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平面电磁波的波动方程学习资料

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平面波的波动方程

平面波的波动方程
§17－5 平面波的波动方程 －
各种平面波都满足下列方程
y y =u t x
2 2 2 2 2
称为平面波的波动方程 平面简谐波波动式是它的解
例2
弦上的横波，设线密度 张力T 不变） 弦上的横波，设线密度，张力T（不变）
T
αT
2
T
α
1
T sinα2 T sinα1 ≈ T(tgα2 tgα1 ) 2 y y y y = T dx = dx 2 =T x x x x 2 2 T y T y u= =
y1 = Acos(ωt kx) y2 = Acos(ωt + kx)
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
y = y1 + y2 = 2 Acos kx cosωt
３. 振幅
kx = ±nπ
腹－腹
n = 012L 波腹 ,,
x =

λ
2
kx = ±( 2n +1)
节－节 腹－节
二、波的干涉 １.相干条件 相干条件 频率相同，振动方向相同， 频率相同，振动方向相同，相位差恒定 两相干波在空间相遇， 两相干波在空间相遇，某些点的振动始终加强另一 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。 些点的振动始终减弱，即出现干涉现象。
设 y1 = A cos(ωt +1 kr ) 1 1
3 λ 2
P
解:
Q
R
= 1 2 k(r1 r2 ) 3 = k λ = 3π 减弱 2
A= 0
三、驻波 当两列振幅相同，频率相同， 当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的 波以相反方向传波时，叠加形成驻波 驻波。 波以相反方向传波时，叠加形成驻波。 1. 演示： Zlcai 演示： 2.表达式 表达式 设

14-2平面简谐波的波动方程

14-2平面简谐波的波动方程

波源(x=0) 的简谐运动 方法1
yO A cos t
x t u
O点的振动状态传到P所需时间
t时刻 P 点相位与 O 点 ( t t )时刻相位相同
yP (t) yO (t t)
P点的振动方程
x y P A cos t u
x

2 π)
(2)

2 π)
由于 uT u

所以(1)、(2)是一致的
x x0 波源在x0处: y A cos t u 2π y A cos t ( x x0 )
如果波沿x轴的负方向传播，则P点的相位要比O点的相 位超前 t x u x x0
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
(3) 波形图中 x1 和 x2 两质点的相位差
x1 y1 A cos t u 1 x2 y2 A cos t u
相位差：
y u O
x1 x2

第七章 平面电磁波

第七章 平面电磁波

z z H y ( z, t ) f 3 (t ) f 4 (t ) H y ( z, t ) H y ( z, t ) v v 2) 物理意义：f1 (t z v)、 f 3 (t z v) 表示沿 z 方向
凡是能向前 传播的波（入射波） E x , H y 。 传播的波都 f 2 (t z )、 f 4 (t z ) 为行波。 v v 表示沿 z 方向
第七章
第七章
v 1
平面电磁波

电磁波：时变电磁场在媒质中以速度 向远处传播。
平面电磁波：波前面（等相位面）是
平面的波。
2018/11/21
电磁场理论
1
第七章
7.1 波动方程
一、非齐次波动方程：
E (r , t ) J (r , t ) 1 2 E (r , t ) (r , t ) 2 t t (7-1-1) 2 H (r , t ) 2 H (r , t ) J (r , t ) 2 t 其中, E.H 一般情况下 ,有三个分量,且每个分量都可以 是三维坐标变量 r 及时间 t 的函数. 即 E ax Ex ( x, y, z, t ) a y E y ( x, y, z, t ) az Ez ( x, y, z, t )


复有 效值 矢量
jt 简记为: E (r , t ) 2 E (r , t )e jt E (r )e jt jt 同理: H (r , t ) 2 H (r , t )e H (r )e
2018/11/21
电磁场理论
H z ( z, t ) 0
纵向

