华师大版-数学-九年级上册-25.3 解直角三角形-4 同步作业

华师大新版九年级上学期《24.4 解直角三角形》同步练习卷一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．2．一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A．75cm2B．（25+25）cm2C．（25+）cm2D．（25+）cm23．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为（）A．1B．2C．3D．44．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=cm．A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，这样继续作下去，线段D n D n+1（n为正整数）等于（）A．B．C．D．6．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米二．填空题（共10小题）7．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=．9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为．（结果保留根号）10．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是cm2．11．如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：（1）S1=；（2）通过计算可得S2009=．12．如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5，则该四边形的面积是．13．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2．14．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】15．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为米（结果保留根号）．16．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为m（结果保留整数，≈1.73）．三．解答题（共34小题）17．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）18．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．20．如图①所示，将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D，E，F，G，已知∠CGD=42°（1）求∠CEF的度数；（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过三角板的顶点B，交AC边于点H，如图②所示，点H，B在直尺上的读数分别为4，13.4，求BC的长（结果保留两位小数）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）21．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE ⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH．（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值．22．如图1，在综合实践活动中，同学们制作了两块直角三角形硬纸板，一块含有30°角，一块含有45°角，并且有一条直角边是相等的．现将含45°角的直角三角形硬纸板重叠放在含30°角的直角三角形硬纸板上，让它们的直角完全重合．如图2，若相等的直角边AC长为12cm，求另一条直角边没有重叠部分BD的长（结果用根号表示）．23．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°（如图）．已知一梯子AB的长为6m，梯子的底端A 距离墙面的距离AC为2m，请你通过计算说明这时人是否能够安全地攀上梯子的顶端？（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin75°≈0.97，cos75°≈0.26）24．（1）如图1，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=m，延长CB至点D，使BD=AB．①求∠D的度数；②求tan75°的值．（2）如图2，点M的坐标为（2，0），直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN=75°．求直线MN的函数表达式．25．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，试求CD的长．26．已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=的图象上，且sin∠BAC=．（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标．27．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=，P是AC上的一个动点．（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；（2）当点P在运动过程中出现PD=BC时，求此时∠PDA的度数；（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC上？求出此时▱DPBQ的面积．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值；（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．①当t＞时，连接C′C，设四边形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．29．已知：在△ABC中AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E 在线段DF的延长线上，∠BAE=∠BDF，点M在线段DF上，∠ABE=∠DBM．（1）如图1，当∠ABC=45°时，求证：AE=MD；（2）如图2，当∠ABC=60°时，则线段AE、MD之间的数量关系为：．（3）在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连接CP，若AB=7，AE=，求tan∠ACP的值．30．如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，边长为5的正三角形OAB 的OA边在x轴的正半轴上．点C、D同时从点O出发，点C以1单位长/秒的速度向点A运动，点D为2个单位长/秒的速度沿折线OBA运动．设运动时间为t秒，0＜t＜5．（1）当0＜t＜时，证明DC⊥OA；（2）若△OCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）以点C为中心，将CD所在的直线顺时针旋转60°交AB边于点E，若以O、C、D、E为顶点的四边形是梯形，求点E的坐标．31．已知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足（如图1所示）．（1）当AD=2，且点Q与点B重合时（如图2所示），求线段PC的长；（2）在图1中，连接AP．当AD=，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x，，其中S△APQ 表示△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当AD＜AB，且点Q在线段AB的延长线上时（如图3所示），求∠QPC的大小．32．在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）得△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA1与FC有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当α=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求ED的长．33．已知∠MAN，AC平分∠MAN．（1）在图1中，若∠MAN=120°，∠ABC=∠ADC=90°，求证：AB+AD=AC；（2）在图2中，若∠MAN=120°，∠ABC+∠ADC=180°，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：①∠MAN=60°，∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC；②若∠MAN=α（0°＜α＜180°），∠ABC+∠ADC=180°，则AB+AD=AC（用含α的三角函数表示），并给出证明．34．如图，已知△BEC是等边三角形，∠AEB=∠DEC=90°，AE=DE，AC，BD的交点为O．（1）求证：△AEC≌△DEB；（2）若∠ABC=∠DCB=90°，AB=2 cm，求图中阴影部分的面积．35．如图，点C在以AB为直径的半圆上，连接AC、BC，AB=10，tan∠BAC=，求阴影部分的面积．36．如图，A、B是直线l上的两点，AB=4厘米，过l外一点C作CD∥l，射线BC与l所成的锐角∠1=60°，线段BC=2厘米，动点P、Q分别从B、C同时出发，P以每秒1厘米的速度沿由B向C的方向运动，Q以每秒2厘米的速度沿由C向D的方向运动．设P，Q运动的时间为t（秒），当t＞2时，PA交CD 于E．（1）求△APQ的面积S与t的函数关系式；（2）QE恰好平分△APQ的面积时，试求QE的长是多少厘米？37．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）38．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A 处观测对岸点C，测得∠CAD=45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD=30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．