C8 揈F[36175 8D4F 赏4<'。

第一讲 函数的图象与性质1．(2019·资阳模拟)函数f (x )＝的定义域为( )A ．(0,1]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[2，＋∞)解析：由x －1≥0，得x ≥1，∴0<x ≤12.函数f (x )＝的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12. 故选B. 答案：B2．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y ＝2sin x ＋cos x 在点(π，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －π－1＝0 B ．2x －y －2π－1＝0 C ．2x ＋y －2π＋1＝0D ．x ＋y －π＋1＝0解析：设y ＝f (x )＝2sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝2cos x －sin x ，∴f ′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y －(－1)＝－2(x －π)，即2x ＋y －2π＋1＝0.故选C. 答案：C3．(2019·郑州模拟)函数f (x )＝sin x 2＋cos x 的部分图象符合的是( )解析：函数f (x )是偶函数，图象关于y 轴对称，f (0)＝sin 0＋cos 0＝1，排除C ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin π24＋cos π2＝sin π24>0，排除A ，D ，故选B. 答案：B4．(2019·湛江一模)已知函数g (x )＝f (2x )－x 2为奇函数，且f (2)＝1，则f (－2)＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：∵g (x )为奇函数，且f (2)＝1， ∴g (－1)＝－g (1)，∴f (－2)－1＝－f (2)＋1＝－1＋1， ∴f (－2)＝1. 故选C. 答案：C5．(2019·烟台一模)函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，当x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ，则实数m ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：∵f (x )是定义在R 上的奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，且x <0时，f (x )＝log 2(－x )＋m ； ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝log 214＋m ＝－2＋m ＝－1； ∴m ＝1. 故选C. 答案：C6．(2019·成都模拟)已知定义域为R 的奇函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且当0≤x ≤1时，f (x )＝x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝( )A ．－278B ．－18C.18D.278解析：∵f (x )是奇函数，且图象关于x ＝1对称； ∴f (2－x )＝f (x )； 又0≤x ≤1时，f (x )＝x 3；∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－18.答案：B7．(2019·梧州一模)函数f (x )＝(e x＋1)ln x2e x－1(e 是自然对数的底数)的图象大致为( )解析：f (－x )＝(e －x＋1)ln (－x )2e －x －1＝(1＋e x )ln x 21－e x ＝－(e x ＋1)ln x2e x－1＝－f (x )， 则函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，C. 当x >1时，f (x )>0，排除D ， 故选A. 答案：A8．(2019·兰州模拟)已知函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，则以下关系成立的是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．a <b <cD ．a <c <b解析：根据题意，函数f (x )＝x ·ln 1＋x 1－x ，有1＋x1－x >0，解可得－1<x <1，即函数的定义域为(－1,1)，又由f (－x )＝(－x )ln 1－x 1＋x ＝x ·ln 1＋x1－x＝f (x )，则函数f (x )为偶函数；当 x ∈(0,1)时，y ＝x 与y ＝ln 1＋x1－x 都是增函数且都有y >0成立，则f (x )在(0,1)上为增函数，a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－1π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1π，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，又由14<1π<1e ，则有c <a <b ；故选A.9．