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初三数学第25章解直角三角形复习知识精讲华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第25章解直角三角形复习二. 重点、难点：1. 重点：（1）探索直角三角形中锐角三角函数值与三边之间的关系．掌握三角函数定义式：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．（2）掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，并会进行有关特殊角的三角函数值的计算．（3）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，•由已知三角函数值求它对应的锐角．2. 难点：（1）通过探索直角三角形边与边、角与角、边与角之间的关系，领悟事物之间互相联系的辩证关系．（2）能够运用三角函数解决与直角形有关的简单的实际问题．（3）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题，提高数学建模能力．三. 知识梳理：1. 锐角三角函数（1）锐角三角函数的定义我们规定：sinA＝ac，cosA＝bc，tanA＝ab，cotA＝ba．锐角的正弦、余弦、正切、余切统称为锐角的三角函数．（2）用计算器由已知角求三角函数值或由已知三角函数值求角度对于特殊角的三角函数值我们很容易计算，甚至可以背诵下来，但是对于一般的锐角又怎样求它的三角函数值呢？用计算器可以帮我们解决大问题．①已知角求三角函数值；②已知三角函数值求锐角．2. 特殊角的三角函数值αsinαcosαtanαcotα30º123233345º22221 160º3212333由表可知：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半．3. 锐角三角函数的性质（1）0＜sinα＜1，0＜cosα＜1（0°＜α＜90°）（2）tanα·cotα＝1或tanα＝1cotα；（3）tanα＝sincosαα，cotα＝cossinαα．（4）sinα＝cos（90°－α），tanα＝cot（90°－α）．4. 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形．解直角三角形的常见类型有：我们规定：Rt△ABC，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．①已知两边，求另一边和两个锐角；②已知一条边和一个角，求另一个角和其他两边．5. 解直角三角形的应用（1）相关术语铅垂线：重力线方向的直线．水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，•地平面上的两点确定的直线我们认为是水平线．仰角：向上看时，视线与水平线的夹角．俯角：向下看时，视线与水平线的夹角．坡角：坡面与水平面的夹角．坡度：坡的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度（坡比）．一般情况下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示水平宽度，用i表示坡度，即：i＝hl＝tanα．方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．如图：（2）应用解直角三角形来解决实际问题时，要注意：①计算结果的精确度要求，一般说来中间量要多取一位有效数字．②在题目中求未知时，应尽量选用直接由已知求未知．③遇到非直角三角形时，常常要作辅助线才能应用解直角三角形知识来解答．其方法可以归纳为：已知斜边用正弦或余弦，已知直角边用正切和余切，•能够使用乘法计算的要尽量选用乘法，尽量直接选用已知条件进行计算．注：解直角三角形在现实生活中有广泛的应用，它经常涉及到测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些术语，一定要根据题意明白其术语的含义才能正确解题．【典型例题】例1. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：利用数形结合思想，将已知条件tanα＝34用图形表示．解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，设BC＝3k，AC＝4k，则AB22AC BC+22(4)(3)k k+5k．∴sinα＝BCAB＝35kk＝35cosα＝4455AC kAB k==，∴原式＝34553455+-＝－7．例2. 计算．（12sin45°－12cos60°；（2）cos245°+tan60°cos30°；（3）sin45sin30 cos45sin30︒-︒︒+︒；（4212sin30sin30 -︒+︒分析：这里考查的是同学们对特殊角的三角函数值的识记情况和关于根式的计算能力．处理办法是能够化简的要先化简后代入计算，不能化简的直接代入计算．解：（1sin45°－12cos60×2－12×12＝34；（2）cos245°+tan60°cos30°＝（）2＝2．