39．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD=42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）40．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN 和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）41．两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每层楼高3米．（1）上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻B楼的影子落在A 楼的第几层？（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B楼的影子刚好落在A楼的底部？42．如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．43．如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知在A处测得探测线与地面的夹角为30°，在B处测得探测线与地面的夹角为60°，求该生命迹象C处与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）44．如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈，cos22°，tan22）45．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过15m/s，在一条笔直公路BD的上方A处有一探测仪，如平面几何图，AD=24m，∠D=90°，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=31°，2秒后到达C点，测得∠ACD=50°（tan31°≈0.6，tan50°≈1.2，结果精确到1m）（1）求B，C的距离．（2）通过计算，判断此轿车是否超速．46．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD．她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，测得隧道底端B处的俯角为30°（B，C，D在同一条直线上），AB=10m，隧道高6.5m（即BC=6.5m），求标语牌CD的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）47．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（参考数据：≈2.449，结果保留整数）48．为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B 处时，测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图所示，求建筑物P到赛道AB 的距离（结果保留根号）．49．2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、B、D在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）50．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100m，求这栋楼的高度（结果保留根号）．华师大新版九年级上学期《24.4 解直角三角形》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosA的值为（）A．B．C．D．【分析】先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出∠EBC=36°，∠BEC=72°，AE=BE=BC．再证明△BCE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式=，求出AE，然后在△ADE中利用余弦函数定义求出cosA的值．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=4，∠C=72°，∴∠ABC=∠C=72°，∠A=36°，∵D是AB中点，DE⊥AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=36°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=36°，∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠C=72°，∴∠BEC=∠C=72°，∴BE=BC，∴AE=BE=BC．设AE=x，则BE=BC=x，EC=4﹣x．在△BCE与△ABC中，，∴△BCE∽△ABC，∴=，即=，解得x=﹣2±2（负值舍去），∴AE=﹣2+2．在△ADE中，∵∠ADE=90°，∴cosA===．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．证明△BCE∽△ABC是解题的关键．2．一副三角板按图1所示的位置摆放．将△DEF绕点A（F）逆时针旋转60°后（图2），测得CG=10cm，则两个三角形重叠（阴影）部分的面积为（）A．75cm2B．（25+25）cm2C．（25+）cm2D．（25+）cm2【分析】过G点作GH⊥AC于H，则∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，先在Rt△GCH中根据等腰直角三角形三边的关系得到GH与CH的值，然后在Rt△AGH中根据含30°的直角三角形三边的关系求得AH，最后利用三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：过G点作GH⊥AC于H，如图，∠GAC=60°，∠GCA=45°，GC=10cm，在Rt△GCH中，GH=CH=GC=5cm，在Rt△AGH中，AH=GH=cm，∴AC=（5+）cm，∴两个三角形重叠（阴影）部分的面积=•GH•AC=×5×（5+）=（25+）cm2．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形：求直角三角形中未知的边和角的过程叫解直角三角形．也考查了含30°的直角三角形和等腰直角三角形三边的关系以及旋转的性质．3．如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，点P在四边形ABCD上，若P到BD的距离为，则点P的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD 的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD 的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与比较得出答案．【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F，∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=，CD=，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°，∵sin∠ABD=，∴AE=AB•sin∠ABD=2•sin45°=2•=2＞，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为的点2个，∵sin∠CDF=，∴CF=CD•sin∠CDF=•=1＜，所以在边BC和CD上没有到BD的距离为的点，总之，P到BD的距离为的点有2个．故选：B．【点评】此题考查的知识点是解直角三角形和点到直线的距离，解题的关键是先求出各边上点到BD的最大距离比较得出答案．4．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA=，则下列结论正确的有（）①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形面积为60cm2；④BD=cm．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，运用验证法，逐个验证从而确定答案．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40cm，∴AD=AB=BC=CD=10．∵DE⊥AB，垂足为E，sinA===，∴DE=6cm，AE=8cm，BE=2cm．∴菱形的面积为：AB×DE=10×6=60cm2．在三角形BED中，BE=2cm，DE=6cm，BD=2cm，∴①②③正确，④错误；=2∴结论正确的有三个．故选：C．【点评】此题看上去这是一道选择题实则是一道综合题，此题考查直角三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解．5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，过点C作CD1⊥AB于D1，过点D1作D1D2⊥BC于D2，过点D2作D2D3⊥AB于D3，这样继续作下去，线段D n D n+1（n为正整数）等于（）A．B．C．D．【分析】在本题中，大大小小的三角形全部是30°、60°、90°的特殊三角形．因为AC=1，所以在30°角的余弦中总是存在一个关系，据此即可解答．【解答】解：根据题意得：在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，则CD1=；进而在△CD1D2中，有D1D2=CD1=（）2，进而可得：D2D3=（）3，…；则线段D n D n+1=（）n+1．故选：D．【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．6．如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于（）A．100sin35°米B．100sin55°米C．100tan35°米D．100tan55°米【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度．【解答】解：∵PA⊥PB，PC=100米，∠PCA=35°，∴小河宽PA=PCtan∠PCA=100tan35°米．