(2019·武侯区校级模拟)已知函数f (x )为R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )单调递减，若f (2a )>f (1－a )，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ 解析：根据题意，函数f (x )为R 上的偶函数， 当x ≥0时，f (x )单调递减，则f (2a )>f (1－a )⇒f (|2a |)>f (|1－a |)⇒|2a |<|1－a |， 解可得：－1<a <13，即a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，13； 故选C. 答案：C10．(2019·聊城一模)设函数f (x )＝1e x －1＋a ，若f (x )为奇函数，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(0,1)B ．(－∞，ln 3)C ．(0，ln 3)D ．(0,2)解析：根据题意，函数f (x )＝1e x －1＋a ，其定义域为{x |x ≠0}．若f (x )为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫1e －x －1＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －1＋a ＝－1＋2a ＝0，解可得a ＝12，则f (x )＝1e x －1＋12由f (x )>1得1e x －1＋12>1，1e x－1－12>0， 2－e x＋12(e x－1)>0， e x－3e x－1<0， (e x－3)(e x－1)<0解得0＝ln 1<x <ln 3， 所以解集为(0，ln 3)．故选C. 答案：C11．(2019·江门一模)能把圆x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为周易函数．已知函数：①y ＝1x ；②y ＝14x ＋1－12；③y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2；④y ＝sin x ＋cos x ，在这些函数中，周易函数是( )A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③解析：由题意可得，“周易函数”能把圆x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分， 则其图象经过圆心(0,0)，且是奇函数； 据此依次分析选项：对于①，y ＝1x为奇函数，但不过原点，不符合题意；对于②，y ＝14x ＋1－12，有f (0)＝0，过原点，且f (－x )＝14－x ＋1－12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋1－12＝－f (x )，为奇函数，符合题意；对于③，y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，为正切函数，过原点且是奇函数，符合题意；对于④，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，不经过原点，不符合题意；则②③是周易函数； 故选D. 答案：D12．(2019·北镇市校级月考)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，已知函数f (x )＝e x1＋e x －12，则关于函数g (x )＝[f (x )]的叙述正确的是( )A ．g (x )是偶函数B ．g (x )是奇函数C ．g (x )的值域是{－1,0,1}D ．g (x )的值域是{－1,0}解析：根据题意，f (x )＝e x 1＋e x －12，则f (－x )＝e －x1＋e －x －12＝11＋e x－12， 则f (x )≠f (－x )且－f (x )≠f (－x )，则函数f (x )既不是奇函数又不是偶函数，A 、B 错误； 函数f (x )＝e x1＋e x －12＝12－11＋e x ，又由e x >0，则1＋e x>1， 则有－12<f (x )<12，则g (x )＝[f (x )]＝{－1,0}，C 错误，D 正确； 故选D. 答案：D13．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax.若f (ln 2)＝8，则a ＝________.解析：设x ＞0，则－x ＜0.∵当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，∴f (－x )＝－e －ax.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝e －ax，∴f (ln 2)＝e－a ln 2＝(eln 2)－a＝2－a.又∵f (ln 2)＝8，∴2－a＝8，∴a ＝－3. 答案：－314．(2019·山东潍坊模拟)已知奇函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，且f (1)＝1，f (2)＝2，则f (2 017)＋f (2 018)＝________.