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机器人操作的数学导论——刚体运动(1——3)讲解

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(完整word版)刚体的基本运动.doc

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第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§ 3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§ 3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§ 3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特殊质点组dr ij =0, 注意 : 它是一种理想模型, 形变大小可忽略时可视为刚体。

2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z),对刚体是否用3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变如确定不在同一直线上的三点, 即可确定刚体的位置, 需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6 个变量即可。

刚体的任意运动=质心的平动 +绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z),描述转轴可由αβ, γ。

, ,二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表. 需要三个独立变量, 可以看成质点力学问题.( 注意 : 平动未必是直线运动)2.定轴转动 : 刚体上有两点不动 , 刚体绕过这两点的直线转动 , 该直线为转轴 . 需要一个独立变量φ3.平面平行运动 : 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。

可以用平行于固定平面的截面代表刚体。

需要三个独立变量。

4.定点运动 : 刚体中一点不动 , 刚体绕过固定点的瞬转转动。

需三个独立的欧拉角。

5.一般运动 : 平动 +转动§3.2角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示 , 右手法确定其方向 . 有向线段不一定是矢量 , 必须满足平行四边形法则 , 对定点转动时 , 不能直接推广 , 因不存在固定轴 .ωlim n dnt dt 刚体在 dt 时间内转过的角位移为d n，则角速度定义为t 0角速度反映刚体转动的快慢。

Q dr dn r , v dr ωr线速度与角速度的关系：dt§3.3刚体运动微分方程一、基础知识1. 力系：作用于刚体上里的集合。

机器人学 第二章运动学

机器人学 第二章运动学
A A B P B R P
B 用旋转矩阵 A R 表示坐标系{B}相对
A 于{A}的方位。同样，用 B R 描述坐标系
{A}相对于{B}的方位。二者都是正交矩 阵，两者互逆。
B A A 1 A T R B R B R
14
第二章 机器人运动学
§2.3 映射—坐标变换
Example: Frame {B} is rotated relative to frame {A} about Z by 30 degrees. Here Z is pointing out of the page. Writing the unit vectors of {B} in terms of {A} and stacking them as the columns of the rotation matrix:
这表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置
ˆT AX B A A T A A ˆT ˆ Aˆ Aˆ B R B R YB X B YB Z B I 3 A ˆT ZB
A B
B 1 B T R A R A R
10
第二章 机器人运动学
9
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述
进一步观察 因为
B A
，可以看出矩阵的行是单位矢量 {A}在 {B}中的描述.
R 为坐标系{A}相对于 {B}的描述
ˆT BX A A A ˆ Aˆ A ˆ B ˆT B R X B YB Z B YA B ˆT ZA B A T R B R 由转置得到 A
1
第二章 机器人运动学
§2.2 空间描述和坐标变换—位置和姿态的描述

理论力学08刚体的基本运动

理论力学08刚体的基本运动

[例5] 图示仪表机构中，已知各齿轮齿数 z1 = 6、z2 = 24、z3 = 8、 z4 = 32，齿轮 5 的啮合圆半径 R = 4 cm。如齿条 AB 下移1 cm，试 求指针 OC 转过的角度。
解： 轮 5 转过的角度
5
1 4
轮 4 转过的角度
4
5
1 4
轮 3 转过的角度
3
4
i43
z4 z3
aMn
a
n A
π202l
16
cos
2
πt 4
aMt 0
aM
aMn
π202l
16
[例3] 如图，鼓轮绕轴 O 转动，已知鼓轮的半径 R = 0.2 m，转动方
程 = －t2＋4t （t 以 s 计， 以 rad 计）；不可伸长的绳索缠绕在鼓
轮上，绳索的另一端悬挂重物 A。试求当 t = 1 s 时，轮缘上的点 M 和重物 A 的速度和加速度。
[例1] 杆AO 套在套筒 B 中绕轴 O 转动，套筒 B 在竖直滑道中运动。 已知套筒 B 以匀速 v = 1 m/s 向上运动，滑道与轴 O 的水平距离 l =
400 mm，运动初始时 = 0°。试求 = 30°时，杆AO 的角速度和角
加速度。
解： 杆AO 的转动方程
arctan
BB0 OB0
第二节 刚体绕定轴转动
一、绕定轴转动刚体的转动方程
t
说明：1）转角 为代数量，正负号表示
转向，一般可按右手螺旋法则 确定。
2）转角 的单位：rad（弧度）
z
A A0
二、绕定轴转动刚体的角速度
d
dt 说明：1）绕定轴转动刚体的角速度 为代数
量，其正负号表示转向，角速度 的正 负号规定与转角 一致。 2）角速度 的单位：rad/s 3）角速度 与转速 n (r/min) 的换算关系