故选：C．【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．二．填空题（共10小题）7．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为4．【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时（QC⊥AB，C为垂足），点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A 时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1，∴AB=2，BO==，①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为，②如图3所示，QC⊥AB，则∠ACQ=90°，即PQ运动到与AB垂直时，垂足为P，当点P从B→C时，∵∠ABO=30°∴∠BAO=60°∴∠OQD=90°﹣60°=30°∴cos30°=∴AQ==2∴OQ=2﹣1=1则点Q运动的路程为QO=1，③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣，④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1，∴点Q运动的总路程为：+1+2﹣+1=4故答案为：4【点评】本题主要是应用三角函数定义来解直角三角形，此题的解题关键是理解题意，正确画出图形；线段的两个端点看成是两个动点，将线段移动问题转化为点移动问题．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=．【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，AC继而得出AD，再由△ADE∽△ACB，利用对应边成比例可求出DE．【解答】解：∵BC=6，sinA=，∴AB=10，∴AC==8，∵D是AB的中点，∴AD=AB=5，∵△ADE∽△ACB，∴=，即=，解得：DE=．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾股定理的表达式．9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC．若BD=8，AC=6，∠BOC=120°，则四边形ABCD的面积为12．（结果保留根号）【分析】如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．则通过解直角△AEO和直角△CFO求得AE=CF=，所以易求四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F．∵BD平分AC，AC=6，∴AO=CO=3．∵∠BOC=120°，∴∠AOE=60°，∴AE=AO•sin60°=．同理求得CF=，∴S=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF=2×××8=12．四边形ABCD故答案是：12．【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的面积的计算．求图中相关线段的长度时，也可以根据勾股定理进行解答．10．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=14cm，则阴影部分的面积是cm2．【分析】由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=14cm，∴AC=7cm．由题意可知BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=7cm．=×7×7=（cm2）．故S△ACF故答案为：．【点评】发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．11．如图，∠AOB=30°，过OA上到点O的距离为1，3，5，7，…的点作OA的垂线，分别与OB相交，得到如图所示的阴影梯形，它们的面积依次记为S1，S2，S3，…．则：（1）S1=；（2）通过计算可得S2009=．【分析】（1）分析知奇数的通式为：2n﹣1（n为正整数），设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则可以表达出S n的表达式，将每个梯形的上底和下底距点O的长代入，求解即可；（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数．【解答】解：（1）设阴影梯形的上底和下底距点O的长分别为a和b，则S n=b×btan∠AOB﹣a×atan∠AOB=（b2﹣a2），又∵梯形1距离点O的距离a=1，b=3，∴S1=（32﹣12）=；（2）第2009个梯形前面已有2008×2个奇数，2009个梯形上底距点O的距离为第2008×2+1个奇数，下底为第2008×2+2个奇数，∴第2009个梯形的两边长分别为：a=2×（2008×2+1）﹣1=8033，b=2×（2008×2+1）+1=8035，故S2009=（80352﹣80332）=5356．【点评】本题考查学生分析、探究问题及运用规律解决问题的能力．有一定难度．12．如图，四边形ABCD中，∠ABC=120°，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=4，CD=5，则该四边形的面积是．【分析】如图，延长DA、CB交于点E，则∠ABE=60°，∴∠E=30°．而AB=4，由此可以求出AE，然后在Rt△DEC中求出CE；根据三角形的面积公式和图形的割补法求出图形的面积．【解答】解：延长DA、CB交于点E，则∠ABE=60°，∴∠E=30°．∵AB=4，∴BE=8，∴AE=4．在Rt△DEC中，∠E=30°，∴CE=CD=15，∴S=×4×4=8，△ABES△CDE=×15×5=，所以该图形的面积为：﹣8=．【点评】考查运用“割补法”求图形面积．13．将直角边长为5cm的等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后，得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是cm2．【分析】阴影部分为直角三角形，且∠C′AB=30°，AC′=5，解此三角形求出短直角边后计算面积．【解答】解：∵等腰直角△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AB=∠CAB﹣∠CAC′=45°﹣15°=30°，AC′=AC=5，∴阴影部分的面积=×5×tan30°×5=．【点评】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．14．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为 6.2米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．15．如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MN方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为知30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为100+100米（结果保留根号）．【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠MCA=45°，∠NCB=30°，∴∠ACD=45°，∠DCB=60°，∠B=30°，∵CD=100米，∴AD=CD=100米，DB=米，∴AB=AD+DB=100+100（米），故答案为：100+100【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想与数形结合思想的应用．16．如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C 的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为300m（结果保留整数，≈1.73）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD•tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD•tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中，AD=90，∠BAD=45°，∴BD=AD=110（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD=60°，∴CD=AD•tan60°=110×=190（m），∴BC=BD+CD=110+190=300（m）答：该建筑物的高度BC约为300米．故答案为300．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．三．解答题（共34小题）17．如图，四边形ABCD是一片水田，某村民小组需计算其面积，测得如下数据：∠A=90°，∠ABD=60°，∠CBD=54°，AB=200m，BC=300m．请你计算出这片水田的面积．（参考数据：sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，≈1.732）【分析】作CM⊥BD于M，由含30°角的直角三角形的性质求出BD，由勾股定理求出AD，求出△ABD的面积，再由三角函数求出CM，求出△BCD的面积，=S△ABD+S△BCD列式计算即可得解．然后根据S四边形ABCD【解答】解：作CM⊥BD于M，如图所示：∵∠A=90°，∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∴BD=2AB=400m，∴AD=AB=200m，∴△ABD的面积=×200×200=20000（m2），∵∠CMB=90°，∠CBD=54°，∴CM=BC•sin54°=300×0.809=242.7m，∴△BCD的面积=×400×242.7=48540（m2），∴这片水田的面积=20000+48540≈83180（m2）．【点评】本题考查了勾股定理，由含30°角的直角三角形的性质，三角函数的运用；熟练掌握勾股定理，由三角函数求出CM是解决问题的关键．18．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．（1）若∠A=60°，求BC的长；（2）若sinA=，求AD的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【分析】（1）要求BC的长，只要求出BE和CE的长即可，由题意可以得到BE 和CE的长，本题得以解决；（2）要求AD的长，只要求出AE和DE的长即可，根据题意可以得到AE、DE 的长，本题得以解决．【解答】解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE﹣CE=6﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE﹣DE=10﹣=，即AD的长是．【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数进行解答．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余切值．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，。