解析：因为f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，所以当x ＝－3时，有f (3)＝f (－3)＋f (3)，即f (－3)＝0，又f (x )为奇函数，所以f (3)＝0，所以f (x ＋6)＝f (x )，函数f (x )是以6为周期的周期函数，f (2 017)＋f (2 018)＝f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝f (1)＋f (2)＝3.答案：315．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，则对函数y ＝f (x )有下列判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④16．(2019·济宁模拟)已知函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}，其中min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，且它们的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，则x 1·x 2·x 3的最大值是________．解析：因为函数f (x )＝min{2x ，|x －2|}＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤4－23，2－x ，4－23<x <2，x －2，2≤x ≤4＋23，2x ，x >4＋23，作出其大致图象如图所示，若直线y ＝m 与函数f (x )的图象有三个不同的交点，则0<m <2(3－1)．不妨设x 1<x 2<x 3，则易知2x 1＝m ，所以x 1＝m 24；同理，2－x 2＝m ，所以x 2＝2－m ；x 3－2＝m ，所以x 3＝2＋m ，所以x 1·x 2·x 3＝m 24(2－m )(m ＋2)＝m 2(4－m 2)4≤14⎝⎛⎭⎪⎫m 2＋4－m 222＝1，当且仅当m 2＝4－m 2，即m ＝2时取等号．答案：1。

微专题六 解不等式及线性规划一、填空题1. 不等式|x 2－2|<2的解集是________．2. 设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤3，2x ＋y ≤4，则z ＝3x ＋2y 的最大值是________．3. 已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤1，|y |≤1，则z ＝2x ＋y 的最小值是________．4. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x ＋1|，x ≤1，(x －1)2，x >1，函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，则不等式g (x )≤2的解集为________．5. 已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，y ≤3，x ≤3，则z ＝5－x 2－y 2的最大值为________．6. 已知函数f (x )＝x ＋1|x |＋1，x ∈R ，则不等式f (x 2－2x )＜f (3x －4)的解集是________．7. 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≤0，2x －y ＋1≥0，x ＋4y －4≥0，则z ＝|x |＋|y －3|的取值范围是________．8. 已知函数f (x )＝x 2－kx ＋4，对任意x ∈[1,3]，不等式f (x )≥0恒成立，则实数k 的最大值为________．9. 设实数n ≤6，若不等式2xm ＋(2－x )n －8≥0对任意x ∈[－4,2]都成立，则m 4－n 4m 4n的最小值为________．10. 已知函数f (x )＝2x －1＋a ，g (x )＝bf (1－x )，其中a ，b ∈R .若关于x 的不等式f (x )≥g (x )的解的最小值为2，则a 的取值范围是________．二、解答题11. 解下列不等式： (1) |x 2－2|<2；(2) x －12x ＋1≤0.12. 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1) 求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2) 若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．13. 提出对农村要坚持精准扶贫，至 2022年底全面脱贫. 现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作. 经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植， 2022年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数. 从 2022年初开始，若该村抽出 5x 户(x ∈Z,1 ≤x ≤ 9) 从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据： 1.13＝ 1.331,1.153≈ 1.521，1.23＝ 1.728)．