（3）sin45sin30cos45sin30︒-︒︒+︒＝122＝3－；（41－sin30º＝1－12＝12．点拨：像上面第3题分子分母要分别处理，第4•题要特别注意先化简再代入计算．例3. 已知tanα＝34，求sin cossin cosαααα+-的值．分析：可将所求式子的分子、分母都除以cosα，转化为含有sincosαα的式子，•再利用tanα＝sincosαα进行转化求解．解：将式子sin cossin cosαααα+-的分子、分母都除以cosα，得原式＝31tan143tan114αα++=--＝－7规律总结：因为tanα＝34所以α不等于90°，所以cosα≠0，因此分子分母可以同时除以cosα．实现转化的目的．例4. 等腰三角形的底边长为6cm，周长为14cm，试求底角的余切值．分析：这是一个在非直角三角形中求锐角的三角函数值的题目，根据三角函数的定义，要先恰当的作辅助线（垂线）构成直角来解决．这个题涉及到等腰三角形，•作底边上的高是解决问题常见办法．解：如图所示，作等腰三角形ABC，BC为底边，AD⊥BC于D．B AC D∵△ABC 的周长为14，底边BC ＝6，∴腰长AB ＝AC ＝4． 又∵AD ⊥BC ，∴BD ＝CD ＝3．在直角三角形ABD 中，∠ADB ＝90°，AD ＝22AB BD -＝2243-＝7cot ∠B ＝37BD AD=＝377． 答：等腰三角形底角的余切值是377．点拨：计算一个锐角的三角函数值，应在直角三角形中来考虑，如果题中没有直角三角形，那么就要通过作辅助线来构造直角三角形．例5. Rt △ABC ，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，•根据下列条件解直角三角形．（1）a ＝4，c ＝10； （2）b ＝2，∠A ＝40°； （3）c ＝3，∠B ＝58°． 分析：（1）题是已知两边解直角三角形；（2）、（3）是已知一边和一角解直角三角形．解：（1）b ＝22c a -＝22104-＝221， 由sinA ＝410a c =＝0.4，∠A ≈°，∠B ＝90°－∠A ＝90°°°．（2）∠B ＝90°－∠A ＝90°－40°＝50°，由tanA ＝ab ，得a ＝b ·tanA ＝2×tan40°≈2×≈1.678，由cosA ＝b c，得c ＝22cos cos 400.7660b A =≈︒≈2.611． （3）∠A ＝90°－∠B ＝90°－58°＝32°， 由sinB ＝bc ，得b ＝c ·sinB ＝3·sin58°≈3×≈2.544， 由cosB ＝ac，得a ＝c ·cosB ＝3×cos58°≈3×≈1.590．点拨：在选择三角函数时，一般使用乘法进行计算，能够用三角函数求其中的未知边的问题，一般不使用勾股定理求边．例6. 如图，一艘轮船从离A 观察站的正北203海里处的B 港处向正西航行，观察站第一次测得该船在A 地北偏西30°的C 处，一个半小时后，又测得该船在A•地的北偏西︒60的D 处，求此船的速度．分析：根据速度等于路程除以时间，必须求到DC 的长，观察图形，DC ＝DB －CB ，•而BD在Rt △ABD 中可求，BC 在Rt △ABC 中可求．解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB ×tan30°＝203×33＝20（海里）． 在Rt △ABD 中，BD ＝AB ×tan60°＝203×3＝60（海里）．所以DC ＝DB －CB ＝60－20＝40（海里）．船的速度是：40÷1.5＝2623（海里）．答：船的速度是2623海里．点拨：凡涉及方向角的问题，一定要确定中心，如上题中的方向角就是以A•为中心的．例7. 如图所示，河对岸有一座铁塔AB ，若在河这边C 、D•处分别用测角仪器测得塔顶A 的仰角为30°，45°，已知CD ＝30米，求铁塔的高．（结果保留根号）分析：设塔高为x 米，根据条件∠ADB ＝45°，可得BD ＝AB ＝x 米，在直角三角形ABC 中，根据∠C ＝30°，即tanC ＝ABBC 可求．解：设AB ＝x ，在Rt △ABD 中，∠ADB ＝45°，∴AB ＝BD ＝x ．在Rt △ABC 中，∠C ＝30°，且BC ＝CD+BD ＝30+x ，tanC ＝ABBC 所以tan30°＝30x x +，即33＝30xx +，x ＝（153+15）（米）．答：塔高AB 为153+15米．例8. 去年某省将地处A 、B 两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A 、B 两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A 、B•两地之间修筑一条笔直的公路（即图中的线段AB ），经测量，在A 地的北偏东60°方向，B 地的西偏北45°的C 处有一个半径为0.7千米的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？分析：过C 作AB 的垂线段CM ，把AM 、BM 用含x 3x ，x 表示，利用AM+MB ＝23＝2，解出CM 的长与0.7千米进行比较，本题要体会设出CM 的长，列方程解题的思想方法．