第七章-平面电磁波--1

第七章-平面电磁波--1

示，即
Z Ex Hy
可见，平面波在理想介质中传播时，其波阻抗为实数。
当平面波在真空中传播时，其波阻抗以 Z0 表示，则
Z0
0 377 120π(Ω) 0
上述均匀平面波的磁场强度与电场强度之间的关系又可
用矢量形式表示为
Hy
1 Z
ez
Ex
Ex
z
或
E x ZH y ez
Hy
对于传播方向而言，电场及磁场仅具有横向分量，因此 这种电磁波称为横电磁波，或称为TEM波。以后我们将会遇 到在传播方向上具有电场或磁场分量的非TEM波。
L2 =1227.60MHz, L3 =1176.45MHz 光纤通信： 1.55m ，1.33m ，0.85m ISM波段： 902~928MHz，2.4~2.4835GHz，5.725~5.850GHz
7.2 导电媒质中的平面波
若 0 ，则在无源区域中
若令
H E jE j( j )E
近似认为
1
2
1 1
2
2
那么
2
Zc
这些结果表明，电场强度与磁场强度同相，但两者振幅仍不断衰减。电
导率 愈大，则振幅衰减愈大。
第二，若 ，良导体属于这种情况。此时可以近似认为
1
2
那么
πf 2
Zc
j (1 j) πf
此式表明，电场强度与磁场强度不同相，且因 较大，
典型业务 导航，声纳 导航，频标 AM, 海上通信 AM, 通信 TV, FM, MC TV, MC, GPS SDTV, 通信,雷达 通信, 雷达 光纤通信
中波调幅广播（AM）：550KHz~1650KHz 短波调幅广播（AM）：2MHz~30MHz 调频广播（FM）：88MHz~108MHz 电视频道（ TV）：50MHz~100MHz ; 170MHz~220MHz

电磁波波动方程要点

电磁波波动方程要点

§18.2 电磁波的性质
（1）电磁波是横波
Ey Ey 2 2 x t
2 2
E y
H z
Hz Hz 2 2 x t 由于 j k i 所以 E H // x 轴
2 2
u x
§18.2 电磁波的性质
— 折射率
n r
与物质作用的主要是
E
矢量,
E
通常被称为光矢量！
几点注意
（1）振动不是媒质体积元，是电场和磁场 （2）周期变化的不是质点位移，是 E、H 强度矢量
（3）伴随电磁波传播的有能量、动量和质 量的流动（引力波具有同样的性质） （4）电磁波是自持波，在真空或媒质中均 可传播
F pcS pc w 辐射压强： S S
c
F
S
偶极子的辐射
一、 电磁波的产生
赫兹实验
C P P0 cost I 1 P q l ， 0 0 L 2 LC


q
S EH
H
电磁波强度为
E
S
2 I S EH E
**坡因廷矢量举例**
•电阻
S
I
E
I
可以证明： 输入功率：
H
P S (2a l ) I R
2
S
电阻消耗的能量是通过坡因廷矢量输入的！
**坡因廷矢量举例**
•电容器充、放电 电容器充电过程 中，通过坡因廷 矢量输入能量！ 电容器放电过程 中，通过坡因廷 矢量输出能量！ 可以证明：
2 2
其中
2 2 2 x y z

第二章波动方程和平面波解

第二章波动方程和平面波解
2 相速： v 2
π f
ej45 (1 j)
2
f
《高等电磁场理论》
11
趋肤效应：电磁波的频率越高，衰减系数越大，高频电磁波只能 存在于良导体的表面层内，称为趋肤效应。
趋肤深度（）：
Eme

Em e

1


1


1
π f
Em
Em e

趋肤深度
铜：
f 50Hz， 6.6102 9.33103 m
50
4π 107 H/m f 1MHz， 6.6 102 6.6 105 m
5.8 107S/m
106
f 10GHz， 6.6 102 6.6 107 m
14
4、 弱导电媒质中的均匀平面波(特例)
弱导电媒质： 1
(1 x)1/ 2 1 x 2
jk j (1 )1/2 j
j
2




