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2020年全国高考数学 第21讲 平面向量的数量积考纲解读理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 了解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数量积的坐标表示，会进行两个平面向量数量积的运算.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题及其他一些实际问题.命题趋势探究平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、求夹角、距离等是每年必考内容，单独命题时，以选择、填空题的形式出现，注意考查向量的运算及性质，高考中，与向量有关的解答题一般与其他内容相结合（如解析几何、三角函数、平面几何）进行考查，重在考查向量的工具性作用，向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，应引起重视.将考查平面向量的数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数结合的解答题也是热点之一，每年高考分值一般保持在8分左右.知识点精讲一、平面向量的数量积(1) 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫作向量a 与b 的夹角．记作,a b ，并规定,a b []0,π∈.如果a 与b 的夹角是2π，就称a 与b 垂直，记为a b ⊥.(2) |a || b |cos ,a b 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a b ⋅,即a b ⋅＝| a || b |cos ,a b . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a b ⋅=0. 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a b ⋅＝±| a || b |.二、平面向量数量积的几何意义数量积a b ⋅等于a 的长度| a |与b 在a 方向上的射影| b |cos θ的乘积．即a b ⋅＝| a || b |cos θ.( b 在a 方向上的射影| b |cos θa b a⋅=;a 在b 方向上的射影| a |cos θa b b⋅=).三、平面向量数量积的重要性质 性质1 ||cos e a a e a θ⋅=⋅=. 性质2 .a b a b 0⊥⇔⋅=性质3 当a 与b 同向时||||a b a b ⋅=；当当a 与b 反向时-||||a b a b ⋅=.22||a a a a ⋅==或||a 性质4 cos ().||||a ba 0b 0a b 且θ⋅=≠≠性质5 ||||||.a b a b ⋅≤注利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题.四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b=b a ⋅⋅（交换律）；（2）()=()(a b a b a b λλλλ⋅⋅=⋅为实数）； （3）(+)=a b c a c b c ⋅⋅+⋅（分配律）。
§5.3 平面向量的数量积最新考纲 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]． 2．平面向量的数量积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.概念方法微思考1．a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相同吗？提示 不相同．因为a 在b 方向上的投影为|a |cos θ，而b 在a 方向上的投影为|b |cos θ，其中θ为a 与b 的夹角．2．两个向量的数量积大于0，则夹角一定为锐角吗？ 提示 不一定．当夹角为0°时，数量积也大于0.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (6)若a·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( × ) 题组二 教材改编2．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k ＝________. 答案 12解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.3．已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a 方向上的投影为________． 答案 －2解析 由数量积的定义知，b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 题组三 易错自纠4．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 3解析 方法一 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2 ＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12 ＝12＝2 3.方法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|. 又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.5．已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为________． 答案322解析 AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)， 由定义知，AB →在CD →方向上的投影为 AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.6．已知△ABC 的三边长均为1，且AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，则a·b ＋b·c ＋a·c ＝________. 答案 －32解析 ∵〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈a ，c 〉＝120°，|a |＝|b |＝|c |＝1， ∴a·b ＝b·c ＝a·c ＝1×1×cos 120°＝－12，∴a·b ＋b·c ＋a·c ＝－32.题型一 平面向量数量积的基本运算1．已知a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)，若(a ＋b )⊥b ，则x 等于( ) A ．8 B ．10 C ．11 D ．12 答案 D解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(－2,4)， ∴a ＋b ＝(x －2,5)， 又(a ＋b )⊥b ，∴(x －2)×(－2)＋20＝0， ∴x ＝12.2．(2018·全国Ⅱ)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0答案 B解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2|a |2－a ·b . ∵|a |＝1，a ·b ＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.3．(2019·上饶模拟)设D ，E 为正三角形ABC 中BC 边上的两个三等分点，且BC ＝2，则AD →·AE →等于( ) A.49 B.89 C.269 D.263答案 C 解析 如图，|AB →|＝|AC →|＝2，〈AB →，AC →〉＝60°， ∵D ，E 是边BC 的两个三等分点，∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →＝⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC → ＝29|AB →|2＋59AB →·AC →＋29|AC →|2＝29×4＋59×2×2×12＋29×4＝269. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(3)利用数量积的几何意义求解．题型二 平面向量数量积的应用命题点1 求向量的模例1 (1)(2019·永州模拟)在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则|BD →|等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 如图所示，设AD →＝kAB →，所以CD →＝AD →－AC →＝kAB →－AC →， 所以AB →·CD →＝AB →·(kAB →－AC →) ＝kAB →2－AB →·AC → ＝25k －5×6×12＝25k －15＝－5，解得k ＝25，所以|BD →|＝⎝⎛⎭⎫1－25|AB →|＝3. (2)设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值为( ) A ．4 B ．2 C. 2 D ．1答案 A解析 因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝－2，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12，〈a ，b 〉＝120°.如图所示，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c ，∠AOB ＝120°. 所以∠ACB ＝60°，所以∠AOB ＋∠ACB ＝180°， 所以A ，O ，B ，C 四点共圆． 不妨设为圆M ，因为AB →＝b －a ， 所以AB →2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝12. 所以|AB →|＝23，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径为2R ＝|AB →|sin ∠AOB ＝4.所以当|OC →|为圆M 的直径时，|c |取得最大值4.命题点2 求向量的夹角例2 (1)(2018·烟台模拟)已知|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝21，则向量a ，b 的夹角为(用弧度表示)________． 答案2π3解析 因为|a |＝1，|b |＝2，|a －2b |＝21， 所以|a －2b |＝(a －2b )2＝21，解得cos 〈a ，b 〉＝－12，又因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉＝2π3.(2)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________． 答案33解析 由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0， |3e 1－e 2|＝(3e 1－e 2)2 ＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22 ＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝(3e 1－e 2)·(e 1＋λe 2)|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋(3λ－1)e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12，解得λ＝33. 思维升华 (1)求解平面向量模的方法 ①利用公式|a |＝x 2＋y 2. ②利用|a |＝a 2.(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b|a||b |，θ的取值范围为[0，π]．②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.③解三角形法：把两向量的夹角放到三角形中．跟踪训练1 (1)(2018·郑州模拟)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |＝________. 答案3解析 ∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝1， ∴4－4|b |cos 30°＋b 2＝1，整理得|b |2－23|b |＋3＝(|b |－3)2＝0， 解得|b |＝ 3.(2)已知|a |＝1，|b |＝2，且a ⊥(a －b )，则向量a 与向量b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 B解析 ∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos 〈a ，b 〉＝22，∴〈a ，b 〉＝π4. 题型三 平面向量与三角函数例3 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4. (1)求a ·b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ·b －|a ＋b |，求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)a ·b ＝cos3x 2cos x 2－sin 3x 2·sin x 2＝cos 2x . ∵a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 2，sin 3x 2－sin x2， ∴|a ＋b |＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝⎛⎭⎫sin 3x 2－sin x 22＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4， ∴cos x >0，∴|a ＋b |＝2cos x .(2)f (x )＝cos 2x －2cos x ＝2cos 2x －2cos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎫cos x －122－32.∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，∴12≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，f (x )取得最小值－32；当cos x ＝1时，f (x )取得最大值－1.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． 跟踪训练 2 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值； (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n . 所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0， 所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12， 所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.1．已知a ，b 为非零向量，则“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 根据向量数量积的定义式可知，若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或零角，若a 与b 的夹角为锐角，则一定有a ·b >0，所以“a ·b >0”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件，故选B.2．(2019·西北师大附中冲刺诊断)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2答案 B解析 向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)， 则k a －2b ＝()k －4，k ＋6.若k a －2b 与a 垂直，则k －4＋k ＋6＝0， 解得k ＝－1.故选B.3．(2018·华中师大一附中模拟)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a －b ＝(3，2)，则|2a －b |等于( ) A ．2 2 B.17 C.15 D ．2 5 答案 A解析 根据题意，|a －b |＝3＋2＝5， 则(a －b )2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝5－2a ·b ＝5， 可得a ·b ＝0，结合|a |＝1，|b |＝2， 可得(2a －b )2＝4a 2＋b 2－4a ·b ＝4＋4＝8， 则||2a －b ＝22，故选A.4．(2018·东三省三校模拟)非零向量a ，b 满足：|a －b |＝|a |，a ·(a －b )＝0，则a －b 与b 夹角θ的大小为( ) A ．135° B ．120° C ．60° D ．45° 答案 A解析 ∵非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0， ∴a 2＝a ·b ，由|a －b |＝|a | 可得， a 2－2a ·b ＋b 2＝a 2，解得|b |＝2|a |， ∴cos θ＝(a －b )·b |a －b ||b |＝a ·b －|b |2|a ||b |＝|a |2－2|a |22|a |2＝－22，∴θ＝135°，故选A.5．(2019·咸阳模拟)已知两个单位向量a 和b 的夹角为60°，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．－1 B ．1 C ．－12D.12答案 D解析 由题意可得 |a |＝|b |＝1， 且 a ·b ＝|a |×|b |×cos 60°＝12，a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝1－12＝12，则向量a －b 在向量a 方向上的投影为 (a －b )·a |a |＝121＝12.故选D.6．(2018·钦州质检)已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点，则MA →·MB →的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[－1,2] C ．[－1,3] D ．[－1,4] 答案 C解析 如图所示，由题意可得，点M 所在区域的不等式表示为(x －1)2＋(y －1)2≤1(0≤x ≤2,0≤y ≤2)． 