(1) 至 2022 年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于 1 万 6 千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？(2) 至 2022 年底，该村每户年均纯收入能否达到 1.35 万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．14. 已知函数f (x )＝2x 2＋ax －1，g (log 2x )＝x 2－x2a －2.(1) 求函数g (x )的解析式，并写出当a ＝1时，不等式g (x )＜8的解集；(2) 若f (x )，g (x )同时满足下列两个条件：①∃t ∈[1,4]，使f (－t 2－3)＝f (4t )； ②∀x ∈(－∞，a ]，g (x )<8. 求实数a 的取值范围．。

第 2 讲不等式与线性规划x－ y＋ 1≥0，1.(2016 课·标全国丙 )若 x，y 知足拘束条件x－ 2y≤0，则z＝x＋y的最大值为________. x＋ 2y－ 2≤0，3答案2x－ y＋ 1≥0，1分析知足拘束条件x－2y≤0，的可行域为以A(－2，－1)，B(0,1)，C 1，2为极点的x＋ 2y － 2≤013三角形内部及界限，如图，过 C 1，2时获得最大值2.2.(2016 浙·江改编 )已知实数 a， b， c，以下判断正确的选项是 ________.①若 |a2＋ b＋ c|＋ |a＋ b2＋ c| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100；②若 |a2＋ b＋ c|＋ |a2＋b－ c| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100；③若 |a＋ b＋c2|＋ |a＋ b－ c2| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100；④若 |a2＋ b＋ c|＋ |a＋ b2－ c| ≤1，则 a2＋ b2＋ c2＜ 100.答案④分析①中，设a＝b＝ 10，c＝－ 110，则 |a2＋ b＋ c|＋ |a＋b2＋c|＝ 0≤1， a2＋b2＋c2>100.②中，设a＝ 10， b＝－ 100， c＝ 0，则|a2＋ b＋ c|＋ |a2＋ b－ c|＝0≤1， a2＋ b2＋ c2>100.③中，设a＝ 100，b＝－ 100， c＝ 0，则|a＋ b＋ c2|＋ |a＋ b－c2 |＝0≤1， a2＋ b2＋ c2>100.∴④对 .3.(2016 上·海 )设 x∈R，则不等式 |x－ 3|<1 的解集为 ________.答案(2,4)分析－ 1<x－ 3<1 ，即 2<x<4，故解集为 (2,4).ax＋ y＝ 1，无解，则 a＋ b 的取值范围是4.(2016 上·海 )设 a>0，b>0，若对于 x，y 的方程组x＋ by＝ 1________.答案(2，＋∞)分析由已知得， ab＝ 1，且 a≠b，∴ a＋ b>2ab＝ 2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热门；二次不等式常与函数、数列联合考察一元二次不等式的解法和参数的取值范围；2.一元3.利用不等式解决本质问题.热门一不等式的解法1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋ bx＋ c>0( a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋ bx＋ c＝0(a≠0)的根，最后依据相应二次函数图象与x 轴的地点关系，确立一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法f(x)(1) g(x)>0(<0) ? f( x)g(x)>0(<0) ；f(x)(2) g(x)≥ 0( ≤?0)f(x)g(x) ≥ 0( ≤且0)g(x) ≠ 0.3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单一性求解.例 1(1) 已知函数 f(x)＝ x2＋ ax＋b( a，b∈R)的值域为 [0，＋∞)，若对于 x 的不等式 f(x)< c 的解集为 (m， m＋ 6)，则实数 c 的值为 __________.(2) 已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为x|x<－1或x>1，则 f(10 x)>0 的解集为 __________.2答案(1)9(2){ x|x<－ lg 2}22a2分析(1)由值域为 [0，＋∞)，可知当 x＋ ax＋ b＝ 0 时有＝ a － 4b＝ 0，即 b＝4，22a2 a 2∴ f(x)＝ x ＋ ax＋b＝ x ＋ ax＋＝x＋2 .4a2∴f(x)＝ x＋2 <c，解得－a a a c<x＋ <c，－ c－ <x<c－ .222∵不等式 f(x)<c 的解集为 (m， m＋ 6)，a a∴c－2－ (－c－2)＝ 2c＝ 6，解得 c＝ 9.(2) 由已知条件 0<10x<1，2解得 x<lg12＝－ lg 2.