解：作CM ⊥AB ，垂足为M ，设CM 为x 千米，在Rt △MCB 中，∠MCB ＝∠MBC ＝45°，则MB ＝CM ＝x 千米． 在Rt △AMC 中，∠CAM ＝30°，∠ACM ＝60°tan ∠ACM ＝AMCM∴AM ＝CM ·tan60°＝3x 千米 ∵AM+BM ＝2千米 ∴3x+x ＝2∴x ＝3－1 ≈ ∴∴这条公路不会穿过公园．例9. 如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求迎水坡BC 的坡角∠C 和坝底宽CD ．分析：分析这一个关于梯形的计算题，要用解直角三角形的知识来解决，•一般过上底顶点作下底的垂线就能够利用直角三角形知识来解决． 解：过A 、B 作AE ⊥CD 、BF ⊥CD ，垂足是E 、F ，根据题意有AE ＝BF ＝10，四边形ABFE 是矩形，EF ＝AB ＝3．在Rt △ADE 中，DE 22AD AE -222010-3（米），在Rt △BCF 中，10.6BF CF =××10＝6（米）所以CD ＝CF+EF+DE ＝3+3+6＝（3（米）．又在Rt △BCF 中，cot ∠C ＝0.6，所以∠C ≈59°．例10. 如图，如果△ABC 中∠C 是锐角，BC ＝a ，AC ＝b ．证明：C ab S ABC sin 21=∆问题图 D CB A证明：过A 作AD ⊥BC 于D ，则△ADC 是直角三角形，∴AC ADC =sin ， ∴C b C AC AD sin sin =⋅=，又∵ADBC S ABC ⋅=∆21，∴CabSABCsin21=∆．评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系．同理还可推出：BacAbcCabSABCsin21sin21sin21===∆（三角形面积公式）【模拟试题】（答题时间：40分钟）1. 在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为（）．A. 10tan50°B. 10cos50°C. 10sin50°D.10 cos50︒2. AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF＝3：2，则sinA：sinC等于（）．A. 3：2B. 2：3C. 9：4D. 4：93. 如图，为了确定一条小河的宽度BC，可在点C左侧的岸边选择一点A，•使得AC⊥BC，若测得AC＝a，∠CAB＝θ，则BC的值为（）．A. asinθB. acosθC. atanθD. acotθ4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列各式中正确的是（）．A. sinA＝sinBB. tanA＝tanBC. sinA＝cosBD. cosA＝cosB5. 已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，•则此等腰梯形的周长为（）．A. 19B. 20C. 21D. 226. 如图，秋千拉绳OB的长为3m，静止时踏板到地面的距离BE长为0.6m（•踏板的厚度忽略不计）．小亮荡秋千时，当秋千拉绳从OB运动到OA时，拉绳OA•与铅垂线OE的夹角为55°，请你计算此时秋千踏板离地面的高度AD是多少米．（精确到0.1m）7. 如图，武当山风景管理区为提高游客到景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44°减至32°，已知原台阶AB的长为5m（BC•所在地面为水平面）．（1）改善后的台阶会加长多少？（精确到0.01m）（2）改善后的台阶多占多长一段地面？（精确到0.01m）8. 如图，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，•要在小山的另一边同时施工，从AC上一点B取∠ABD＝135°，BD＝520m，∠D＝45°．如果要使A，C，E成一条直线，•那么开挖点E离D的距离约为多少米?（精确到1m）9. 如图，某校九年级（3）班的一个学习小组进行测量小山高度的实践活动，部分同学在山脚的点A处测处山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180m，•另一部分同学在小山顶点B处测得山脚A的俯角为45°，山腰点D处的俯角为60°，•请你帮助他们计算小山的高度BC（计算过程和结果都不取近似值）．10. 如图，汪老师要装修自己带阁楼的新居，•在搭建客厅到阁楼的楼梯AC时，为避免上升时墙角F碰头，设计墙角F到楼梯的竖直距离FG为1.75m，他量得客厅高AB＝2.8m，楼梯洞口宽AF＝2m，阁楼阳台宽EF＝3m，请你帮助汪老师解决下列问题，•要使墙角F 到楼梯的竖直距离FG为1.75m，楼梯底端C到墙角D的距离CD是多少米？【试题答案】1. B 点拨：直接利用三角函数关系求解．2. B3. C 点拨：根据图形找出对角关系．4. C 点拨：在锐角三角函数中，对于任意锐角的正弦值都等于它余角的余弦值．5. D6. 在Rt△AFO中，∠AFO＝90°，∴cos∠AOF＝OF OA，∴OF＝OA·cos∠AOF．又∵OA＝OB＝3m，∠AOF＝55°，∴OF＝3·cos55°≈1.72m，∴≈1.9m．∴AD＝EF＝1.9m．