2


c


c
(1 )1/2 j
(1 j ) 2
expkI r 表示振幅衰减，
kI
为波衰减方向；
expikR r 代表波的相位传播；
kR
为波的传播方向
可见在无耗介质中，如 果波矢量k是复数，波
则 kR2 kI2 2
2kR kI 0
kR kI
的衰减方向必定与其传 播方向相互垂直，或者 说波的等振幅面与等相
平面波解为
E r E0 expik r
《高等电磁场理论》
可得

第三章波动方程

第三章波动方程
▪ 该式是齐次方程的解，只反映了波的传播特点。当力位 函数不为零时，需求非齐次方程的解，即达朗贝尔解。
2 t2V p 2 2 2 t2V p 2divg r(a t)d
▪ 将点震源用半径r=a的小球代替，小球体积为W。对上式 求体积分，并令r->0,其极限情况就是点震源的达朗贝 尔解。
lr i0m W2 t2 dW Vp2lr i0m Wdivgd raW dlr i0m W(t)dW
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
u 1u 1 u
gradru errersine
对于球面u只 纵存 波 r方在 ， 向位 上 u只 移 ， (是 r,t)的 即函数 u， u0 则
u rer u rrr
拉普拉斯算子：
2u
1 r2
r
(r2
ur )r
s1in(sin1r u
)r29;1(tV rp)rr
➢ 2、近震源的球面纵波（ 1/r2 >> 1/r）
1
rr
up4r2Vp 2 1(tVp)r
26
3.3 地震波的动力学特点
▪ 在近震源区域，质点振动规律（波 函数）主要与震源函数 (t)有关；而 在远震源区域，质点振动主要与震 源函数的导数 '(t)有关。
2u
2
u u 0
1 r2
(2r
ur2 r
2u r2 )
2u 2
r2
r
u r
15
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
将各种算子带入纵波的波动传播方程，得到著名的弦方程：
2 t21V P 2 2 r210
1r
可用达朗贝尔法 解r得：c(tr )c(tr )
1

第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的

第四章 电磁波的传播 §1. 平面电磁波§2. 电磁波在介质界面上的反射和折射§3. 有导体存在时电磁波的

知 H
E
较大，非铁磁
B
可取 = 0
(2) E k 在与 k 垂直平面上可将 E 分解成两个分量
(3) H k, 且 H E
(4)
nn ((EH22EH1)1
0 )0
即 Et E't E"t Ht H 't H"t
(5) ' ,
sin 2 sin " 1
(1 2 0 )
电磁波：迅变电磁场， 导体内 = ？
电流：J
E
电荷：
E
/
,
J
E
J
0
t
t
J
,
d dt,
t
0e
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减 t = 时，（ = / 特征时间） = 0 / e
导体内的自由电荷分布
t = 0 时，导体内 = 0 ， 然后 随 t 按指数衰减
o
y
x
平面电磁波的特性： （证明 see next page）
(1) 电磁波是横波， E k ， B k
(2) E B ， E B 沿 k 方向
(3) E 和 B同相，振幅比 E / B = v
平面电磁波
证明平面电磁波的特性
E 0
E
E0
ei
(
k
xt
)
E0
ei
( k xt
)i(k
E"
2 1 cos
2sin "cos
E 1 cos 2 cos" sin( ")
振幅关系 Fresnel 公式
(2) E || 入射面： (Ht H )