数学九年级上册第24章解直角三角形 24.1 测量同步练习题1．如图，一场暴风雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )A. 5 米B. 3 米 C．(5＋1)米 D．3米2. 如图，李光用长为3.2m的竹竿DE为测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿顶端、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距(AE)8m，与旗杆相距(BE)22 m，则旗杆的高为()A．12 m B．10 m C．8 m D．7 m3. 身高为1.5米的小华在打高尔夫球，她在阳光下的影长为2.1米，此时她身后一棵树的影长为10.5米，则这棵树高为()A．7.5米B．8米 C．14.7米 D．15.75米4. 小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为()A．11米 B．12米 C．13米 D．14米5. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行______米．6. 如图，B，C是河岸上两点，A是对岸岸边上一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC的距离是______米．7. 如图，铁道口栏杆的短臂长为1.2 m，长臂长为8 m，当短臂端点下降0.6 m时，长臂端点升高______m .(杆的粗细忽略不计)8. 如图，阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7米的亮区，已知亮区一边到窗口下的墙脚距离EC＝8.7 米，窗口高AB＝1.8米，那么窗口底边离地面的高BC＝________米．9. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝_______．10. 如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是______米．11. 如图，一人拿着一把有厘米刻度的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12厘米恰好遮住电线杆，已知臂长约60厘米，求电线杆的高．12. 如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN是35 mm，焦距是50 mm，拍摄的景物高度AB是4.9 m，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m的景物，拍摄点离景物有4 m，像高不变，则相机的焦距应调整为多少？13. 如图，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，出南门14步到C处(KC＝14步)，再向西行1775步到B处(CB＝1775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)，求城邑的边长．14. 亮亮和晶晶住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，晶晶站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，晶晶的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D.然后测出两人之间的距离CD＝1.25m，晶晶与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，晶晶的身高BD＝1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？15. 某同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另外一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得台阶上的影长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为多少米？答案：1—4 CAAB5. 106. 507. 48. 49. 1.5 10. 5411. 解：电线杆的高为6米12. 解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LCLD (1)∵像高MN 是35mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD ，解得LD ＝7.∴拍摄点距离景物7 m (2)拍摄高度AB 是2 m 的景物，拍摄点离景物LD ＝4 m ，像高MN 不变，∴35LC ＝24.解得LC ＝70.∴相机的焦距应调整为70 mm13. 解：设正方形的边长为x 步，由已知可得△ADH∽△ABC ，∴AH AC ＝DHBC ，即2020＋x ＋14＝12x 1775，整理得x 2＋34x －71000＝0，解得x 1＝250，x 2＝－284(舍去)，所以城邑的边长为250步14. 解：过A 作CN 的平行线交BD 于点E ，交MN 于点F.由已知可得FN ＝ED ＝AC ＝0.8 m ，AE ＝CD ＝1.25 m ，EF ＝DN ＝30 m ，∠AEB ＝∠AFM ＝90°，又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE ∽△AMF ，∴BE MF ＝AE AF ，即1.6－0.8MF ＝ 1.251.25＋30，解得MF ＝20.∴MN ＝MF ＋FN ＝20＋0.8＝20.8(m)，所以住宅楼的高度为20.8 m15. 解：设落在地面上的影子4.4米所对应的树高为x米，则有x4.4＝10.4，∴x＝11，落在第一阶台阶上的影子长为0.2米对应的树高为0.5米，所以树高为11＋0.5＋0.3＝11.8(米)数学九年级上学期《24.2直角三角形的性质》同步练习一．选择题（共12小题）1．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，∠ABC的平分线BE交AD于点F，AG平分∠DAC．给出下列结论：①∠BAD=∠C；②∠AEF=∠AFE；③∠EBC=∠C；④AG⊥EF．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列判断：①有两个内角分别为55°和25°的三角形一定是钝角三角形；②直角三角形中两锐角之和为90°；③三角形的三个内角中至少有两个锐角；④三条高不相交的三角形一定是钝角三角形，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC 的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的有（）①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC，③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．A．①③④B．②③④C．①②④D．①②③4．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）A．75° B．60° C．45°D．30°5．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，则∠A=（）A．45° B．55°C．65° D．75°6．如图所示，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB，与∠1互余的角有（）A．∠B B．∠A C．∠BCD和∠A D．∠BCD 7．直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是（）A．18° B．36° C．54°D．72°8．直角三角形两个锐角平分线相交所成角的度数为（）A．90° B．135° C．120°D．45°或135°9．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，则∠B=（）A．30° B．40° C．50°D．60°10．如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（）A．∠A=∠2 B．∠1和∠B都是∠A的余角C．∠1=∠2 D．图中有3个直角三角形11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=61°，则∠B=（）A．61° B．39°C．29° D．19°12．如图，在△ABC中，∠ACB=105°，∠B=30°，∠ACB的平分线CD交AB 于点D，则AD：BD=（）A．B．C．1：2D．二．填空题（共10小题）13．如图，已知∠AON=40°，OA=6，点P是射线ON上一动点，当△AOP 为直角三角形时，∠A=°．14．在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的度数是°．15．如图，在直角三角形ABC中，两锐角平分线AM、BN所夹的钝角∠AOB=度．16．如图△ABC中，点M是BC的中点，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AN平分∠BAC，AN⊥CN，则MN=．