可设点M (x ，y )， A (0,0)，B (2,0)．∴MA →·MB →＝(－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝－x (2－x )＋y 2＝(x －1)2＋y 2－1， 由(x －1)2＋y 2∈[0,2]， ∴MA →·MB →∈[－1,3]，故选C.7．(2018·烟台模拟)若平面向量a ，b 满足()a ＋b ·b ＝7，|a |＝3，|b |＝2，则向量a 与b 的夹角为________．答案 π6解析 ∵(a ＋b )·b ＝a ·b ＋b 2＝7， ∴a ·b ＝7－b 2＝3.设向量a 与b 的夹角为α， 则cos α＝a ·b |a ||b |＝323＝32.又0≤α≤π，∴α＝π6，即向量a 与b 的夹角为π6.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝2，则a 在b 方向上的投影为________． 答案 －33解析 向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，|a ＋b |＝2， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋3＋2a ·b ＝2， 解得a ·b ＝－1.a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－13＝－33.9.如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，则BA →·AD →的值为________．答案 －17解析 如图，建立平面直角坐标系，则C (0,0)，A (3,0)，B (0,4)，D (0,2)． 则BA →＝(3，－4)，AD →＝(－3,2)． ∴BA →·AD →＝3×(－3)－4×2＝－17.10．(2018·河北省衡水中学模拟)已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2且a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则(a －b )·e 的最大值为________． 答案3解析 由|a |＝1，|b |＝2，且a ·b ＝1， 得cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12， ∴〈a ，b 〉＝60°，设a ＝(1,0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)， ∴(a －b )·e ＝－3sin θ， ∴(a －b )·e 的最大值为 3.11．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3， 所以64－4a·b －27＝61， 所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b |a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝2π3，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3， 所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC＝12×4×3×32＝3 3. 12．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，求P A →·(PB →＋PC →)的最小值． 解 方法一 设BC 的中点为D ，AD 的中点为E ，则有PB →＋PC →＝2PD →， 则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD → ＝2(PE →＋EA →)·(PE →－EA →) ＝2(PE →2－EA →2)． 而AE →2＝⎝⎛⎭⎫322＝34，当P 与E 重合时，PE →2有最小值0， 故此时P A →·(PB →＋PC →)取最小值， 最小值为－2EA →2＝－2×34＝－32.方法二 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A (－1,0)，B (1,0)，C (0，3)， 设P (x ，y )，取BC 的中点D ， 则D ⎝⎛⎭⎫12，32.P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →＝2(－1－x ，－y )·⎝⎛⎭⎫12－x ，32－y ＝2⎣⎡⎦⎤(x ＋1)·⎝⎛⎭⎫x －12＋y ·⎝⎛⎭⎫y －32 ＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋142＋⎝⎛⎭⎫y －342－34. 因此，当x ＝－14，y ＝34时，P A →·(PB →＋PC →)取最小值，为2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32.13．(2018·南宁摸底)已知O 是△ABC 内部一点，OA →＋OB →＋OC →＝0，AB →·AC →＝2且∠BAC ＝60°，则△OBC 的面积为( ) A.33 B.12 C.32D.23答案 A解析 ∵OA →＋OB →＋OC →＝0， ∴OA →＋OB →＝－OC →， ∴O 为三角形的重心，∴△OBC 的面积为△ABC 面积的13，∵AB →·AC →＝2，∴|AB →||AC →|cos ∠BAC ＝2， ∵∠BAC ＝60°，∴|AB →||AC →|＝4，△ABC 的面积为12|AB →||AC →|sin ∠BAC ＝3，∴△OBC 的面积为33，故选A. 14．(2019·衡阳模拟)在△ABC 中，∠A ＝120°，AB →·AC →＝－3，点G 是△ABC 的重心，则|AG →|的最小值是( ) A.23 B.63C.23D.53答案 B解析 设BC 的中点为D ， 因为点G 是△ABC 的重心，所以AG →＝23AD →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)，再令|AB →|＝c ，|AC →|＝b ，则AB →·AC →＝bc cos 120°＝－3，所以bc ＝6，所以|AG →|2＝19(|AB →|2＋2AB →·AC →＋|AC →|2)＝19(c 2＋b 2－6)≥19(2bc －6)＝23， 所以|AG →|≥63，当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故选B.15.如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ＝2，BC ＝2，点E 为AB 的中点，若CE →·BD →＝－2，则向量CD →在向量BC →上的投影为________．答案 －12解析 如图，以BC ，BA 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，则C (2,0)，B (0,0)，A (0，2)，E ⎝⎛⎭⎫0，22.设AD ＝a ，则D (a ，2)，则CE →＝⎝⎛⎭⎫－2，22，BD →＝(a ，2)，∴CE →·BD →＝－2a ＋1＝－2，a ＝32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－12，2， ∴CD →·BC →＝⎝⎛⎭⎫－12，2·(2,0)＝－1， ∴CD →在BC →方向上的投影是－12.16.如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，求OA →·OM →的最大值．解 设∠OBC ＝θ，则B ()2cos θ，0，C ()0，2sin θ，A ⎝⎛⎭⎫2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， M ⎝⎛⎭⎫2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， OA →·OM →＝⎣⎡⎦⎤2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×⎣⎡⎦⎤2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝4cos 2θ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋ 2sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θ⎝⎛⎭⎫12cos θ－32sin θ＝2＋cos 2θ＋33sin θcos θ ＝52＋12cos 2θ＋332sin 2θ ＝52＋7sin ()2θ＋φ⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝39. ∴OA →·OM →的最大值为52＋7.。
平面向量03 平面向量的数量积及应用一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1) 理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题. 二、知识概述： 一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量a r 、b r ，它们的夹角为θ，则r a ·b rθcos b a . 若a r =(1x ,1y ),b r =(2x ,2y )，则a r ·b r=2121y y x x +.2.向量的模：若a r =(,)x y ，则|a r 22x y +.3.两向量的夹角余弦值：>=<=,cos cos θa ba b×r r r r .【考点讲解】4.向量垂直的等价条件：a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .二）主要知识点： 1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作OA u u u r ＝，OB u u u r＝，则∠AOB ＝θ 叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥. 2.平面向量数量积：（1）已知两个非零向量与θ⋅叫做与的数量积，记作⋅，即⋅θcos ，其中θ是与的夹角．规定00=⋅a.当⊥时，θ＝90°，这时0r ra b?.（2）⋅的几何意义：数量积⋅等于与在θcos 的乘积．3.向量数量积的性质：（1）=⋅=（2）>=<=,cos cos θa ba b×r r r r (θ为与的夹角). （3≤⋅4.数量积的运算律（1）交换律：⋅=⋅. （2）分配律：()⋅+⋅=⋅+（3）对()()()R λλλλ⋅=⋅=⋅∈,.5.数量积的坐标运算：设()()2211,,,y x b y x a ==，有下面的结论：（1）2121y y x x +=⋅.（2）a r ⊥b r ⇔0r r a b?⇔02121=+y y x x .（3.2121y x +=（4）>=<=b a ,cos cosθr r r r a ba b×=(θ为与的夹角).1．【2019年高考全国I 卷】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】本题考查的是向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3，故选B ． 【答案】B2.【2019年高考全国II 卷】已知AB u u u r =(2,3)，AC uuu r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ⋅u u u r u u u r=（ ） A ．−3 B ．−2 C ．2 D ．3【解析】本题考点为平面向量的数量积.由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r ，221(3)1BC t =+-=u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u rg g ．故选C ．【答案】C3.【2018年高考全国II 卷】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解析】本题主要考查平面向量的数量积.因为()()22222||1213⋅-=-⋅=--=+=a a b a a b a 所以选B.【真题分析】【答案】B4.【2018年高考浙江卷】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A 1BC ．2D ．2【解析】本题主要考查平面向量的夹角、数量积、模及最值问题.设， 则由得，由b 2−4e ·b +3=0得因此|a −b |的最小值为圆心到直线的距离2减去半径1，为选A. 【答案】A5.【2019年高考北京卷理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB u u u r 与AC uuur 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>u u u r u u u r u u u r ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】本题考查充要条件的概念与判断､平面向量的模､夹角与数量积.AB u u u r 与AC uuu r的夹角为锐角，所以2222||||2||||2AB AC AB AC AB AC AB AC ++⋅>+-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，即22||||AB AC AC AB +>-u u u r u u u r u u u r u u u r ，因为AC AB BC -=u u u r u u u r u u u r ，所以|AB u u u r +AC uuur |>|BC uuu r |；当|AB u u u r +AC uuu r |>|BC uuu r |成立时，|AB u u u r +AC uuu r |2>|AB u u u r -AC uuu r |2AB ⇒u u u r •AC uuu r >0，又因为点A ，B ，C 不共线，所以AB u u u r与AC uuu r的夹角为锐角.故“AB u u u r与AC uuu r 的夹角为锐角”是“|AB u u u r +AC uuu r |>|BC u u u r|”的充分必要条件,故选C ． 【答案】C6.【2018年高考北京卷理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】222222699+63333-=+-=⇔⇔-++⋅=⋅+a a b a b a b a b a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+6=0-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b a ⊥b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.故选C. 【答案】C7.【2018年高考天津卷文数】在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=o,2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ）A ．15-B ．9-C ．6-D ．0【解析】如图所示，连结MN ，由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则， 由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：. 本题选择C 选项.【答案】C8.【2019年高考北京卷文数】已知向量a =（–4，3），b =（6，m ），且⊥a b ，则m =__________． 【解析】向量(4,3),(6,)m =-=⊥，，a b a b 则046308m m ⋅=-⨯+==，，a b . 【答案】89.【2019年高考全国III 卷】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若25=c a b ，则cos ,=a c ___________. 【解析】因为25=c a b ，0⋅=a b ，所以225⋅=⋅a c a a b 2=，222||4||55||9=-⋅+=c a a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ． 【答案】2310.【2019年高考天津卷理数】在四边形ABCD 中，,23,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=u u u r u u u r___________．【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB =30°，23,5,AB AD ==则(23,0)B ，535()22D . 因为AD ∥BC ，30BAD ∠=︒，所以30ABE ∠=︒，因为AE BE =，所以30BAE ∠=︒，所以直线BE的斜率为33，其方程为3(23)3y x=-，直线AE的斜率为33-，其方程为33y x=-.由3(23),333y xy x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得3x=，1y=-，所以(3,1)E-.所以35(,)(3,1)122BD AE=-=-u u u r u u u rg g. 【答案】1-11.【2019年高考江苏卷】如图，在ABC△中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O.若6AB AC AO EC⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，则ABAC的值是___________．【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．()()()3632AO EC AD AC AE AB AC AC AE=-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g，()223131123233AB AC AC AB AB AC AB AC AB AC⎛⎫⎛⎫=+-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g22223211323322AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ， 得2213,22AB AC =u u u r u u u r 即3,AB AC =u u u r u u u r 故3ABAC= 【答案】3.12.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r ； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-313.