机器人操作的数学导论——机器人动力学1

机器人操作的数学导论——机器人动力学1

2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：

工业机器人运动学-1数学基础

工业机器人运动学-1数学基础

则可得到如图1.8所示的点向量n.变换过程如下
1 00 4 2
6
0 1 0 -3 7
4
n = Trans <4, －3, 7> w = 0 0 1 7 3 = 10
0 00 1 1
1
z
z
•n
•v
0
2
y
2
w•
u•
•w
x
-7
•v
图1.7 Rot ( z, 90°) Rot ( y, 90°)
0•
•
7
y
x
已知两个向量
a = ax i + ay j + az k
b = bx i + by j + bz k
〔1.1〕
向量的点积是标量.用" ·"来定义向量点积,即
a ·b = ax bx + ay by + az bz
〔1.2 〕
向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量.用"×" 表示叉积,即
1.2.1 点向量〔Point vectors〕 点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位
置.同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同.如图 1.1中,点p在E坐标系上表示为 Ev,在H坐标系上表示为 Hu,且v ≠ u.一个点向量可表示为
v = ai + bj + ck 通常用一个〔n + 1〕维列矩阵表示,即除 x、y、 z 三个方向上的分量外,再加一个比例因子 w ,即
01
0 001
1
0
0
1
如果按着逆序旋转,首先绕y轴旋转90°,然后再绕z轴旋转90°,其结果为

第五章 刚体的基本运动

第五章 刚体的基本运动
齿数z1=24；齿轮Ⅱ的齿数为z2=96；齿轮Ⅲ和Ⅳ用链条传动，齿数 各为z3=15和z4=45，轮Ⅴ的直径D=460mm。试求输送带的速度。 解(1)计算轮Ⅰ的角速度和轮系的传动比
1
i12
π n1 π 1200 40π rad/s 30 30
i34
1 z 2 2 z1
解：1、运动分析 荡木作平动 ，荡木上各点的轨迹为半径为l的圆弧。 2、求A点的速度、加速度
规定弧坐标s向右为正，则点A的运动方程为
s l l 0 sin
π t 4
π s l l 0 sin t 4
任一瞬时t点A的速度、加速度为
当t=0时， 0
π l 0 π vs cos t 4 4 π 2 l 0 π a v sin t 16 4 2 v 2 v 2 π 2 l 0 2π an cos t l 16 4
2. 角速度和角加速度
角速度
角加速

单位为rad/s(弧度/秒)。
单位为rad/s2(弧度/秒2)。

角速度、角加速度都是代数量，符号规定和转角一致。当角速度、角加 速度同号时，刚体作加速转动，否则作减速转动。
用转速n（每分钟内的转数，以r/min为单位）来表示转动的快慢， 角速度与转速之间的关系是：
2π n π n 60 30
二、转动刚体内各点的速度和加速度 1. 以弧坐标表示的点的运动方程

0
s R
2．点的速度
v s R R
转动刚体内任一点的速度，其大小等于转动 半径OM与刚体角速度的乘积，方向沿轨迹的切线， 指向刚体转动的一方。
速度分布图
3．点的加速度