17．如图示在△ABC中∠B=．18．直角△ABC中，∠A﹣∠B=20°，则∠C的度数是．19．直角三角形ABC中有一个角是另一角的2倍小60°，则直角三角形中最小的角的度数为．20．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=23°，则∠B=°，与∠B相邻的外角为°．21．一块直角三角板放在两平行直线上，如图，∠1+∠2=度．22．在直角三角形中，若一个锐角为35°，则另一个锐角为．三．解答题（共5小题）23．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，∠A=30°，求∠DCB．24．小明在学习三角形知识时，发现如下三个有趣的结论：在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB于点F．（1）M为边AC上一点，则BD、MF的位置是．请你进行证明．（2）M为边AC反向延长线上一点，则BD、MF的位置关系是．请你进行证明．（3）M为边AC延长线上一点，猜想BD、MF的位置关系是．请你进行证明．25．已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B．（1）如图1，求证：CD⊥AB；（2）将△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边所在直线上，记为A′点．①如图2，若∠B=34°，求∠A′CB的度数；②若∠B=n°，请直接写出∠A′CB的度数（用含n的代数式表示）．26．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．（1）求证：∠ACD=∠B；（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B，求证：CD⊥AB．参考答案一．选择题1．C．2．D．3．A．4．C．5．B．6．C．7．D．8．D．9．B．10．C．11．C．12．A．二．填空题13．50或90．14．4515．13516．4．17．25°．18．20°或90°．19．40°或15°．20．67；113．21．90．22．55°．三．解答题23．解：∵∠A=30°，∴∠B=90°﹣30°=60°，∵CD⊥AB，∴∠DCB=90°﹣∠B=30°．24．解：（1）BD∥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠AME=360°﹣90°×2=180°，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠ABC，∠AMF=∠AME，∴∠ABD+∠AMF=（∠ABC+∠AME）=90°，又∵∠AFM+∠AMF=90°，∴∠ABD=∠AFM，∴BD∥MF；（2）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠C=∠AME+∠C=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠AMF+∠ADB=90°，∴BD⊥MF；（3）BD⊥MF．理由如下：∵∠A=90°，ME⊥BC，∴∠ABC+∠ACB=∠AME+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠AME，∵BD平分∠ABC，MF平分∠AME，∴∠ABD=∠AMF，∵∠AMF+∠F=90°，∴∠ABD+∠F=90°，∴BD⊥MF．25．解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB；（2）①当∠B=34°时，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=34°，由（1）知，∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=56°，由折叠知，∠A'CD=∠ACD=34°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=56°﹣34°=22°；②当∠B=n°时，同①的方法得，∠A'CD=n°，∠BCD=90°﹣n°，∴∠A'CB=∠BCD﹣∠A'CD=90°﹣n°﹣n°=90°﹣2n°．26．证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．又∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠DAE，∴∠AED=∠CFE，又∵∠CEF=∠AED，∴∠CEF=∠CFE．27．证明：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB．数学九年级上学期《24.3锐角三角函数》同步练习一．选择题（共9小题）1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（）A．B．C．D．22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（）A．B．C．D．3．如图，△ABC的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则tanC的值是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C=90°，tanA=，则sinA=（）A．B．C．D．6．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（）A．B．1 C．D．7．若0°＜∠A＜45°，那么sinA﹣cosA的值（）A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定8．下列说法正确的个数有（）（1）对于任意锐角α，都有0＜sinα＜1和0＜cosα＜1（2）对于任意锐角α1，α2，如果α1＜α2，那么cosα1＜cosα2（3）如果sinα1＜sinα2，那么锐角α1＜锐角α2（4）如果cotα1＜cotα2，那么锐角α1＞锐角α2A．1个B．2个C．3个D．4个9．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA的值等于，则AB的长度是（）A．3 B．4 C．5 D．二．填空题（共5小题）10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AD=BC，则cos∠B=．11．如图，若点A的坐标为，则sin∠1=．12．如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=，则t的值为．13．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．14．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα=sinB；②sinβ=sinC；③sinB=cosC；④sinα=cosβ．其中正确的结论有．三．解答题（共5小题）15．如图所示，在平面直角坐标系xoy中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（m，0）．将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角，得到正方形ODEF，DE与边BC交于点M，且点M与B、C不重合．（1）请判断线段CD与OM的位置关系，其位置关系是；（2）试用含m和α的代数式表示线段CM的长：；α的取值范围是．16．已知Rt△ABC中，∠C=90°，a+b=2+2，c=4，求锐角A的度数．17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求cosB的值．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BC=5，cos∠ADC=，求：sinB的值．19．设θ为直角三角形的一个锐角，给出θ角三角函数的两条基本性质：①tanθ=；②cos2θ+sin2θ=1，利用这些性质解答本题．已知cosθ+sinθ=，求值：（1）tanθ+；（2）||．参考答案一．选择题1．A．2．D．3．A．4．D．5．C．6．A．7．B．8．C．9．C．二．填空题10．．11．．12．3．13．．14．①②③④．三．解答题15．解：（1）连接CD，OM．根据旋转的性质可得，MC=MD，OC=OD，又OM是公共边，∴△COM≌△DOM，∴∠COM=∠DOM，又∵OC=OD，∴CD⊥OM；（2）由（1）知∠COM=∠DOM，∴∠COM=，在Rt△COM中，CM=OC•tan∠COM=m•tan；因为OD与OM不能重合，且只能在OC右边，故可得α的取值范围是0°＜α＜90°．16．解：将a+b=2+2两边平方，整理得ab=4，又因为a+b=2+2，构造一元二次方程得x2﹣（2+2）x+4=0，解得x1=2，x2=2则（1）sinA==时，锐角A的度数是30°，（2）sinA==时，锐角A的度数是60°，所以∠A=30°或∠A=60°．17．解：∵∠C=90°，MN⊥AB，∴∠C=∠ANM=90°，又∵∠A=∠A，∴△AMN∽△ABC，∴==，设AC=3x，AB=4x，由勾股定理得：BC==x，在Rt△ABC中，cosB===．18．解：∵AD=BC=5，cos∠ADC=，∴CD=3，在Rt△ACD中，∵AD=5，CD=3，∴AC===4，在Rt△ACB中，∵AC=4，BC=5，∴AB===，∴sinB===．19．解（1）∵cosθ+sinθ=，∴（cosθ+sinθ）2=（）2，cos2θ+2cosθ•sinθ+sin2θ=，cosθ•sinθ=，∴tanθ+=+===4；（2）∵（cosθ﹣sinθ）2=cos2θ﹣2cosθ•sinθ+sin2θ=1﹣2×=，∴cosθ﹣sinθ=±，∴|cosθ﹣sinθ|=．数学九年级上学期《24.4解直角三角形》同步练习一．选择题（共11小题）1．如图，四边形ABCD中，∠ABC=Rt∠．已知∠A=α，外角∠DCE=β，BC=a，CD=b，则下列结论错误的是（）A．∠ADC=90°﹣α+βB．点D到BE的距离为b•sinβC．AD=D．点D到AB的距离为a+bcosβ2．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A．3 B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，若AC=6cm，则BC的长度为（）A．