思想升华(1)对于和函数相关的不等式，可先利用函数的单一性进行转变；(2)求解一元二次不等式的步骤： 第一步， 二次项系数化为正数； 第二步， 解对应的一元二次方程； 第三步，如有两个不相等的实根， 则利用 “大于在两边， 小于夹中间 ”得不等式的解集； (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类议论.追踪操练 1(1)对于 x 的不等式 x 2－ 2ax － 8a 2<0(a>0) 的解集为 (x 1 ，x 2)，且 x 2－ x 1＝ 15，则 a＝ ________.(2) 不等式 2 x2－x ＜ 4 的解集为 ________.答案(1)5(2)(－ 1,2)2分析(1)由 x 2－ 2ax － 8a 2<0，得 (x ＋2a)( x － 4a)<0，因为 a>0 ，所以不等式的解集为 (－ 2a,4a)，即 x 2＝ 4a ， x 1＝－ 2a ，由 x 2 － x 1＝ 15，得 4a －(－52a)＝ 15，解得 a ＝ .2(2) ∵ 2 x 2－ x＜ 4＝22，∴ x 2－ x ＜ 2，即 x 2－ x － 2＜ 0，解得－ 1<x<2.热门二基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法例是： (1)假如 x>0 ， y>0， xy ＝ p(定值 )，当 x＝ y 时， x ＋y 有最小值 2 p(简记为： 积定，和有最小值 )；(2)假如 x>0 ，y>0，x ＋ y ＝ s(定值 )， 当 x ＝ y 时， xy 有最大值124s (简记为：和定，积有最大值 ).例 2(1) 已知 ab ＝ 1， a ，b ∈ (0,1)，则 1 ＋ 2的最小值为 ________.41－ a 1－ b1 1(2) 设实数 m ， n 知足 m>0， n<0，且 m ＋n ＝ 1，则 4m ＋n 有最 ________值，为 ________.答案 (1)4＋ 43 2 (2)大1分析(1)1＋2＝ 1 ＋21－ a1－ b1－ a11－4a＝2＋(4＋24－ 4a 4a － 1)＝2＋( 4 ＋2 [(4－ 4a)＋ (4a － 1)] 4a － 1)34－ 4a1 4(4a － 1) 2(4－ 4a)＝2＋2＋ (＋)3 4－4a4a － 114(4a － 1) 2(4－4a) ＝4＋ 4 2，≥4＋ 3×2 4－ 4a ·4a －1 3当且仅当 4(4a － 1)＝ 2(4－ 4a)时取等号 .4－ 4a 4a － 11 ＋1＝ 1，(2) 因为 m n1 ＋ 1 4m n所以 4m ＋ n ＝ (4m ＋ n)n ＝5＋ n ＋ m ，m又 m>0， n<0 ，所以－4m － n4m ＋ nnm ≥4，当且仅当 n ＝－ 2m 时取等号，故 5＋ n m ≤5－ 4＝ 1，当且仅当 m ＝12， n ＝－ 1 时取等号 .思想升华在利用基本不等式求最值时，要特别注意 “拆、拼、凑 ”等技巧，使其知足基本不等式中 “正 ”(即条件要求字母为正数 )、 “定 ”(不等式的另一边一定为定值 )、“等 ”(等号获得的条件 )的条件才能应用，不然会出现错误.追踪操练2(1)若正数a ，b 知足a ＋b ＝ 1，则 a ＋ b 的最大值为a ＋ 1b ＋ 1________.(2) 若圆 (x －2)2＋( y －2) 2＝9 上存在两点对于直线ax ＋ by －2＝ 0(a>0，b>0) 对称，则1＋ 9的最a b小值为________.答案(1)23(2)16分析 (1)∵正数 a ， b 知足 a ＋ b ＝1，∴a ＋b ＝ a(b ＋ 1)＋b(a ＋ 1)＝ 2ab ＋a ＋ ba ＋ 1b ＋ 1(a ＋ 1)(b ＋1)ab ＋ a ＋b ＋ 1＝ 2ab ＋ 1＝2(ab ＋ 2)－ 3＝2－ 3ab ＋ 2 ab ＋ 2 ab ＋ 2 ≤2－3＝ 2－ 3 ＝ 2，a ＋b2＋ 2 1＋ 2 3 2 4当且仅当 a ＝ b ＝ 12时取等号，∴ a ＋ b 的最大值为 2. a ＋ 1 b ＋ 13(2) 圆 (x － 2)2＋ (y － 2)2＝ 9 的圆心坐标为 (2,2)，由已知得直线 ax ＋ by － 2＝ 0 必经过圆心 (2,2)，即 a ＋b ＝ 1.1 9 1 9 b 9a ≥ 10＋2 b 9a＝ 16(当且仅当 b ＝ 9a，即 13时 所以 ＋ ＝( ＋ )( a ＋ b)＝ 10＋ ＋· a b a ＝ ， b ＝ a b a b a b a b 4 4等号建立 )，所以1a ＋9b 的最小值为16.热门三简单的线性规划问题解决线性规划问题第一要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形联合找到目标函数达到最值时可行域的极点 ( 或界限上的点 )，但要注意作图必定要正确，整点问题要考证解决 .xy ≥ － 2，例 3(1) 已知实数 x ，y 知足拘束条件3则 z ＝ x ＋ 2y 的最大值与最小值之y ≤2x ＋4，2x ＋ 3y － 12≤0，和为 ________.y ≤2，y ≥x － 2，且目标函数 z ＝－ kx ＋ y 当且仅当x ＝ 3，(2) 若变量 x ， y 知足拘束条件时15，y ＝ 1y ≥－2x ＋ 2获得最小值，则实数 k 的取值范围是 ________.