广东省北师大东莞石竹附中2017届高三上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x≥2}，T={x|x≤5}，则S∩T=（）A．（﹣∞，5]B．[2，+∞）C．（2，5）D．[2，5]2．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．43．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．a2＞ab＞b2B．ac2＜bc2C．D．5．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．486．向量=（1，2），=（﹣2，3），若与共线，其中（m、n∈R，且n≠0），则=（）A．B．2 C．D．﹣27．如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．8．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或9．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象10．如果点P（x，y）在平面区域上，则x2+（y+1）2的最大值和最小值分别是（）A．3，B．9，C．9，2 D．3，11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≤12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，E n（n∈N）为边AC上的一列+点，满足，其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，则{a n}的通项公式为（）A．2•3n﹣1﹣1 B．2n﹣1 C．3n﹣2 D．3•2n﹣1﹣2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知命题p：∀x∈R，x2+x+1≥0，则命题￢P为：．14．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为．15．如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．16．已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．三、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值，最小值．18．在等差数列{a n}中，a2=5，a5=11，数列{b n}的前n项和S n=n2+a n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．20．某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）21．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．2016-2017学年广东省北师大东莞石竹附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x≥2}，T={x|x≤5}，则S∩T=（）A．（﹣∞，5]B．[2，+∞）C．（2，5）D．[2，5]【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵集合S={x|x≥2，T={x|x≤5}，∴S∩T={x|2≤x≤5}，故选：D．2．命题“若xy=0，则x2+y2=0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．4【考点】四种命题的真假关系；四种命题．【分析】先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．【解答】解：“若xy=0，则x2+y2=0”，是假命题，其逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题、逆否命题是假命题，故真命题的个数为2故选C．3．在△ABC中，“A=”是“cosA=”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义结合三角形的性质，分别证明充分性和必要性，从而得到答案．【解答】解：在△ABC中，若A=，则cosA=，是充分条件，在△ABC中，若cosA=，则A=或A=，不是必要条件，故选：A．4．若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A．a2＞ab＞b2B．ac2＜bc2C．D．【考点】不等关系与不等式．【分析】利用不等式的基本性质可知A正确；B若c=0，则ac2=bc2，错；C利用不等式的性质“同号、取倒，反向”可知其错；D作差，因式分解即可说明其错．【解答】解：A、∵a＜b＜0，∴a2＞ab，且ab＞b2，∴a2＞ab＞b2，故A正确；B、若c=0，则ac2=bc2，故不正确；C、∵a＜b＜0，∴＞0，∴，故错；D、∵a＜b＜0，∴＜0，∴，故错；故答案为A．5．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．48【考点】等差数列的性质．【分析】利用等差数列的前n项和公式化简已知的等式，得到2a1+9d的值，然后利用等差数列的通项公式化简所求的式子，将2a1+9d的值代入即可求出值．【解答】解：∵S10=10a1+45d=120，即2a1+9d=24，∴a2+a9=（a1+d）+（a1+8d）=2a1+9d=24．故选：B．6．向量=（1，2），=（﹣2，3），若与共线，其中（m、n∈R，且n≠0），则=（）A．B．2 C．D．﹣2【考点】向量的共线定理．【分析】通过计算，求出的值，根据的共线关系得到m与n的关系．经过化简即可得到的值【解答】解：由=（1，2），=（﹣2，3）得：m﹣n=（m，2m）﹣（﹣2n，3n）=（m+2n，2m﹣3n）+2=（﹣3，8）根据m﹣n与+2共线得：﹣3（2m﹣3n）=8（m+2n）整理得：14m=﹣7n即=﹣故答案为A．7．如图，在△ABC中，已知，则=（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据向量的减法法则，结合题中等式得=3（），化简可得=+，得到本题答案．【解答】解：∵=，∴由已知，得=3（）化简=+故选：C8．各项都是正数的等比数列{a n}的公比q≠1，且a2，a3，a1成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．或【考点】等比数列的性质．【分析】设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由a2，a3，a1成等差数列得到关于q的方程，解之即可．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），∵a2，a3，a1成等差数列，∴a3=a2+a1，∵a1≠0，∴q2﹣q﹣1=0，解得q=或q=（舍去）；∴==．故选C．9．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的图象关于点对称C．f（x）的图象关于直线对称D．f（x）的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数图象【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式化简可得f（x）=sin（2x+）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可．【解答】解：∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+1，∴f（x）的最小正周期为，A错误；由f（﹣）=sin0+1=1，B错误；由f（）=sin+1=1，C正确；f（x）的图象向左平移个单位长度后得到y=cos（2x+）+1，不为偶函数，故D错误．故选：C．10．如果点P（x，y）在平面区域上，则x2+（y+1）2的最大值和最小值分别是（）A．3，B．9，C．9，2 D．3，【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，结合x2+（y+1）2的几何意义求出其最大值和最小值即可．【解答】解：如图，先作出点P（x，y）所在的平面区域：x2+（y+1）2表示动点P到定点Q（0，﹣1）距离的平方，当点P在（﹣1，0）时，|PQ|2=2，而点Q到直线x﹣2y+1=0的距离的平方为；当点P在（0，2）时，离Q最远，|PQ|2=9；因此x2+（y+1）2的最大值为9，最小值为．故选：B．11．不等式2x2﹣axy+y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤D．a≤【考点】二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则+=t+，∵t+≥2=2，当且仅当t=，即t=时取等号，故选：A．12．如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，，E n（n∈N）为边AC上的一列+点，满足，其中实数列{a n}中a n＞0，a1=1，则{a n}的通项公式为（）A ．2•3n ﹣1﹣1B ．2n ﹣1C ．3n ﹣2D ．3•2n ﹣1﹣2【考点】数列与向量的综合；数列递推式；数列与解析几何的综合．【分析】利用，可得=+，设m=，利用，可得=a n +1， m=﹣（3a n +2），即a n +1=﹣（3a n +2），证明{a n +1}是以2为首项，3为公比的等比数列，即可得出结论．【解答】解：因为，所以=+，设m =，则因为，所以=a n +1， m=﹣（3a n +2），所以a n +1=﹣（3a n +2），所以a n +1+1=3（a n +1）， 因为a 1+1=2，所以{a n +1}是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以a n +1=2•3n ﹣1， 所以a n =2•3n ﹣1﹣1． 故选：A ．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0，则命题￢P 为： ∃x ∈R ，x 2+x +1＜0 ． 【考点】命题的否定．【分析】命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【解答】解：命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号≥变为＜即可． 