7. 如图．（1）在Rt△ABC中，AC＝AB×sin44°＝5sin44°≈3.473m．在Rt△ACD中，AD＝3.473sin32sin32AC=︒︒≈6.554m，∴AD－AB＝6.554－5≈1.55m．即改善后的台阶会加长1.55m．（2）在Rt△ABC中，BC＝AB×cos44°＝5·cos44°≈3.597m．在Rt△ACD中，CD＝3.473tan32tan32AC=︒︒≈5.558m，∴≈1.96m．即改善后的台阶多占1.96m长的一段地面．8. 368m．9. 过D作DE⊥AC于点E，作DF⊥BC于点F，则有DE∥FC，DF∥EC．∵∠DEC＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴DE＝FC．∵∠HBA＝∠BAC＝45°，∴∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝45°－30°＝15°．又∵∠ABD＝∠HBD－∠HBA＝60°－45°＝15°，∴△ADB是等腰三角形，∴AD＝BD＝180m．在Rt△AED中，sin∠DAE＝sin30°＝DE AD，∴DE＝180×sin30°＝180×12＝90m，∴FC＝90m．在Rt△BDF中，∠BDF＝∠HBD＝60°，sin∠BDF＝sin60°＝BF BD，word11 / 11 ∴BF ＝180·sin60°＝180×2＝，∴BC ＝BF+FC ＝+90＝90+1）m ．故小山的高度为90+1）m ．10. 根据题意有AF ∥BC ，∴∠ACB ＝∠GAF ．又∵∠ABC ＝∠AFG ＝90°，∴△ABC ∽△GFA ， ∴BC AB AF FG ，得BC ＝3.2（m ）．CD ＝（2+3）－3.2＝1.8（m ）．【励志故事】愚钝的力量大科学家爱因斯坦曾做过一个实验：他从村子里找了两个人，一个愚钝且软弱，一个聪明且强壮．爱因斯坦找了一块两英亩左右的空地，给他俩同样的工具，让他们在其间比赛挖井，看谁最先挖到水．愚钝的人接到工具后，二话没说，便脱掉上衣干起来．聪明的人稍作选择也大干起来．两个小时过去了，两人均挖了两米深，但均未见到水．聪明的人断定选择错了，觉得在原处继续挖下去是愚蠢的，便另选了块地方重挖．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，又两个小时过去了，愚钝的人只挖了一米，而聪明的人又挖了两米深．愚钝的人仍在原地吃力地挖着，而聪明的人又开始怀疑自己的选择，就又选了一块地方重挖．又两个小时过去了，愚钝的人挖了半米，而聪明的人又挖了两米，但两人均未见到水．这时聪明人泄气了，断定此地无水，他放弃了挖掘，离去了．而愚钝的人此时体力不支了，但他还是在原地挖，在他刚把一锨土掘出时，奇迹出现了，只见一股清水汩汩而出．比赛结果，这个愚钝的人获胜．爱因斯坦后来对学生说，看来智商稍高、条件优越、聪明强壮者不一定会得到成功，成功有时需要一种近乎愚钝的力量啊！。
第二十五章 解直角三角形 小结与复习(1)数学目标：1、正确运用勾股定理2、掌握三角函数定义，正确运用直角三角形边角关系3、理解实际问题的相关概念教学过程：一、复习二、练习：△中一直角边为7，三边长都为正整数，则周长为 532. Rt △中，斜边上中线为1，周长为72+， 则面积为43 3. Rt △中，两边长为2， 4. 则第三边长为,32或52△被斜边上的高分得的两个三角形面积之比为4：9，则Rt △中最小角的正切为 36， 2. Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=,32,52=b 则=a 4 ，=c 6 ， △ABC 中，∠B=60°，AD=14，CD=12，S △ADC=330，求BD ；解；S △ADC=3301221=⨯⨯AE ∴35=AE Rt △AED 中，,11=ED Rt △ABE 中，5=BE∴16115=+=BD4.△⊥BC ，M 为BA 中点，∠B=30°，cos ∠ACD=22，求tan ∠BCM 。
解：设,k MN =则k BN k AM BM 3,2===， ∵M 为AB 中点 ∴k DN k AD 3,2==5.计算或化简： ①︒-︒︒-︒30cos 60tan 45tan 45sin （ 3326-） ②2cot tan 1tan 22-++-ααα（45°＜α＜90° （1cot tan 2--αα） E D C B A N M D CB A（三）.1.甲、乙两人与一路灯站在一直线上，从甲处看路灯顶部仰角为 α ，从乙处看路灯顶部仰角 β ，若路灯高h 米，求甲、乙两人相距多少米？分析：应考虑两种情况：1） 路灯在线段BC 上，BC=h （βαcot cot +）2）路灯在线段BC 延长线上，BC=h （βαcot cot -）2、一登山运动员在山脚C 处仰望山顶B ，仰角 α=45°.他沿坡比为3:1的坡面走了1000m 到达D 处，此时仰角︒=60β，则山高多少米？略解：Rt △CDF 中500==EA DF 米，3500=CF 米设x AF DE ==，在Rt △BDE 中，x BE 3=∵∠BCA=45°，∴AC=AB ∴50033500+=+x x ∴500=x 米三、课作：P.85. A 组1——5.60F E D C B A。