8cm B．7cm C．6cmD．5cm4．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC的值为（）A．2 B．C．D．5．已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（）A．B．2C．3D．66．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（）A．m•tanα•cosαB．m•cotα•cosαC．D．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，D为AB上一点，且AD：DB=3：2，过点D作DE⊥AC于E，连结BE，则tan∠CEB的值等于（）A．B．2 C．D．8．一个三角形的边长分别为a，a，b，另一个三角形的边长分别为b，b，a，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，的值等于（）A．B．C．D．9．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=4，E为BC中点，AE 平分∠BAD，连接DE，则sin∠ADE的值为（）A．B．C．D．10．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，OE⊥AC于O交BC于E，连接AE．若AB=1，AD=，则AE=（）A．B．C．D．2 11．如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）A．50B．51 C．50+1D．101二．填空题（共6小题）12．在△ABC中，AB=2，AC=3，cos∠ACB=，则∠ABC的大小为度．∠ABH=，则13．已知等腰△ABC，AB=AC，BH为腰AC上的高，BH=3，tanCH的长为．14．已知平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点P的坐标为（5，12），那么OP与x轴正半轴所夹角的余弦值为．15．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1C=1，tan∠BA2C=，tan∠BA3C=，计算tan∠BA4C=，…按此规律，写出tan∠BA n C=（用含n的代数式表示）．16．已知△ABC中，满足+=，AB=10．则AC+BC=17．在△ABC中，AB=AC，若BD⊥直线AC于点D，若cos∠BAD=，BD=2，则BC为．三．解答题（共8小题）18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC边的中点，BD=2，tanB=（1）求AD和AB的长；（2）求sin∠BAD的值．19．如图，四边形ABCD中，AC、BD是它的对角线，∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD是锐角．（1）若BD=BC，证明：sin∠BCD=．（2）若AB=BC=4，AD+CD=6，求的值．（3）若BD=CD，AB=6，BC=8，求sin∠BCD的值．（注：本题可根据需要自己画图并解答）20．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，sinA=，点D在AB边上，且∠BDC=45°，BC=5．（1）求AD长；（2）求∠ACD的正弦值．21．在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为同学们准备了如下工具：①高为m米的测角仪，②长为n米的竹竿，③足够长的皮尺．请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量的角度选用α，β，γ标记，可测量的长度选用a，b，c，d标记，测角仪和竹竿可以用线段表示）．（1）你选用的工具为：；（填序号即可）（2）画出图形．22．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）23．每年的6至8月份是台风多发季节，某次台风来袭时，一棵大树树干AB（假定树干AB垂直于地面）被刮倾斜15°后折断倒在地上，树的项部恰好接触到地面D（如图所示），量得树干的倾斜角为∠BAC=15°，大树被折断部分和地面所成的角∠ADC=60°，AD=4米，求这棵大树AB原来的高度是多少米？（结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4）24．小明与班级数学兴趣小组的同学在学校操场上测得旗杆BC在地面上的影长AB为12米，同一时刻，测得小明在地面的影长为2.4米，小明的身高为1.6米．（1）求旗杆BC的高度；（2）兴趣小组活动一段时间后，小明站在A，B两点之间的D处（A，D，B三点在一条直线上），测得旗杆BC的顶端C的仰角为α，且tanα=0.8，求此时小明与旗杆之间的距离．25．甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）甲轮船后来的速度．参考答案一．选择题1．C．2．A．3．A．4．B．5．C．6．C．7．D．8．B．9．B．10．C．11．C．二．填空题（共6小题）12．30或150．13．3或14．15．；．16．14．17．2或2．三．解答题18．解：（1）∵D是BC的中点，BD=2，∴BD=DC=2，BC=4，在Rt△ACB中，由 tanB==，∴=，∴AC=3，由勾股定理得：AD===，AB===5；（2）过点D作DE⊥AB于E，∴∠C=∠DEB=90°，又∠B=∠B，∴△DEB∽△ACB，∴=，∴DE=，∴sin∠BAD===．19．解：（1）如图1中，过点B作AD的垂线BE交DA的延长线于点E，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ABC=180°，∴四边形ABCD四点共圆，∴∠BDE=∠ACB，∠EAB=∠BCD，∵∠BED=∠ABC=90°，∴△BED∽△ABC，∴==sin∠EAB=sin∠BCD；（2）如图2中，过点B作BF⊥BD交DC的延长线于F．∵∠ABC=∠DBF=90°，∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF，∵∠BCF=∠BAD，BC=BA，∴△DAB≌△CBF，∴BD=BF，AD=CF，∵∠DBF=90°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴BD=DF，∵AD+CD=6，∴CF+CD=DF=6，∴BD=3，AC==4，∴==．（3）当BD=CD时，如图3中，过点B作MN∥DC，过点C作CN⊥MN，垂足为N，延长DA交MN于点M，则四边形DCNM是矩形，△ABM∽△BCN，∴===，设AM=6y，BN=8y，BM=6x，CN=8x，在Rt△BDM中，BD==10x，∵BD=DC，∴10x=6x+8y，∴x=2y，在Rt△ABM中，AB==6y，∴sin∠BCD=sin∠MAB===．20．解：（1）∵∠B=90°，∠BDC=45°，∴BC=BD=5，∵sinA=，∴AB=12，∴AD=AB﹣BD=12﹣5=7；（2）过A作AE⊥CE交CD延长线于点E，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=DE=，则sin∠ACD=．21．解：（1）选用的工具为：①③；故答案为：①③；（2）如图所示：可以量出AM，AC，AB的长，以及α，β的度数，即可得出DC，NC的长．22．解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG．故四边形EGHD是矩形．∴ED=GH．在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．在Rt△FGE中，i==，∴FG=EG=10（米）．∴AF=FG+GH﹣AH=10+3﹣10=10﹣7（米）；（2）加宽部分的体积V=S梯形AFED×坝长=×（3+10﹣7）×10×500=25000﹣10000（立方米）．答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．23．解：过点A作AE⊥CD于点E，∵∠BAC=15°，∴∠DAC=90°﹣15°=75°，∵∠ADC=60°，∴在Rt△AED中，∵cos60°===，∴DE=2，∵sin60°===，∴AE=2，∴∠EAD=90°﹣∠ADE=90°﹣60°=30°，在Rt△AEC中，∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE=75°﹣30°=45°，∴∠C=90°﹣∠CAE=90°﹣45°=45°，∴AE=CE=2，∴sin45°===，∴AC=2，∴AB=2+2+2≈2×2.4+2×1.7+2=10.2≈10米．答：这棵大树AB原来的高度是10米．24．解：（1）依题意有：=，即=，解得BC=8．故旗杆BC的高度是8米；（2）如图，在Rt△CFE中，tan∠CEF===0.8，解得EF=8，则BD=8．故此时小明与旗杆之间的距离是8米．25．解：（1）作BD⊥AC于点D，如图所示：由题意可知：AB=30×1=30海里，∠BAC=30°，∠BCA=45°，在Rt△ABD中，∵AB=30海里，∠BAC=30°，∴BD=15海里，AD=ABcos30°=15海里，在Rt△BCD中，∵BD=15海里，∠BCD=45°，∴CD=15海里，BC=15海里，∴AC=AD+CD=15+15海里，即A、C间的距离为（15+15）海里．（2）∵AC=15+15（海里），轮船乙从A到C的时间为=+1，由B到C的时间为+1﹣1=，∵BC=15海里，∴轮船甲从B到C的速度为=5（海里/小时）．。