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为23.【答案】314.【2017年高考山东卷理数】已知12,e e 123-e e 与12λ+e e 的夹角为60︒，则实数λ的值是___________．【解析】∵221212112122(3)()333λλλλ-⋅+=+⋅-⋅-=-e e e e e e e e e e ，22212121122|3|(3)3232-=-=-⋅+=e e e e e e e e ，2222212121122||()21λλλλλ+=+=+⋅+=+e e e e e e e e ，∴22321cos601λλλ-=+⨯︒=+，解得3λ=． 【答案】31.已知向量(1,2)a =r ，(1,1)b =-r ，则()(2)a b a b +•-=r r r r（ ）A ．2B ．-2C ．-3D ．4【解析】因)4,1(2),1,2(-=-=+，故224412)1()2()(=-=⨯+⨯-=-⋅+，应选A. 【答案】A2. 已知非零向量m ，n 满足4│m │=3│n │，cos<m ，n >=13.若n ⊥（t m +n ）， 则实数t 的值为（ ）A.4B.–4C.94D.–94 【解析】由43m n =u r r，可设3,4(0)m k n k k ==>u r r ，又()n tm n ⊥+r u r r ，所以22221()cos ,34(4)41603n tm n n tm n n t m n m n n t k k k tk k ⋅+=⋅+⋅=⋅<>+=⨯⨯⨯+=+=r u r r r u r r r u r r u r r r .所以4t =-，故选B. 【答案】B3.已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则BC AF ⋅的值为（ ）【模拟考场】A.85-B.81 C.41 D.811【解析】设BA a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，∴11()22DE AC b a ==-u u u r u u u r r r ，33()24DF DE b a ==-u u u r u u u r r r，1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+u u u r u u u r u u u r r r r r r ，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=u u u r u u u r r r r ，故选B.【答案】B4.已知向量a r 与b r 的夹角为60°，||2a =r ，||5b =r，则2a b -r r 在a r 方向上的投影为（ ）A ．23 B ．2 C ．52 D ．3【解析】由已知条件可知，2a b -r r 在a r，其中()360cos 2=⋅-=⋅-=⋅-οa b a b a .23=.【答案】A5. 在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r ，当6A π=时，ABC ∆的面积为________.【解析】本题考点是平面向量的数量积、三角函数同角关系、三角形的面积公式的应用.由题意可知tan AB AC A ⋅=u u u r u u u r 得，⋅=u u u r u u u rAB AC tantan 26||||cos tan ,||||cos 3cos 6A AB AC A A AB AC A ππ⋅=⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，11221||||sin sin 223636ABC S AB AC A π∆=⋅=⨯⨯==u u u r u u u r .【答案】166.已知向量ba ,, 21==，若对任意单位向量，均有6≤⋅+⋅ ,则⋅的最大值是 ．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知221|(a b)||a ||b ||a b ||a ||b |2a b 6a b 2e e e +⋅≤⋅+⋅+≤++⋅≤⇒⋅≤r r r r r r r r r r r r r r r ，即最大值为12. 【答案】127.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ． 【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形ABCD 中,由AB ∥DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r ,12DC AB =u u u r u u u r , 所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+12132 221131218=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r AB AD BC AD AB BC AB 111291331818=++-= 【答案】29188.如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．【解析】本题考点是平面向量的线性运算及数量积的运算，由题意可设==,，则()()433=-=+-⋅+=⋅，()()1-=-=+-⋅+=⋅，.85813== 则()().8722=-=+-⋅+=⋅【答案】78 9.设向量()2log 3,a m =r ，()3log 4,1b =-r ，且a b ⊥r r ，则m 的值为__________．【解析】因为a b ⊥r r ，所以有0r r a b?，可以得到23log 3log 40m -=， 则23lg3lg4log 3log 42lg2lg3m ==⨯=，应填答案2. 【答案】2 10.在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为___________.【解析】由题意可知：360cos ==⋅ο，()32313232+=-+=+=， ()AB AC AC AB AE AC -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⋅λ3231 =433293143233-=⨯-⨯-⨯+⨯λλ， 所以可得113=λ. 【答案】113 11.已知3a =r ， 4b =r ， 0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足()()0a c b c -⋅-=r r r r ，则c r 的取值范围是__________． 【解析】易知5a b +=r r ，由()()0a c b c -⋅-=r r r r ，且0a b ⋅=r r ，可得： ()2cos ,5cos ,=+=+⋅+=+r r r r r r r r r r r r r r c a b c a b c a b c c a b c .所以0c =r 或5cos ,c a b c =+r r r r ，由此可得c r 的取值范围是[]0,5.【答案】[]0,512.已知两个不共线的向量,，它们的夹角为θ13==，x 为正实数． (1)若2+与4-垂直，求tan θ；(2)若θ＝π6，求x -的最小值及对应的x 的值，并判断此时向量与x -是否垂直．【解析】(1)因为2+与4-垂直， 所以()()042=-⋅+. 所以08222=-⋅-，所以32－2×3×1×cos θ－8×12＝0，所以cos θ＝16， 又θ∈(0，π)，sin θ＝1－cos 2θ＝356，所以tan θ＝sin θcos θ＝35.。
第03讲平面向量的数量积(精讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲平面向量的数量积(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析角度2：平面向量数量积的几何意义高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积角度2：向量模运算角度3：向量的夹角角度4：已知模求数量积角度5：已知模求参数高频考点三：平面向量的综合应用高频考点四：极化恒等式第四部分：高考真题感悟第一部分：知识点精准记忆1、平面向量数量积有关概念1.1向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA a = ，OB b =，则AOB θ∠=(0θπ≤≤)叫做向量a 与b的夹角，记作,a b <> ．(2)范围：夹角θ的范围是[0,]π．当0θ=时，两向量a ，b共线且同向；当2πθ=时，两向量a ，b 相互垂直，记作a b ⊥ ；当θπ=时，两向量a ，b共线但反向．1.2数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量||||cos a b θ 叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a b ⋅ ，即||||cos a b a b θ⋅= ，其中θ是a 与b的夹角，记作：,a b θ=<> ．规定：零向量与任一向量的数量积为零．记作：00a ⋅=.1.3向量的投影①定义：在平面内任取一点O ，作OM a ON b ==，.过点M 作直线ON 的垂线，垂足为1M ，则1OM 就是向量a 在向量b 上的投影向量.②投影向量计算公式:当θ为锐角（如图（1））时，1OM 与e 方向相同，1||||cos OM a λθ== ，所以11||||cos OM OM e a e θ== ；当θ为直角（如图（2））时，0λ=，所以10||cos 2OM a e π==；当θ为钝角（如图（3））时，1OM 与e方向相反，所以11||||cos ||cos()||cos OM a MOM a a λπθθ=-=-∠=--= ，即1||cos OM a e θ= .当0θ=时，||a λ=，所以1||||cos0OM a e a e == ；当πθ=时，||a λ=-，所以1||||cosπOM a e a e =-= 综上可知，对于任意的[0π]θ∈，，都有1||cos OM a e θ= .2、平面向量数量积的性质及其坐标表示已知向量1122(,),(,)a x y b x y == ，θ为向量a 和b的夹角：2.1数量积1212=||||cos x x y y a b a b θ⋅=+2.2模：2211||a a x y =⋅=+a 2.3夹角：121222221122cos ||||x x y y a ba b x y x y θ+⋅==++ 2.4非零向量a b ⊥的充要条件：121200a b x x y y ⋅=⇔+= 2.5三角不等式：||||||a b a b ⋅≤ （当且仅当a b∥时等号成立）⇔222212121122x x y y x y x y +≤+⋅+3、平面向量数量积的运算①a b b a⋅=⋅r r r r ②()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ③()c+⋅=⋅+⋅ a b c a c b 4、极化恒等式①平行四边形形式：若在平行四边形ABCD 中，则221()4AB AD AC DB ⋅=- ②三角形形式：在ABC ∆中，M 为BC 的中点，所以222214AB AC AM MB AM BC⋅=-=- 5、常用结论①22()()a b a b a b+-=- ②222()2a b a a b b+=+⋅+ ③222()2a b a a b b-=-⋅+ 第二部分：课前自我评估测试一、判断题（2022·全国·高一专题练习）1．判断（正确的填“正确”，错误的填“错误”）（1）两个向量的数量积仍然是向量.()（2）若0a b ⋅= ，则0a =或0b = .()（3）a ，b 共线⇔a ·b =|a ||b |.()（4）若a ·b =b ·c ，则一定有a =c.()（5）两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量.()（2021·全国·高二课前预习）2．已知两个向量,NM MP的夹角为60°，则∠NMP ＝60°.()二、单选题（2022·河南安阳·高一阶段练习）3．已知向量()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，若a b ⊥，则t =（）A ．1B ．13-C ．1-D ．2（2022·全国·模拟预测（文））4．在边长为2的正三角形ABC 中，则AB BC ⋅= （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2022·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一期中）5．在ABC 中，若0AB AC ⋅<，则ABC －定是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形第三部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量数量积的定义角度1：平面向量数量积的定义及辨析例题1．（2022·河北武强中学高一期中）已知向量a ，b满足1a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-=（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C22(2)222113a a b a a b a a b ⋅-=-⋅=-⋅=⨯+=.故选：C.例题2．（2022·山西太原·高一期中）给出以下结论，其中正确结论的个数是（）①0a b a b ⇒⋅=∥ ②a b b a⋅=⋅r r r r ③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ ④a b a b⋅≤⋅A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B由数量积的定义知||||cos a b a b θ⋅=，对于①，若a b∥，则||||a b a b ⋅= 或||||a b a b -⋅= ，0a b ⋅= 不一定成立，①错误对于②，a b b a ⋅=⋅r r r r成立，②正确对于③，()a b c ⋅⋅r r r 与a共线，()a b c ⋅⋅r r r 与c 共线，两向量不一定相等，③错误对于④，||||cos a b a b a b θ⋅=≤⋅，④正确故选：B例题3．（2022·江苏·涟水县第一中学高一阶段练习）在锐角ABC 中，关于向量夹角的说法，正确的是（）A ．AB 与BC的夹角是锐角B ．AC 与BA的夹角是锐角C ．AC 与BC的夹角是锐角D ．AC 与BC的夹角是钝角【答案】C 如下图所示：对于A 选项，AB 与BC的夹角为ABC π-∠，为钝角，A 错；对于B 选项，AC 与BA的夹角为BAC π-∠，为钝角，B 错；对于CD 选项，AC 与BC的夹角等于ACB ∠，为锐角，C 对D 错；故选：C.例题4．（2022·宁夏·平罗中学模拟预测（理））已知向量,a b 的夹角为23π，且||3,a b ==，则b 在a方向上的投影为___________.【答案】1-由题意得2b = ，则b 在a 方向上的投影为2||cos ,2cos13π=⨯=- b a b .故答案为：1-.角度2：平面向量数量积的几何意义例题1．（2022·江西抚州·高一期中）已知向量()()1121a b ==- ，，，，则a 在b 方向上的投影数量为（）A ．15B ．15-CD．5【答案】D因为()()1121a b ==-，，，，所以cos a b a b a b ⋅〈⋅〉==⋅ ，因此a 在b方向上的投影数量为cos ()105a ab 〈⋅〉=-=-，故选：D例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））在圆O 中弦AB 的长度为8，则AO AB ⋅=（）A ．8B ．16C ．24D ．32【答案】Dcos 8432AO AB AB AO OAB ⋅=⋅∠=⨯=．故选：D例题3．（2022·甘肃·高台县第一中学高一阶段练习）已知8,4a b == ，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a方向上的投影为（）A ．4B ．－4C ．2D ．－2【答案】D由向量8,4a b == ，且a 与b 的夹角为120°，所以向量b 在a 方向上的投影为cos 4cos1202b θ=⨯=-，故选：D.例题4．（2022·吉林一中高一期中）在ABC中，AB =4BC =，30B =︒，P 为边上AC 的动点，则BC BP ⋅的取值范围是（）A ．[]6,16B ．[]12,16C ．[]4,12D ．[]6,12【答案】A如图，作AE BC ⊥于E ，作PF BC ⊥于F ，由已知得AE =32BE ==，cos 4BC BP BC BP PBC BF ⋅=∠= ，当P 在线段AC 上运动时地，F 在线段EC 上运动，342BF ≤≤，所以6416BF ≤≤ ，故选：A ．例题5．（2022·江西景德镇·三模（理））窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，它是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点（如图2，若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则AB OP ×uu u r uu u r 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．⎡⎣-C ．⎡-⎣D ．[]4,4-【答案】Dcos ,AB OP AB OP AB OP ×=<>uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r ，即AB 与OP 在向量AB方向上的投影的积．由图2知，O 点在直线AB 上的射影是AB 中点，由于2AB =，圆弧直径是2，半径为1，所以OP 向量AB方向上的投影的最大值是2，最小值是－2，因此AB OP ×uu u r uu u r 的最大值是224⨯=，最小值是2(2)4⨯-=-，因此其取值范围为[4,4]-，故选：D ．题型归类练（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期中）6．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A ．14BCB ．12BC C ．14BC - D ．12BC -（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））7．非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，a 与b 的夹角为6π，3a = ，则c 在b 上的正射影的数量为（）A ．12-B ．2-C ．12D ．2（2022·北京市第十九中学高一期中）8．