第6章平面电磁波要点

第6章平面电磁波要点
2 2
对于平面电磁波
2
ˆ E iE x
2
Hˆ jH y
d Ex 2 k E 0, x 2 dz
ikz
d Hy dz
2
k Hy 0
2
Ex Ex 0 e Ex 0 e ikz i m ikz H H e E e y y 0 y 0
E E E
2 x 2 y
2 0
——圆方程
Ex Ex 0 cos( t kz x ) E E cos( t kz ) y y 0 y 恒定 3. 椭圆极化波 E E x y x0 y0 Ex E0 cos( t kz y ) （1） （ 2） E E cos( t kz ) 0 y y 2 2 [(1) cos (2)] [(1)sin (2)] Ex Ey Ey 2 Ex 2 2 ( ) 2 cos ( ) sin Ex 0 Ex 0 Ey 0 Ey 0 ——椭圆方程
2 2
k : 2 长度内波的数目
波速（相速）v p 波长


k

1
k 2 /
2 / k 频率 f v / p

复数坡印亭矢量
1 1 ˆ * ikz ikz * ˆ S E H (iEx 0e ) ( jH y 0e ) 2 2 1 2 ˆ k E0 2Z
ikz ie
e
加上时 间因子
ikz
：向 +z 方向传播
e Ex ( z , t ) E e E e ikz i m i t i t H ( z , t ) H e E e y y y 0

7.1-7.2_波动方程_理想介质中平面波及偏振

7.1-7.2_波动方程_理想介质中平面波及偏振
简振的一维电场有形式解：
见 P178
电磁场与电磁波
z Ex f t v
相位因子
7
同理：简振的一维电场有另一种形式解：
z Ex f t v
综合考虑入射波(z方向)和反射波(反方向)：
z z Ex f t f t v v
Ex 2 k Ex 0 2 z
2
2H y z 2
k 2H y 0
标量亥姆霍兹方程
电磁场与电磁波
16
均匀平面波的标量解
2 Ex k 2 Ex 0 z 2 2 2
k
E x E0 e
jkz
e jkz E0
－z方向,反射波
＋z方向,入射波
H J D t
——交变的电场产生交变的磁场。 E dl B t dS E B t
C S
——交变磁场又产生交变的电场。 这种交变的电场、磁场互相产生的现象无限地 循环下去。
于是它们脱离场源，由近及远地传播出去，我 们把这种波动着的电磁场称为电磁波。
E0 E0 j(t kz ) j(t kz ) e e / /
17
波动方程的解
H j E E j H H 0 E 0
Maxwell Eq. Helmholtz eq.
E x ( r , t ) E0 e j (t kz ) H y( r , t ) H 0 e j (t kz ) H y (r , t ) 1



E x (r , t )

k k x ex k y e y k z ez

均匀平面波的概念和波动方程

均匀平面波的概念和波动方程
6.2均匀平面电磁波的概念和特性
1, 均匀平面电磁波的概念
2, 时变电磁场的波动方程
3, 均匀平面波的特性
什么是电磁波?
在自由空间，麦克斯韦方程:
可见：
Jc=。，Pv =。
VxH = e — dt
V7百一渔
N xE = —//-dt
时变的电场可以产生时变的磁场，时变的磁场又可以产生时变的 磁电场， 同时在空间上向邻近点推移，这样就产生了以一定速度向前 传播的电磁波动。
(4)均匀平面电磁波：
任意时刻，如果在平面等相位面上，每一点的电场强度均相同, 这种电 磁波:
Vx H = J +亜 c dt
丿 V x E =--
<
dt
▽ . D = pN
i V.B = o
在自由空间：Jc=O/v=O (Vx H = 8 竺 dt
该电磁波动称为电磁波。
例如：水波
问题：一个点源所发射的电 磁 波的等相位面是什么样？
1 ,均匀平面电磁波的概念
(1) 等相位面：
在某一时刻，空间具有相同相位的点构成的面称为等相位面。 等相 位面又称为波阵面。
(2) 球面波：等相位面是球面的电磁波称为球面波。 (3) 平面波：等相位面是平面的电磁波称为平面电磁波。
可见：HZ与时间t无关，不属于时变场部分。Hz = 0 结论：磁场只有Hx和
Hy分量，说明磁场矢量也位于xOy平面上。
磁场强度可表示为：亘二jHx+ayH
结论: 对传播方向而言，电场和磁场只有横向分量，没有纵向分量,
这种平面电磁波称为横电磁波，简写为TEM波。
小结：
1、 均匀平面电磁波的概念 2、 时变电磁场的波动方程
D= 8E B=

