(江苏专用)高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和练习(无答案)苏教版

高考数学专题复习练习题12---数列求通项、求和（理）1．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列2{}n a 的前10项和为（ ）A ．1041-B ．102(21)-C ．101(41)3-D ．101(21)3-2．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21n n S a =-，则{}n a 的通项公式为n a =（ ） A ．21n -B ．12n -C ．21n-D ．21n +3．数列{}n a 满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项和为（ ）A ．100-B ．100C ．110-D ．1104．已知数列{}n a 的通项公式为100n a n n=+，则122399100||||||a a a a a a -+-++-=L （ ） A ．150B ．162C ．180D ．2105．数列{}n a 中，10a =，1n n a a +-=，若9n a =，则n =（ ）A ．97B ．98C ．99D ．1006．在数列{}n a 中，12a =-，111n na a +=-，则2019a 的值为（ ） A ．2-B ．13 C ．12D ．327．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且13n n n S S a +=++，4523a a +=，则8S =（ ） A ．72B ．88C ．92D ．988．在数列{}n a 中，12a =，已知112(2)2n n n a a n a --=≥+，则n a 等于（ ）A ．21n + B ．2n C ．31n + D ．3n9．已知数列21()n a n n =-∈*N ，n T 为数列11{}n n a a +的前n 项和，求使不等式20194039n T ≥成立的最小 正整数（ ）一、选择题A ．2017B ．2018C ．2019D ．202010．已知直线20x y ++=与直线0x dy -+=互相平行且距离为m ，等差数列{}n a 的公差为d ，7835a a ⋅=，4100a a +<，令123||||||||n n S a a a a =++++L ，则m S 的值为（ ）A ．60B ．52C ．44D ．3611．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足3()()2f x f x -=，(2)3f -=-，数列{}n a 是等差数列， 若23a =，713a =，则1232020()()()()f a f a f a f a ++++=L （ ） A ．2-B ．3-C ．2D ．312．已知数列满足12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ，设4n nnb a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和．若n S λ<（常数），n ∈*N ，则λ的最小值为（ ）A ．32B ．94C ．3112D ．311813．已知数列{}n a 的通项公式为12n n a n -=⋅，其前n 项和为n S ，则n S = ．14．设数列{}n a 满足1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，112a =，n a = ． 15．已知数列{}n a 满足1(1)(2)nn n a a n n ---=≥，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则40S = ．16．等差数列{}n a 中，3412a a +=，749S =，若[]x 表示不超过x 的最大整数，（如[0.9]0=，[2.6]2=，）．令[lg ]()n n b a n =∈*N ，则数列{}n b 的前2000项和为 ．1．【答案】C答 案 与 解 析二、填空题一、选择题【解析】∵21n n S =-，∴1121n n S ++=-，∴111(21)(21)2n n nn n n a S S +++=-=---=， 又11211a S ==-=，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，∴2121(2)4n n n a --==，∴所求值为1010141(41)143-=--． 2．【答案】B【解析】当1n =时，11121S a a =-=，∴11a =；当2n ≥时，1122n n n n n a S S a a --=-=-，∴12n n a a -=，因此12n n a -=．3．【答案】A【解析】121a a +=-，343a a +=-，565a a +=-，787a a +=-，…， 由上述可知，1219201191(13519)1101002a a a a +++++=-⨯++++=-⨯⨯=-L L ． 4．【答案】B【解析】由对勾函数的性质知：当10n ≤时，数列{}n a 为递减； 当10n ≥时，数列{}n a 为递增，故12239910012239101110||||||()()()()a a a a a a a a a a a a a a -+-++-=-+-++-+-L L12111009911010010()()1100(1010)(1001)a a a a a a a a +-++-=-+-=+-+++-L (1010)162+=．5．【答案】D【解析】由1n n a a +-==，利用累加法可得，∴11)n a a -=+++L 1=，∵10a =，∴19n a ==10=，100n =． 6．【答案】B【解析】由题意得，12a =-，111n n a a +=-，∴213122a =+=，321133a =-=，4132a =-=-，…， ∴{}n a 的周期为3，∴20193673313a a a ⨯===． 7．【答案】C【解析】∵13n n n S S a +=++，∴113n n n n S S a a ++-=+=， ∴13n n a a +-=，∴{}n a 是公差为3d =的等差数列，又4523a a +=，可得12723a d +=，解得11a =，∴81878922S a d ⨯=+=． 8．【答案】B 【解析】将等式1122n n n a a a --=+两边取倒数，得到11112n n a a -=+，11112n n a a --=， 1{}n a 是公差为12的等差数列，1112a =，根据等差数列的通项公式的求法得到111(1)222n n n a =+-⨯=，故2n a n=． 9．【答案】C【解析】已知数列21()n a n n =-∈*N ，∵111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)()()(1)2335212122121n n T n n n n ⎡⎤=-+-++-=-=⎢⎥-+++⎣⎦L ， 不等式20194039n T ≥，即2019214039n n ≥+，解得2019n ≥， ∴使得不等式成立的最小正整数n 的值为2019． 10．【答案】B【解析】由两直线平行得2d =-，由两直线平行间距离公式得10m ==，∵77(2)35a a ⋅-=，得75a =-或77a =， ∵410720a a a +=<，∴75a =-，29n a n =-+，∴12310|||||||||7||5||5||7||9||11|52m S a a a a =++++=+++-+-+-+-=L L ． 11．【答案】B【解析】由函数()f x 是奇函数且3()()2f x f x -=，得(3)()f x f x +=， 由数列{}n a 是等差数列，若23a =，713a =，可得到21n a n =-， 可得123456()()()()()()0f a f a f a f a f a f a ++=++=，则其周期为3，12320201()()()()()3f a f a f a f a f a ++++==-L ．12．【答案】C【解析】∵12323(21)3nn a a a na n ++++=-⋅L ①，当2n ≥时，类比写出12323a a a ++++L 11(1)(23)3n n n a n ---=-⋅②， 由①-②得143n n na n -=⋅，即143n n a -=⋅．当1n =时，134a =≠，∴13,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，14,13,23n n n b n n -⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩， 214233333n n n S -=++++=L 021*********n n-+++++L ③， 2311112313933333n n n n nS --=++++++L ④， ③-④得，0231112211111231393333339313n n n n n n n S --=++++++-=+--L ，∴316931124312n n n S +=-<⋅，∵n S λ<（常数），n ∈*N ，∴λ的最小值是3112．13．【答案】(1)21nn -+【解析】由题意得01221122232(1)22n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ①，∴1221222n S =⨯+⨯3132(1)22n n n n -+⨯++-⋅+⋅L ②，①-②得231121222222(1)2112nn nn n n S n n n ---=+++++-⋅=-⋅=-⋅--L ，∴(1)21nn S n =-+．14．【答案】21n n +【解析】∵1(1)()2n n n na n a n n +-+=∈+*N ，∴11111(2)(1)12n n a a n n n n n n +-==-+++++，∴11111n n a a n n n n --=--+，…，21112123a a -=-，累加可得11121n a a n n -=-+， 二、填空题∵112a =，∴1111n a nn n n =-=++，∴21n n a n =+． 15．【答案】440【解析】由1(1)(2)nn n a a n n ---=≥可得：当2n k =时，2212k k a a k --=①；当21n k =-时，212221k k a a k --+=-②； 当21n k =+时，21221k k a a k ++=+③；①+②有：22241k k a a k -+=-，③-①得有：21211k k a a +-+=， 则40135739()S a a a a a =+++++L24640109()110(71523)1071084402a a a a ⨯+++++=⨯++++=+⨯+⨯=L L ． 16．【答案】5445【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，∵3412a a +=，749S =，∴12512a d +=，1767492a d ⨯+=，解得11a =，2d =， ∴12(1)21n a n n =+-=-，[lg ][lg(21)]n n b a n ==-，1,2,3,4,5n =时，0n b =；650n ≤≤时，1n b =； 51500n ≤≤时，2n b =； 5012000n ≤≤时，3n b =，∴数列{}n b 的前2000项和454502150035445=+⨯+⨯=．。

微专题十七 数列的通项与求和一、填空题1. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是________．2. 已知数列{a n }满足a 1为正整数，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n 2， a n 为偶数，3a n ＋1，a n 为奇数.若a 1＝5，则a 1＋a 2＋a 3＝________.3. 已知数列{a n }满足a n ＝1n ＋n ＋1，则其前99项和S 99＝________.4. 若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.5. 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.6. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，S n ＝kn 2－1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为________．7. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·(2n －1)cos n π2＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S 60＝________.8. 如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝33(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．9. 定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 019a 2 017＝________.10. 已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足4S n ＝(a n ＋1)2，设b n ＝a 2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n (n∈N＋)，则当T n>2 017时，n的最小值为________．二、解答题11. 设数列{a n}的前n项和为S n，已知S n＋1＝pS n＋q(p，q为常数，n∈N*)，且a1＝2，a2＝1，a3＝q－3p.(1) 求p，q的值；(2) 求数列{a n}的通项公式．12. 已知数列{a n}为等差数列且公差d≠0，{a n}的部分项组成等比数列{b n}，其中b n＝ak n，若k1＝1，k2＝5，k3＝17，(1) 求k n；(2) 若a1＝2，求{a n k n}的前n项和S n.13. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝17，S10＝100.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{b n}满足b n＝a n cos nπ＋2n(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和．14. 已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝a，(a n＋1)(a n＋1＋1)＝6(S n＋n)，n∈N*.(1) 求数列{a n}的通项公式；(2) 若∀n∈N*，都有S n≤n(3n＋1)成立，求实数a的取值范围．。

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关： 数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、 数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案： 数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动 数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式 递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -． 所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-． 点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

数列的通项公式与求和112342421{},1(1,2,3,)3(1),,{}.(2)n n n n n na n S a a S n a a a a a a a +===+++ 数列的前项为且，求的值及数列的通项公式求1112{},1(1,2,).:(1){};(2)4n n n n nn n n a n S a a S n nS nS a +++==== 数列的前项和记为已知，证明数列是等比数列*121{}(1)()3(1),;(2):{}.n n nn n a n S S a n N a a a =-∈ 已知数列的前项为，求求证数列是等比数列11211{},,.2n n n n a a a a a n n +==++ 已知数列满足求练习1 练习2 练习3 练习4112{},,,.31n n n n n a a a a a n +==+ 已知数列满足求111511{},,().632n n n n n a a a a a ++==+ 已知数列中,求111{}:1,{}.31n n nn n a a a a a a --==⋅+ 已知数列满足，求数列的通项公式练习8 等比数列{}n a 的前n 项和Sｎ＝2ｎ－１，则2232221na a a a ++++练习9 求和：5，55，555，5555，…，5(101)9n-，…；练习5 练习6练习7练习10 求和：1111447(32)(31)n n+++⨯⨯-⨯+练习11 求和：111112123123n ++++= +++++++练习12 设{}na是等差数列，{}nb是各项都为正数的等比数列，且111a b==，3521a b+=，5313a b+=（Ⅰ）求{}na，{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S．答案练习1答案：练习2 证明： (1)注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知第二条式子得： S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2) nS(n+1)=S(n)*(2n+2) S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0 所以{S(n)/n}是等比数列 (2)由(1)知，{S(n)/n}是以1为首项，2为公比的等比数列。

第2讲 数列的通项与求和答案/+]—步2. （2017-苏北四市期末）已知数列仏｝满足a n+2=a n+\-a nf 且4=2,血=3,则血oi6的值为解析 由题意得，。

3 =。

2 —。

1 = 1, 04 = ^3 —。

2= —2 ,。

5 =。

4 —。

3= —3, 06 = ^5 —。

4= — 1，=06—05=2,・•・数列｛如｝是周期为6的周期数列，而2 016 = 6x336, ・・・Q2（）I 6=Q6= — 1. 答案一1” 13. _________________________________________________________________ （2017-全国II 卷）等差数列仏｝的前〃项和为S”,旳=3, $4=10,则玄j 瓦= ___________________ ・解析设｛外｝首项为4,公差为d,贝q"1 _ 2 2 2 2A Sk “2 + 2x3 +…+〃 (H — 1 ) +〃 (H + 1 ) <11111+1 I77 — 1 n n 斤+1 丿2n4. （2017-泰州模拟）数列｛如｝满足外+砌+]=*用1＜）,且ai = l, S 〃是数列仏｝的前刃项和，则S21 = ______________ •解析由 a n -\-a n+\ — ㊁=Q 〃+1+Q 〃+2，••・Q 〃+2 = Q"，…，则其前乃项和必为 _________1-851-歹31-丫11,.S*(l+2“-1)Q3=Qi + 2〃=3, S4=4QI +=10,得Q1 = 1， n (n +1) d=\. ・・・s=厂Sk 1x2 ' 2x3 =2[1-知4-扣…+答案 2nz?+1则 d 1 = 03 ==…=1，= • • • =。