如图，已知四边形ABCD 为直角梯形，AB BC ⊥，//AB DC ，AB =1，AD =3，23πBAD ∠=，设点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），则AB AP ⋅的取值范围是（）A ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2022·全国·高三专题练习）9．在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r ，1AD AB == ，与BC方向相同的单位向量为e ，则向量AB 在BC上的投影向量为（）A ．12eB ．12e- C D ．（2022·河南河南·三模（理））10．在△ABC 中，“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校高一期中）11．在圆O 中弦4AB =，则AO AB ⋅=__________.（2022·四川·树德中学高一阶段练习）12．如图，直径4AB =的半圆，D 为圆心，点C 在半圆弧上，3ADC π∠=，线段AC 上有动点P ，则DP BA ⋅的取值范围为_________．高频考点二：平面向量数量积的运算角度1：用定义求数量积例题1．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）正六边形ABCDEF 的边长为2，则CE FD ⋅u u r u u u r=（）A ．-6B ．-C ．D ．6【答案】A在CDE 中，2CD DE ==，120CDE ∠=︒，所以CE =所以有CE DF == CE 与FD 所成的角为120°，所以(2162CE FD ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选：A ．例题2．（2022·广东·东莞市东方明珠学校高一期中）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为BC 的中点，则()AB BE BC +⋅=（）A ．2-B ．0C ．12D ．2【答案】D()AB BE BC +⋅= AB BC BE BC ⋅+⋅0122=+⨯=.故选：D例题3．（2022·北京·中关村中学高一期中）已知12a = ，4b = ，且a ，b的夹角为π3，则⋅=a b （）A ．1B ．1±C ．2D ．2±【答案】Aπ||||cos 3a b a b ⋅=⋅⋅114122=⨯⨯=.故选：A例题4．（2022·安徽·高二阶段练习）已知平面向量)1a =-，单位向量b满足20b a b +⋅= ，则向量a 与b夹角为___________.【答案】23π)1a =- ，2a =，由20b a b +⋅= 可知112cos ,0a b +⨯⨯= ，解得1cos ,2a b =- ，所以2,3a b π= .故答案为：23π例题5．（2022·上海奉贤区致远高级中学高一期中）在ABC 中，60,6,5B AB BC ∠=== ，则AB BC ⋅=_______【答案】15-因为60,6,5B AB BC ∠=== ，所以()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故答案为：15-.角度2：向量模运算例题1．（2022·山东潍坊·高一期中）已知i ，j是平面内的两个向量，i j ⊥ ，且2,2,34j a i j b i i j ===+=-+，则a b -=r r （）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【详解】由42a b i j -=-r r r r，则2222(42)1616480a b i j i i j j -=-=-⋅+=r r r r r r r r ，所以a b -=r r 故选：D例题2．（2022·四川绵阳·高一期中）已知向量a 与b 的夹角为2π3，且||2a = ，1b ||=，则|2|a b +=（）A ．2B ．C ．4D ．12【答案】A∵2π13|s |co b a b a ⋅==- ||则222|2|444a b a a b b +=+⋅+= ，即|2|2a b += 故选：A ．例题3．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知向量a 与b的夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ||b =（）AB ．1C ．2D ．4【答案】C解:向量a ，b夹角为60︒，且||2,|2|a a b =-= ∴222(2)44a b a a b b -=-⋅+ 22242||cos604||12b b ︒=-⨯⨯⨯+= ，即2||||20b b --=，解得||2b =或||1b =- （舍），∴||2b =，故选：C例题4．（2022·河南新乡·高一期中）已知向量a =，b ，且a 与b的夹角为6π，则2a b -= （）A ．7B C ．6D【答案】B2a ==，cos 362a b a b π∴⋅=⋅== ，222244161237a b a a b b ∴-=-⋅+=-+= ，2a b ∴-= 故选：B.例题5．（2022·河南·模拟预测（理））已知平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，则a b -=______．【答案】7因为平面向量a ，b的夹角为π3，且3a = ，8b = ，所以由7a b -====，故答案为：7例题6．（2022·河南·模拟预测（文））已知向量(a = ，4b = ，且向量a 与b 的夹角为34π，则a b -= ______．因为(a = ，所以a =又4b = ，3,4a b π〈〉=，所以34cos124a b π⋅==- 所以2222()218241658a b a b a a b b -=-=-⋅+=++=所以a b -角度3：向量的夹角例题1．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））若向量a ，b满足1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π【答案】B解：因为1a = ，2b = ，()235a a b ⋅+= ，所以2235a a b +⋅=，即2235a a b +⋅= ，所以1a b ⋅= ，设a 与b的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅==⋅ ，因为[]0,θπ∈，所以3πθ=；故选：B例题2．（2022·山东济南·三模）已知单位向量a 、b 、c ，满足a b c +=，则向量a 和b的夹角为()A ．2π3B ．π2C ．π3D ．6π【答案】A∵a b c +=，∴()()a b a b c c +⋅+=⋅ ，∴2222a b a b c ++⋅= ，∴12a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅==-⋅，∵[],0,π∈ a b ，∴2π,3a b = ．故选：A ．例题3．（2022·河北邯郸·二模）若向量a ，b 满足||2a =，b = 3a b ⋅=，则向量b 与b a -夹角的余弦值为（）.A．2BC．16D．20【答案】D因为b = 3a b ⋅=，所以22()39b b a b b a ⋅-=-⋅=-=，因为b a -==== ，所以向量b 与b a -夹角的余弦值为()20b b a b b a ⋅-==⋅- ，故选：D例题4．（2022·河南·扶沟县第二高中高一阶段练习）已知向量a = ，b 是单位向量，若|2|a b -= a 与b的夹角为_____.【答案】π3##60o由a = ､b为单位向量，|2|a b -= 得：2|23|1-= a b ，即224413a a b b -⋅+= ，由2a = ，=1b 所以cos ,1a b a b a b ⋅=⋅= ，1cos ,2a b = ，所以,a b =π3故答案为：π3例题5．（2022·山东烟台·高一期中）若||a =r ，||2b =，且|2|a b += a 与b的夹角大小为______．【答案】150︒##5π6因为|2|a b + 22447a a b b +⋅+= ，即34447a b +⋅+⨯= ，解得3a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅〈〉===-，而0,πa b ≤〈〉≤ ，所以5π,6a b 〈〉= ．故答案为：150︒．例题6．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =-r，()1,b λ= ，则“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B当a 与b 的夹角为锐角时，0a b ⋅> 且a 与b不共线，即12020λλ->⎧⎨+≠⎩，∴12λ<且2λ≠-，∴“12λ<”是“a 与b 的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.例题7．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）已知向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是______．【答案】1λ>-且4λ≠因向量()1,2a = ，()2,b λ= ，且a 与b 的夹角为锐角，于是得0a b ⋅> ，且a 与b 不共线，因此，220λ+>且40λ-≠，解得1λ>-且4λ≠，所以实数λ的取值范围是1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠例题8．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期中）已知向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角．则λ的取值范围是______．【答案】12λ>-且2λ≠解：因为向量()2,4a =-r 与向量()1,b λ=-r所成角为钝角，所以0a b ⋅<且两个向量不共线，即240240λλ--<⎧⎨-≠⎩，解得12λ>-且2λ≠.故答案为：12λ>-且2λ≠.例题9．（2022·河北·高一期中）已知向量(),2a λ=- ，()3,4b =- ，若a ，b 的夹角为钝角，则λ的取值范围为______【答案】833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：由题意得380a b λ⋅=--< ，且46λ≠，解得83λ>-且32λ≠，即833,,322λ⎛⎫⎛⎫∈-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故答案为：833,,322⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭角度4：已知模求数量积例题1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））已知向量a ，b满足2a b == ，a b -=r r ，则⋅=a b （）A ．2-B ．-C ．D ．6【答案】A||a b -==4241 2,2a b a b ∴-⋅+=⋅=- 故选：A例题2．（2022·全国·模拟预测（文））已知向量a 、b 满足2a b b ==-=，则a b ⋅= （）A ．6B ．-C ．D ．－2【答案】D2244122||21222b a b a b a b a b +--=⇒-=+-⋅=⇒⋅==- .故选：D.例题3．（2022·北京十五中高一期中）若向量,a b满足122a b a b ==-= ，，，则a b ⋅=_____.【答案】12##0.5因为122a b a b ==-= ，，，所以22224a ba ab b-=-⋅+= ，即1244a b -⋅+=，所以12a b ⋅= .故答案为：12.例题4．（2022·安徽马鞍山·三模（文））设向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 则a b ⋅=___________.【答案】0解：因为向量a ，b满足1a = ，2b = ，a b -= 所以()22222221225a b a ba ab b a b -=-=-⋅+=+-⋅=，所以0a b ⋅=，故答案为：0.例题5．（2022·贵州贵阳·二模（理））已知向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=________．【答案】32-##-1.5∵向量0a b c ++=，||||||1a b c === ，∴()()()22222320a b ca b a b b c c a a b b c c c a =⋅+⋅+⋅⋅+++++=+⋅=+⋅+，∴32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=- .故答案为：32-.角度5：已知模求参数例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知0m ≠，向量(,),(2,)a m n b m ==-，若||||a b a b +=-，则实数n =（）A ．BC ．-2D ．2【答案】D 【详解】由||||a b a b +=-可得22()()a b a b +=-2222220a a b b a a b b a b ∴+⋅+=-⋅+∴⋅= 20a b m mn ∴⋅=-+=，因为0m ≠，所以2n =.故选：D例题2．（2022·广东·高一阶段练习）已知单位向量,a b满足12a b ⋅= ，则()a tb t R +∈ 的最小值为（）A ．2B ．34C ．12D ．14【答案】A 【详解】,a b为单位向量，1a b ∴==，2222221a tb a ta b t b t t ∴+=+⋅+=++，则当12t =-时，()2min314t t ++=，mina tb∴+=.故选：A.例题3．（2022·湖北鄂州·高二期末）已知向量(),2a m = ，()1,1b =r，若a b a += 则实数m =（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】A因为()1,1b =r，则b = a b a b +=+，等式a b a b +=+ 两边平方可得222222a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ，则a b a b ⋅=⋅ ，故a 与b同向，所以，2m =.故选：A.例题4．（2022·安徽·高二阶段练习（文））已知向量a ，b满足4a =，(b =- ，且0a kb +=，则k 的值为______．【答案】2∵0a kb += ，∴0a kb += ，∴a kb =-，∴a kb k b == ，∵(b =-，∴2b ==．又∵4a =，∴2a k b==．故答案为：2.题型归类练（2022·北京·潞河中学三模）13．已知菱形ABCD 的边长为,60a ABC ∠= ，则DB CD ⋅=（）A ．232a-B ．234a-C ．234aD ．232a（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（理））14．已知向量a ，b 为单位向量，()0a b a b λλλ+=-≠ ，则a 与b的夹角为（）A ．6πB ．π3C ．π2D ．2π3（2022·全国·高一单元测试）15．在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅= ，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．17（2022·四川省内江市第六中学高一期中（理））16．如图，ABC 中，π3BAC ∠=，2AD DB =，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+ ，若AC ＝3，AB ＝4，则AP CD ⋅的值为（）A ．125B ．512C ．1312D ．1213（2022·湖南·长沙市明德中学二模）17．已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=，()()0a b a b +⋅-= ，则向量b 与向量a b - 夹角的余弦值为（）A ．2B ．0C ．2D ．2（2022·广东·模拟预测）18．已知单位向量a ，b 满足()2a a b ⊥- ，则向量a ，b 的夹角为（）A ．120︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））19．设,a b 为非零向量，且22a b a b +=- ，则a ，b的夹角为___________.（2022·广东广州·三模）20．已知,a b为单位向量，若2a b -= 2a b += __________.（2022·山东济宁·三模）21．在边长为4的等边ABC 中，已知23AD AB =，点P 在线段CD 上，且12AP mAC AB =+，则AP = ________.高频考点三：平面向量的综合应用例题1．（2022·湖南·高二阶段练习）“赵爽弦图”是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中,,,E F G H 分别是,,,DF AG BH CE 的中点，若AG x AB y AD =+，则xy =（）A ．625B ．625-C ．825D ．825-【答案】C由题意，可得()11112224AG AB BG AB BH AB BC CH AB BC CE =+=+=++=++ ，因为EFGH 是平行四边形，所以AG CE =-，所以1124AG AB BC AG =+- ，所以4255AG AB BC =+ ，因为AG x AB y AD =+ ，所以42,55x y ==，则4285525xy =⨯=.故选：C.例题2．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）2022年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为6，则图③中OM ON ⋅的值为（）A ．24B ．6C ．D ．【答案】A在图③中，以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，4OM =，(2cos ,2sin )(2,33OM ππ== ，83MP = ，即8(,0)3MP = ，23PN = ，由分形知//PN OM ，所以1(,)33PN = ，所以(5,)3ON OM MP PN =++= ，所以2524OM ON ⋅=⨯+= ．故选：A ．例题4．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，过点O 的直线与,AB AD 所在直线分别交于点M ，N ，满足,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>> ，若13mn =，则mn 的值为（）A ．23B ．34C ．45D ．56【答案】B 【详解】因平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，则1122AO AB AD =+，而,,(0,0)AB mAM AN nAD m n ==>>，于是得122m AO AM AN n=+，又点M ，O ，N 共线，因此，1122m n +=，即12mn n +=，又13mn =，解得12,23m n ==，所以34m n =.