华师大版九年级上册数学第24章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、已知三角形三边的长为a、b、c，则代数式（a-b）2-c2的值为（）A.正数B.负数C.0D.非负数2、长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可能是( )A.11B.5C.7D.43、在□ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，AC＝10，BD＝8，则AD长的取值范围是（）A.AD＞1B.AD＜9C.1＜AD＜9D.AD＞104、如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A.200米B.200 米C.220 米D.100（+1）米5、平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（）A.10和34B.18和20C.14和10D.10和126、如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为（）A.（）米B.（）米C.（）米 D.（）米7、活动课上，老师给出长度分别是3cm，4cm，7cm，10cm的四根木棒，要求从中任选三根围成一个三角形，下面是四位同学分别选择的结果，你认为能围成三角形的是（）A.3cm，4cm，7cmB.3cm，4cm，10cmC.3cm，7cm，10cm D.4cm，7cm，10cm8、如图，某超市自动扶梯的倾斜角为，扶梯长为米，则扶梯高的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米9、一艘轮船从港口O出发，以15海里/时的速度沿北偏东60°的方向航行4小时后到达A处，此时观测到其正西方向50海里处有一座小岛B．若以港口O 为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1海里为1个单位长度建立平面直角坐标系（如图），则小岛B所在位置的坐标是（）A.（30 -50，30）B.（30，30 -50）C.（30 ，30） D.（30，30 ）10、若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（）A.3：1B.4：1C.5：1D.6：111、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为A. B. C. D.212、如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC =" 4" cm，以点C为圆心，以2 cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A.相离B.相切C.相交D.相切或相交13、若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是（）A.5cmB.8cmC.12cmD.16cm14、AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE：CF=3：2，则sin∠BAC：sin∠ACB等于（）A.3：2B.2：3C.9：4D.4：915、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，则tanB的值为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、定义；在平面直角坐标系中，一个图形先向右平移a个单位，再绕原点按顺时针方向旋转θ角度，这样的图形运动叫做图形的γ（a，θ）变换。

24.4 解直角三角形一、选择题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，若AB=c，∠a=α，则CD的长为（）（第1题图）A. c • sin2αB. c • cos2αC. c• sin α• tan αD. c • sin α• cos α2. 数学活动课上，小敏和小颖分别画了△ABC和△DEF，尺寸如图．如果两个三角形的面积分别记作S△ABC，S△DEF，那么它们的大小关系是（）（第2题图）A. S△ABC >S△DEFB. S△ABC <S△DEFC. S△ABC = S△DEFD. 不能确定，则AC的长3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，sin A=35是（）（第3题图）A. 3B. 4C. 5D. 64. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树A，B的距离，他们设计了如图的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到E，再从E沿着垂直于AE的方向走到F，C为AE上一点，其中3位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB. 其中能根据所测数据求得A，B两树距离的有（）（第4题图）A. 0组B. 1组C. 2组D. 3组5. 在课题学习后，同学们为教室窗户设计一个遮阳蓬，小明同学绘制的设计图如图，其中，AB表示窗户，且AB=2.82米，△BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中在午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳蓬中CD的长是（结果精确到0.1）（参考数据：sin 18°≈0.31，tan 18°≈0.32，sin 66°≈0.91，tan 66°≈2.2）（）（第5题图）A. 1.2米B. 1.5米C. 1.9米D. 2.5米米，坡顶6. 如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）（第6题图）A. 5米B. 6米C. 8米）米D.（7. 如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为2.1米．则放水后水面上升的高度是（）（第7题图）A. 0.55B. 0.8C. 0.6D. 0.758. 湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°（如图）．已知测量仪器CD的高度为1米，则桥塔AB的高度约为（）（参考数据：sin41.5°≈0.663，cos 41.5°≈0.749，tan41.5°≈0.885）（第8题图）A. 34米B. 38米C. 45米D. 50米9. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走菁优网了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A. 北偏东20°方向上 B. 北偏西20°方向上C. 北偏西30°方向上D. 北偏西40°方向上二、填空题10.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4 km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为km．（第10题图）三、解答题11.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC 交AD于E，若AB=6，AD=8，求sin∠OEA的值．（第11题图）12.如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定3．若新坡角下需留3米宽降低坡度，使新坡面DC的坡度为i的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参.414.732）（第12题图）答案一、1. D 分析：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=c，∠A=α，sin α=，∴BC=c • sin α．∵∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠DCB=∠A=α．在Rt△DCB中，∵∠CDB=90°，cos∠DCB=，∴CD=BC • cos α=c• sin α• cos α．故选D．2. C 分析：如答图，分别过点A，D作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分别为G，H．在Rt△ABG中，AG=AB • sin B=5×sin 50°=5sin 50°．在Rt△DHE中，∠DEH=180°- 130°=50°，∴DH=DE • sin∠DEH=5sin 50°，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故选C.（第2题答图）3. B 分析：∵∠C=90°，sin A=，AB=5，∴BC=AB •sin A=5×=3. 由勾股定理，得AC==4．故选B．4. D 分析：第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长．第②组中可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB．第③组中设AC=x，AD=CD+x，AB=，AB=. 因为已知CD，∠ACB，∠ADB，可求出x，然后得出AB. 故选D.5. B 分析：设CD为x. 在Rt△BCD中，∠BDC=α=18°.∵tan∠BDC=，∴BC=CD•tan∠BDC=0.32x. 在Rt△ACD中，∠ADC=β=66°.∵tan∠ADC=ACCD，∴AC=CD•tan∠ADC=2.2x. ∵AB=AC -BC，∴2.82=2.2x-0.32x，解得x=1.5. 故CD长约为1.5米．故选B.6. A 分析：设CD=x，则AD=2x.由勾股定理，得AC=.∵米，∴x=3，解得x=3. ∴CD=3米，∴AD=2×3=6（米）. 在Rt△ABD中，BD==8（米），∴BC=8-3=5（米）．故选A.7. D 分析：如答图，过点E作EM⊥GH于点M. ∵水渠的横断面是等腰梯形，∴GM=12×（GH-EF ）=12×（2.1-1.2）=0.45.∵斜坡AD 的坡度为1：0.6，∴EM ：GM=1：0.6，∴EM ：0.45=1：0.6，∴EM=0.75. 故选D.（第7题答图）8. C 分析：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则DE=BC=50米. 在Rt △ADE 中，AE= DE•tan41，5°≈50×0.88=44（米）. ∵CD=1米，∴BE=1米，∴AB=AE+BE=44+1=45（米），∴桥塔AB 的高度为45米．9. B 分析：如答图．∵AC=10千米，AB=8千米，BC=6千米，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC 为直角三角形，即∠ABC=90°，又∵B 点在A 的北偏东70°方向，∴∠1= 90°-70°=20°，∴∠2=∠1=20°，即C 点在B 的北偏西20°的方向上．故选B.（第9题答图）二、 分析：如答图，过点A 作AD ⊥OB 于点D. 在Rt △AOD中，∵∠ADO= 90°，∠AOD=30°，OA=4 km ，∴AD=OA=2（km ）．在Rt △ABD 中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，∴BD=AD=2 km ，∴AB=AD=2（km ）．即该船航行的距离（即AB 的长）为．（第10题答图）三、11. 解：连接EC ，如答图．∵四边形ABCD 为矩形，∴OA =OC ，∠ABC =90°．由勾股定理，得AC=10，即OA =5．∵OE ⊥AC ，∴AE =CE ．在Rt △EDC 中，设EC =AE =x ，则有ED =AD -AE =8-x ，DC =AB =6． 根据勾股定理，得x 2=（8-x ）2+62．解得x =254． ∴AE =254． 在Rt △AOE 中，sin ∠OEA =45OA AE =．（第11题答图）12. 解：需要拆除．理由如下：∵CB ⊥AB ，∠CAB =45°，∴△ABC 为等腰直角三角形，∴AB =BC =10米．在Rt △BCD 中，新坡面DC 的坡度为i3，即∠CDB =30°， ∴DC =2BC =20米，BD∴AD =BD -AB10≈7.32（米）．∵3+7.32=10.32>10，∴需要拆除．。