第二十五章解直角三角形知识构造：两个锐角互余斜边上的中线等于斜边的一半应用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解直角三角形勾股定理边角关系：锐角三角函数应知一、基本观点。
锐角的三角函数：在直角三角形ABC 中，∠ A 是锐角，三条边两两之比都是∠ A 的函数，称为锐角 A 的三角函数。
有：siaA=A的对边A的邻边A的对边A的邻边,cosA=,tanA=A的邻边， cotA斜边斜边A的对边【注意】熟记特别角度的三角函数(见下表 )。
∠A30°45°60°siaA 123 222cosA321 222tanA 313 3cotA313 3仰角与俯角：在进行丈量时，从下向上看，视野与水平线的夹角(视野在水平线上方的角) 叫做仰角；从上往下看，视野与水平线的夹角(视野在水平线下方的角)叫做俯角。
坡角 (倾角 )：坡面与水平面的夹角叫做坡角，也叫倾角(倾斜角 )。
[ 来坡度：坡面的铅垂高度(h)与水平长度 (l) 之比叫坡面的坡度。
坡度i htan ．l二、基本法例Rt△ABC 中，除∠ C=90 °外，还有五个元素，三条边a、 b、 c，两个角∠ A、∠ B，只需知道两个元素 (起码有一个是边)，即可解出其余元素，由于它们有以下关系：a b a(1) 边角之间关系sinA=cosA=tanAc c b(2) 三边之间关系a2 +b2=c2 (勾股定理 )(3)锐角之间关系∠A+∠B=90 °．应会1.用计算器计算三角函数。
2.解直角三角形。
例题1. 如图，某飞机于空中 A 处探测到目标C，此时飞翔高度AC=1200 米，从飞机上看地平面控制点 B 的俯角α=16°31，′求飞机 A 到控制点 B 的距离 ( 精准到 1 米 )F2. 2003 年 10 月 15 日“神州”5号载人航天飞船发射成功。
当飞船P达成变轨后，就在离地形表面350km 的圆形轨道上运转。
第25章解直角三角形 (2)§25.1 测量 (3)§25.2 锐角三角函数 (4)1.锐角三角函数 (4)2．用计算器求锐角三角函数值 (7)§25.3 解直角三角形 (9)阅读材料 (13)小结 (14)复习题 (15)课题学习 (18)第25章 解直角三角形测量物体的高度是我们在工作和生活中经常遇到的问题．222c b a =+ab B =tan§25.1 测量当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识．试一试如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度．2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度．习题25．11． 如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米）（第1题）2． 在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？3． 如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）§25.2 锐角三角函数1.锐角三角函数在§25．1中，我们曾经使用两种方法求出操场旗杆的高度，其中都出现了两个相似的直角三角形，即△ABC ∽△A ′B ′C ′．按5001的比例，就一定有 5001=''=''AC C A BC C B ， 5001就是它们的相似比． 当然也有ACBCC A C B =''''．我们已经知道，直角三角形ABC 可以简记为Rt △ABC ，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示（如图25．2．1）．图25.2.1前面的结论告诉我们，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝34°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边的比值是一个固定的值．思考一般情况下，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边的比值还会是一个固定值吗？图25.2.2观察图25．2．2中的Rt △11C AB 、Rt △22C AB 和Rt △33C AB ，易知 Rt △11C AB ∽Rt △_________∽Rt △________， 所以111AC C B ＝_________＝____________． 可见，在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与邻边的比值是唯一确定的． 我们同样可以发现，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是唯一确定的．因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即 sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．显然，锐角三角函数值都是正实数，并且 0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1．