答案(1)－ 2 (2) －1， 1218 16分析 (1)依据 x ，y 的拘束条件画出可行域， 如图暗影部分所示， 此中 A －5，－ 5 ，B(6,0) ，C(0,4).1 z18－16由 z ＝ x ＋ 2y 可知，当直线 y ＝－ 2x ＋ 2过点 A 时， z 取最小值，即 z min ＝－ 5 ＋2× 5 ＝－10；当直线 y ＝－ 1x ＋z过点 C 时， z 取最大值，即 z max ＝ 0＋ 2×4＝8，∴ z min ＋ z max ＝－ 2.22(2) 由题意知不等式组所表示的可行域为如下图的 △ABC 及其内部，此中 A(3,1) ， B(4,2) ，C(1,2). 将目标函数变形得y ＝ kx ＋ z ，当 z 获得最小值时， 直线的纵截距最小 .因为直线当且仅当经过点 (3,1)时纵截距最小，联合动直线y ＝ kx ＋ z 绕定点 A 旋转进行剖析，知－12<k<1，故所务实数 k 的取值范围是－ 1，1 .2思想升华(1) 线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求地区面积；三是确立目标函数中的字母系数的取值范围.(2)一般状况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或界限上获得.x≥0，追踪操练 3 (1)已知实数x， y 知足y≥0，则z＝4x＋y的取值范围是__________.x＋ y≤2，x＋ y≤1，(2)已知变量 x， y 知足拘束条件 x－ y≤1，若 x＋ 2y≥－ 5 恒建立，则实数 a 的取值范围为x≥a，__________.答案(1)[0,8] (2)[ －1,1]分析(1)作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示，由图知当目标函数z＝ 4x＋ y 经过点B(2,0)时 z 获得最大值，最大值为4×2＋ 0＝8；当目标函数z＝ 4x＋ y 经过点 O(0,0)时 z 获得最小值，最小值为4×0＋ 0＝0，所以 z＝4x＋ y 的取值范围是[0,8].(2)由题意作出不等式组所表示的平面地区，如图中暗影部分所示，则 x＋ 2y≥－ 5 恒建立可转变为图中的暗影部分在直线x＋ 2y＝－ 5 的上方，x － y ＝1，由x ＋ 2y ＝－ 5，x ＝－ 1， 得y ＝－ 2，x － y ＝1，x ＝ 1， 由得x ＋ y ＝ 1，y ＝ 0，则实数 a 的取值范围为 [－ 1,1].1.若点 A( a ， b)在第一象限，且在直线 x ＋ 2y ＝ 1 上，则 ab 的最大值为 ________.押题依照基本不等式在历年高考取的地位都很重要， 已成为高考的要点和热门，用基本不等式求函数 (和式或积式 ) 的最值问题，有时与分析几何、数列等知知趣联合.答案 18分析因为点 A(a ， b)在第一象限，且在直线x ＋ 2y ＝1 上，所以 a>0， b>0，且 a ＋2b ＝ 1，1 1 a ＋ 2b2 1 ，所以 ab ＝·a ·2b ≤ ·(2 ) ＝228当且仅当 a ＝ 2b ＝1，即 a ＝1， b ＝1时， “＝ ”建立 .22 42.在 R 上定义运算：a b x － 1 a － 2 ≥1对随意实数 x 恒建立，则c d＝ ad － bc ，若不等式xa ＋ 1实数 a 的最大值为 ________.押题依照不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考取是必考内容.常常与函数的单一性相联合，最后转变成一元一次不等式或一元二次不等式 .答案32x － 1 a － 2分析 由定义知，不等式a ＋1x ≥1等价于 x 2－ x － (a 2－ a － 2) ≥1，∴ x 2－ x ＋ 1≥a 2－a 对随意实数 x 恒建立，21 23 3∵ x － x ＋ 1＝ (x － )＋≥ ，2 4 4 23 1 3∴ a － a ≤ ，解得－≤a ≤ ，42 2则实数 a 的最大值为 32.x － 2y ＋4≥0，3x － y － 3≤0，3.已知实数 x ， y 知足1 则 z ＝ x ＋2y 的最小值为 ________.x ≥ ，2y ≥1，押题依照线性规划的本质是数形联合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热门.5 答案2分析由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中暗影部分所示的四边形ABCD 及其内部 .因为目标函数 z ＝ x ＋ 2y 可化为 y ＝－ x ＋ z ，其表示过可行域上的点 ( x ， y)，斜率为－ 1且在 y2 2 2轴上的截距为z1 ，1)时， z1 5 2的直线 .由图可知，当 z ＝ x ＋2y 过点 D(获得最小值 z min ＝ ＋2＝ .2224.若不等式 x 2＋ 2x<a ＋16b对随意 a ， b ∈ (0，＋ ∞)恒建立，则实数x 的取值范围是 ________.ba押题依照 “恒建立 ”问题是函数和不等式交汇处的重要题型， 可综合考察不等式的性质， 函数的值域等知识，是高考的热门. 答案(－ 4,2)2a 16b2a 16b 分析不等式 x ＋ 2x<b ＋ a 对随意 a ，b ∈ (0，＋ ∞)恒建立， 等价于不等式 x ＋ 2x<b ＋ amin .a 16b a 16ba 16b 因为对随意 a ， b ∈(0，＋ ∞)，b ＋ a ≥2 b ·a ＝ 8(当且仅当b ＝a ，即 a ＝ 4b 时取等号 )，所以 x 2＋ 2x<8，解得－ 4<x<2.A 组 专题通关1＋ a 21.