20， 「•S21 —a\ +@2 + 03) + (04 + 05) +…+(Q2o + Q2i)= l + 10x*=6.答案61005. (2017-南通、扬州、泰州调研)设数列｛如满足4 = 1, (1 — tz /?+])(1 + a n ) = 1 («eN*)，则Q (阳& + i)的值为 ______ .解析 由(1 —a 卄i)(l+Q “)=1 得 a”—a”+i=a”Q”+i ，则 一~=1 > 又丁 =1,则数列｛丁[是以 1°卄 1 an ｛an)11 100为首项，1 为公差的等差数列，则 T=n, Cl n=~9y ⑷at+i) = (d]—G2)+ (d2 —。

（江苏专用）高考数学二轮复习微专题十七数列的通项与求和讲义（无答案）苏教版微专题十七数列的通项与求和在近三年的高考题中，数列的通项与求和一直是高考重点，填空题中主要涉及等差、等比的通项与求和，解答题主要是考察和项共存或者复杂关系式下的通项与和的求解以及性质的论证问题．年份填空题解答题2017 T9等比数列的基本量T19考察等差数列的综合问题2018 T14等差、等比数列的综合问题T19考察等差、等比数列的综合问题2019 T8等差数列T20等差、等比的综合问题目标1 根据递推关系式求a n例1 (1) 已知数列{a n}满足a1＝2，且对任意n∈N*，恒有na n＋1＝2(n＋1)a n.求数列{a n}的通项公式；(2) 已知数列{a n}满足a n＝a n－1－a n－2(n≥3，n∈N*)，它的前n项和为S n.若S9＝6，S10＝5，则a1的值为________．点评：【思维变式题组训练】1.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋a n (n ∈N *)，试归纳出数列的通项a n ＝________.2.设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则通项公式a n＝________.3.已知数列{a n }的首项为1，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋12n －1＋1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________.目标2 由S n 与a n 的关系求通项例2 已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a na n S n －S 2n＝1成立，则S 2019＝________.例3 已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *.(1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式． 点评：【思维变式题组训练】1.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－2n 2＋3n ，则数列{a n }的通项公式为________． 2.若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.3.若数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＋1＋S n ＝1a n ＋1，则a 25＝________.4.已知各项均为正数的数列{a n }的首项a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足a n S n ＋1－a n ＋1S n ＋a n －a n ＋1＝12a n a n ＋1(n ∈N *)．(1) 求证：⎩⎨⎧⎭⎪⎫S n ＋1a n 是等差数列； (2) 求数列{a n }的通项a n .目标3 通过错位相减求和例4 已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4.(1) 求{a n }和{b n }的通项公式；(2) 求数列{a 2n b 2n －1}的前n 项和(n ∈N *)． 点评：【思维变式题组训练】已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1) 求数列{a n }通项公式；(2) {b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和S n ，已知S 2n ＋1＝b n b n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n项和T n .目标4 通过拆项、裂项等手段求和例5 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1) 求数列{a n }的通项公式a n ；(2) 令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 点评：【思维变式题组训练】1.数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前10项和为________．2.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列．(1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋6(n ＋1)S n 的前n 项和为T n ，求证：T n <2.目标5 分组求和例6 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *满足2S n ＝a n (a n ＋1)，且a n >0. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设c n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，)求数列{c n }的前2n 项和T 2n .点评：【思维变式题组训练】已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .。

高三数学数列通项与数列求和苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列通项与数列求和二. 教学要求：掌握数列的通项公式的求法与数列前n 项和的求法。

能通过转化的思想把非等差数列与非等比数列转化为两类基本数列来研究其通项与前n 项的和。

三. 教学重点、难点：重点：等差数列与等比数列的求和，及其通项公式的求法。

难点：转化的思想以及转化的途径。

四. 基本内容及基本方法1、求数列通项公式的常用方法有：观察法、公式法、待定系数法、叠加法、叠乘法、S n 法、辅助数列法、归纳猜想法等；（1）根据数列的前几项，写出它的一个通项公式，关键在于找出这些项与项数之间的关系，常用的方法有观察法、通项法，转化为特殊数列法等．（2）由S n 求a n 时，用公式a n ＝S n －S n －1要注意n ≥2这个条件，a 1应由a 1＝S 1来确定，最后看二者能否统一．（3）由递推公式求通项公式的常见形式有：a n ＋1－a n ＝f （n ），nn a a 1＝f （n ），a n ＋1＝pa n ＋q ，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）． 2、数列的前n 项和（1）数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、错位相减法、裂项相消法、倒序求和法等。

求数列的前n 项和，一般有下列几种方法： （2）等差数列的前n 项和公式： S n ＝ ＝ ． （3）等比数列的前n 项和公式： ①当q ＝1时，S n ＝ ． ②当q ≠1时，S n ＝ ．（4）倒序相加法：将一个数列倒过来排列与原数列相加．主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和．（5）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． （6）裂项求和法：把一个数列分成几个可直接求和的数列． 方法归纳：①求和的基本思想是“转化”。

其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和。

压轴题07数列的通项、求和及综合应用数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与数学归纳法的结合问题，也应适度关注．考向一：数列通项、求和问题考向二：数列性质的综合问题考向三：实际应用中的数列问题考向四：以数列为载体的情境题考向五：数列放缩1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列{}n a 满足1n n a a d +-=（常数）（2n ≥，n *∈N ）不能判断数列{}n a 为等差数列，需要补充证明21a a d -=；2、数列{}n a 满足212n n n a a a +++=()*n ∈N ，则{}n a 是等差数列；3、数列{}n b 满足1n n b qb +=()*n ∈N ，q 为非零常数，且10b ≠，则{}n b 为等比数列；4、在处理含n S ，n a 的式子时，一般情况下利用公式n a =1*1,1,2,n n S n S S n n - =⎧⎨-∈⎩N≥且，消去n S ，进而求出{}n a 的通项公式；但是有些题目虽然要求{}n a 的通项公式，但是并不便于运用n S ，这时可以考虑先消去n a ，得到关于n S 的递推公式，求出n S 后再求解n a ．5、遇到形如1()n n a a f n +-=的递推关系式，可利用累加法求{}n a 的通项公式，遇到形如1()n na f n a +=的递推关系式，可利用累乘法求{}n a 的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足进行检验．6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求解该数列的通项公式：（1）形如1n n a pa q +=+（1p ≠，0q ≠），可变形为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，则1n q a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11q a p +-为首项，以p 为公比的等比数列，由此可以求出n a ；（2）形如11n n n a pa q ++=+（1p ≠，0q ≠），此类问题可两边同时除以1n q +，得111n n n n a a p q q q ++=⋅+，设n n n a b q =，从而变成1n b +=1n pb q+，从而将问题转化为第（1）个问题；（3）形如11n n n n qa pa a a ++-=，可以考虑两边同时除以1n n a a +，转化为11n nq pa a +-=的形式，设1n nb a =，则有11n n qb pb +-=，从而将问题转化为第（1）个问题．7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论．81k=，1111()n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．常见的裂项公式：（1）111(1)1n n n n =-++；（2）1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（3）1111(2)22n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（4）1111(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦；（5）(1)(2)(1)(1)(1)3n n n n n n n n ++--++=．9、用错位相减法求和时的注意点：（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．10、分组转化法求和的常见类型：（1）若n n n a b c =±，且{}n b ，{}n c 为等差或等比数列，可采用分组求和法求{}n a 的前n 项和；（2）通项公式为,, n n nb n ac n ⎧=⎨⎩奇数偶数，其中数列{}n b ，{}n c 是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和；（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．11、在等差数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a +=+=．在等比数列{}n a 中，若2m n s t k +=+=（m ，n ，s ，t ，k *∈N ），则2m n s t k a a a a a ==．12、前n 项和与积的性质（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ．①n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等差数列，公差为2n d ．②n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也是等差数列，且122n S d d n a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，公差为2d ．③若项数为偶数2k ，则 S S kd -=奇偶，1k kS a S a +=偶奇．若项数为奇数21k +，则1 k S S a +-=奇偶，1S k S k+=奇偶．（2）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为.n S ①当1q ≠-时，n S ，2n n S S -，32n n S S -，…也成等比数列，公比为.n q ②相邻n 项积n T ，2n n T T ，32n nT T ，…也成等比数列，公比为()nn q 2n q =．③若项数为偶数2k ，则()2111k a q S S q--=+奇偶，1S S q=奇偶；项数为奇数时，没有较好性质．13、衍生数列（1）设数列{}n a 和{}n b 均是等差数列，且等差数列{}n a 的公差为d ，λ，μ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ ()*,k m ∈N 也是等差数列，公差为kd ．②数列{}n a λμ+，{}n n a b λμ±也是等差数列，而{}na λ是等比数列．（2）设数列{}n a 和{}n b 均是等比数列，且等比数列{}n a 的公比为q ，λ为常数．①{}n a 的等距子数列{}2,,,m m k m k a a a ++ 也是等比数列，公比为k q ．②数列{}(0)n a λλ≠，(0)n a λλ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭，{}n a ，{}n n a b ，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}mn a也是等比数列，而{}log a n a ()010n a a a >≠>，，是等差数列．14、判断数列单调性的方法（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）方法1：利用数列的单调性；方法2：设最大值项为n a ，解方程组11n n nn a a a a -+⎧⎨⎩≥≥，再与首项比较大小．一、单选题1．（2023·上海闵行·统考二模）若数列{}n b 、{}n c 均为严格增数列，且对任意正整数n ，都存在正整数m ，使得[]1,m n n b c c +∈，则称数列{}n b 为数列{}n c 的“M 数列”．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列选项中为假命题的是（）A ．存在等差数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”B ．存在等比数列{}n a ，使得{}n a 是{}n S 的“M 数列”C ．存在等差数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”D ．存在等比数列{}n a ，使得{}n S 是{}n a 的“M 数列”2．（2023·全国·模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1530S =，160S <，则（）A ．当15n =时，n S 最大B ．当16n =时，n S 最小C ．数列{}n S 中存在最大项，且最大项为8SD ．数列{}n S 中存在最小项3．（2023·山西·校联考模拟预测）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若70a >，70S <，则（）A ．360a a +<B ．580a a +>C ．47S S <D ．1493S a >4．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足：212n n n a a a +++=对*n ∈N 恒成立，且981a a <-，其前n 项和n S 有最大值，则使得0n S >的最大的n 的值是（）A ．10B ．12C ．15D ．175．（2023·北京门头沟·统考一模）已知数列{}n a 满足11a =，2112n n n a a a +=-.给出下列四个结论：①数列{}n a 每一项n a 都满足*01()n a n <≤∈N ；②数列{}n a 的前n 项和2n S <；③数列{}n a 每一项都满足21n a n ≤+成立；④数列{}n a 每一项n a 都满足1*1(()2n n a n -≥∈N .其中，所有正确结论的序号是（）A ．①③B ．②④C ．①③④D ．①②④6．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知一族曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+== ．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y ．则下列结论错误的是（）A ．数列{}n x 的通项为1n nx n =+B ．数列{}n y的通项为n y =C ．当3n >时，1352111n n nx x x x x x --⋅⋅⋅>+ Dnnxy <7．（2023·河南信阳·校联考模拟预测）在正三棱柱111ABC A B C -中，若A 点处有一只蚂蚁，随机的沿三棱柱的各棱或各侧面的对角线向相邻的某个顶点移动，且向每个相邻顶点移动的概率相同，设蚂蚁移动n 次后还在底面ABC 的概率为n P ，有如下说法：①112P =；②21325P =；③12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列；④11111052n n P -⎛⎫=-⨯-+ ⎪⎝⎭，其中说法正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）给定函数()f x ，若数列{}n x 满足()()1n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为函数()f x 的牛顿数列．已知{}n x 为()22f x x x =--的牛顿数列，2ln1n n n x a x -=+，且()11,1n a x n +=<-∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ．则2023S =（）A ．202321-B ．202421-C ．2022112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．2023112⎛⎫- ⎪⎝⎭9．（2023·河南安阳·统考二模）已知数列{}n x 和{}n a 满足()212223n n n n x x x x +-=>-，2ln1n n n x a x -=-，11a =．若()22n n n b a a n *++=+∈N ，124b b +=，则数列{}n n b a -的前2022项和为（）A ．20222B ．20202C ．202224-D ．202023-10．（2023·北京海淀·清华附中校考模拟预测）已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =-，746a a -=，若对于任意的*n ∈N ，总有n m S S ≥恒成立，则m =（）A ．6B ．7C ．9D ．10二、多选题11．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如果有限数列{}n a 满足()11,2,,i n i a a i n -+== ，则称其为“对称数列”，设{}n b 是项数为()*21N k k -∈的“对称数列”，其中121,,,k k k b b b +- 是首项为50，公差为4-的等差数列，则（）A ．若10k =，则110b =B ．若10k =，则{}n b 所有项的和为590C ．当13k =时，{}n b 所有项的和最大D ．{}n b 所有项的和可能为012．（2023·湖南益阳·统考模拟预测）如图，有一列曲线1Ω，2Ω，L ，n Ω，L ，且1Ω是边长为6的等边三角形，1i +Ω是对(1,2,)i n Ω= 进行如下操作而得到：将曲线i Ω的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到1i +Ω，记曲线(1,2,)n n Ω= 的边长为n a ，周长为n c ，则下列说法正确的是（）A ．212(3n n a -=⋅B ．52569c =C ．在3Ω中OA OC OD OC ⋅=⋅D ．在3Ω中40OB OC ⋅=13．（2023·浙江·统考二模）“冰雹猜想”也称为“角谷猜想”，是指对于任意一个正整数x ，如果x 是奇数㩆乘以3再加1，如果x 是偶数就除以2，这样经过若干次操作后的结果必为1，犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想”，提出了如下问题：设*N k ∈，各项均为正整数的数列{}n a 满足11a =，1,,2,,nn n n n a a a a k a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数则（）A ．当5k =时，54a =B ．当5n >时，1n a ≠C ．当k 为奇数时，2n a k≤D ．当k 为偶数时，{}n a 是递增数列14．（2023·重庆九龙坡·统考二模）已知数列{}n a 满足12a =，11,2,n n n n a n a a n ++⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，设2n n b a =，记数列{}n a 的前2n 项和为2n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（）A ．524a =B ．2nn b n =⋅C ．12n n T n +=⋅D ．()122122n n S n +=-+15．（2023·河北唐山·统考二模）如图，ABC 是边长为2的等边三角形，连接各边中点得到111A B C △，再连接111A B C △的各边中点得到222A B C △，…，如此继续下去，设n n n A B C 的边长为n a ，n n n A B C 的面积为n M ，则（）A ．234n n M =B ．2435a a a =C ．21222nn a a a -++⋅⋅⋅+=-D．12n M M M ++⋅⋅⋅+16．（2023·浙江金华·模拟预测）已知定义在R 上且不恒为0的函数()f x ，若对任意的,R x y ∈，都有()()()f xy xf y yf x =+，则（）A ．函数()f x 是奇函数B ．对*N n ∀∈，有()()nf x nf x =C ．若()22f =，则()()()23(2)222(1)2-2n nf f f f n ++++=+ D ．若(2)2f =，则2310111122210232123101024f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭++++=-三、填空题17．（2023·广西·统考模拟预测）有穷数列{}n a 共有k 项，满足127a =，2737a =，且当*n ∈N ，3n k ≤≤时，211n n n n a a a ---=-，则项数k 的最大值为______________．18．（2023·江西九江·校联考模拟预测）著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数()f x ，若数列{}n x 满足1()()n n n n f x x x f x +=-'，则称数列{}n x 为牛顿数列，若函数2()f x x =，2log n n a x =，且11a =，则8a =__________.19．（2023·北京石景山·统考一模）项数为(),2k k k *∈≥N 的有限数列{}n a 的各项均不小于1-的整数，满足123123122220k k k k k a a a a a ----⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=，其中10a ≠.给出下列四个结论：①若2k =，则22a =；②若3k =，则满足条件的数列{}n a 有4个；③存在11a =的数列{}n a ；④所有满足条件的数列{}n a 中，首项相同.其中所有正确结论的序号是_________.20．（2023·广西·统考一模）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有10层，则该锥垛球的总个数为___________.（参考公式：()2222*(1)(21)1236n n n n n ++++++=∈N ）21．（2023·陕西渭南·统考二模）已知数列{}n a 中，11,0n a a =>，前n 项和为n S .若)*1N ,2n n n a S S n n -=∈≥，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2023项和为___________.22．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足：()*122n n n a a a n ++=+∈N ，且3a ，7a 为方程218650x x -+=的两根，且73a a >.若对于任意*n ∈N ，不等式()()2241nn n a a λ->-恒成立，则实数λ的取值范围为___________.23．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知在正项等比数列{}n a 中，38a =，532a =，则使不等式511n S >成立的正整数n 的最小值为________．24．（2023·广东广州·广州市第二中学校考模拟预测）数列{}n a 满足n a n p =-+，数列{}n b 满足52n n b -=，设,,n n nn n nn a a b c b a b ≤⎧=⎨>⎩，且对任意*n ∈N 且9n ≠，有9n c c >，则实数p 的取值范围为____.四、解答题25．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项的和，21511S S =，112n n naa a++=-.(1)求1a ，2a 的值，并证明11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；(2)证明：11111222n n n n S n +-+<<-+.26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2nn n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2023·天津·校联考一模）已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，其前8项的和为64；数列{}n b 是公比大于0的等比数列，13b =，3218b b -=．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记211n n n n na c a ab ++-=，*n ∈N ，求数列{}n c 的前n 项和n T ；(3)记()12221,21,N1,2,N n n n n n a n k k a d n k k b +**⎧-⋅=-∈⎪⎪+=⎨=∈⎪⎪⎩，求221nn k k S d ==∑．28．（2023·广西桂林·校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n a 与4-n 的等差中项为n n S a -.(1)证明：数列{}2n a +是等比数列；(2)设32log 2n n a b +=，证明：1352111111111n b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++>⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 29．（2023·天津·统考一模）已知数列{}n a 中，11a =，22a =，()24Nn n a a n *+-=∈，数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式：(2)若215n n b S n=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ；(3)在（2）的条件下，设124n n n n n b c b b ++=，求证：111346822n n n k n n --=++-<-.30．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．31．（2023·天津河北·天津外国语大学附属外国语学校校考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n =∈N ，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项．(1)求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式；(2)若数列()()1322(1)11+⋅-=+-⋅--n nn n n n n c a b b b ，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ；(3)求证：()2131nii i b b =<-∑．32．（2023·河北石家庄·统考一模）伯努利不等式，又称贝努利不等式，由数学家伯努利提出：对于实数1x >-且0x ≠，正整数n 不小于2，那么(1)1n x nx +≥+．研究发现，伯努利不等式可以推广，请证明以下问题．(1)证明：当[1,)α∈+∞时，(1)1x x αα+≥+对任意1x >-恒成立；(2)证明：对任意*n ∈N ，123(1)n n n n n n n ++++<+ 恒成立．。