电动力学课件 4.1 平面电磁波

电动力学课件 4.1 平面电磁波

ε 和 μ随频率而变的现象称为介质的色散．
对色散介质，一般情况下
D E
， B H
B H D E ，
对角频率 ω一定的单色电磁波，有
对线性均匀各向同性的介质，当介质无色散或电磁波为单色波 时，电磁场的波动方程为
E x , t E 0e B x , t B0 e
i t E
ΦE、 ΦB 为与空间 位置有关的相位
利用欧拉公式 e i cos i sin ，时谐场的复数形式为
E x e it B x e i t E x , B x 为复数矢量
讨论一种最基本的解，它是存在于全空间中的平面波
设电磁波沿X轴方向传播，其场强在与x轴正交的平面上各点具有 相同的值，即E和B仅与x，t有关，而与y，z无关．这种电磁波称为 平面电磁波，其波阵面（等相位点组成的面）为与 x轴正交的平面
x
平面波
12
在这情形下亥姆霍兹方程化为一维的常微分方程
2E k 2E 0
k x t C
14
单色平面电磁波的基本物理量
E x , t E0e
k
i k x t


1) 波矢 k 的方向表示波的传播方向，大小表示2π长度上完整波的 数目 2
2) 相位为 k x t，等相面方程为 k x t C 3) 在同一时刻，在垂直于k 的平面上任一点，平面波的相位均相等 ，因此垂直于 k 的平面是等相面， k 是等相面的法向，即k 为等相面 的传播方向。 4) 在同一时刻，相位差为2π的两个等相面的距离λ称为波长

第七章 平面电磁波

第七章 平面电磁波

与波动方程
d2 dx
f
2
1 v2
d2 f dt 2
0 对比可知，方
程的解同样具有波的形式，是为电磁波。
f f (t x) f (t x)
v
v
4
f f t z
f
v f
t1 > t2 > t3
z固定
z
t
z vt2 t1 vt
5
波的形式取决于边界条件和初始条件
x
驻波
x
行波
等相面在沿波矢 k 方向上距离与时间的关系为
t kr C v dr 1 dt k
是为相速，即等相面沿其法线方向的传播速度， 也即平面波的传播速度。如果媒质的特性与频率 无关，即、与频率无关，则不同频率的平面电 磁波的相速与频率无关，媒质称为无色散媒质。 一般情况下，媒质总是存在色散。
18 109
(J
/
m3)
ez
108
18 109
(J
/
m3)
1.5
108 ( m
/
s)
ez
108
120
(W
/
m2)
25
二、均匀平面波的特征参量
1、平面波的一般表达式
直角坐标系内平面方程为：
ax by cz C
其中矢量 n aex bey cez 为平面的法向矢量
因此平面n方程r可表a达x为：by cz C
9
Re
Er,
t
t
Re
iEre it
ReReexeixiExEmexmictosx t x i sint x
exExm sint x
Em t
Re
E t

第二章 波动方程和平面波解

第二章 波动方程和平面波解
Ssuarmfaecephwaisthe
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100

《电动力学电子教案》7电磁波动方程和平面电磁波

《电动力学电子教案》7电磁波动方程和平面电磁波

7 平面电磁波的传播从基本方程的微分形式可以看出它们包含了产生电磁场的全部场源信息。

在电磁波中，变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场又产生变化的电场，伴随着电场和磁场的传播是能量的传输。