根据三角函数的定义，我们还可得出A A 22cos sin +＝1，tanA ·cotA ＝1．图25.2.3例1 求出图25．2．3所示的Rt △ABC 中∠A 的四个三角函数值．解1728922==+=AC BC AB ，sinA ＝178=AB BC ， cosA ＝1715=AB AC ，tanA ＝158=AC BC ，cotA ＝815=BC AC ．探索根据三角函数的定义，sin30°是一个常数．用刻度尺量出你所用的含30°角的三角尺中，30°角所对的直角边与斜边的长，与同伴交流，看看常数sin30°是多少． 通过计算，我们可以得出图25.2.4sin30°＝21=斜边对边， 即斜边等于对边的2倍．因此我们可以得到：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．思考上述结论还可通过逻辑推理得到．如图25．2．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，点D位于斜边AB上，容易证明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，从而得出上述结论．做一做在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的两块三角尺，或直接通过计算，根据锐角三角函数定义，分别求出下列∠A的四个三角函数值：（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．为了便于记忆，我们把30°、45°、60°角的三角函数值列表如下：练习1．如图，在Rt△MNP中，∠N＝90°．∠P的对边是____________，∠P的邻边是__________；∠M的对边是____________，∠M的邻边是_________．(第1题) （第2题）2．求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四个三角函数值．3．设Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值：（1）a＝3，b＝4；（2）a＝5，c＝13．4．求值：2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．2．用计算器求锐角三角函数值下面我们介绍如何利用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角．（1）求已知锐角的三角函数值例2 求sin63°52′41″的值．（精确到0．0001） 解 先用如下方法将角度单位状态设定为“度”：(SETUP)显示再按下列顺序依次按键：显示结果为0．897859012．所以sin63°52′41″≈0．8979．例3 求cot70°45′的值．（精确到0．0001）解在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示，按下列顺序依次按键：显示结果为0．3492156334． 所以cot70°45′≈0．3492．（2）由锐角三角函数值求锐角例4已知tanx ＝0．7410，求锐角x ．（精确到1解 在角度单位状态为“度”的情况下（屏幕显示，按下列顺序依次按键：(1tan -) 显示结果为36．53844577． 再按键： 显示结果为4.182336'︒．所以x ≈36°32′．例5 已知cotx ＝0．1950，求锐角x ．（精确到1′） 分析根据xx cot 1tan =，可以求出tanx 的值，然后根据例4的方法就可以求出锐角x 的值．练习1． 使用计算器求下列三角函数值．（精确到0．0001） sin24°，cos51°42′20″，tan70°21′，cot70°．2． 已知下列锐角α的各三角函数值，使用计算器求锐角α．（精确到1′） （1） sin α＝0．2476；（2） cos α＝0．4174； （3） tan α＝0．1890；（4） cot α＝1．3773．习题25．21． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，已知AC ＝21，AB ＝29，分别求∠A 、∠B 的四个三角函数值．2． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝3∶4，求∠A 的四个三角函数值． 3． 求下列各式的值． （1） sin30°＋︒45sin 2－2tan 3160°； （2）)60cos 430)(cot 60tan 30sin 4(︒+︒︒-︒．4． 用计算器求下式的值．（精确到0．0001） sin81°32′17″＋cos38°43′47″．5． 已知cotA ＝3．1748，利用计算器求锐角A ．（精确到1′）§25.3 解直角三角形我们已经掌握了直角三角形边角之间的各种关系，这些都是解决与直角三角形有关的实际问题的有效工具．例1如图25．3．1所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少？图25.3.1解利用勾股定理可以求出折断倒下部分的长度为26241022=+，26＋10＝36（米）．