专题9：数列通项、求和、综合应用(两课时)班级 姓名一、前测训练1．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝．(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2n a n －1(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝．答案：(1)a n ＝3n ＋1－72；（2）a n ＝2(n －1)(n ＋2)2． 2．(1)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．(2) 已知数列{a n }中，a 1＋2a 2＋…＋na n ＝n 2(n ＋1)，则a n ＝．(3)已知数列{a n }中，a 1a 2…a n ＝n 2，则a n ＝．答案： (1)－1n ．=；(2)a n ＝2n ；(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2(n －1)2，n ≥2． 3．(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝23a n －1＋1 (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝．(2)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n =2a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝．(3)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1a n －1＋2(n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝． 答案：(1)a n ＝3－2×(23)n －1； (2)a n ＝(2n －1)×2n －1；(3)a n ＝2n ＋1． 4． (1) 已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝．(2) 已知数列{a n }中，a n a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则a n ＝．答案：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －1，n 为偶数；(2)a n ＝⎩⎨⎧(2)n -1，n 为奇数，(2)n ，n 为偶数5． 已知数列{a n }中，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n －1，12≤a n ＜1，若a 1＝67，则a 2014的值为．答案：67． 6．(1)数列1＋2，1＋2＋4，1＋2＋4＋8，…，1＋2＋4＋…＋2n 的前n 项的和为．(2)数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1，（n ∈N *），则数列{1a n}的前10项和为 (3)数列a n ＝(2n －1)·3n 的前n 项的和为．(4)设f (x )＝9x 9x ＋3，则f (120)＋f (220)＋f (320)＋…＋f (1920)的值为． (5)已知数列a n ＝(－1)n ·n ，则前n 项的和S n ＝．答案：(1)2n ＋2－(4＋n )； (2)2011；(3)(n －1)·3n ＋1＋3；(4)192；(5)S n ＝⎩⎨⎧－n ＋12，n 为奇数，n 2，n 为偶数．7．(1)数列{a n }通项公式为a n ＝an 2＋n ，若{a n }满足a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，且a n ＞a n ＋1对n ≥8恒成立，则实数a 的取值范围为．(2)已知数列{a n }通项公式为a n ＝(12)n －2，b n ＝λa n －n 2，若数列{b n }是单调递减数列，则实数λ的取值范围为．(3)已知数列{a n }通项公式为a n ＝4n 2()n －1(n ∈N *)，则{a n }的最大项为第项．答案：(1)(－19，－117)；（2）λ＞－3；(3)9．二、方法联想1．形如a n －a n －1＝f (n )(n ∈N 且n ≥2)方法叠加法，即当n ∈N ，n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1． 形如＝f (n )(n ∈N 且n ≥2)方法用叠乘法，即当n ∈N *，n ≥2时，a n ＝··…··a 1．注意 n ＝１不满足上述形式，所以需检验．2．形如含a n ，S n 的关系式方法 利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，将递推关系转化为仅含有a n 的关系式(如果转化为a n 不能解决问题，则考虑转化为仅含有S n 的关系式)．注意 优先考虑n ＝1时，a 1＝S 1的情况．3．形如a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )或a 1a 2…a n ＝f (n )记b n ＝na ，则f (n )是数列{b n }的前n 项和方法 (1)列出⎩⎨⎧a 1＋2a 2＋…＋na n ＝f (n )a 1＋2a 2＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2)，两式作差得a n ＝f (n )－f (n －1)n(n ∈N *且n ≥2)，而a 1＝f (1)． (2)列出⎩⎨⎧a 1a 2…a n ＝f (n )a 1a 2…a n －1＝f (n －1)(n ∈N *且n ≥2)，两式作商得a n ＝f (n )f (n －1) (n ∈N *且n ≥2)，而1(1)a f =．注意 n ＝１是否满足上述形式须检验．【变式】（1）已知数列{a n }中，na 1＋(n －1)a 2＋(n －2)a 3＋…＋a n ＝n 2(n ＋1)(n ∈N *)，则a n ＝．(n 与a n 倒序之和)（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，若nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n (n ∈N *)，a n ＝． （S n 前面的系数不是常数）【答案】（1）a n ＝6n －4，（2）a n ＝3．形如a n ＝pa n －1＋q (n ∈N 且n ≥2)方法 化为a n ＋q p －1＝p (a n －1＋q p －1)形式．令b n ＝a n ＋q p －1，即得b n ＝pb n －1，转化成{b n }为等比数列，从而求数列{a n }的通项公式．形如a n ＝pa n －1＋f (n ) (n ∈N 且n ≥2)方法 两边同除p n ，得a n p n =a n －1pn －1＋f (n )p n ，令b n ＝a n p n ，得b n ＝b n －1＋f (n )p n ，转化为利用叠加法求b n (若f (n )p n 为常数，则{b n }为等差数列)，从而求数列{a n }的通项公式．【变式】（1）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝3a n -1＋2n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝． (a n 前的系数不等于公比)（2）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n n ＋1＝2a n －1n －1＋6n (n ∈N 且n ≥2)，则a n ＝． （换元后可转化为此类问题）答案：(1)a n ＝5×3n －1－2n ＋1，（2）a n ＝n (n ＋1)(13×2n －2－6)．形如a n ＝pa n －1qa n －1＋p(n ∈N 且n ≥2) 方法 两边取倒数得1a n ＝1a n －1＋q p ，令b n ＝1a n，得b n ＝b n －1＋q p ，转化成{b n }为等差数列，从而求数列{a n }的通项公式．4．形如a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n a n ＋1＝f (n )形式方法 (1)列出⎩⎨⎧a n ＋a n ＋1＝f (n )a n ＋1＋a n ＋2＝f (n ＋1)，两式作差得a n ＋2－a n ＝f (n ＋1)－f (n )，即找到隔项间的关系．(2)列出⎩⎨⎧a n a n ＋1＝f (n )a n ＋1a n ＋2＝f (n ＋1)，两式作商得a n ＋2a n＝f (n ＋1)f (n )，即找到隔项间的关系． 【变式】（1）已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝3n ，a 1＝1，a 2＝4(n ∈N *)，则a n ＝．（2）已知数列{a n }中，a n a n ＋1a n ＋2＝8n ，a 1＝1，a 2＝2(n ∈N *)，则a n ＝．(类比找到a n ＋3与a n 的关系)答案：（1）a n ＝3n －2；（2）a n ＝2n －1．5．归纳猜想方法 列出前几项，找到数列的规律(如周期性)，利用归纳猜想得数列的项．【变式】已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，4a n ＋a n ＋2＝4a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝． 答案：n ·2n(非周期性的规律)6．数列求和形如a n ±b n (等差数列与等比数列的和)的形式方法 分组求和法．形如1a n (a n +d )或1n ＋d ＋n等形式 方法 采用裂项相消法．形如a n b n 形式(其中a n 为等差，b n 为等比)方法 采用错位相减法．首、尾对称的两项和为定值的形式方法 倒序相加法．正负交替出现的数列形式方法 并项相加法．【变式】（1）已知数列{a n }中，a n ＋a n ＋1＝2n ，a 1＝1 (n ∈N *)，则S n ＝．（2）已知数列{a n }中，a n ＝2n sin 2n π3(n ∈N *)，则S 30＝．（分段数列的和）答案：（1）S n ＝⎩⎨⎧2n ＋1－13，n 为奇数，2n ＋1－23，n 为偶数．（2）450．7．数列的单调性方法1 利用a n ＋1－a n 与0的关系(或a n ＋1a n与1的关系，其中a n ＞0)判断(或证明)数列的单调性．方法2 扩充定义域，转化为函数的单调性，如利用图象分析．注意 图象分析时，数列图象为离散的点．【变式】设数列{1n }的前n 项和为S n ，若对任意n ∈N *，恒有S 2n ≥S n ＋a ，则实数a 的取值范围是_______．（通过分析想到需要研究数列的单调性）答案：712．数列的最值方法1 利用a n ＋1－a n 与0的关系(或a n ＋1a n与1的关系，其中a n ＞0)判断数列的单调性． 方法2 若第m 项为数列的最大项，则⎩⎨⎧a m ≥a m ＋1，a m ≥a m －1．若第m 项为数列的最小项，则⎩⎨⎧a m ≤a m ＋1，a m ≤a m －1．（反之，一定成立吗？） 【变式】已知数列{a n }通项公式为a n ＝4n 2a n －1(n ∈N *)，若{a n }的最大项为第9项，则正数a 的取值范围是——．答案：(6481，81100)．三、例题分析例1已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列．(1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和. 【答案】(I)q ＝2，;a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数， 2n 2，n 为偶数．(2)S n ＝4－n ＋22n －1. 〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．等差中项定义；2．求数列通项公式；方法：①利用数列的通项a n 与前n 和S n 的关系，在已知S n 条件下求通项a n ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；③构造等差(比)数列求通项；④用累加(乘)法求通项．3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 项和公式求和；②分组求和；③错位相减法；④裂项求和；⑤倒序求和．(2)方法选择与优化建议：对于问题2，本题中通项的递推关系是a n ＋2＝qa n ，可得隔项间的关系，成等比数列，选择方法②，注意奇数项、偶数项分别成等比数列．对于问题3，学生一般会选择④，因为本题通项是由一个等差与一个等比数列相应项相乘而得，所以选择方法④．例2已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，S 4＝28．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设由b n ＝S n n ＋c(c ≠0)构成的新数列{b n }，求证：当且仅当c ＝－12时，数列{b n }是等差数列；(3)对于(2)中的等差数列{b n }，设c n ＝8(a n ＋7) b n（n ∈N *），数列{c n }的前n 项和为T n ，现有数列{f (n )}，f (n )＝2b n a n －2－T n （n ∈N *），求证：存在整数M ，使f (n )≤M 对一切n ∈N *都成立，并求出M 的最小值．答案：(1) a n ＝4n －3；(2)略；(3)整数M ≥2，所以M 的最小值为2．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法：①利用数列的通项a n 与前n 和S n 的关系，在已知S n 条件下求通项a n ．②利用等差(比)数列的通项公式，求通项；③构造等差(比)数列求通项；④用累加(乘)法求通项．2．证明数列是等差数列：方法：①利用定义：a n ＋1－a n ＝d (常数)；②等差中项：2a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)．3．数列求和问题：方法：①利用等差(比)数列前n 项和公式求和；②分组求和；③错位相减法；④裂项求和；⑤倒序求和．4．求数列的最大项问题：方法:①作差法比较相邻项的大小，确定单调性；②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列单调性转化为函数的单调性，利用函数的单调性，求最大项，但要注意通项中n 的取值范围．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，学生一般会选择方法②，因为本题的数列是等差数列，所以选择方法②． 对于问题2，学生一般会选择方法①，因为本题可以求出数列{b n }的通项，所以选择方法①．对于问题3，学生一般会选择④，因为数列的通项是分式形式，所以选择方法④． 对于问题4，数列问题首选比较法确定单调性；也可选择②，因为f (n )所对应的函数是基本函数，比较容易得到函数的单调性．例3 数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1, n ∈N *. (1) 求a 3的值；(2) 求数列{a n }前n 项和T n ；(3) 令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋(1＋12＋13＋ (1)) a n (n ≥2)． 证明：数列{b n }的前n 项和为S n ,满足S n ＜2＋2ln n ．答案:（1）14；（2）2－(12)n －1；（3）略．〖教学建议〗(1)主要问题归类与方法：1．求数列的通项：方法①利用等差(比)数列求和公式；②叠加(乘)法；③构造等差(比)数列；④猜想证明．2．数列求和问题：方法①等差(比)数列求和；②分组求和；③拆项相消；④错位相减；⑤倒序相加；⑥并项求和法．3．不等式的证明:①不等式基本性质；②基本不等式；③比较法；④分析法；⑤放缩法；⑥函数单调性；⑦反证法．(2)方法选择与优化建议：对于问题1，记b n ＝na n ，则已知前n 项和的通项，选择方法①．对于问题2，已知数列{a n }为等比数列，选择方法①，利用等差(比)数列求和公式．数列{b n }的前n 项和，可通过变形转化为裂项求和的形式．对于问题3，放缩法，比较法，函数单调性综合运用．四、课后反馈：1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝． 答案：－11 (考查等比数列的通项公式与前n 项和公式)2．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．答案：50(考查本题考查了等比数列以及对数的运算性质,等差数列的求和)3．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝23a n ＋13，则数列{a n }的通项公式为． 答案：a n ＝(－2)n －1(考查数列通项与前n 项和之间的关系，等比数列的概念与通项公式) 4．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案：8（考查等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和最值条件）5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8． 则数列{9－2a n 2n}的前n 项和T n ＝． 答案：4－n ＋22n －1(考查数列的通项，递推、错位相减法求和以及二次函数的最值的综合应用) 6．在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73.对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m ，92m )内的项的个数记为b m ，则数列{b m } 的前m 项和S m ＝.答案：S m ＝92m ＋1＋180－9m 8.(考查等差数列的基本量运算，等比数列求和) 7．数列{a n }满足1a n ＋1＝1a n ＋2n (n ∈N *)，且a 1＝4．记b n ＝a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和T n ＝．答案：4n 2n ＋1．（考查用叠加法求数列通项，数列的裂项求和） 8．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0． 若b n ＝3n －1，则数列{a n }的前n 项和S n ＝． 答案：S n ＝(n －1)3n ＋1．（考查等差数列的概念与性质，用错位相减法求和）9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)⎝⎛⎭⎫1a n＋1，b 1＝－λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围为．答案：λ＜2 (考查由递推求数列的通项及递增数列的概念)10．设1≤a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是． 答案：33(考查等差、等比数列的性质及分析推理的能力)11．已知递增数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝12(a 2n＋n )． (1)求a 1及数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n －1·2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n ．答案：(1)a 1＝1；a n ＝n ．(2)T 2n ＝(6n －5)·22n ＋19＋n 2＋2n ＋109． (考查数列的通项与前n 项和之间的关系，由递推关系求数列的通项，用错位相减法求数列的和)12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2． (1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．答案：(1)a ＝0，提示：用等比中项法证明数列是等差数列．(2)存在最小的正整数M ＝3，使不等式p 1＋p 2＋p 3＋…＋p n －2n ≤M 恒成立．(考查数列的通项与前n 项和之间的关系，证明数列为等差数列的方法，数列的裂项求和)13．已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n－1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n ·a n ＋1，T n为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式a n 和数列{b n }的前n 项和的T n ；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出所有m ，n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)a n ＝2n －1，T n ＝n 2n ＋1；(2) λ<－21； (3)当且仅当m ＝2，n ＝12时，数列{T n }中的T 1，T m ，T n 成等比数列．(考查等差数列基本量运算，数列的裂项求和，求数列的最大项问题以及综合分析问题的能力)14．在数列{a n }中，a 1＝1，且对任意的k ∈N *，a 2k －1，a 2k ，a 2k ＋1成等比数列，其公比为q k ．(1)若q k ＝2(k ∈N *)，求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2k －1；(2)若对任意的k ∈N *，a 2k ，a 2k ＋1，a 2k ＋2成等差数列，其公差为d k ，设b k ＝1q k －1． ①求证：{b k }是等差数列，并指出其公差；②若d 1＝2，试求数列{d k }的前k 项的和D k ．答案：(1)13(4k －1)；(2)①证明略，公差为1；②D k ＝k (k ＋3)2或D k ＝2k 2．(考查等比数列的概念及求和公式，证明数列为等差数列的方法，数列求和及分析讨论的思想)。