故选：B例题5．（2022·江苏·常州市第二中学高一阶段练习）在梯形ABCD 中，,2,1,120,,AB CD AB BC CD BCD P Q ===∠=∥ 分别为线段BC ，CD 上的动点.(1)求BC AB ⋅ ；(2)若14BP BC =，求AP ；(3)若1,6BP BC DQ DC μμ== ，求AP BQ ⋅u u u r u u u r 的最小值；【答案】(1)2-76(1)因为,2,120AB CD AB BC BCD ==∠= ∥，所以60ABC ∠= ，所以,180120BC AB ABC =-∠=，所以cos 22cos1202BC AB BC AB BC AB =⨯⨯=⨯⨯=⋅-⋅ .(2)由（1）知，2BC AB -⋅=，因为14BP BC = ，所以14AP AB BP AB BC =+=+ ，所以()222222111111322221146264AP AB AB AB BC BC BC ⎛⎫=+=+⋅+=+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ ，所以AP = .(3)因为BP BC μ= ，16DQ DC μ=，则()()()616AP BQ AB BP BC CQ AB BC BC CD μμμ⎛⎫-⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2611666AB BC AB CD BC CB CDμμμμ--=⋅+⋅++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 261161125221221566236μμμμμμ--⎛⎫=--⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯-=+- ⎪⎝⎭，因为011016μμ<≤⎧⎪⎨<≤⎪⎩，解得116μ≤≤，设()125536f μμμ=+-，116μ≤≤，根据对勾函数的单调性可知，()f μ在1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以当1μ=时，()f μ取得最大值：()125715366f =+-=.22．已知P 是ABC 的外心，且3420PA PB PC +-=uu r uu uu u r r r，则cos C =（）A ．-4B ．-14C．4或-4D ．14或-14（2022·河南洛阳·高二阶段练习（文））23．在△ABC 中，点D 满足AD =1162AB AC +，直线AD 与BC 交于点E ，则CE CB的值为（）A ．12B ．13C ．14D ．15（2022·山东淄博·高一期中）24．如图，1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒= ，则AD AB ⋅=_________（2022·湖南·模拟预测）25．在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD D C =，AD AB AC λμ=+ (),λμ∈R ，则λμ-=______．（2022·浙江·高一阶段练习）26．平面内的三个向量(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==.(1)若(2)//()a b c a +-，求实数k 的值；(2)若()()c a c b -⊥-，求实数k 的值.（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）27．已知平面向量()()1,2,2,a b m =-=.(1)若a b ⊥，求2a b + ；与a夹角的余弦值.28．已知平行四边形ABCD 中，2DE EC = ，0AF DF +=，AE 和BF 交于点P.(1)试用AB，AD 表示向量AP .(2)若BPE 的面积为1S ，APF 的面积为2S ，求12S S 的值.(3)若AB AD AB AD +=- ，0AC BD ⋅= ，求APF ∠的余弦值.（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））29．如图，设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD 为BC 边上的中线，已知2AD =，c ＝1且12sin cos sin sin sin 4c A B a A b B b C =-+．(1)求b 边的长；(2)求△ABC 的面积；(3)设点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，线段EF 交AD 于G ，且△AEF 的面积为△ABC 面积的一半，求AG EF ⋅的最小值．高频考点四：极化恒等式例题1．（2021·全国·高一课时练习）阅读一下一段文字：2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭，2222a b a a b b →→→→→→⎛⎫-=-⋅+ ⎪⎝⎭，两式相减得：22221()44a b a b a b a b a b a b →→→→→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=⋅⇒⋅=+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题：如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.（1）若6AD =，4BC =，求→→⋅的值；（2）若4AB AC →→⋅=，1FB FC →→⋅=-，求EB EC →→⋅的值.【答案】（1）32；（2）78.【自主解答】解：（1）因为2,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-=，所以2222113643244AB AC AB AC AB AC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦.（2）设3AD m =，2(0,0)BC n m n =>>，因为4AB AC →→⋅=，由（1）知222214494AD CB m n →→=⇒-=-①因为2,3FB FC AD FB FC CB →→→→→→+=-=，所以根据2222111494FB FC FB FC FB FC AD CB →→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为1FB FC →→⋅=-，所以2222111194AD CB m n →→-=-⇒-=-②由①②解得258m =，2138n =.所以2222141494EB EC EB EC EB EC AD CB→→→→→→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=+--=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦22201374888m n =-=-=.例题2．（2022·河北唐山·高三期末）ABC 中，D 为BC 的中点，4BC =，3AD =，则AB AC ⋅=______．【答案】5【自主解答】解：因为D 为BC 的中点，4BC =，所以DB DC =-，2DB DC ==,AB AD DB AC AD DC =+=+ ，所AB AC ⋅=()()AD DB AD DC =+⋅+ ()()22945AD DC AD DC AD DC =-⋅+=-=-= 故答案为：5法二：由极化恒等式2211916544AB AC AD BC ⋅=-=-⨯= 例题3．（2022届高三开年摸底联考新高考）已知直线l ：10x y +-=与圆C ：22()(1)1x a y a -++-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的最小值为：（）A.12-B.D.12【自主解答】如图：圆C 22()(1)1x a y a -++-=的圆心(,1)C a a -，在直线l ：10x y +-=上，由极化恒等式，2214OA OB OC BA ⋅=- ，而24BA = ，所以222114OA OB OC BA OC ⋅=-=- ，C是直线l ：10x y +-=上的动点，所以||OC的最小值，就是点O 到直线l 的距离d 2min 1()12OA OB d ⋅=-=- .题型归类练30．设向量,a b 满足a b += a b -=r r a b ⋅=A ．1B ．2C ．3D ．531．如图，在ABC 中,90,2,2ABC AB BC ∠=== ，M 点是线段AC 上一动点.若以M 为圆心､半径为1的圆与线段AC 交于,P Q 两点，则BP BQ ⋅的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-33．如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A,D 分别在x 轴、y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为__________．第四部分：高考真题感悟（2021·浙江·高考真题）34．已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅ ”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件（2021·全国·高考真题）35．已知向量0a b c ++= ，1a = ，2b c == ，a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_______．（2021·全国·高考真题（文））36．若向量,a b满足3,5,1a a b a b =-=⋅= ，则b = _________.（2021·全国·高考真题（理））37．已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+ ．若a c ⊥，则k =________．（2021·天津·高考真题）38．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ⊥且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +的值为____________；()DE DF DA +⋅的最小值为____________．（2021·北京·高考真题）39．已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅=________；=a b ⋅ ________.参考答案：1．错误错误错误错误正确【分析】根据数量积的相关概念逐一判断即可【详解】对于（1）：两个向量的数量积是数量，故错误；对于（2）：若0a b ⋅= ，除了0a = 或0b = 之外，还有可能a b ⊥，故错误；对于（3）：a ，b 共线a ·b =±|a ||b|，故错误；对于（4）：数量积是一个整体，这里面b 不能直接约去，故a 与c无固定关系，故错误；对于（5）：两个向量的数量积是一个实数，向量的加法､减法､数乘运算的运算结果是向量，符合向量的运算规律，故正确.2．错误【解析】略3．C【分析】由题可得0a b ⋅=，即可求出.【详解】因为()2,1a t =- ，()1,1b t =- ，a b ⊥，所以()210a b t t ⋅=--=，解得1t =-.故选：C.4．A【分析】根据数量积的定义计算可得；【详解】解：()1cos 2222AB BC AB BC B π⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故选：A 5．C【分析】根据向量的数量积的运算公式，求得cos 0A <，得到A 为钝角，即可求解.【详解】由向量的数量积的运算公式，可得cos 0AB AC AB AC A ⋅=⋅< ，即cos 0A <，因为(0,)A π∈，所以A 为钝角，所以ABC －定是钝角三角形.故选：C.6．B【分析】由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA在向量BC 上的投影向量.【详解】如图示：因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC+=，AO AC = ，所以AO AC CO ==,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，所以OA BC ⊥.所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BC .故选：B 7．D【分析】利用垂直的向量表示，再利用正射影的数量的意义计算作答.【详解】非零向量a ，b ，c 满足()b a c ⊥- ，则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅= ，即c b a b ⋅=⋅ ，又a 与b的夹角为6π，3a = ，所以c 在b 上的正射影的数量||cos ,||cos 62||||c ba b c c b a b b π⋅⋅〈〉====.故选：D 8．A【分析】依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，即可求出AE ，设AP 与AB的夹角为θ，结合图形即可得到AP 在AB方向上的投影的取值范围，再根据数量积的几何意义计算可得；【详解】解：依题意过点D 作DE AB ⊥交BA 的延长线于点E ，则3cos 602AE AD =︒=，设AP 与AB的夹角为θ，因为点P 为直角梯形ABCD 内一点（不包含边界），所以AP 在AB方向上的投影cos AP θ ，且3cos 12AP θ-<<，所以3cos cos ,12AB AP AB AP AP θθ⎛⎫⋅=⋅=∈- ⎪⎝⎭故选：A 9．B【分析】易知ABD △是等边三角形，再根据BC 方向相同的单位向量为e ，由2cos 3AB e π⋅⋅求解.【详解】在ABC 中，90BAC ∠=︒，2AD AB AC =+uuu r uu u r uuu r，所以D 为BC 的中点，且|AD |=|BD |，又1AD AB ==，所以ABD △是等边三角形，因为BC方向相同的单位向量为e ，所以向量AB 在BC 上的投影向量为21cos 32AB e e π⋅⋅=-，故选：B 10．D【分析】利用充分、必要性的定义，结合向量数量积的定义及钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.【详解】由||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅<，即cos 0B >，又0B π<<，所以02B π<<，不能推出△ABC 为钝角三角形，充分性不成立；△ABC 为钝角三角形时，若2B ππ<<，则||||cos 0AB BC BA BC BA BC B =-=⋅-⋅>，不能推出0AB BC ⋅<，必要性不成立.所以“0AB BC ⋅<”是“△ABC 为钝角三角形”的既不充分也不必要条件.故选：D 11．8【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O 作OC AB ⊥于点C ，则点C 为AB 的中点，12AC AB =，所以2211cos ,4822AO AB AO AB AO AB AB AC AB ⋅=⋅===⨯= ，故答案为：8.12．[]4,8【分析】由数量积的定义求解【详解】过点P 作AB 的垂线，交AB 于点H 可得||||DP BA DH BA ⋅=⋅当P 在C 点时，DP BA ⋅ 取最小值4，当P 在A 点时，DP BA ⋅取最大值8故答案为：[4,8]13．A【分析】将,DB CD 分别用,BA BC表示，再根据数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：,DB DA AB BC BA CD BA =+=--=，则()22221322DB CD BC BA BA BC BA BA a a a ⋅=--⋅=-⋅-=--=- .故选：A.14．C【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅= ，从而得到0a b ⋅= ，得到a 与b 的夹角.【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠，两边平方可得：22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+ ，因为向量a ，b为单位向量，所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+，即()0a b λ⋅= .因为0λ≠，所以0a b ⋅= ，即a 与b 的夹角为π2.故选：C 15．C【分析】首先由数量积的定义求出ab ，再由余弦定理及基本不等式求出c 的最小值；【详解】解：∵92CB CA ⋅= ，∴9cos 2a b C ⋅⋅=，∴15ab =，由余弦定理得22232cos 222110c a b ab C ab ab =+-⋅≥-⨯=，当且仅当a b =时取等号，∵0c >，∴c ≥c ，故选：C ．16．C【分析】根据,,C P D 三点共线求出14m =，然后把,AB AC 当基底表示出,AP CD ，从而求出AP CD ⋅的值【详解】 2AD DB =，32AB AD∴= ∴1324AP m AC AB m AC AD=+=+ ,,C P D 三点共线，31144m m ∴+=⇒=1142AP AC AB ∴=+，又23CD AD AC AB AC=-=- 112()()423AP CD AC AB AB AC ∴=+- 22111343AB AC AB AC =--22111πcos 3433AB AC AB AC =--1111169433432=⨯-⨯-⨯⨯⨯1312=故选：C 17．A【分析】根据0a b ⋅= ，设(1,0)a = ，(0,)b t = ，根据()()0a b a b +⋅-= 求出21t =，再根据平面向量的夹角公式计算可得解.【详解】因为0a b ⋅=，所以可设(1,0)a = ，(0,)b t = ，则(1,)a b t += ，(1,)a b t -=- ，因为()()0a b a b +⋅-= ，所以210t -=，即21t =.则()cos ,||||b a b b a b b a b ⋅-<->=⋅-2=2=-，故选：A.18．B【分析】利用向量垂直，向量数量积的定义及运算法则可得1cos ,2a b = ，即得.【详解】因为1a b ==r r ，()2a a b ⊥-，所以()22222cos ,12cos ,0a a b a a b a a b a b a b ⋅-=-⋅=-⋅⋅=-=，所以1cos ,2a b = ，又,0,180a b ⎡⎤∈⎣⎦ ，所以向量a ，b的夹角为60°.故选：B ．19．2π##90 【分析】由|22a b a b +=- |两边平方化简分析即可【详解】由22a b a b +=- ，平方得到22224444a a b b a a b b +⋅+=-⋅+ ，即0a b ⋅=，所以a ，b 夹角为2π故答案为：2π.20【分析】先由225a b -= 求得0a b ⋅=，再求得22a b +r r 即可求解.