本章从电磁场的基本方程出发，首先介绍电磁波动方程，然后介绍了电磁波中最简单的形态--均匀平面电磁波在理想介质和导电媒质中的情况。

7.1电磁波动方程和平面电磁波变化的电场和变化的磁场之间存在着耦合，这种耦合是以波动的形式存在于空间中。

这种变化的电磁场以波动的存在通常称为电磁波。

电磁波的存在，意味着在空间中有电磁场的变化和电磁能量的传播。

光波、无线电波等都是电磁波，它们在空间不需借助任何媒质就能传播。

7.1.1 一般电磁波动方程设空间为各向同性、线性、均匀媒质，考虑 0=f ρ，0=f J 。

则电磁场基本方程组可写为t ∂∂+=⨯∇EE H εγ （7.1.1）t∂∂-=⨯∇HE μ（7.1.2） 0=⋅∇H （7.1.3） 0=⋅∇E （7.1.4）对（7.1.1）式两端求旋度()H H H 2∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇()22t t t t ∂∂-∂∂-=⨯∇∂∂+⨯∇=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⨯∇H H E E E E μεγμεγεγ利用（7.1.3）有0222=∂∂-∂∂-∇tt HH H μεγμ （7.1.5） 同理由对（7.1.2）两边取旋度，再代入（7.1.3）、（7.1.2）式等，可推得0222=∂∂-∂∂-∇tt EE E μεγμ （7.1.6） 称上面两式为电磁波动方程（它们是一般性的波动方程）。

我们就是在各向同性、线性、均匀媒质中研究电磁波的基础问题。

H 和E 满足的方程在数学上属同一类方程。

对于电场E 或磁场H 的分量，若用统一的标量符号()t r ,ψ来表示，就可以将原问题转化成标量方程的求解问题0222=∂∂-∂∂-∇tt ψγεψγμψ（7.1.7） 7.1.2 平面电磁波及基本性质对于电磁波传播过程中的某一时刻t ，空间电磁场中E 或H 具有相同相位的点构成的面称为等相面，又称为波阵面。

12电磁场的波动性13平面电磁波解读

12电磁场的波动性13平面电磁波解读
1 H B

磁导率
1-1 麦克斯韦方程组
四、由麦克斯韦方程可得到两个基本结论： • 第一：任何随时间变化的磁场在周围空间 产生电场，这种电场具有涡旋性，电场的 方向由左手定则决定。 B E t • 第二：任何随时间变化的电场（位移电流） 在周围空间产生磁场，磁场是涡旋的，磁 场的方向由右手定则决定 。 D H j t
• 即在均匀各向同性介质中， 只要研究典 型的标量波动微分方程，就可以得到各 分量随时间和空间的变化规律。
主要内容
• • • • • 一、波动方程的平面波解： 二、平面简谐波 ： 三、一般坐标系下的平面波的波函数： 四、复数形式的波函数： 五、平面电磁波的性质：
§1-3 平面电磁波
一、波动方程的平面波解：
§1-3 平面电磁波
• 麦克斯韦方程组所描述的电磁波可以转化为 一个二阶偏微分方程。 • 要决定解的具体形式，必须根据 E, B 满足的 边界条件和初始条件求解方程。
§1-3 平面电磁波
• 电磁波的波动微分方程表明：电磁波是 一种矢量波，将其写成分量形式后，容 易发现 的每一个分量都满足同一形式 E, B 2 的波动微分方程如： Ex 2 Ex 2 t
2 ( z vt )
所以波长 就是任一时刻位相差2的距离。
§1-3 平面电磁波
• 波面：某一时刻位相为常数的位置的轨迹，不难看
出平面简谐波的等相面确为平面。
• 波矢量
：沿等相面法线方向（在各向同性介质中
也是波能量的传播方向）大小为
k
2
1 v • 频率：单位时间内场周期变化的次数 T • 周期T ：场一次周期变化所需时间.