物理刚体的转动


例题
均匀圆环 ： m i
JC mi R R
2
2
m
i
C R
J C mR
2
例题
均匀圆盘：
m dm ds 2 R ds 2rdr
2 R 0
面密度rJ 源自 dm r 2 2 rdr R4
2
1 2 mR 2
半径为R质量为M的均匀圆盘联结一长为L质量为m 的均匀直棒，写出刚体对O轴的转动惯量。（O轴垂直 纸面）
J
r
2
dm
转动惯量与下列三个因素有关：
⑴形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。 ⑵总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。 ⑶同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转 动惯量不同。
4、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia 例题:三个质量为m的质点，A、B、C由三个长为L的 轻杆相联结。求该质点系通过A点和O点，且垂直于 三个质点所在平面的转轴的转动惯量。
4、刚体的一般运动
A r 1
A' B r 2

o1
o2
B'
刚体的一般运动可看作 是平动和转动的叠加
5、角速度矢量：
z
, α
v
angular velocity vector
刚体作定轴转动时，各质元 的线速度、角加速度一般是 不同的，但由于各质元的相 对位置保持不变，所以描述 各质元的角量，如角位移、 角速度、角加速度都是一样 的。因此描述刚体的整体运 动时，用角量最为方便
⑶ v R 78.5m s
1
a R an R 2
2 a a2 a n 6.16 m s 1

06第二章 刚体基本运动


0 53
vx vy vz 10 3 15 10
75 3i 200 j 75k
a

at

an

( 15π 2

75
3)i 200 j 75k
例 设有一组坐标系 O x y z 固结在刚体T 上，并随同
该刚体绕固定轴 z 以角速度 转动，如图所示。试证明:
di ω i , dj ω j , dk ω k
A B
j
j 是代数量，用右手螺旋定则来确定转角的正负号
从 z 轴的正向往负向看去，逆时针转向为正，反之为负。
2、角速度和角加速度
角速度:
v
j rad/s
角加速度:
j rad/s2
A
角速度和角加速度也是代数量.
B 角速度和角加速度同号时，加速转动.
j
在工程中，可以用转速 n 来表示转动快慢程度.

lj0
sin
π 4
t
o1
jl
A
o

o2
l
M
B
vM
vA

ds dt

π 4
lj0
cos
πt 4
aMt

aAt

dvA dt


π2 16
lj0
sin
πt 4
t=2s时:
vM 0
aMt

π2
16
lj0
aMn
aAn

vA2 lBiblioteka π2 16lj02
cos2
πt 4
aMn 0
§2-2 刚体的定轴转动

6 刚体的基本运动

= 0
第六章 刚体的基本运动
vB = v A aB = a A
刚体的平行移动(平动 平动) §1 . 刚体的平行移动 平动 刚体平动特点总结： 刚体平动特点总结： 1、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 、其上任一直线始终平行于它的初始位置； 2、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 、任一点的轨迹可是直线也可是曲线； 3、各点的运动轨迹形状相同； 、各点的运动轨迹形状相同； 4、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 、任一瞬时各点的速度、加速度相等。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动 即:平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。 平动刚体的运动可以简化为一个点的运动。
速度分布图
第六章 刚体的基本运动
加速度分布图
§3 轮系的传动比 1）齿轮传动： 传动比:
v = r1ω1 = r2ω2
ω1 r1
ω2 r2
ω1 r2 z2 i12 = = = ω2 r1 z1
2）带轮传动：
v
ω1 r1 r2 ω2
ω1 r2 i12 = = ω2 r1
第六章 刚体的基本运动
传动比？ 传动比？
第六章 刚体的基本运动
§2 刚体的定轴转动 转动刚体上点的运动几何特点： 转动刚体上点的运动几何特点： 1）轨迹： 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 在垂直于转轴的平面内作圆周运动。 2）速度：
v= d S d (ϕ R ) = = ωR dt dt
方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 方向沿圆周的切线与角速度转向一致。 2）加速度： dv d dω v 2 (ωR ) 2 = (ωR ) = R =α R at = an = = = Rω 2 dt d t dt R ρ
第六章 刚体的基本运动
第六章 刚体的基本运动