【详解】由2a b -= 222244545a b a a b b a b -=-⋅+=-⋅= ，则0a b ⋅=，又2222445a b a a b b +=+⋅+= ，则2a b +21【分析】根据题意得34AP m AC AD =+ ，求出14m =，所以1142AP AC AB =+ ，即AP = .【详解】因为23AD AB = ，所以32AB AD = ，又12AP mAC AB =+ ，即1324AP m AC AB m AC AD =+=+，因为点P 在线段CD 上，所以P ，C ，D 三点共线，由平面向量三点共线定理得，314m +=，即14m =，所以1142AP AC AB =+，又ABC 是边长为4的等边三角形，所以222211111cos 60421644AP AC AB AC AC AB AB⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭1111164416716424=⨯+⨯⨯⨯+⨯=，故AP = ..22．B【分析】将234PC PA PB =+uu u r uu r uu r 两边平方得可得4916+24cos 2C =+，从而解出1cos 4C =±，然后由条件可得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，判断出C 与外心P 在AB 的异侧，从而得出答案.【详解】因为P 是ABC 的外心，所以||||||PA PB PC ==uu r uu r uu u r，由题知234PC PA PB =+uu u r uu r uu r，两边平方得222491624PC PA PB PA PB =++⋅uu u r uu r uu r uu r uu r 即222491624cos 2PC PA PB PA PB C +⋅=+uu u r uu r uu r uu r uu r,即4916+24cos 2C =+，所以221cos 22cos 124C C -==-，则1cos 4C =±，又由23433PC PA PB PC CA =+=++uu u r uu r uu r uu u r uu r44PC CB +uu u r uu r ，得3455PC AC BC =+uu u r uuu r uu u r ，因为34155+>，则C 与外心P 在AB 的异侧，即C 在劣弧上，所以C 为钝角，即1cos 4C =-.故选：B 23．C【分析】根据向量的减法运算及共线向量计算，可得出1144CE AB AC →→→=-即可求解.【详解】设62AE AD AB AC λλλ→→→→==+,则16262CE AE AC AD AC AB AC AC AB AC λλλλλ→→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=+-=+-⎪⎝⎭,CB AB AC→→→=-，且CE →，CB →共线，则CE kCB = ，162AB AC λλ→→⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()k AB AC →→-所以612k k λλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩所以162λλ=-，解得32λ=，此时1144CE AB AC →→→=-，所以14CE CB →→=，故14CE CB =.故选：C 24．23【分析】先用,AC AB 表示向量AD，再利用向量数量积运算求解.【详解】解：因为1,3,90,2AB AC A CD DB ==∠=︒=，所以()22=+=++==- AD AC CD AC AC CD DB AB AD ，即1233AD AC AB =+ ，所以21212233333⎛⎫⋅=+⋅=⋅+= ⎪⎝⎭AD AB AC AB AB AC AB AB ，故答案为：2325．13-【分析】由平面向量基本定理得到13λ=，23μ=，从而求出答案.【详解】由已知2BD D C =，得()2233BD BC AC AB ==- ，所以()212333A A C AB D AB BD AB A A BC -+===++ ，因为(),AD AB AC λμλμ=+∈R uuu r uu u r uuu r ，所以13λ=，23μ=，所以121333λμ-=-=-．故答案为：13-26．(1)15k =(2)0k =或1k =【分析】（1）先求出()()3,512a+2b =,c a =k +,-，再利用向量平行的坐标表示列方程即可求解；（2）先求出(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=- ，再利用向量垂直的坐标表示列方程即可求解；(1)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-==，所以()()3,512a+2b =,c a =k +,- .因为(2)//()a b c a +-，所以()32510k ⨯-⨯+=，解得：15k =.(2)因为(1,1),(2,2),(,3)a b c k =-== ，所以(1,2),(2,1)c a k c b k -=+-=-.因为()()c a c b -⊥-，则(1)(2)20k k +⋅-+=，解得：0k =或1k =.27．(1)5；(2)35【分析】（1）利用垂直的坐标表示求出m ，再利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示计算作答.。
第3讲平面向量的数量积及应用举例1.向量的夹角2.平面向量的数量积3.向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4.平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c ).( )(5)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(6)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32B ．0C ．32D ．3解析：选A.依题意有a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32，故选A. 已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝12×32＋32×121×1＝32，则∠ABC ＝30°.(2019·温州市高考模拟)已知向量a ，b 满足|b |＝4，a 在b 方向上的投影是12，则a ·b＝________.解析：a 在b 方向上的投影是12，设θ为a 与b 的夹角，则|a |·cos θ＝12，a ·b ＝|a|·|b |·cos θ＝2.答案：2(2017·高考浙江卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.解析：法一：(|a ＋b |＋|a －b |)2＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋2|a ＋b |·|a －b |＝2a 2＋2b 2＋2|a＋b |·|a －b |＝10＋2|a ＋b |·|a －b |，而|a ＋b |·|a －b |≥|(a ＋b )·(a －b )|＝|a 2－b 2|＝3，所以(|a ＋b |＋|a －b |)2≥16，即|a ＋b |＋|a －b |≥4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值为4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.法二：由向量三角不等式得，|a ＋b |＋|a －b |≥|(a ＋b )－(a －b )|＝|2b |＝4.又|a ＋b |＋|a －b |2≤（a ＋b ）2＋（a －b ）22＝a 2＋b 2＝5，所以|a ＋b |＋|a －b |的最大值为2 5.答案：4 2 5平面向量数量积的运算(1)(2017·高考浙江卷) 如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1【解析】 (1) 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角.根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.(2) 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)，设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2(y －32)2－32，当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B.【答案】 (1)C (2)B在本例(2)的条件下，若D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于________.解析：法一：(通性通法)因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝23，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB2－2BD ·AB ·cos 60°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋22－2×23×2×12＝289，即AD ＝273，同理可得AE ＝273，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE＝289＋289－⎝ ⎛⎭⎪⎫2322×273×273＝1314，所以AD →·AE →＝|AD→|·|AE →|cos ∠DAE ＝273×273×1314＝269.法二：(光速解法)如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A (0，3)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，0，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3，所以AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－3＝269.答案：269(1)向量数量积的两种运算方法①当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. ②当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.(2)数量积在平面几何中的应用解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，常利用解析法，巧妙构造坐标系，利用坐标求解.1.(2019·杭州中学高三月考)若A ，B ，C 三点不共线，|AB →|＝2，|CA →|＝3|CB →|，则CA →·CB →的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，3 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，3 解析：选D.设|CB →|＝x ，则|CA →|＝3|CB →|＝3x ，由于A ，B ，C 三点不共线，能构成三角形，如图：由三角形三边的性质得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3x >23x ＋2>x x ＋2>3x，解得12<x <1，由余弦定理的推论得，cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝x 2＋9x 2－46x 2＝10x 2－46x2， 所以CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos C ＝3x 2×10x 2－46x2＝5x 2－2， 由12<x <1得，－34<5x 2－2<3， 故选D.2.已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a ·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：12平面向量的夹角与模(高频考点)平面向量的夹角与模是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题.主要命题角度有：(1)求两向量的夹角； (2)求向量的模； (3)两向量垂直问题；(4)求参数值或范围.角度一 求两向量的夹角(2019·绍兴一中高三期中)若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】 因为|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |， 所以|a ＋b |2＝|a －b |2，两边平方 可得a 2＋2a ·b ＋b 2＝a 2－2a ·b ＋b 2， 化简可得a ·b ＝0，设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则可得cos θ＝（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b|a ＋b ||a |＝|a |22|a |2＝12，又θ∈[0，π]，故θ＝π3. 【答案】 B角度二 求向量的模(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3【解析】 法一：设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A.法二：由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.故选A.【答案】 A角度三 两向量垂直问题已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是120°.求k 为何值时，(a ＋2b )⊥(k a －b )?【解】 由已知得，a ·b ＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－16.因为(a ＋2b )⊥(k a －b )， 所以(a ＋2b )·(k a －b )＝0，k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0，即16k －16(2k －1)－2×64＝0. 所以k ＝－7.即k ＝－7时，a ＋2b 与k a －b 垂直．角度四 求参数值或范围已知△ABC 是正三角形，若AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，则实数λ的取值范围是________．【解析】 因为AC →－λAB →与向量AC →的夹角大于90°，所以(AC →－λAB →)·AC →<0，即|AC →|2－λ|AC →|·|AB →|cos 60°<0，解得λ>2.故填(2，＋∞)．【答案】 (2，＋∞)(1)求平面向量的夹角的方法①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝a ·b|a ||b |，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a ·b ，|a |，|b |或者找出这三个量之间的关系；②坐标法：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则cos θ＝；(2)求向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量模的运算转化为数量积运算．②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．1．(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．解析：设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ， 所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 2．已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．解析：因为AP →⊥BC →，所以AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →， 所以(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0， 即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，所以(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.所以(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.答案：712向量数量积的综合应用(2019·金华十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影． 【解】 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，则B ＝π4，由余弦定理得()422＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1.故向量BA →在BC →方向上的投影为 |BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.平面向量与三角函数的综合问题(1)题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin A2，cos A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，－cos A 2，且2m ·n ＋|m |＝22，则∠A ＝________．解析：因为2m ·n ＝2sin A 2cos A 2－2cos 2 A 2＝sin A －(cos A ＋1)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4－1，又|m |＝1，所以2m ·n ＋|m |＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π4＝12.因为0<A <π，所以－π4<A －π4<3π4，所以A －π4＝π6，即A ＝5π12.答案：5π122．(2017·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0. 于是tan x ＝－33. 又x ∈[0，π]， 所以x ＝5π6.(2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≤32.于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.