专题1 数列的通项公式与求和【三年高考】1．【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=K L 所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++ 【考点定位】数列通项，裂项求和2．【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{n a }的前n 项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈. （I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前n 项和.【答案】（I ）1*3,n n a n N -=∈；（II ）2*2,13511,2,2n n n T n n n n N =⎧⎪=⎨--+≥∈⎪⎩.【解析】试题分析：（I ）由121n n a S +=+转化为13n n a a +=，进而可得数列{}n a 的通项公式；（II ）先去掉绝对值，再对n 的范围讨论，采用分组求和法，即可得数列{}2n a n --的前n 项和． 试题解析：（I ）由题意得：1221421a a a a +=⎧⎨=+⎩，则1213a a =⎧⎨=⎩，又当2n ≥时，由11(21)(21)2n n n n n a a S S a +--=+-+=， 得13n n a a +=，所以，数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈.考点：等差、等比数列的基础知识.【方法点睛】数列求和的常用方法：（1）错位相减法：形如数列{}n n a b 的求和，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列；（2）裂项法：形如数列()()1f n g n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭或()()f n g n ⎧⎫⎨⎬±⎪⎪⎩⎭的求和，其中()f n ，()g n 是关于n 的一次函数；（3）分组法：数列的通项公式可分解为几个容易求和的部分．3. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 【解析】试题分析：1221124,211,3a a a a a a +==+⇒==，再由111121,21(2)23(2)n n n n n n n n n a S a S n a a a a a n +-++=+=+≥⇒-=⇒=≥，又213a a =，所以515133(1),S 121.13n n a a n +-=≥==-考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的前n 项和．【易错点睛】由121n n a S +=+转化为13n n a a +=的过程中，一定要检验当1n =时是否满足13n n a a +=，否则很容易出现错误．4. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．考点：等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.【名师点睛】解答新颖性的数学题，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点.5. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n .【答案】（Ⅰ）13+=n b n ；（Ⅱ）223+⋅=n n n T . 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1--=n n n S S a 及等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据（Ⅰ）知数列{}n c 的通项公式，再用错位相减法求其前n 项和.试题解析：（Ⅰ）由题意知当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ， 当1=n 时，1111==S a ， 所以56+=n a n . 设数列{}n b 的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d b 321721111，可解得3,41==d b ，所以13+=n b n .（Ⅱ）由（Ⅰ）知11(66)3(1)2(33)n n n nn c n n +++==+⋅+， 又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321，得23413[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，345223[223242(1)2]n n T n +=⨯⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，两式作差，得234123[22222(1)2]n n n T n ++-=⨯⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯224(21)3[4(1)2]2132n n n n n ++-=⨯+-+⨯-=-⋅ 所以223+⋅=n n n T考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”.【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.6. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析．试题解析：（I ）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故 111222n n n n n a a ++-≤，n *∈N ， 所以11223111223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121111222n -≤++⋅⋅⋅+ 1<，因此()1122n n a a -≥-．（II ）任取n *∈N ，由（I ）知，对于任意m n >，1121112122222222n mn n n n m m n m n n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+ 112n -<， 故11222m nn n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222m n n m -⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．从而对于任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得2n a ≤． ①否则，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整数000342log 2n n a m ->且00m n >，则003402log 23322244n n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，与①式矛盾．综上，对于任意n *∈N ，均有2n a ≤． 考点：1、数列；2、累加法；3、证明不等式． 【思路点睛】（I ）先利用三角形不等式及变形得111222n n n n n a a ++-≤，再用累加法可得1122n n a a -<，进而可证()1122n n a a -≥-；（II ）由（I ）的结论及已知条件可得3224mnn a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭，再利用m 的任意性可证2n a ≤．7. 【2016高考上海理数】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4考点：数列求和.【名师点睛】从分析条件入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.8. 【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,.（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和. 【答案】（I ）31n a n =-（II ）131.223n --⨯ 【解析】试题分析：（I ）由已知条件求出首项为2,根据公差为3,即可确定等差数列的通项公式；（II ）先判断{}n b 是等比数列,再求出通项公式,最后,再利用等比数列求和公式求{}n b 的前n 项和.考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.9. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20nn n n a a a a ++---=. （I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式. 【答案】（Ⅰ）41,2132==a a ；（Ⅱ）121-=n n a ． 【解析】试题分析：（Ⅰ）将11a =代入递推公式求得2a ，将2a 的值代入递推公式可求得3a ；（Ⅱ）将已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列{}n a 为等比数列，由此可求得数列{}n a 的通项公式． 试题解析：（Ⅰ）由题意得41,2132==a a . .........5分 （Ⅱ）由02)12(112=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ， 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a . ......12分 考点：1、数列的递推公式；2、等比数列的通项公式．【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明1n na q a +=（常数）；（2）中项法，即证明212n n n a a a ++=．根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解．10. 【2016高考北京文数】（本小题13分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =. （1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.【答案】（1）21n a n =-（1n =，2，3，⋅⋅⋅）；（2）2312-+n n【解析】试题分析：（Ⅰ）求出等比数列{}n b 的公比，求出11b a =，414b a =的值，根据等差数列的通项公式求解；（Ⅱ）根据等差数列和等比数列的前n 项和公式求数列}{n c 的前n 项和.（II ）由（I ）知，21n a n =-，13n n b -=．因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和()11321133n n S n -=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+()12113213n n n +--=+-2312n n -=+．考点：等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，考查运算能力.【名师点睛】1.数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用.数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项.通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一；2.数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，1=q 或1≠q )等.11.【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 . 【答案】27【解析】∵2≥n 时，21,21121+=+=-a a a a n n 且，∴{}1a a n 是以为首项，21为公差的等差数列，∴2718921289199=+=⨯⨯+⨯=S 12.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6【解析】∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 13.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬•⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（I ）设数列{}n a 的公差为d ，令1,n =得12113a a =，所以123a a =.令2,n =得12231125a a a a +=，所以2315a a =.解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-（II ）由（I ）知24224,n n n b n n -=⋅=⋅所以121424......4,n n T n =⋅+⋅++⋅所以23141424......(1)44,n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅两式相减，得121344......44n n n T n +-=+++-⋅114(14)13444,1433n n n n n ++--=-⋅=⨯--所以113144(31)44.999n n n n n T ++-+-⋅=⨯+=14.【2015高考湖南，文19】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S .（II ）由（I ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯，于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++L L L1113(31)(133)2(133)3(133)2n n n n ----=+++++=++=L L L ，从而1221223(31)323(531)22n n n n n n S S a ----=-=-⨯=⨯-，综上所述，2*2*23(531),(21,)23(31),(2,)2n n nn k k N S n k k N -⎧⨯-=+∈⎪⎪=⎨⎪-=∈⎪⎩. 15.【2015高考浙江，文17】已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈L .（1）求n a 与n b ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .16.【2014高考全国2卷文第16题】数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________． 【答案】12． 【解析】由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=． 17.【2014高考安徽卷文第18题】 数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1） 证明：数列{}na n是等差数列； （2）设3nn n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S【解析】（1）证明：由已知可得，111n n a a n n +=++，即111n n a a n n +-=+，所以{}n an是以111a =为首项，1为公差的等差数列.（2）由（1）得1(1)1na n n n=+-⋅=，所以2n a n =，从而3n n b n =⋅. 1231323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅L ① 234131323333n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅L ②①－②得12123333n n n S n +-=+++-⋅L 113(13)(12)333132n n n n n ++⋅--⋅-=-⋅=-.所以1(21)334n n n S +-⋅+=.18.【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前n 项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.19.【2014高考山东文第19题】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(1)2nn n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++-L ，求n T .【解析】（1）由题意知2111()(3)a d a a d +=+，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由题意知(1)2(1)n n n b a n n +==+.所以122334(1)(1)nn T n n =-⨯+⨯-⨯++-⨯+L .因为12(1)n n b b n +-=+.可得，当n 为偶数时，12341()()()n n n T b b b b b b -=-++-+++-+L 48122n =++++L (42)22nn +=(2)2n n +=当n 为奇数时，1()n n n T T b -=+-(1)(1)(1)2n n n n -+=-+2(1)2n +=-所以2(1),2(2)2n n n T n n n ⎧+-⎪⎪=⎨+⎪⎪⎩为奇数，为偶数.【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．.对数列概念与表示方法的考察，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n 项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．从近几年的高考试题来看，难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n 项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2017年高考仍将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题．【2017年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系． 【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列．4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】1. 已知函数()f x 由下表定义：若15a =，1()n n a f a +=（1,2,n =L ），则2016a = ． 【答案】4【解析】()()2152a f a f ===，()()3221a f a f ===，()()4314a f a f ===，()()5445a f a f ===L 可知数列{}n a 是循环数列周期为4，所以2016450444a a a ⨯===.2.数列K ,817,275,31,31--的一个通项公式是 【答案】nn n n a 312)1(1--=+.【解析】考虑到数列的特征，第二项可以看作是239a =-，这样各项分母可以看作是3n，而分子是21n -，因此通项为nn n n a 312)1(1--=+．