电磁波波动方程

电磁波波动方程

电磁波波动方程电磁波波动方程是描述电磁波传播过程的重要方程之一，其具有深刻的物理意义和广泛的应用价值。

本文将从物理意义、基本结构和应用方面全面介绍电磁波波动方程，旨在为读者深入理解电磁波的性质和应用提供指导。

一、电磁波波动方程的物理意义在物理学中，波动方程是描述波动现象中粒子所处位置随时间变化的数学表达式。

电磁波波动方程是描述电磁波传播过程中电场和磁场的关系，具有以下物理意义：1. 描述电磁波的传播速度电磁波波动方程通过求解电场和磁场体积密度的偏微分方程，可以得到电磁波传播的速度。

根据麦克斯韦方程组的推导，电磁波在真空中的传播速度为光速，即3×10⁸m/s。

这种速度远大于其他波动现象，例如声波和水波。

2. 描述电磁波的传播方向电磁波波动方程说明电场和磁场之间存在一定的相位差，因而在电磁波的传播过程中，电场和磁场以不同的方向变化。

根据电磁波波动方程，电磁波的传播方向是垂直于电场和磁场变化的方向，即电磁波是横波。

3. 描述电磁波的功率和辐射电磁波波动方程可以用于计算电场和磁场的体积密度，从而得到电磁波的功率和辐射。

这在通信、雷达、天线和光学等领域中具有广泛的应用，因为这些领域的主要任务是通过电磁波传播信息或进行探测。

二、电磁波波动方程的基本结构电磁波波动方程是麦克斯韦方程组的基础，其基本结构分为两部分：Maxwell-Ampere定律和Faraday电磁感应定律。

Maxwell-Ampere定律是描述电场对磁场产生影响的定律，其数学表达式为：rot H = J + dD/dt其中，rot H 是磁场的旋度，J 是电流密度，dD/dt 是电场变化率。

Faraday电磁感应定律是描述磁场对电场产生影响的定律，其数学表达式为：rot E = - dH/dt其中，rot E 是电场的旋度，dH/dt 是磁场变化率。

电磁波波动方程将这两个定律相互结合起来，得到如下的偏微分方程：△E - με*d²E/dt² = 0其中，△E 是电场的拉普拉斯算子，μ 是磁导率，ε 是电介质常数。