若 log 2a 1＋ a <0 ，则 a 的取值范围是 ________.答案(1， 1)2分析11＋ a 2当 2a>1 ? a> 时，若 log 2a1＋a <0，21＋a 2则 0< 1＋ a <1? 0<a<1，∴12<a<1.当 1>2a>0? 0< a<12时，22若 log 2 a1＋a<0，则1＋ a>1? a>1，1＋ a 1＋ a此时无解 .2.(教材改编 )函数 y ＝ 1＋ 2x ＋ a ·4x 在 x ∈ (－∞，1]上 y>0 恒建立，则 a 的取值范围是 _________.答案(－ 3，＋ ∞)4分析由题意得 1 1111 12＋a>[ － ( x＋ xx，＋ ∞)，所以－ ( xx)＝－ (t4 2 )] max (x ≤ 1)，令 t ＝ 2 ，则 t ∈ [ 2 4 ＋2 t) ≤－3，进而 a>－ 3.44x ＋y ≤1，3.若实数 x ， y 知足拘束条件3x － y ≥0， 则 |3x －4y － 10|的最大值为 ________.y ≥0，答案494x ＋y ≤1，1， 3分析3x － y ≥0， 表示一个三角形 ABC 及其内部，此中 A(1,0)， B(0,0)，C( )，且可y ≥04 4行域在直线 3x － 4y －10＝ 0 上方，所以 |3x － 4y － 10|＝－ 3x ＋ 4y ＋ 10，过点 C(1，3)时取最大4 4值，为494.2 y 2 24.设 x ≥ 0,y ≥0， x ＋ ＝ 1，则 x1＋ y 的最大值为 ____________.2答案3 242y 2分析方法一∵ x ≥0,y ≥0,x ＋2＝1，2 222 1＋ y 2∴ x 1＋ y ＝ x (1＋ y ) ＝ 2x2x2＋ 1＋ y 2x2＋ y2＋ 13 222 22≤ 2 2＝ 2 ＝ 4 .当且仅当x ＝3 2 2 1＋ y 22获得最大值 3 2， y ＝2(即 x ＝2 )时， x1＋ y4.2方法二令 x ＝ cos θ，π(0 ≤θ≤ )，y ＝ 2sin θ2则 x 1＋y 2＝ cos θ 1＋ 2sin 2θ＝22 12cosθ(1＋ 2sin θ) ·2≤1 2cos 2θ＋ (1＋ 2sin 2θ) 2＝ 3 2 ， 2·[2] 4当 2cos 2θ＝ 1＋2sin 2θ，π 3 2 23 2即 θ＝ 时， x ＝， y ＝2时， x 1＋ y 获得最大值4.62x ≥1， 则 2y － 1的最大值为 ________. 5.已知实数 x ， y 知足拘束条件x ＋ y ≤5，x － y ≤－ 2， 2x ＋ 3答案751分析可行域为一个三角形ABC 及其内部， 此中 A(1,4)，B(1,3) ，C(3，7 )，而 2y － 1＝ y －2表2 2 2x ＋ 33x ＋24－ 1 示可行域内的点312 7.P( x ， y)到点 E(－， )连线的斜率，所以其最大值为k EA ＝ ＝22351＋ 26.若实数 x ， y 知足22＝ 1，则x － 2y2x ＋ xy － y2 2的最大值为 ________.5x － 2xy ＋ 2y答案24分析由题意得 (2x － y)(x ＋ y)＝ 1，令 2x － y ＝ t ， x ＋y ＝ 1， t1 1 1 2)，则 x ＝ (t ＋ )， y ＝ (－ t ＋ t 3 t 31 x － 2yt － t 所以 5x 2－ 2xy ＋2y 2＝ 1t 2＋ 2t＝ m|m| ≤ |m| ＝ 22 ≤ 2 ，m ＋ 2 m ＋ 2 2 2|m|4 1此中 m ＝ t － ，当且仅当 |m|＝2时取等号，x － 2y2 故 5x 2－2xy ＋ 2y2的最大值为4.7.要制作一个容积为4 m 3，高为 1 m 的无盖长方体容器 .已知该容器的底面造价是每平方米20 元，侧面造价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________元.答案 160分析由题意知，体积 V ＝ 4 m 3，高 h ＝ 1 m ，所以底面积 S ＝ 4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是 y元，则 y ＝20×4＋ 10× 2x ＋8≥ 80＋ 2088时获得等号 .x 2x ·＝ 160，当且仅当2x ＝ ，即 x ＝2xx8.已知 x>0， y>0，若2y ＋ 8x>m 2 ＋2m 恒建立，则实数 m 的取值范围是 ________.xy答案 (－ 4,2)分析由题意可得m 2＋ 2m 应小于2y＋8x的最小值，所以由基本不等式可得2y ＋ 8x≥ 2xyxy2y 8x · ＝8，x y所以 m 2＋2m<8? － 4<m<2.9.设 0<a<1，会合 A ＝ { x ∈R|x>0} ，B ＝ { x ∈ R|2x 2 －3(1＋ a)x ＋ 6a>0} ，D ＝ A ∩B ，求会合 D.(用区间表示 )解令 g(x)＝ 2x 2－ 3(1＋a)x ＋ 6a ，其对称轴方程为x ＝34(1＋ a)，＝ 9(1＋ a)2－48a ＝ 9a 2－30a ＋ 9＝3(3 a － 1)(a － 3).13①当 0<a ≤ 时， Δ≥0， x ＝ (1＋ a)>0 ，g(0) ＝6a>0，3 4方程 g(x)＝ 0 的两个根分别为20<x 1＝ 3a ＋ 3－ 9a － 30a ＋ 9<3a ＋ 3＋ 9a 2－ 30a ＋ 9x 2＝，43a ＋ 3－ 9a 2－ 30a ＋ 9∴ D ＝A ∩B ＝ 0，∪43a ＋ 3＋ 9a 2－ 30a ＋ 94，＋∞；1②当3<a<1 时，<0，则 g(x)>0 恒建立，所以 D＝ A∩B＝(0，＋∞).1综上所述，当0< a≤时，3D＝0， 3a＋ 3－9a2－ 30a＋ 9 ∪423a＋ 3＋9a － 30a＋ 9，＋∞；1当3<a<1 时， D＝ (0，＋∞ ).10.