【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n n n 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法．【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=L ）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥.⑶已知12()n a a a f n =g g L g 求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-L 1a +(2)n ≥. ⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅L (2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a kab -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】1. 已知数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 . 【答案】12-【解析】∵12231211121313,1121132a a a a a a +++-===-∴===----+ 2.已知数列{}n a 的前n 项和122+=-n n n S a ，若不等式223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为 ． 【答案】4【考点3】数列求和 【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ ()30122n nn n n n C C C C ++++=L .2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前n 向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭； ()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=-⎪-+-+⎝⎭；()311n n kn k n =+++；()411m m mn n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】1. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 .【答案】100101【解析】()()11111111101n n n n n n n na a a a a a a a ++++-+=⇒-+-=⇒-=，因此数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为首项为1，公差为1的等差数列，即11,n n n a a n ==，因此()100100100111111111001.(1)1101101k k k k k a a k k k k +===⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2. 【淮宿连徐2016届高三第二次调研】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：).0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值; （2）若21=λ，求n S . 【答案】（1）1λ=（2）2351226n n n n n S a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+【解析】（1）令1n =，得221a λ=+． 令2n =，得23322323a S a S a a a a λ--=+，所以()()324121a λλλ=+++．由2213a a a =，得()()22241121λλλλ⎛⎫= ⎪⎝⎭++++，因为0λ≠，所以1λ=． （2）当12λ=时，111112n n n n n n n n a S a S a a a a ++++--=+， 所以11111112n n n n n n S S a a a a ++++--=+，即111112n n n n S S a a ++-=++，所以数列1n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是以2为首项，公差为12的等差数列，所以()11212n n S n a =-⋅++， 即3122n n n S a ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，①当2n ≥时，113122n n n S a --⎛⎫= ⎪⎝⎭++，②①②得，13222n n n n n a a a -=-++， 即()()112n n n a n a -=++，所以()1221n n a an n n -=++≥，所以2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭+是首项为13是常数列，所以()123n a n =+.代入①得2351226n n n n n S a +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭+.【两年模拟详解析】1．【2016届安徽六安一中高三下组卷四理科】已知数列{}n a 中的12,a a 分别为直线2+20x y -=在x 轴、y ，则数列{}n a 的通项公式为 ．2．【2016届江西省九江市高三下学期三模理科】已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且112,1+==n n n a a S a ，则=n S ______.【答案】2)1(+n n 【解析】法一： 当1=n 时，2112a a S =，即2112a a a =，∴22=a .当2≥n 时，12+=n n n a a S ，n n n a a S 112--=，两式相减得)(211-+-=n n n n a a a a ，∵0≠n a ，∴211=--+n n a a ，∴{}12-k a ，{}k a 2都是公差为2的等差数列，又11=a ，22=a ，∴{}n a 是公差为1的等差数列，∴n n a n =⨯-+=1)1(1，∴=n S 2)1(+n n ． 法二：通过观察1121,1+==n n n a a S a ，发现n a n =刚好符合条件，故=n S 2)1(+n n ．3．【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练一】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21(2)8n n S a =+，则3a 的所有可能取值的和为 .【答案】64．【2016届江西省吉安市一中高三上学期第五次周考理科】数列{}n a 中，13a =且21n n a a +=（n 是正整数）【答案】123n -【解析】由递推公式可得：223a =，433a =，843a =，归纳可得：123n n a -=，所以答案应填：123n n a -=．5．【2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试理科】用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么【解析】由()g n 的定义易知当n 为偶数时，，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-L ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-L ＝113(21)n++++-L ＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-L ＝即(1)f n +－()4nf n =，分别取n 为1,2,,n L 并累加得又(1)(1)f g =＝1所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-L ＝．令2015n =，得6．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试一文科】数列{}n a 中，12a =，23a =，（n *∈N ，3n ≥） 【答案】2【解析】因为12a =，23a =，所以23132aa a ==，344523311122,33232a a a a a a ======，56423a a a ==，6778562,3a aa a a a ====，……，所以数列{}n a 是以6为周期的周期数列，所以20113356112a a a ⨯+===． 7．【2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考文科】数列{}n a 中，143a =-，211n n a a +=+，则7a = ．【答案】2 【解析】将143a =-代入递推公式求出-3=3a ，再将3a 代入递推公式得，215-=a ，同理继续代入得到，27=a ．8．【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试理科】对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是 ．【答案】（1）2；（2）[36,)+∞（2）由已知条件得10(10)100m n m n a a a m a n m n m n----≥⇒≥--所以数列{10}n a n -是递增数列 即110(1)(10)0n n a n a n +-+--≥因为2n aa n n=-，所以上式化简为(1)(29)a n n n -≤+-， 令()(1)(29)f n n n n =+-由三次函数的图像性质可知min ()f n 为(1)f 或(2)f 或(3)f 或(4)f(1)14f =-，(2)30f =-，(3)36f =-， (4)20f =-所以min ()36f n =- 所以3636a a -≤-⇒≥ 故a 的取值范围为[36,)+∞9．【2016届山东省师大附中高三最后一模文科】用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j ≥表示第i 行第j 个数（,i j N +∈），使得1.i ii a a i ==每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第n （n N +∈）行的第二个数为(2)n b n ≥，（I ）写出1n b +与n b 的关系，并求()2n b n ≥； （II ）设()21n n c b n =-+，证明：2462111112n c c c c ++++<L 【答案】（I ）(1)12n n -+；（Ⅱ）略10．【2016届江苏省南师附中等四校高三联考】设函21)2ln(21)(+=x x f 数列}{n a 满足：*))((,111N n a f a a n n ∈==+．（1）求证:21>x 时，x x f <)(；（2）求证:121≤<n a （*N n ∈）； （3）求证:83)(111<⋅-+=+∑i ni i i a a a （*N n ∈）． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【解析】（1）令()()()11ln 222F x f x x x x =-=+-， 则()122x F x x -'=，又12x >，可得()0F x '<． 即()F x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭为减函数，故()102F x F ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即()1,2x f x x ><当1n =时，1111,12a a =<≤成立． （2）假设()*n k k N =∈时，112k a <≤，当()*1n k k N =+∈时，()()111ln 222k k k a f a a +==+，根据归纳假设112k a <≤，由（1）得：，即1n k =+时命题成立． 综上所述对*n N ∈命题成立，又10i i a a +->，11．【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考理科】已知数列{}n a 中（1）若正项数列{}n a满足1()n n a f a +=，试求出2a ，3a，4a ，由此归纳出通项n a ，并加以证明； （2）若正项数列{}n a 满足1()n n af a +≤（n ∈N *），数列{}n b 的前项和为T n【答案】（1（2）证明见解析．【解析】（1）依题意，证明如下： 1∴11112n n a --=，∴1111211212n n n n a ---==++； （2）∵12()1n n n na a f a a +≤=+（n ∈N *），∴11111(1)2n n a a +-≥-，∴1111121n n a a +-≥-， 累乘得：11111121n n a a --≥-，∴11112n n a --≥，即11112n n a -≤+，∴11212n n n a --≤+， ∵111112211121212(12)(12)1212n n n n n n n n n n na b -----+=≤==-++++++， ∴01121111111121212121212n n n T -≤-+-++-++++++L 11212n =-+12<． 12.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】数列{}m a 的前n 项和为m S ，已知113a =，且任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若m S a <恒成立，则实数a 的最小值为 ． 【答案】1213.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 212n n ++（n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的自然数n 有最小值___________. 【答案】63【解析】因为1222222312log log log log 3422n n n S a a a n n +=+++=+++=++L L ，令22log 52n <-+，解得62n >，所以n 有最小值63．14.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++=．【答案】100715.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列， 在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a ,)(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ________；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和是_______（用m 表示）． 【答案】13，1m -【解析】11=a ，12=a ,321112a a a =+=+=，432213a a a =+=+=，543325a a a =+=+=，654538a a a =+=+=，7658513a a a =+=+=；321a a a =+，432a a a =+，543a a a =+，654a a a =+，765a a a =+；⋅⋅⋅201420152013a a a =+，201520162014a a a =+，201620172015a a a =+，累加得2017212320142015a a a a a a a =++++⋅⋅⋅++，所以数列{}n a 的前2015项和是1m -.16.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】已知数列{}n a 满足341=a ，且()()*+∈-=-N n a a a n n n 111，则201521111a a a m +++=Λ的整数部分是_______________. 【答案】217.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】已知数列{}n a 满足()10,<<∈⋅=*k N n k n a n n ，给出下列命题： ①当21=k 时，数列{}n a 为递减数列 ②当121<<k 时，数列{}n a 不一定有最大项 ③当210<<k 时，数列{}n a 为递减数列④当kk -1为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项其中真命题的个数为____________. 【答案】3【解析】①当21=k 时，1()2n n a n =⋅，所以111(1)()1212()2n n n n n a n a n n +++⋅+==⋅，当1n =时，12a a =，所以数列{}n a 为不是递减数列，故①不正确；②当121<<k 时，11(1)(1)n n n n a n k n k a nk n ++++==，数列{}n a 不一定有最大项，故②正确；③当210<<k 时，11(1)(1)112n n n n a n k n k n a nk n n +++++==<≤，所以1n n a a +<，所以数列{}n a 为递减数列，故③正确；④当kk-1为正整数时，必存在1n 1(1)(1)1n n n a n k n k a nk n ++++===，所以，数列{}n a 必有两项相等的最大项，故④正确．综上所述，有3个正确的．18. 【2015届福建省龙岩市一中高三下学期考前模拟】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，*112()n n a S n +=+∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a ．当3n ≥时，比较1nb +与121n b b b ++++L 的大小． 【解析】（Ⅰ）因为112n n a S +=+，① 所以当2n ≥时，112n n a S -=+，② 由①②两式相减，得12n n n a a a +-=，即13n n a a +=(2)n ≥，因为当1n =时，2112a a =+=，所以212a a =， 所以211232n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（Ⅱ）因为1(1)221n b n n =+-⨯=-， 所以121n b n +=+，212(121)1112n n n b b b n +-++++=+=+L ， 因为2(1)(21)(2)n n n n +-+=-，由3n ≥，得(2)0n n ->，所以当3n ≥时，1121n n b b b b +<++++L ．拓展试题以及解析1.数列{}n a 中，11a =，23a =，2n a +是1+n n a a 的个位数字，n S 是{}n a 的前n 项和，则2015S = 【答案】8733【入选理由】本题考查数列的通项，周期数列等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，归纳猜想的能力,解决问题的能力．表面看题，似难度重重，认真审题，找出规律，从而可解，难度不大，有一定的技巧，故选此题.2.已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则20163a a += ． 【答案】52【入选理由】本题考查递推公式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力.本题是递推公式的应用，有递推公式可得20161009896a a a a ====Λ215-=，从而可求的结论，此题重在一个巧，的确是一个好题，故选此题.。