刚体运动知识点总结

刚体运动知识点总结刚体运动是物理学中的一个重要研究领域，它涉及到力学、动力学等多个方面的知识。

在学习刚体运动的过程中，我们需要了解刚体的运动方式、刚体的平动和转动运动、刚体的运动方程、刚体动力学等知识点。

下面将针对这些知识点进行详细的总结和讨论。

一、刚体的运动方式刚体可以进行平动运动和转动运动。

在平动运动中，刚体上所有的点都以相同的速度和相同的方向运动。

在转动运动中，刚体绕着固定轴线旋转，使得刚体上的各个点绕着这个轴线做圆周运动。

刚体的平动运动可以分为匀速直线运动和变速直线运动两种情况。

在匀速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都保持不变；在变速直线运动中，刚体上各个点的速度大小和方向都在不断地变化。

刚体的转动运动可以分为定轴转动和不定轴转动两种情况。

在定轴转动中，刚体绕着固定的轴线旋转，而在不定轴转动中，刚体绕着移动的轴线旋转。

二、刚体的平动运动在学习刚体的平动运动时，我们通常关心刚体上各点的速度、加速度和位移等动力学量。

1. 速度：刚体上任意一点的速度可以表示为该点的瞬时线速度，即该点的位矢对时间的导数。

刚体上不同点的速度大小和方向可以不同，但它们的速度矢量之间满足相对运动关系。

2. 加速度：刚体上任意一点的加速度可以表示为该点的瞬时线加速度，即该点的速度对时间的导数。

刚体上不同点的加速度大小和方向可以不同，但它们的加速度矢量之间满足相对运动关系。

3. 位移：刚体上任意一点的位移可以表示为该点的位矢的变化量。

刚体上不同点的位移可以通过相对位移关系来描述。

刚体的平动运动可以通过运动方程来描述，其中包含了刚体上不同点的速度、加速度和位移之间的关系。

在解决刚体平动问题时，我们通常会使用牛顿运动定律和动量定理等知识来进行分析和求解。

三、刚体的转动运动在学习刚体的转动运动时，我们需要了解刚体绕着固定轴线旋转的运动规律，以及刚体上各点的角速度、角加速度和角位移等动力学量。

1. 角速度：刚体上任意一点的角速度可以表示为该点的瞬时角位置对时间的导数。

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二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
定理2.3 指数变换是SO（3）上的满射变换 对给定的R∈SO(3),存在w∈R3,||w||=1及θ ∈R，使R=exp((w)^θ )
定理2.4 任意姿态R∈SO(3)等效于绕固定轴w∈R3,θ ∈[0,2π ] 该法并不唯一，当R=I时，W（θ取0）有无穷多中。
定理2.6 从se(3)到SE（3）的指数变换
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
描述的不是点在不同坐标系间的变换，而是点 由初始位置p(0)∈R3到经如下刚体转动后的位置坐标间的变换
上式中p(θ),p(0)均在同一坐标系中表示。类似，若gab(0)表示刚 体相对于A系的起始位姿，，那么现对于A系的最终位姿为：
对于一运动旋量来说，指数变换反映的是刚体的相对运动， 每一个刚体变换都可写为某个运动旋量的指数。
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
定理2.7 建立在SE（3）的指数变换是满射变换
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
se(3)中的元素 称为运动旋量
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
0
式中(a)^