运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130 千米 (按交通法例限制50≤x≤ 100)(单位：千2x米 / 小时 ).假定汽油的价钱是每升 2 元，而汽车每小时耗油(2＋360)升，司机的薪资是每小时14元 .(1) 求此次行车总花费y 对于 x 的表达式；(2) 当 x 为什么值时，此次行车的总花费最低，并求出最低花费的值.解(1)行车所用时间为t＝ 130x (h) ，2130， x∈ [50,100].130xy＝x×2×(2＋360)＋ 14×x所以，此次行车总花费y 对于 x 的表达式是2 340＋ 13y＝x18x， x∈ [50,100].2 34013 2 34013(2) y＝x＋18x≥ 26 10，当且仅当x ＝18x，即 x＝ 18 10时，上述不等式中等号建立 .故当 x＝ 1810时，此次行车的总花费最低，最低花费为2610元 .B 组能力提升11.(2015 陕·西改编 )设 f(x)＝ ln x,0＜ a＜b，若 p＝f( ab)，q＝ f a＋ b，r＝1(f(a)＋ f(b)) ，则 p、22 q、 r 的大小关系为 ____________.答案p＝r ＜ q分析∵ 0＜ a＜ b，∴a＋b＞ ab，2又∵ f(x)＝ ln x 在(0 ，＋∞) 上为增函数，故 f a＋b＞ f(ab) ，即 q＞ p.21又 r ＝ 2(f(a)＋ f(b))1＝ 2(ln a ＋ ln b)111＝ 2ln a ＋ 2ln b ＝ ln( ab)2＝ f( ab)＝ p. 故 p ＝ r ＜ q.22x － y12.(2015 山·东 )定义运算 “?”： x?y ＝ xy (x ， y ∈R ， xy ≠ 0)，当 x ＞ 0，y ＞ 0 时， x?y ＋ (2y)?x的最小值为 ________.答案2x 2－ y 2 (2y)2－ x 2 x 2＋ 2y 22 x 2·2y 2分析由题意，得 x?y ＋(2y)?x ＝ xy ＋ 2yx ＝ 2xy ≥2xy ＝ 2，当且仅当 x ＝ 2y 时取等号 .x ≤0，13.设点 P(x ，y)知足条件 y ≥0，→ →点 Q(a ，b)( a ≤0， b ≥0)知足 OP ·OQ ≤1恒建立，此中 Oy ≤2x ＋ 2，是坐标原点，则 Q 点的轨迹所围成图形的面积是 ________.答案12分析→ →∵OP ·OQ ≤1，∴ ax ＋ by ≤1，∵点 P(x ， y)知足条件x ≤0，y ≥0， 的地区，如图暗影部分所示，y ≤2x ＋ 2→ →OP ·OQ ≤1，即 ax ＋ by ≤1，→ →且点 Q(a ， b)知足 OP ·OQ ≤1恒建立，只要点 P(x ， y) 在可行域内的交点处： A(－ 1,0)，B(0,2)， ax ＋ by ≤1建立刻可，－ a≤1，a≥－ 1，∴ 2b≤1，1即 b≤，a≤0， b≥0，2a≤0， b≥0，它表示一个长为 1 宽为1的矩形，其面积为1，故答案为1 222.14.提升过江大桥的车辆通行能力可改良整个城市的交通状况.在一般状况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米 / 小时 )是车流密度 x(单位：辆 /千米 )的函数 .当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成拥塞，此时车流速度为0 千米 /小时；当车流密度不超出 20辆/ 千米时，车流速度为 60 千米 /小时，研究表示：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数 .(1)当 0≤x≤ 200时，求函数 v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量 (单位时间内经过桥上某观察点的车辆数，单位：辆/ 小时) f(x)＝ x·v(x)能够达到最大，并求出最大值.(精准到 1 辆/小时 )解 (1)由题意：当 0≤x≤20时， v(x) ＝60；当 20≤x≤200时，设 v(x)＝ ax＋ b，明显 v(x)＝ ax＋200a＋ b＝ 0，b在 [20,200] 上是减函数，由已知得20a＋ b＝ 60，a＝－1 3，解得200b＝3，故函数 v(x)的表达式为60(0≤x<20) ，v(x)＝ 13(200 － x)(20≤x≤ 200).(2)依题意并由 (1) 可得60x(0≤x<20) ，f(x)＝ 1当 0≤x≤20时， f(x)为增函数，故当x＝ 20 时，其最大值3x(200－ x) (20≤x≤ 200)，1 1 x＋ (200－ x) 2＝10 000，当且仅当 x为 60×20＝1 200；当 20≤x≤200时， f(x)＝ x(200 － x) ≤[2]333＝ 200－ x，即 x＝ 100 时，等号建立，所以，当x＝ 100 时， f(x)在区间 [20,200] 上获得最大值10 000.3综上，当 x＝ 100时， f(x)在区间 [0,200] 上获得最大值10 000≈ 3 333，3即当车流密度为100 辆 /千米时，车流量能够达到最大，最大值约 3 333辆/小时 .。