数列的通项与求和练习题数列是数学中一种常见的数学对象，涉及了数学中的许多重要概念与方法。

对于数列的通项与求和问题，我们需要通过理论知识与练习来加深理解与熟练运用。

本文将给出一些数列的通项与求和练习题，帮助读者加深对数列的理解与应用。

一、等差数列1. 设等差数列的首项为a1，公差为d。

该等差数列的第n项是多少？答案：an = a1 + (n-1)d2. 设等差数列的首项为a1，公差为d。

前n项的和是多少？答案：Sn = n/2 * (a1 + an)例题：已知等差数列的前5项分别为2、5、8、11、14。

求该等差数列的通项公式与前20项的和。

解答：首先，根据等差数列的定义可知，公差d=5-2=3。

又已知a1=2，代入等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，可得通项公式为an = 2 + (n-1) * 3。

其次，利用等差数列前n项和的公式Sn = n/2 * (a1 + an)，代入已知条件，即可求得前20项的和。

二、等比数列1. 设等比数列的首项为a1，公比为q。

该等比数列的第n项是多少？答案：an = a1 * q^(n-1)2. 设等比数列的首项为a1，公比为q。

前n项的和是多少？答案：Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，当q不等于1时；Sn = n * a1，当q=1时。

例题：已知等比数列的第2项为3，公比为2。

求该等比数列的通项公式与前10项的和。

解答：首先，设该等比数列的首项为a1，代入等比数列的通项公式an =a1 * q^(n-1)，可得通项公式为an = a1 * 2^(n-1)。

其次，利用等比数列前n项和的公式Sn = a1 * (q^n - 1)/(q-1)，代入已知条件，即可求得前10项的和。

三、斐波那契数列1. 斐波那契数列的定义是：F(1) = 1，F(2) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)，n≥3。

求斐波那契数列的第n项。

【三年高考】1．【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为2．【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设数列{n a }的前项和为n S .已知2S =4，1n a +=2n S +1，*N n ∈.（I ）求通项公式n a ；（II ）求数列{2n a n --}的前项和.3. 【2016高考浙江理数】设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则a 1= ，S 5= .4. 【2016高考新课标2理数】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．5. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和S n =3n 2+8n ，{}n b 是等差数列，且1.n n n a b b +=+（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1).(2)n n n nn a c b ++=+ 求数列{}n c 的前n 项和T n . 6. 【2016高考浙江理数】设数列{}n a 满足112n n a a +-≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a-≥-，n *∈N ；（II ）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *∈N ．7. 【2016高考上海理数】无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.111]8. 【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,.111]（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）求{}n b 的前n 项和.9. 12016高考新课标Ⅲ文数]已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，211(21)20n n n n a a a a ++---=.（I ）求23,a a ；（II ）求{}n a 的通项公式.10. 【2016高考北京文数】（本小题13分）已知}{n a 是等差数列，}{n b 是等差数列，且32=b ，93=b ，11b a =，414b a =. （1）求}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a c +=，求数列}{n c 的前n 项和.11.【2015高考安徽，文13】已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .12.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .13.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前项和n T .14.【2015高考湖南，文19】设数列{}n a 的前项和为n S ，已知121,2a a ==，且13n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S .15.【2015高考浙江，文17】已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈. （1）求n a 与n b ；（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .16.【2014高考全国2卷文第16题】数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________． 17.【2014高考安徽卷文第18题】 数列{}n a 满足111,(1)(1),n n a na n a n n n N ++==+++∈（1）证明：数列{}na n是等差数列；（2）设3nn b ={}n b 的前项和n S18.【2014高考湖南卷文第16题】已知数列{}n a 的前项和*∈+=N n nn S n ，22. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()n nan a b n 12-+=，求数列{}n b 的前n 2项和.19.【2014高考山东文第19题】在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(1)2n n n b a +=，记1234(1)n n n T b b b b b =-+-+++-，求n T .【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，对数列通项公式和求和这部分的考查，主要考查数列的概念与表示方法、数列递推关系与通项公式的联系、数列的求和方法，往往与函数、方程、不等式等知识建立联系，高考中一般会以各种形式考查．.对数列概念与表示方法的考察，要深刻体会数列不光体现一种递推关系，它具有函数特征，故经常会与函数、方程、不等式等知识联系考察.对数列通项公式的考察，一般会以等差数列和等比数列具体形式出现，或者由项的递推关系或者项与前n 项的的关系得出，同时要注意从特殊到一般思想的灵活运用．对数列求和的考察，要掌握常见的数列求和方法（直接求和、倒序相加法、错位相减法、裂项相加法），往往会和不等式建立联系，会牵涉到放缩法，难度会大点，注意等价转换思想的活用．从近几年的高考试题来看，难度属中低档的题目，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n 项和公式为载体，结合数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法；解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．预测2017年高考仍将以等差数列，等比数列的定义、通项公式和前n 项和公式为主要考点，特别是错位相减法求和问题，重点考查学生的运算能力与逻辑推理能力．理科可能与不等式恒成立巧妙结合出一大题．【2017年高考考点定位】高考对数列的通项公式与求和的考查有三种主要形式：一是考察数列的概念与表示；二是数列通项公式；三是数列求和；其中经常与函数、方程、不等式等知识的相联系． 【考点1】数列的概念与表示 【备考知识梳理】1．定义：按照一定顺序排列着的一列数．2．表示方法：列表法、解析法（通项公式法和递推公式法）、图象法．3．分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为单调数列、摆动数列和常数列． 4．n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．5．处理方法：.用函数的观点处理数列问题 【规律方法技巧】1. 数列是定义域为正整数集或其有限子集的函数，故数列具有函数的特征（周期性、单调性等）．2. 观察法是解决数列问题的法宝，先根据特殊的几项，找出共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式． 【考点针对训练】1. 已知函数()f x 由下表定义：若15a =，1()n n a f a +=（1,2,n =），则2016a = ．2.数列 ,817,275,31,31--的一个通项公式是 【考点2】递推关系与数列通项公式 【备考知识梳理】在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈．数列通项公式的求解常用方法：1、定义法，直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．2、公式法， 若已知数列的前项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解．3、由递推式求数列通项法，对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．4、待定系数法（构造法），求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法． 【规律方法技巧】 数列的通项的求法： ⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.⑵已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n nn S n a S S n -==-≥.⑶已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩.⑷若1()n n a a f n +-=求n a 用累加法：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥.⑸已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a aa a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥.⑹已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）.特别地，（1）形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求n a .如(21)已知111,32n n a a a -==+，求n a ；（2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项.注意：（1）用1--=n n n S S a 求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（2n ≥，当1n =时，11S a =）；（2）一般地当已知条件中含有n a 与n S 的混合关系时，常需运用关系式1--=n n n S S a ，先将已知条件转化为只含n a 或n S 的关系式，然后再求解. （3）由n S 与1n S -的关系，可以先求n S ，再求n a ，或者先转化为项与项的递推关系，再求n a ． 【考点针对训练】1. 已知数列{}n a 满足12a =，111nn na a a ++=-（*n ∈N ），则3a 的值为 . 2.已知数列{}n a 的前n 项和122+=-n n n S a ，若不等式223(5)n n n a λ--<-对n N +∀∈恒成立，则整数的最大值为 ． 【考点3】数列求和 【备考知识梳理】数列的求和也是高考中的热点内容，考察学生能否把一般数列转化为特殊数列求和，体现了化归的思想方法，其中错位相减和裂项相消是高考命题的热点．估计在以后的高考中不会有太大的改变．数列求和的常用方法，尤其是利用裂项法和错位相减法求一些特殊数列的和，数列求和的基本方法：1.基本公式法：()1等差数列求和公式：()()11122n n n a a n n S na d +-==+ ()2等比数列求和公式：()111,11,111n n n na q S a q a a q q qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩ ()30122nn n n n n C C C C ++++=.2.错位相消法：一般适应于数列{}n n a b 的前向求和，其中{}n a 成等差数列，{}n b 成等比数列．3.分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利用公式法求和．4.拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和.常见的拆项公式有：()1若{}n a 是公差为d 的等差数列，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭；()2()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；()31k=；()411m m m n n n C C C -+=-；()5()!1!!n n n n ⋅=+-.5.倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，以达到求和的目的． 【规律方法技巧】数列求和关键是研究数列通项公式，根据通项公式的不同特征选择相应的求和方式，若数列是等差数列或等比数列，直接利用公式求和；若通项公式是等差乘等比型，利用错位相减法；若通项公式可以拆分成两项的差且在累加过程中可以互相抵消，利用裂项相消法，从近年的考题来看，逐渐加大了与函数不等式的联系，通过对通项公式进行放缩，放缩为易求和的数列问题处理． 【考点针对训练】1. 【南通市2016届高三下学期第三次调研考试数学试题】设数列{}n a 满足()()()111,111n n a a a n N++=-+=∈，则()10011k k k a a +=∑的值为 .2. 【淮宿连徐2016届高三第二次调研】已知各项均为正数的数列}{n a 的首项11=a ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，且满足：).0(*1111N n a a a a S a S a n n n n n n n n ∈≠=-+-++++λλ.（1）若1a ，2a ，3a 成等比数列，求实数λ的值; （2）若21=λ，求n S .【两年模拟详解析】1．【2016届安徽六安一中高三下组卷四理科】已知数列{}n a 中的12,a a 分别为直线2+20x y -=在轴、y 轴上的截距，且212n nn na a a a ++-=+，则数列{}n a 的通项公式为 ．2．【2016届江西省九江市高三下学期三模理科】已知数列{}n a 各项均不为，其前项和为n S ，且112,1+==n n n a a S a ，则=n S ______.3．【2016届江苏省清江中学高三考前一周双练一】设数列{}n a 的前项和为n S ，若21(2)8n n S a =+，则3a 的所有可能取值的和为 .4．【2016届江西省吉安市一中高三上学期第五次周考理科】数列{}n a 中，13a =且21n n a a +=（是正整数），则数列的通项公式n a = ．5．【2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试理科】用()g n 表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .1111]6．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试一文科】数列{}n a 中，12a =，23a =，12n n n a a a --=（n *∈N ，3n ≥），则2011a = ．7．【2016届内蒙古赤峰二中高三上12月月考文科】数列{}n a 中，143a =-，211n n a a +=+，则7a = ．8．【2016届北京市海淀区高三上学期期中考试理科】对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质．（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是 ．9．【2016届山东省师大附中高三最后一模文科】用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j ≥表示第行第j 个数（,i j N +∈），使得1.i ii a a i ==每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和.设第n （n N +∈）行的第二个数为(2)n b n ≥，（I ）写出1n b +与n b 的关系，并求()2n b n ≥； （II ）设()21n n c b n =-+，证明：2462111112n c c c c ++++< 10．【2016届江苏省南师附中等四校高三联考】设函数21)2ln(21)(+=x x f ，数列}{n a 满足：*))((,111N n a f a a n n ∈==+．（1）求证:21>x 时，x x f <)(； （2）求证:121≤<n a （*N n ∈）； （3）求证:83)(111<⋅-+=+∑i ni i ia a a（*N n ∈）． 11．【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考理科】已知数列{}n a 中112a =，函数2()1xf x x=+． （1）若正项数列{}n a 满足1()n n a f a +=，试求出2a ，3a ，4a ，由此归纳出通项n a ，并加以证明； （2）若正项数列{}n a 满足1()n n a f a +≤（n ∈N *），数列{}n b 的前项和为T n ，且21nn na b =+，求证：12n T <． 12.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】数列{}m a 的前n 项和为m S ，已知113a =，且任意正整数,m n ，都有m n m n a a a +=⋅，若m S a <恒成立，则实数a 的最小值为 ．111] 13.【2015届辽宁省师大附中高三模拟考试】已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 212n n ++（n ∈N *），设{a n }的前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的自然数n 有最小值___________.14.【2015届甘肃省天水市一中高三高考信息卷一】如下图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为，由下往上的六个点：，，，，，的横、纵坐标分别对应数列{}n a （n *∈N ）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则201320142015a a a ++= ．15.【2015届浙江省余姚市高三第三次模拟】“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列， 在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a ,1来源)(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ________；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和是_______（用m 表示）．16.【2015届黑龙江省哈尔滨市三中高三第四次模拟】已知数列{}n a 满足341=a ，且()()*+∈-=-N n a a a n n n 111，则201521111a a a m +++=的整数部分是_______________. 17.【2015届江西省高安中学高三命题中心模拟押题一】已知数列{}n a 满足()10,<<∈⋅=*k N n k n a n n ，给出下列命题：①当21=k 时，数列{}n a 为递减数列 ②当121<<k 时，数列{}n a 不一定有最大项 ③当210<<k 时，数列{}n a 为递减数列④当kk -1为正整数时，数列{}n a 必有两项相等的最大项其中真命题的个数为____________.18. 【2015届福建省龙岩市一中高三下学期考前模拟】设数列{}n a 的前项和为n S ，且11a =，*112()n n a S n +=+∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 为等差数列，且11b a =，公差为21a a ．当3n ≥时，比较1nb +与121nb b b ++++的大小．【一年原创真预测】111]11 1.数列{}n a 中，11a =，23a =，2n a +是1+n n a a 的个位数字，n S 是{}n a 的前项和，则2015S =2.已知数列{}n a 中，0n a >，11a =，211n n a a +=+，10096a a =，则20163a a += ．。