平面向量中的最值范围问题(1)(2019·杭州市高三模拟)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A ．54B ．154C ．174D ．174(2)(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]【解析】 (1)以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.(2)|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4，(|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.【答案】 (1)B (2)B求解向量数量积最值问题的两种思路(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值． 1．已知平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝1，若e 为平面单位向量，则|a ·e |＋|b ·e |的最大值是__________．解析：由a ·b ＝1，|a |＝1，|b |＝2可得两向量的夹角为60°，建立平面直角坐标系，可设a ＝(1，0)，b ＝(1，3)，e ＝(cos θ，sin θ)，则|a ·e |＋|b ·e |＝|cos θ|＋|cosθ＋3sin θ|≤|cos θ|＋|cos θ|＋3|sin θ|＝3|sin θ|＋2|cos θ|≤7，所以|a ·e |＋|b ·e |的最大值为7.答案：72．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．两个向量的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a ·b <0，反之也不成立．易错防范(1)a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . (2)a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能推出b ＝c ，即消去律不成立． [基础达标]1．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1，1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－2解析：选B.n ·BC →＝n ·(BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.2．(2019·温州市十校联合体期初)设正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|等于( )A ．0B ． 2C ．2D ．2 2解析：选C.正方形ABCD 的边长为1，则|AB →－BC →＋AC →|2＝|DB →＋AC →|2＝|DB →|2＋|AC →|2＋2DB →·AC →＝12＋12＋12＋12＝4，所以|AB →－BC →＋AC →|＝2，故选C.3．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a ，b ，c 满足c ＝x a ＋y b (x ，y ∈R )，且a ·c >0，b ·c >0.( )A ．若a ·b <0则x >0，y >0B ．若a ·b <0则x <0，y <0C ．若a ·b >0则x <0，y <0D ．若a ·b >0则x >0，y >0解析：选A.由a ·c >0，b ·c >0，若a ·b <0， 可举a ＝(1，1)，b ＝(－2，1)，c ＝(0，1)， 则a ·c ＝1>0，b ·c ＝1>0，a ·b ＝－1<0， 由c ＝x a ＋y b ，即有0＝x －2y ，1＝x ＋y ， 解得x ＝23，y ＝13，则可排除B ；若a ·b >0，可举a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，c ＝(1，1)，则a ·c ＝1>0，b ·c ＝3>0，a ·b ＝2>0，由c ＝x a ＋y b ，即有1＝x ＋2y ，1＝y ，解得x ＝－1，y ＝1， 则可排除C ，D.故选A.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：选C.由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0，所以2AC →·BA →＝0，所以AC →⊥AB →.所以∠A ＝90°，又因为根据条件不能得到|AB →|＝|AC →|.故选C.5．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 是AB 的中点，点E 是对角线AC 上的动点，则DE →·FC →的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.以A 为坐标原点，AB →、AD →方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略)，则F (1，0)，C (2，2)，D (0，2)，设E (λ，λ)(0≤λ≤2)，则DE →＝(λ，λ－2)，FC →＝(1，2)，所以DE →·FC →＝3λ－4≤2.所以DE →·FC →的最大值为2.故选B.6．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1， 不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ， 且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角， 即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.7．(2019·温州市十校联合体期初)已知平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么|a －2b |＝________．解析：因为平面向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，所以a ·b ＝4·4·cos 120°＝－8，所以|a －2b |＝（a －2b ）2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－4·（－8）＋4·16＝112＝47.答案：478．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2， 所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3. a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π39. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 为边CD 上一个动点，CQ →＝λQD →，点P 为线段BQ (含端点)上一个动点．若λ＝1，则PA →·PD →的取值范围为________．解析：当λ＝1时，Q 为CD 的中点． 设AB →＝m ，AD →＝n ，BP →＝μBQ →(0≤μ≤1)．易知BQ →＝－12m ＋n ，AP →＝AB →＋BP →＝m ＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ， DP →＝AP →－AD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn －n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋(μ－1)n ，所以PA →·PD →＝AP →·DP →＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋μn ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μm ＋（μ－1）n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12μ2＋4μ(μ－1)＝5μ2－8μ＋4.根据二次函数性质可知，当μ＝45时上式取得最小值45；当μ＝0时上式取得最大值4.所以PA →·PD →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，4 10．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________． 解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)·(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)11．已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ， 即tan x ＝ 3.(2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得，－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.12．(2019·金华市东阳二中高三月考)设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，已知b 2－2b ＋c 2＝0，求BC →·AO →的取值范围．解：因为O 是△ABC 的三边中垂线的交点，故O 是三角形外接圆的圆心， 如图所示，延长AO 交外接圆于点D .因为AD 是⊙O 的直径，所以∠ACD ＝∠ABD ＝90°. 所以cos ∠CAD ＝ACAD ，cos ∠BAD ＝AB AD. 所以AO →·BC →＝12AD →·(AC →－AB →)＝12AD →·AC →－12AD →·AB → ＝12|AD →||AC →|·cos ∠CAD －12|AD →||AB →|· cos ∠BAD ＝12|AC →|2－12|AB →|2＝12b 2－12c 2＝12b 2－12(2b －b 2)(因为c 2＝2b －b 2) ＝b 2－b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.因为c 2＝2b －b 2>0，解得0<b <2.令f (b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －122－14.所以当b ＝12时，f (b )取得最小值－14.又f (0)＝0，f (2)＝2. 所以－14≤f (b )<2.即AO →·BC →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，2.[能力提升]1．(2019·嘉兴市高考模拟)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1)，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝ ( )A ．255B ．223C ．1D ．52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1.又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1.所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.3．(2019·瑞安市龙翔高中高三月考)向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①若m ∥n ，则tan x ＝________；②若m 与n 的夹角为π3，则x ＝________．解析：m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈(0，π)，①由m ∥n ，得22cos x ＋22sin x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝0，因为0<x <π，所以π4<x ＋π4<5π4，则x ＋π4＝π，x ＝34π.所以tan x ＝－1.②由m 与n 的夹角为π3，得cos π3＝22sin x －22cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222·sin 2x ＋cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，则x －π4＝π6，x ＝5π12. 答案：①－1 ②5π124．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，OP →＝λOA →＋μOB →.若λ＋3μ＝2，则|OP →|的最小值是________，此时OP →，OA →夹角的大小为________．解析：向量OA →，OB →的夹角为60°，|OA →|＝2，|OB →|＝23，即有OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 60°＝2×23×12＝23，若λ＋3μ＝2，可得λ＝2－3μ，则|OP →|＝|λOA →＋μOB →|＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →＝4λ2＋12μ2＋43λμ＝4（λ＋3μ）2－43λμ ＝16－43（2－3μ）μ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫μ－332＋12≥23， 当μ＝33，λ＝1时，|OP →|的最小值为2 3. 由OP →＝OA →＋33OB →， 可得OP →·OA →＝OA →2＋33OA →·OB →＝4＋33·23＝6， 则cos 〈OP →，OA →〉＝OP →·OA →|OP →|·|OA →|＝623·2＝32， 由0°≤〈OP →，OA →〉≤180°，可得〈OP →，OA →〉＝30°.答案：2 3 30°5．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，求(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值．解：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332， 设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217， 因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217. 所以S △ABC 的最大值为12×7×⎝⎛⎭⎪⎫4＋3217＝27＋332， 所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.6. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A (1，0)和点B (－1，0)，|OC →|＝1，且∠AOC ＝θ，其中O 为坐标原点．(1)若θ＝34π，设点D 为线段OA 上的动点，求|OC →＋OD →|的最小值； (2)若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，向量m ＝BC →，n ＝(1－cos θ，sin θ－2cos θ)，求m ·n 的最小值及对应的θ值．解：(1)设D (t ，0)(0≤t ≤1)，由题意知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22， 所以OC →＋OD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋t ，22， 所以|OC →＋OD →|2＝12－2t ＋t 2＋12＝t 2－2t ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －222＋12， 所以当t ＝22时，|OC →＋OD →|最小，为22. (2)由题意得C (cos θ，sin θ)，m ＝BC →＝(cos θ＋1，sin θ)，则m ·n ＝1－cos 2θ＋sin 2θ－2sin θcos θ＝1－cos 2θ－sin 2θ＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4， 因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， 所以π4≤2θ＋π4≤5π4， 所以当2θ＋π4＝π2， 即θ＝π8时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4取得最大值1. 所以m ·n 的最小值为1－2，此时θ＝π8.。