所以，大树在折断之前高为36米．在例1中，我们还可以利用直角三角形的边角之间的关系求出另外两个锐角．像这样，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．图25.3.2例2如图25．3．2，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离．（精确到1米）解在Rt △ABC 中，∵ ∠CAB ＝90°－∠DAC ＝50°，ABBC＝tan ∠CAB ， ∴ BC ＝AB ·tan ∠CAB＝2000×tan50°≈2384（米）．∵ACAB＝cos50°， ∴ AC ＝︒=︒50cos 200050cos AB ≈3111（米）． 答： 敌舰与A 、B 两炮台的距离分别约为3111米和2384米．在解直角三角形的过程中，常会遇到近似计算，本书除特别说明外，角度精确到1′． 解直角三角形，只有下面两种情况： （1） 已知两条边；（2） 已知一条边和一个锐角．练习1． 在电线杆离地面8米高的地方向地面拉一条长10米的缆绳，问这条缆绳应固定在距离电线杆底部多远的地方？2． 海船以32．6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q 在海船的北偏东30°处，半小时后航行到B 处，发现此时灯塔Q 与海船的距离最短，求灯塔Q 到B 处的距离．（画出图形后计算，精确到0．1海里）读一读图25.3.3如图25．3．3，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．例3 如图25．3．4，为了测量电线杆的高度AB，在离电线杆22．7米的D处，用高1．20米的测角仪CD测得电线杆顶端B的仰角α＝22°，求电线杆AB的高．（精确到0．1米）图25.3.4解在Rt△ACE中，∵AE＝CE×tanα＝DB×tanα＝22．7×tan22°≈9．17，∴AB＝BE＋AE＝AE＋CD＝9．17＋1．20≈10．4（米）．答：电线杆的高度约为10．4米．练习1．如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地面控制点B的俯角α＝16°31′，求飞机A到控制点B的距离．（精确到1米）（第1题）（第2题）2．两座建筑AB与CD，其地面距离AC为50．4米，从AB的顶点B测得CD的顶部D的仰角β＝25°，测得其底部C 的俯角α＝50°，求两座建筑物AB 与CD 的高．（精确到0．1米）读一读在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度．如图25．3．5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即lhi =．图25.3.5坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有lhi =＝tan α． 显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．例4如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）图25.3.6解作DE ⊥AB ， CF ⊥AB ，垂足分别为E 、 F ．由题意可知 DE ＝CF ＝4．2（米）， CD ＝EF ＝12．51（米）． 在Rt △ADE 中，∵ i ＝AEAE DE 2.4=＝tan32°， ∴ AE ＝︒32tan 2.4≈6．72（米）．在Rt △BCF 中，同理可得 BF ＝︒28tan 2.4≈7．90（米）．∴ AB ＝AE ＋EF ＋BF≈6．72＋12．51＋7．90≈27．1（米）． 答： 路基下底的宽约为27．1米．练习一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6．2米，坝高23．5米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求： （1） 斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0．1米） （2） 斜坡CD 的坡角α．（精确到1°）习题25．31． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形： （1） 已知a ＝156， b ＝56，求c; （2） 已知a ＝20， c ＝220，求∠B ；（3） 已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a ； （4） 已知b ＝15， ∠A ＝30°，求a ． 2． 一个公共房屋门前的台阶共高出地面1．2米．台阶被拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过9°．从斜坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0．1米）3． 两幢大楼相距110米，从甲楼顶部看乙楼顶部的仰角为26°，如果甲楼高35米，那么乙楼的高为多少米？（精确到1米）（第3题）（第4题）4． 