第2讲 数列的通项与求和高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)数列的通项公式求法，常在解答题的第(1)问出现，难度中档以下；(2)求数列的前n 项和的几种方法，一般两种题型都有涉及，是数列命题的重点.真 题 感 悟1.(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011.答案20112.(2018·江苏卷)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________.解析 所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27. 答案 27考 点 整 合1.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明.(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝a n ＋f (n )，把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝f (n )a n ，把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q1－p ，再利用换元法转化为等比数列求解. 2.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎨⎧⎭⎬⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.热点一 数列的通项公式 [考法1] 由S n 与a n 的关系求a n【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.解析 法一 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32. 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二 因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.答案 －63(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ∈N *. 证明：a n ＋2＝3a n ，并求a n .解 由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3， 因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2， 所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . 又∵a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.∴a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －12，n 为奇数，2×3n －22，n 为偶数.探究提高 给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .[考法2] 已知a n 与a n ＋1的递推关系式求a n【例1－2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n a n ＋n ＋12n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，求通项a n ； (3)已知a 1＝4，a n ＋1＝2a n2a n ＋1，求通项a n .解 (1)由已知得a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n，∴a 22＝a 11＋121，a 33＝a 22＋122，…，a n n ＝a n －1n －1＋12n －1， ∴a n n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2). ∴a n ＝2n －n 2n －1(n ≥2)，又a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －n2n －1.(2)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＋a n ＋1a n ＝n ＋1，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ＋2(a n ＋1a n＝－1，舍去). 又a 1＝1，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23·1＝2n ＋1. 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1. (3)∵a n ＋1＝2a n 2a n ＋1，两边取倒数得1a n ＋1＝12a n＋1，设b n ＝1a n ，则b n ＋1＝12b n ＋1，则b n ＋1－2＝12(b n －2)，∴b n ＋1－2b n －2＝12，故{b n －2}是以b 1－2＝1a 1－2＝－74为首项，12为公比的等比数列.∴b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－74⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即1a n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－74⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，得a n ＝2n ＋12n ＋2－7.探究提高 (1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，其中f (n )＝k 或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )，可用累乘法；(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列；(4)形如a n ＋1＝qa n ＋q n (q 为常数，且q ≠0，q ≠±1)，解决方法是在递推公式两边同除以qn＋1.【训练1】 (1)(2017·南京、盐城调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝________.(2)(2018·盐城三模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1.(2)因为S n ＝2a n ＋n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，即a 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n ＋n )－[2a n －1＋(n －1)]＝2a n －2a n －1＋1，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)，又因为a 1－1＝－2≠0，故a n －1－1≠0，所以a n －1a n －1－1＝2，所以数列{a n －1}为首项a 1－1＝－2，公比q ＝2的等比数列，所以a n －1＝－2×2n －1，即a n ＝1－2n，当n ＝1时也成立.答案 (1)2n－1 (2)1－2n热点二 数列的求和问题 [考法1] 分组转化法求和【例2－1】 (2017·南京高三月考)已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的首项b 1＝1，且a 2＝b 3，S 3＝6b 2，n ∈N *. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n ＝b n ＋(－1)na n ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q .∵a 1＝2，b 1＝1，且a 2＝b 3，S 3＝6b 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q 2，3（2＋2＋2d ）2＝6q .解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2.∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，b n ＝2n －1.(2)由题意：c n ＝b n ＋(－1)na n ＝2n －1＋(－1)n2n .∴T n ＝(1＋2＋4＋…＋2n －1)＋[－2＋4－6＋8－…＋(－1)n·2n ]，①若n 为偶数：T n ＝1－2n1－2＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －1)＋2n ]}＝2n－1＋n 2×2＝2n＋n －1.②若n 为奇数：T n ＝1－2n1－2＋{(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋[－2(n －2)＋2(n －1)]－2n }＝2n－1＋2×n －12－2n ＝2n－n －2.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n＋n －1，n 为偶数，2n －n －2，n 为奇数.探究提高 1.在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和.在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论.最后再验证是否可以合并为一个表达式.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组. [考法2] 裂项相消法求和【例2－2】 (2018·扬州期末节选)已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a 2n ＋a n ，数列{b n }满足b 1＝12，2b n ＋1＝b n ＋b n a n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝b n ＋2S n，求和c 1＋c 2＋…＋c n . 解 (1)2S n ＝a 2n ＋a n ，① 2S n ＋1＝a 2n ＋1＋a n ＋1，②②－①得2a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋a n ＋1－a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －1)＝0. 因为{a n }是正数数列，所以a n ＋1－a n －1＝0，即a n ＋1－a n ＝1， 在2S n ＝a 2n ＋a n 中，令n ＝1，得a 1＝1，所以{a n }是以a 1＝1为首项，公差为1的等差数列.所以a n ＝n .由2b n ＋1＝b n ＋b n a n 得b n ＋1n ＋1＝12·b n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是等比数列，其中首项为12，公比为12，所以b n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，即b n ＝n2n .(2)由(1)得c n ＝b n ＋2S n ＝n ＋2（n 2＋n ）2n ＋1，所以c n ＝1n ·2n －1（n ＋1）2n ＋1， 所以c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫11×21－12×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－13×23＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n ·2n －1（n ＋1）2n ＋1＝12－1（n ＋1）2n ＋1＝（n ＋1）2n－1（n ＋1）·2n ＋1.探究提高 1.裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项. [考法3] 错位相减法求和【例2－3】 已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是首项为2的等比数列，且公比大于0，b 2＋b 3＝12，b 3＝a 4－2a 1，S 11＝11b 4. (1)求{a n }和{b n }的通项公式； (2)求数列{a 2n b n }的前n 项和(n ∈N *).解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 由已知b 2＋b 3＝12，得b 1(q ＋q 2)＝12，而b 1＝2，所以q 2＋q －6＝0， 又因为q >0，解得q ＝2，所以b n ＝2n.由b 3＝a 4－2a 1，可得3d －a 1＝8，① 由S 11＝11b 4，可得a 1＋5d ＝16，②联立①②，解得a 1＝1，d ＝3，由此可得a n ＝3n －2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －2，{b n }的通项公式为b n ＝2n. (2)设数列{a 2n b n }的前n 项和为T n ，由a 2n ＝6n －2，b n ＝2n ，有T n ＝ 4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n －2)×2n， 2T n ＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n －8)×2n ＋(6n －2)×2n ＋1，上述两式相减，得－T n ＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n －2)×2n ＋1＝12×（1－2n）1－2－4－(6n －2)×2n ＋1＝－(3n －4)2n ＋2－16.所以T n ＝(3n －4)2n ＋2＋16.所以数列{a 2n b n }的前n 项和为(3n －4)2n ＋2＋16.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【训练2】 (2018·浙江卷)已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3＋a 4＋a 5＝28，a 4＋2是a 3，a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1＝1，数列{(b n ＋1－b n )a n }的前n 项和为2n 2＋n .(1)求q 的值；(2)求数列{b n }的通项公式.解 (1)由a 4＋2是a 3，a 5的等差中项得a 3＋a 5＝2a 4＋4， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＋4＝28，解得a 4＝8.由a 3＋a 5＝20得8⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＋1q ＝20，解得q ＝2或q ＝12，因为q >1，所以q ＝2.(2)设c n ＝(b n ＋1－b n )a n ，数列{c n }前n 项和为S n .由c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，解得c n ＝4n －1.由(1)可知a n ＝2n －1，所以b n ＋1－b n ＝(4n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，故b n －b n －1＝(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，b n －b 1＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＝(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋7·12＋3.设T n ＝3＋7·12＋11·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，12T n ＝3·12＋7·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(4n －9)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(4n －5)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以12T n ＝3＋4·12＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2－()4n －5·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，因此T n ＝14－(4n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，又b 1＝1，所以b n ＝15－(4n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，n ≥2，又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝15－(4n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ∈N *).1.数列的通项公式的求法主要利用a n 与S n 的关系和递推公式，在应用S n 求a n 的过程中要注意n ＝1和n ≥2的讨论.2.错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项得到的数列{a n ·b n }的求和. (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比.②把两个和的形式错位相减.③整理结果形式. 3.裂项求和的常见技巧 (1)1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(2)1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；(3)1n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1；(4)14n 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.一、填空题1.已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n 为________.解析 a n ＝(2n －1)＋12n ，∴S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－12n .答案 n 2＋1－12n2.(2017·苏北四市期末)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 016的值为________.解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 016＝6×336， ∴a 2 016＝a 6＝－1. 答案 －13.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则∑k ＝1n1S k＝________.解析 设{a n }首项为a 1，公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝3，S 4＝4a 1＋4×32d ＝10，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴S n ＝n （n ＋1）2，∑k ＝1n1S k ＝21×2＋22×3＋…＋2n （n －1）＋2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1. 答案2nn ＋14.(2018·泰州模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析 由a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6.答案 65.在等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________. 解析 由a 1>0，a 10·a 11<0可知d <0，a 10>0，a 11<0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18＝S 10－(S 18－S 10)＝60.答案 606.对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.解析 因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22＋23＋ (2)－n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.答案 2n ＋1－n －27.(2018·南京调研改编)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，n ∈N *，则a n ＝________. 解析 由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0. 因为a 1＞0，所以a 1＝1. 因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，① 所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，② ②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1， 即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )(S n ＋1－S n )＋2a n ＋1， 即3a 2n ＋1＝(S n ＋1＋S n )a n ＋1＋2a n ＋1， 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③ 所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④ ④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1， 即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)， 即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0，所以a 2＝2， 所以a 2a 1＝2， 所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.答案 2n －18.(2018·无锡期末)已知数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝2(n ∈N *)，则满足1 0011 000＜S 2n S n ＜1110的n 的最大值为________. 解析 法一 由2a n ＋1＋S n ＝2，①可得当n ≥2时，2a n ＋S n －1＝2，②①－②得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，所以2a n ＋1＝a n .因为a 2＝12，所以a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝12(n ≥2). 又因为a 2a 1＝12， 所以a n ＋1a n ＝12，所以数列{a n }是等比数列， 所以S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以S 2n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ， 从而S 2n S n ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 由不等式1 0011 000＜S 2n S n ＜1110得1 0011 000＜1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜1110， 所以11 000＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜110，解得4≤n ≤9， 所以满足条件的n 的最大值是9.法二 因为2a n ＋1＋S n ＝2，所以2(S n ＋1－S n )＋S n ＝2，即2S n ＋1－S n ＝2，所以 2(S n ＋1－2)＝S n －2.又因为S 1－2＝a 1－2＝－1≠0，所以S n －2≠0，所以S n ＋1－2S n －2＝12，所以{S n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列，则S n －2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S n ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，以下同法一.答案 9二、解答题9.已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1＋2a 2＝5，4a 23＝a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1＝2，且b n ＋1＝b n ＋a n ，求数列{b n }的通项公式；(3)设c n ＝a n b n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 23＝a 2a 6得4a 23＝a 24，所以q 2＝4，由条件可知q >0，故q ＝2，由a 1＋2a 2＝5得a 1＋2a 1q ＝5，所以a 1＝1，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由b n ＋1＝b n ＋a n 得b n ＋1－b n ＝2n －1，故b 2－b 1＝20，b 3－b 2＝21，…，b n －b n －1＝2n －2， 以上n －1个等式相加得b n －b 1＝1＋21＋…＋2n －2 ＝1·（1－2n －1）1－2＝2n －1－1，由b 1＝2，所以b n ＝2n －1＋1. (3)c n ＝a n b n b n ＋1＝b n ＋1－b n b n b n ＋1＝1b n －1b n ＋1， 所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 1－1b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1b 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝12－12n ＋1. 10.(2018·天津卷)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *).已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值. 解 (1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0).由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0.因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n 1－2＝2n －1. 设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4.由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n .所以S n ＝n （n ＋1）2.(2)由(1)，有T 1＋T 2＋...＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n （n ＋1）2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1， 整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍)，或n ＝4.所以n 的值为4.11.若数列{a n }是公差为2的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1，数列{c n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)n λ<T n ＋n 2n －1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围.解 (1)∵数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝2，且a n b n ＋b n ＝nb n ＋1.∴n ＝1时，a 1＋1＝2，解得a 1＝1.又数列{a n }是公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∴2nb n ＝nb n ＋1，化为2b n ＝b n ＋1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列.∴b n ＝2n －1.(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ＋1b n ＋1＝2n 2n ＝n 2n －1， 数列{c n }的前n 项和为T n ＝1＋22＋322＋…＋n 2n －1， ∴12T n ＝12＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 两式作差，得∴12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ， ∴T n ＝4－n ＋22n －1.不等式(－1)n λ<T n ＋n 2n －1，化为(－1)n λ<4－22n －1， n ＝2k (k ∈N *)时，λ<⎝ ⎛⎭⎪⎫4－22n －1min ＝4－222－1＝3，∴λ<3. n ＝2k －1(k ∈N *)时，－λ<⎝ ⎛⎭⎪⎫4－22n －1min ＝4－221－1＝2，∴λ>－2. 综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).。