第3节 平面向量的数量积及其应用考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题.知 识 梳 理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21. (3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 21＋y 21·x 22＋y 22. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律).(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律). [微点提醒]1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ，b 不共线.2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 解析 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等.答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件. 答案 A3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 解析 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB→|·|AB →|＝12×(2)2＝1.答案 14.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4B.3C.2D.0解析 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3. 答案 B5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( )A.13＋6 2B.2 5C.30D.34解析 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34. 答案 D6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 7考点一 平面向量数量积的运算【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0B.4C.－92D.－172(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →，CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )A.－15B.－9C.－6D.0解析 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，即m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×1＝－172.(2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →－OM →)， ∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.答案 (1)D (2)C规律方法 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且AE ⊥BD ，则AE →·BC →等于( ) A.16B.12C.8D.－4(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________.解析 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t ＝83，即E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫－4，83·(0，6)＝16.(2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 答案 (1)A (2)1＋ 2 考点二 平面向量数量积的应用多维探究角度1 平面向量的垂直【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________.(2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为( ) A.2215B.103C.6D.127解析 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1， 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.答案 (1)－1 (2)A规律方法 1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.2.数量积的运算a ·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .角度2 平面向量的模【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________.(2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________.解析 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， 所以α·β＝12，所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×12＝10，所以|2α＋β|＝10.(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).所以PA →＋3PB →＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )， 所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →|取得最小值5.答案 (1)10 (2)5规律方法 1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解.角度3 平面向量的夹角【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝233|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.解析 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝43a 2，∴b 2＝13a 2.设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |＝a 2－b 2233|a |·233|a |＝23a 243a 2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ， 则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，此时2a －3b 与c 反向，不合题意.综上，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3. 答案 (1)π3 (2)⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－92∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，3 规律方法 1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解. 2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 解析 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0， 又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2.(2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.法二 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，|3e 1－e 2|＝（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝3－0＋1＝2. 同理|e 1＋λe 2|＝1＋λ2.所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|＝3e 21＋（3λ－1）e 1·e 2－λe 2221＋λ2＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 答案 (1)2 (2)2 3 (3)33考点三 平面向量与三角函数【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影. 解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45.(2)由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1，c ＝－7舍去，故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 解 (1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.又0<C <π，所以C ＝π3.(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6.[思维升华]1.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.2.求向量模的常用方法利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [易错防范]数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ).数学运算、数学建模——平面向量与三角形的“四心”1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心D.AB 边的中点解析 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3OC →，而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 答案 C类型2 平面向量与三角形的“内心”问题【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063B.1463C.4 3D.6 2解析 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763.故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝1463.答案 B类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心B.垂心C.外心D.内心解析 因为OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B + AC →|AC →|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →＝λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|cos B +AC →|AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0，所以BC →⊥AP →，所以点P 在BC 的高线上， 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 答案 B类型4 平面向量与三角形的“外心”问题【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →＋yAC →，则有序实数对(x ，y )为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 解析 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →－yAC →，ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →－xAB →.由OM →⊥AB →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x AB →2－yAC →·AB →＝0，①由ON →⊥AC →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，②又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2，所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC→22＝－12，③把③代入①、②得⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝35.故实数对(x ，y )为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35.答案 A基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)， 所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以a ⊥b ，充分性成立；当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件. 答案 A2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B.1C. 2D.2解析 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，又|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝12.答案 A3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3B.2π3C.5π6D.π6解析 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，又0≤θ≤π，所以θ＝π6.答案 D4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，则当AE →·DF →＝0时，λ的值所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫18，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，38C.⎝ ⎛⎭⎪⎫38，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，58 解析 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2， 可得〈AD →，BC →〉＝60°，所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°， 所以AB →·AD →＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2， 又BE BC ＝AF AB＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →，所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，38.答案 B5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3解析 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 答案 C 二、填空题6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 解析 由已知，得BA →·BC →＝0， 则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3， 当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3. 答案 37.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 解析 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得，|a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13.答案 －138.(2019·佛山二模)在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________.解析 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →＝(－1，2).因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)， 因为AE →＝2EC →，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，所以DE →·AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.答案 13三、解答题9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1).(1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值. 解 (1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115. 10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2).(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →. 解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )， ∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →＝(－8，－8). (2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k >4，∴0<4k<1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4，8)，∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9B.16C.18D.25解析 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16. 答案 B12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2D.2－ 3解析 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.答案 A13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 解析 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →，即A ＝π2，以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值， 此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9. 答案 －914.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →. (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值. 解 (1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0， 所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2). 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2，因此△ABC 的面积的最大值为32＋32.新高考创新预测15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4；③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________.解析 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32.答案 32。