a3
a3 a2
0

a1

a2 a1 0
后面常用符号â来代替(a)^
引理2.1 对给定的R∈SO(3)和v,w∈R3,则存在下列性质 R(v×w)=(Rv) ×(Rw) (两矢量叉积的旋转=旋转的叉积） R(w)^RT=(Байду номын сангаасw)^
定理2.2 旋转运动是刚体变换 旋转矩阵R∈SO(3)是一个刚体变换
三、三维空间中的刚体运动
如右图刚体的位姿可以表示为（pab,Rab)
记为式1
三、三维空间中的刚体运动
3.1 齐次坐标法
那么齐次坐标表示为
刚体变换的组合将构成新的变换：
定理2.5 SE（3）中的元素表示刚体运动
三、三维空间中的刚体运动
3.2 刚体运动的指数坐标和运动旋量
首先定义一个群se(3)：
二、三维空间中的旋转运动
群：对于用算子。构成的二元运算集合G，若满足下面条件则构成一个群。
物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵
可以证明SO（3）是一个以单位矩阵I作为单位元素、以矩阵乘法作为 群运算的群。
旋转矩阵可通过矩阵相乘来组成新的旋转矩阵： Rac=RabRbc
上式称为旋转的合成法则
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
上式对任意的p∈R3均成立，故用旋量表示的刚体运动为：
定理：旋量运动与旋量是一一对应 的 对于给定的旋量，其轴为l、节距为h、大小为M，则存在单位旋量
ξ ，使得与该旋量有关的刚体运动由运动旋量Mξ 产生。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
定理(Chasles定理) 任意刚体运动均可通过绕一轴的转动加上平行 于该 轴的移动实现。
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵对点的最用： 对坐标系B中的点qb(xb yb zb),可得其在A坐标系中的坐标 qa=Rabqb
旋转矩阵对矢量的作用： 对坐标系B中的矢量Vb=qb-pb,则 Rab(Vb)=Rabqb-Rabpb=qa-pa=Va
二、三维空间中的旋转运动
两矢量的叉积是一个线性算子，可用表示为：a×b=(a)^b
对于任意矢量 v,w R3 ,均有g (v w) g (v) g (w)
二、三维空间中的旋转运动
旋转矩阵：
Rab=[xab yab zab] 物体相对于定坐标系的每一次旋转，对应于 一个该形式矩阵 旋转矩阵性质：
设R R3×3为旋转矩阵，则：
① RRT=I ② detR=+1 (右手坐标系） 将满足这两个性质的3×3矩阵的集合记为SO（3），可 用旋转矩阵表示刚体变换
二、三维空间中的旋转运动
2.2 旋转的指数坐标
研究物体绕给定轴转过一定角度的旋转运动，w∈R3表旋转方向的单位 矢量，θ ∈R为旋转角度，则该旋转运动可表示为：
R(w, ) ewˆ
通过数学方法可以得到：
ewˆ I wˆ sin wˆ 2 (1 cos )
当||w||≠1时，上式可修正为：
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
四元数可用与描述空间旋转运动，它是一个矢量，一般形式为：
简洁表达式为：Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3
二、三维空间中的旋转运动
2.3 四元数
两四元数内积：
给定Q=（q0,q），其中q0∈R,q∈R3，可获得相应的旋转 描述旋转群还可以使用欧拉角来描述。
旋量运动：
旋量包括轴l、节距 h及大小M。旋量运动 表示绕轴l旋转M=θ再沿 与l平行的方向移动hθ。 如果h=∞,那么相应的旋 量运动即为沿旋转轴移 动距离为M的平动。
三、三维空间中的刚体运动
3.3 旋量：运动旋量的几何表示
分析右图点p的运动， p点最终位置坐标为：
齐次坐标表示为
三、三维空间中的刚体运动
刚体运动
一、刚体变换 二、三维空间中的旋转运动 三、三维空间中的刚体运动
一、刚体变换
刚体运动是物体上任意两质点间距离始终保持不变的连续运动。 刚体从一位置到另一位置的刚体运动称为刚体位移（平动与转动）。
刚体变换：
满足下列条件的变换g:R3->R3为刚体变换： 1)长度不变：
对任意点 p, q R3,均有 g( p) g(q) p q 2）叉积不变：