一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到有一灯塔在它的北偏东59°，距离为72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度．（精确到1海里/时）阅读材料葭生池中今有方池一丈， 葭生其中央，出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐．问： 水深、葭长各几何？（采自杨辉《详解九章算法》，1261年）这是我国数学发展史上著名的“葭生池中”问题．它的解法可以由下图获得．中世纪，印度著名数学家婆什迦罗（Bh a skara ，1114—1185？）在其著作中提出了与“葭生池中”相似的“荷花问题”．平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面． 忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃． 湖面之上不复见，入秋渔翁始发现． 残花离根二尺远，试问水深尺若干． 这类问题还有很多很多． 你看，关于勾股定理应用的丰富有趣的数学问题到处可见，你还能找到一些其他的问题吗？小结二、 概括1． 理解并掌握直角三角形中边角之间的关系；2． 能应用直角三角形的边角关系解决有关的实际问题．复习题A 组1． 某菜农修建一个横截面为直角三角形的塑料大棚（如图），若棚宽a ＝4m ，高b ＝3m ，长d ＝35m ，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（第1题）（第2题）2． 如图，正方形ACDE 的面积为252cm ，测量出AB ＝12cm ， BC ＝13cm ，问E 、A 、B 三点在一条直线上吗？为什么？3． 已知直角三角形两条直角边分别为6、8，求斜边上中线的长． 4． 求下列各式的值．（1） 2cos30°＋cot60°－2tan45°； （2） ︒+︒60cos 45sin 22；（3） ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 2222．5． 求下列各直角三角形中字母的值．（第5题）6． 小明放一个线长为125米的风筝，他的风筝线与水平地面构成39°角．他的风筝有多高？（精确到1米）7． 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∠A ＝60°，∠A 的平分线AM 的长为15cm ，求直角边AC 和斜边AB 的长．（精确到0.1cm ）8． 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，直角边AC 是直角边BC 的2倍，求∠B 的四个三角函数值．9． 如图，在所示的直角坐标系中，P 是第一象限的点，其坐标是（3，y ），且OP 与x 轴的正半轴的夹角α的正切值是34，求： （1） y 的值；（2）角α的正弦值．（第9题）（第10题）10． 如图，飞机A 在目标B 的正上方1000米处，飞行员测得地面目标C 的俯角为30°，求地面目标B 、Ｃ之间的距离．（结果保留根号）11． 如图，一个古代棺木被探明位于点A 地下24米处．由于点A 地面下有煤气管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从距点A 8米的点B 挖掘．考古人员应以与地平面形成多大的角度进行挖掘才能沿最短路线挖到棺木？他们需要挖多长的距离？（角度精确到1′，距离精确到0．1米）（第11题）（第12题）B 组12． 如图，一段河坝的断面为梯形ABCD ，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD ．（i ＝CE ∶ED ，单位米，结果保留根号）13． 如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）（第13题）C组14．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔的顶端A的仰角为61°，求这个电视塔的高度AB．（精确到1米）（第14题）15．如图，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A，再在河这边沿河边取两点B、C，使得∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，量得BC长为30米．（1）求河的宽度（即求△ABC中BC边上的高）；（精确到1米）（2）请再设计两种测量河的宽度的方案．（第15题）（第16题）16．折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多高的竹子？课题学习高度的测量我们已经学会了一些测量方法，现在请你观察一下学校中较高的物体，如教学楼、旗杆、大树等等.如何测量它们的高度呢？选定某一个物体，先与你的小伙伴一起讨论，确定如下的问题：1．可以用什么测量方法？2．每一种方法要用到哪些工具？3．应测量得到哪些有关的数据？4．如何计算最后的结果？写出你们的计划，再实际做一做，看看最后的结果如何．与其他的小组比较一下，看谁的效果较好．。