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H E u 0 c o t s u x 0 H 0 c o t s u x 0
E0 H0
H 和E 有相同的频率,且两者同相位，二者满足：
E H
电磁波的性质
平面简谐电磁波的传播
y u
E
z
H
x
电磁波的一般性质：
(1)电磁波的电场和磁场都垂直于波的传播方向,三 者相互垂直,并构成右手螺旋关系。电磁波是横波。
电磁波谱
X 射线(伦琴射线) 波长比紫外线更短的电磁波， 其波长范围在10-7 ～10-13m之间。
5.电磁波谱
电磁波谱:按照频率或波长的顺序把电磁波排列成图表。
电磁波谱
各种无线电波的范围及用途
名 称
长波
中波 中短波
波 30000长 3000m
3000200m
200-50m
频 率
10100kHz
1001500k Hz
1.5-6MHz
主 越洋 要 长距 用 离通 途 信和
导航
无线 电报通 电广 信 播
dAdt
2
电磁波的能量
利用 E H, u1 得
S21 (EH HE )EH
辐射能的传播方向、E 的方向及H 的方向三者相互垂 直，辐射强度用矢量式表示为：
SE H
辐射强度矢量S也称为坡印廷(J.H.Poynting)矢量。 E
H
S
电磁波的能量
考虑平面余弦电磁波的情形
E E 0 co t x s u 0 H H 0 co t x s u 0
辐射能量的传播速度是电磁波的传播速度，辐射能的传 播方向是电磁波的传播方向。
电磁波的能量
空间某点辐射强度的计算
波速
dA
P
dl
dA—P 点处垂直于电磁波 传播方向的微小面积
dl—底面积为dA的小长方 体的高
小长方体中的电磁能量为w dAdl
P点处的辐射强度S ：
SwdAdl wu Sw uu(E2H2)
12xH2z
去掉Ey 和Hz 的下标 y 和 z，得
2E
t2
1
2E x2
（E沿y方向）
平面电磁波
2H t2
12xH2 （H
沿z方向）
的波动方程
电磁波的波速
真空中的波速
u1 c 1002 .99 m 7/
2.电磁波的性质
沿 x轴正方向传播的平面余弦电磁波特解：
EE0costu x0
据
E x
计算Ht 出H：
率的电磁波具有不同的传播速度，此即电磁波在介质 中的色散现象。
3.电磁波的能量
电磁波所携带的电磁能量，称为辐射能。单位时间内 通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能,称为能流密度 或辐射强度。
电场和磁场的能量体密度分别为
w e E 22 ,w m H 22
电磁场的总能量体密度：
w w e w m (E 2 H 2 )2
赫兹
播放视频：来自空中的能量
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求：
(1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周围 的空间中
(2)提高辐射频率
振荡偶极子电矩：pep0co ts
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡电 偶极子周围的电磁场线如下图示：
电磁波的性质
(2)沿给定方向传播的电磁波,E 和H 分别在各自平面 内振动，这种特性称为偏振。
(3)E 和H 作周期性的变化，而且相位相同，同地 同时达到最大，同地同时减到最小。
(4)任一时刻、空间任一点,E 和H 在量值上满足
E H (5)电磁波的传播速度 u1
通常 和 与电磁波的频率有关，在介质中不同频
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青 绿 黄 橙
红
0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 /m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。
紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。
振荡偶极子：电流在直线形电路中往复振荡,两 端出现正负交替的等量异号电荷。
任何振动电荷或电荷系都是发射电磁波的波源， 如天线中振荡的电流、原子或分子中电荷的振动都 会在其周围空间产生电磁波。
提高振荡电流辐射电磁场的方法
+q
I
L -q
电磁波的辐射
赫兹在1888年采用振荡偶极子， 实现了发送和接收电磁波。采用下 图装置，证实了振荡偶极子能够发 射电磁波。
短波 米波
微波
分米 波
厘米波 毫米波
50-10m 10-1m
1m10 10-
1cm cm
10.1cm
6-30MHz
无线电 广播、 电报通 信
300- 3000- 3000030-300MHz 3000 30000 300000
MHz MHz MHz
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 电视广播、专门用途 无线电导 航
平面电磁波的波动方程
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
2 E y 1 H z
(I) (II) (III)
E x 0, x
H x 0, x
E y H z ,
x
t
E x 0 t
H x 0 t
H z x
E
y
电磁波谱
X 射线(伦琴射线) 波长比紫外线更短的电磁波， 其波长范围在10-7 ～10-13m之间。
X 射线具有很强的穿透能力。
射线 在原子核内部的变化过程(常称衰变)发出 的一种波长极短的电磁波，其波长在3×10-8～10-14m以 下。
射线可应用于对金属探伤等，研究 射线可以帮
助了解原子核的结构。
t
t 2 t x
1 H z 1 2 E y
x t x2
2Hz2 1 2Hz
t2 x2
(IV) E z H y , H y E z
x
t
x
t
表明变化电磁场
Ey
和Hz
是按波动形式传播。
场量E 和H在x方向的分量是常数。
平面电磁波的波动方程
2Ey t2
1 2Ey
x2
2Hz2 t2
据辐射强度计算公式，得
S E 0 H 0 c 2 o t x u s 0
取一个周期内的平均值， c2 o t sx 的/时u 间 平0 均值
为1/2，平均辐射强度
与振幅平方成正比！
SE0H0 2
因c1 以0及0
0E ，0得0H 0
S0cE 02 2
S0cH 02 2
4.电磁波的辐射