江苏省南京市高考数学二轮复习：07 递推数列及数列求和的综合问题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）数列的首项为3，为等差数列且.若，，则（）A . 0B . 3C . 8D . 112. （2分） (2016高二下·汕头期中) 设f（n）= + + +…+ （n∈N*），那么f（n+1）﹣f（n）等于（）A .B .C . +D . ﹣3. （2分） (2019高一下·佛山月考) 已知等比数列中，有，数列是等差数列，其前项和为，且，则（）A . 26B . 52C . 78D . 1044. （2分）数列{an}中，an+1=an+2﹣an ， a1=2，a2=5，则a5为（）C . -5D . 195. （2分） (2017高二上·中山月考) 数列满足且，则使的的值为（）A . 5B . 6C . 7D . 86. （2分）已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)＝f(x-1)且当x∈[-1,1]时，f(x)=x2 ，则y=f(x)与的图象的交点个数为（）A . 3B . 4C . 5D . 67. （2分）已知数列满足，，则（）A . 143B . 156C . 168D . 1958. （2分）在数列中，已知，，记为数列的前n项和，则（）C .D .9. （2分） (2016高三上·翔安期中) 如果数列{an}的前n项和Sn= an﹣3，那么这个数列的通项公式是（）A . an=2（n2+n+1）B . an=3×2nC . an=3n+1D . an=2×3n10. （2分）(2016·浙江文) 如图，点列{An}、{Bn}分别在某锐角的两边上且|AnAn+1|=|An+1An+2|，An≠An+1 ，n∈N* ， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|，Bn≠Bn+1 ，n∈N* ，（P≠Q表示点P与Q不重合）若dn=|AnBn|，Sn为△AnBnBn+1的面积，则（）A . {Sn}是等差数列B . {Sn2}是等差数列C . {dn}是等差数列D . {dn2}是等差数列11. （2分）各项均为正数的数列{an},{bn}满足：an+2=2an+1+an,bn+2=bn+1+2bn ，（），那么（）A .B .C .D .12. （2分）(2017·陆川模拟) 已知数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*），若bn+1=（n﹣λ）（ +1）（n∈N*），b1=﹣λ．且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（）A . λ＞2B . λ＜2C . λ＞3D . λ＜3二、填空题 (共5题；共6分)13. （1分） (2016高一下·海南期中) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且a1=1，an+1=2Sn ，则数列{an}的通项公式为________．14. （1分）设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=-1，an+1=SnSn+1 ，则Sn=________ .15. （2分） (2016高一下·惠阳期中) 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1，那么它的通项公式为an=________16. （1分）已知数列满足，，则其通项公式 ________．17. （1分）(2015·岳阳模拟) 定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足：①当x∈[1，2）时，；②∀x∈[0，+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）﹣a的零点从小到大依次为x1 ， x2 ，x3 ，…xn ，…，若，则x1+x2+…+x2n=________．三、解答题 (共5题；共45分)18. （10分）已知等差数列{an}．满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，an+2log2bn=﹣1．分别求数列{an}，{bn}的通项公式.19. （5分） (2018高二下·中山月考) 数列{an}中，且．（1）求数列{an}的前5项；（2）由（1）猜想数列{an}的一个通项公式；（3）求证数列为等比数列．20. （10分） (2015高三上·东莞期末) 已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn ， S4=30，过点P（n，log2an）和Q（n+2，log2an+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意n∈N*，都有Tn ．21. （10分）(2014·山东理) 已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn ，且S1 ， S2 ， S4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=（﹣1）n﹣1 ，求数列{bn}的前n项和Tn．22. （10分） (2016高一下·岳阳期末) 已知数列an}的前n项和为Sn ， a1=1，a2=2，且点（Sn ， Sn+1）在直线y=tx+1上．（1）求Sn及an；（2）若数列{bn}满足bn= （n≥2），b1=1，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：当n≥2时，Tn ＜2．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共45分) 18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

第2讲数列的通项与求和一、填空题1. 已知数列，，，，…，则其前n项和S n为________.【答案】【解析】利用分组求和可得：，故答案为.2. 已知数列{a n}满足a n＋2＝a n＋1－a n，且a1＝2，a2＝3，则a2 016的值为________.【答案】【解析】由题意得，，，，，，∴数列是周期为6的周期数列，而，∴，故答案为.3. 等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则________.【答案】【解析】等差数列的前项和为，，，，可得，数列的首项为1，公差为1，，，则，故答案为.4. 数列{a n}满足a n＋a n＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，S n是数列{a n}的前n项和，则S21＝________.【答案】6【解析】由，∴，则，，∴，故答案为6.5. 设数列{a n}满足a1＝1，(1－a n＋1)(1＋a n)＝1(n∈N*)，则的值为________.【答案】【解析】∵，，∴，∴数列是等差数列，首项与公差都为1，∴，∴，∴，∴，故答案为.6. 在等差数列{a n}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列的前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|a n|}的前18项和T18的值是________.【答案】60【解析】∵，，∴，，，∴，故答案为60.7. 已知数列{a n}中，a n＝－4n＋5，等比数列{b n}的公比q满足q＝a n－a n－1(n≥2)且b1＝a2，则|b1|＋|b2|＋|b3|＋…＋|b n|＝________.【答案】点睛：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前项和公式，考查学生的运算能力，属中档题；先由及求出，再由，求出，从而得到，进而得到，根据等比数列前项和公式即可求得．8. 对于数列{a n}，定义数列{a n＋1－a n}为数列{a n}的“差数列”，若a1＝1，{a n}的“差数列”的通项公式为a n＋1－a n＝2n，则数列{a n}的前n项和S n＝________.【答案】【解析】因为a n＋1－a n＝2n，应用累加法可得a n＝2n－1，所以S n＝a1＋a2＋a3＋...＋a n＝2＋22＋23＋ (2)－n＝－n＝2n＋1－n－2.二、解答题9. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a＝a2a6.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b1＝2，且b n＋1＝b n＋a n，求数列{b n}的通项公式；(3)设，求数列{c n}的前n项和T n.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】试题分析：（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式，结合条件可得首项和公比的方程组，解方程即可得到所求通项公式；（2）运用，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求通项公式；（3）求得，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和.试题解析：（1）等比数列的各项均为正数，且公比，，，可得，，解得，，则；（2）数列满足，且，可得，则；（3），则数列的前项和为．10. 已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2＋8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n＋b n＋1.(1)求数列{b n}的通项公式；(2)令，求数列{c n}的前n项和T n.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）首先根据求出的通项公式，设数列的公差为，列出和的方程组，解出即可；（2）根据（1）可得数列的通项公式，利用错位相减法求得结果.试题解析：(1)由题意知，当时，.当时，，符合上式，所以.设数列的公差为，由即，可解得，所以.(2)由(1)知，又，得，.两式作差，得，所以.11. 若数列{a n}是公差为2的等差数列，数列{b n}满足b1＝1，b2＝2，且a n b n＋b n＝nb n＋1.(1)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(2)设数列{c n}满足，数列{c n}的前n项和为T n，若不等式(－1)nλ<T n＋对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1），；（2）【解析】试题分析：（1）数列满足，，且，可得，解得，利用等差数列的通项公式可得，可得，化为，利用等比数列的通项公式可得；（2）设数列满足，利用“错位相减法”可得数列的前项和为，再利用数列的单调性与分类讨论即可得出．试题解析：（1）∵数列满足，，且，∴，解得，又数列是公差为2的等差数列，∴，∴，化为，∴数列是等比数列，公比为2，∴．（2）设数列满足，数列的前项和为，∴，∴，∴，不等式，化为：，时，，∴；时，，∴，综上可得：实数的取值范围是．。