故答案为：∃x ∈R ，x 2+x +1＜014．设sin α=，α∈（，π），则tan α的值为 ﹣ ．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos α，进而可求tan α的值．【解答】解：∵sinα=，α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣，∴tanα===﹣．故答案为：﹣．15．如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由已知中△ABC中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m的方程组，解方程组后即可得到m的值【解答】解：∵P是BN上的一点，设，由，则=====∴m=1﹣λ，解得λ=，m=故答案为：16．已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足条件的平面区域，设z=，则y=zx+2，将问题转化为求直线的斜率的范围，通过图象求出答案．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．三、解答题：（本题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值，最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．【分析】（1）化简得f（x）=1+sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ解得增区间；（2）根据x的范围求出2x+的范围，结合正弦函数的单调性求出f（x）的最值．【解答】解：（1）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x﹣2=1+sin2x+cos2x﹣1=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期是=π．令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，∴f（x）的单调增区间是[﹣+kπ， +kπ]，k∈Z．（2）∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，f（x）取得最大值1，当2x+=时，f（x）取得最小值﹣．18．在等差数列{a n}中，a2=5，a5=11，数列{b n}的前n项和S n=n2+a n．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．【考点】数列的求和．【分析】（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，利用已知条件列出方程组，求出首项与公差，即可求解通项公式．然后数列{b n}的前n项和，再求解数列{b n}的通项公式．（2）利用裂项消项法求解即可．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则∴，∴a n=3+（n﹣1）×2=2n+1…∴数列{b n}的前n项和当n=1时，b1=S1=4，当n≥2时，，对b1=4不成立，所以，数列{b n}的通项公式为…（2）n=1时，，n≥2时，，所以，n=1仍然适合上式，…综上，…19．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c﹣2acosB=b．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【考点】正弦定理．【分析】（1）直接利用正弦定理，三句话内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知条件，结合sinB≠0，然后求角A的余弦函数值，即可求解；（2）利用△ABC的面积求出bc，利用余弦定理以及c2+abcosC+a2=4，求出b2+c2=8﹣3a2，然后通过余弦定理求a．【解答】解：（1）在△ABC中，∵2c﹣2acosB=b，∴由正弦定理可得：2sinC﹣2sinAcosB=sinB，即：2sin（A+B）﹣2sinAcosB=sinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣2sinAcosB=sinB，可得：2cosAsinB=sinB，∵B为三角形内角，sinB≠0，∴cosA=，又∵A∈（0，π），∴A=．（2）∵A=，且△ABC的面积为=bcsinA=bc，∴解得：bc=1，∵c2+abcosC+a2=4，cosC=，∴c2+ab×+a2=4，整理可得：b2+c2=8﹣3a2，∴a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=8﹣3a2﹣1，整理可得：a=．20．某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．（1）把每件产品的成本费P（x）（元）表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；（2）如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？（总利润=总销售额﹣总的成本）【考点】基本不等式在最值问题中的应用；根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）根据每件产品的成本费P（x）等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；（2）设总利润为y元，根据总利润=总销售额﹣总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时，x的值即可．【解答】解：（Ⅰ）根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得由基本不等式得当且仅当，即x=500时，等号成立∴的最小值为90元．∴每件产品的最低成本费为90元（Ⅱ）设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q（x）与产品件数x有如下关系：Q（x）=170﹣0.05x∴总销售额=xQ（x）=170x﹣0.05x2，则y=xQ（x）﹣xP（x）=﹣0.1x2+130x﹣12500=﹣0.1（x﹣650）2+29750当x=650时，y max=29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．21．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0）；命题q：实数x满足（Ⅰ）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（Ⅱ）若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（I）将a=1代入，求出命题p为真时，x的范围；进而解不等式组求命题q为真时，x的范围，由p∧q为真，两个命题均为真，构造不等式组，即可得到实数x的取值范围；（Ⅱ）¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，根据（I）中结论，构造关于a的不等式，解得实数a的取值范围【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．由得解得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3．若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是（2，3）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知p：a＜x＜3a，则¬p：x≤a或x≥3a，q：2＜x≤3，则¬q：x≤2或x＞3，¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，且¬q⇏¬p，∴解得1＜a≤2，故实数a的取值范围是（1，2]．22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列的函数特性；等差数列的通项公式．=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，【分析】（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1由此能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（n≥1），知，所以，由此能求出b n．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，所以T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n），令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，由错位相减法能求出，由此能求出数列{c n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1知a1=2满足该式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n．（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②②﹣①得：，b n=2（3n+1+1），+1故b n=2（3n+1）（n∈N*）．（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴T n=c1+c2+c3+…+c n=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）令H n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3H n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2H n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…∴数列{c n}的前n项和…2016年12月24日。