解直角三角形（三角函数在直角坐标系中的应用）◆随堂检测1、点M （-sin60°，cos60°）关于x 轴对称的点的坐标是（ ） A 、（23，21） B 、（-23，-21） C 、（-23，21） D 、（-21，-23） 2、在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan 3ABO ∠=，那么点A 的坐标是 ． 3、如图，从位于O 处的某海防哨所发现在它的北偏东60°的方向，•相距600m 的A 处有一艘快艇正在向正南方向航行，经过若干时间快艇到达哨所东南方向的B 处，则A ，B 间的距离是________m ．◆典例分析已知：如图，点A 的坐标为（4，0），点P 在第一象限，且cos ∠OPA=12． （1）求出点P 的坐标（写出一个即可）；（2）求出点P 的坐标是多少时，△OPA 的面积最大，并求出△OPA 的面积的最大值． 解：如图． （1）∵cos ∠OPA=12，即为∠OPA=60°． 直接作PA ⊥x 轴． ∵∠OPA=60°，∴tan ∠POA=34PA PA OA =，∴PA=433．∴P（4，433）（答案不唯一）．（2）当△OPA为等边三角形，面积最大，即P（2，23）．S△OPA=12OA·h=12×4×23=43．点评：此题第一问也可直接找到等边三角形，然后求出点P的坐标.◆课下作业●拓展提高1、如图，灯塔A在港口O的北偏东55°方向上，且与港口的距离为80海里，一艘船上午9时从港口O出发向正东方向航行，上午11时到达B处，看到灯塔A在它的正北方向，试求这艘船航行的速度（精确到0.01海里/小时）．（供选用数据：sin55°=0.8192，cos55°=0.5736°，tan55°=1.4281）2、如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30•分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9•海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．3、如图，ABC △中，1204BAC AB AC BC ∠===，，，请你建立适当的直角坐标系，并写出A B C ，，各点的坐标．4、菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，452AOC OC ∠==°，，则点B的坐标为（ ）A ．(21)，B ．(12)，C ．(211)+， D ．(121)+，5、如图，角α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一点P （3，4），则 sin α= ．6、如图，在平面直角坐标系中，已知点(42)B ，，BA x ⊥轴于A ． （1）求tan BOA ∠的值；（2）将点B 绕原点逆时针方向旋转90°后记作点C ，求点C 的坐标；（3）将OAB △平移得到O A B '''△，点A 的对应点是A '，点B 的对应点B '的坐标为(22)-，，在坐标系中作出O A B '''△，并写出点O '．A 'ABCxyO C B AO AB1 1y●体验中考1、如图，已知一次函数b-A，)3,1(B两点，并且交x轴于点C，(-=的图象经过)1kxy+,2交y轴于点D，（1）求该一次函数的解析式；（2）求OCDtan的值；∠（3）求证：︒AOB．∠135=参考答案随堂检测： 1、B2、(20)(40)-，，，．3、300（拓展提高：1、连结AB ，由题意得AB⊥OB，OA=80，∠OAB=55°，在Rt△AOB 中，可求得 OB=80sin55°=80×0.8192=65.536（海里）．∴v=800.81922s t ⨯==32.768≈32.77（海里/小时）． 2、解：设岛C 到货船航行方向的距离为x 海里． 根据题意，得tan 30tan 60x x-︒︒=12． 解得．因为，所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．3、解：答案不唯一，可以是：如图，以BC 所在的直线为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，垂直平分线与BC 的交点为原点建立直角坐标系．120BAC AB AC ∠==，，故y 轴必经过A 点，30BCA ABC ∠=∠=，122BO OC BC ===． ∴在Rt AOC △中，2tan 2tan 30OA OCACB =∠==·． 0(20)(20)3A B C ⎛∴- ⎝⎭，，，，，4、C5、45(或0.8); 6、解：（1）点(42)B ，，BA x ⊥轴于A ， 42OA BA ∴==，，21tan 42AB BOA OA ∴∠===． （2）如图，由旋转可知：24CD BA OD OA ====，，∴点C 的坐标是(24)-，．（3）O A B '''△如图所示，(24)O '--，，(24)A '-，．体验中考：1、解：（1）由⎩⎨⎧+=+-=-b k bk 321，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3534b k ，所以3534+=x y （2）5(0)4C -，，5(0)3D ，． 在Rt △OCD 中，35=OD ，45=OC ， ∴OCD ∠tan 34==OC OD ．（3）取点A 关于原点的对称点(21)E ，， 则问题转化为求证︒=∠45BOE ． 由勾股定理可得，5=OE ，5=BE ，10=OB ， ∵222BE OE OB +=， ∴△EOB 是等腰直角三角形． ∴︒=∠45BOE ． ∴135AOB ∠=°．。

第25章《解直角三角形》整章测试一.选择题（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中， ∠C=90︒，AB=4，AC=1，则cos A 的值是（ ）（A(B)14(D)４2.计算：2)130(tan -︒＝（ ）(Ａ)331-(B)13- (Ｃ)133- （D ）１－3 3.在ABC ∆中，,A B ∠∠都是锐角，且sinA ＝21， cosB ＝23，则ABC ∆的形状（ ） （A ）直角三角形（B ）钝角三角形 （C ）锐角三角形 （D ）不能确定4.如图，在Rt ABC △中，tan B =，BC =则AC 等于（ ） （A ）3（B ）4（C）（D ）65.如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5m ，AB 为1.5m （即小颖的 眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ） (A)32）m (B)（32）m (D)4m 6．因为1sin 302=，1sin 2102=-， 所以sin 210sin(18030)sin30=+=-；因为2sin 45=，sin 225=-， 所以sin 225sin(18045)sin 45=+=-，由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180)sin αα+=-，由此可知：sin 240=（ ）（A ）12-(B)-(C)-(D)7．如图，客轮在海上以30km/h 的速度由B 向C 航行，在B 处测得 灯塔A 的方位角为北偏东80，测得C 处的方位角为南偏东25，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20，则C 到A 的距离是（ ）(A)(B)(C)km (D)km北8.如图，在Rt ABC △中，906cm A AC ∠==，，8cm AB =，把AB 边翻折，使AB 边落在BC 边上，点A 落在点E 处，折痕为BD ， 则sin DBE ∠的值为（ ） (A)13(B)310二.填空题（每小题3分，共24分） 9．计算sin 60tan 45cos30-的值是 ．10. 用“>”或“<”号填空：1sin 50cos 402-0．（可用计算器计算） 11.在Rt ABC △中，90C ∠=，:3:4BC AC =，则cos A = ． 12．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离AC =3米，3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米．13.如图，一轮船由南向北航行到O 处时，发现与轮船相距40海里的A 岛在北偏东33方向．已知A 岛周围20海里水域有暗礁， 如果不改变航向，轮船 （填“有”或“没有”）触暗礁 的危险．（可使用科学计算器）14. 如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE=6cm ，3sin 5A =，则菱形ABCD 的面积是__________2cm ． 15.根据指令[s,A]（s ≥0,0°≤A ＜360°）机器人在平面上能完成如下动作：先在原地逆时针旋转角度A ，再朝其面对的方向沿直线行走距离s ．现在机器人在平面直角坐标系的原点，且面对y 轴的负方向，为使其移动到点（－3，3），应下的指令是 ．16. 有古诗“葭生池中”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问： 水深.葭长各几何？（1丈=10尺）回答：水深 ，葭长 . 三.解答题（本大题共52分）17.（本题845sin 60)4︒-︒+．ABCDEA BC18.（本题10分）某校数学兴趣小组在测量一座池塘边上A B ，两点间的距离时用了以下三种测量方法，如下图所示．图中a b c ，，表示长度，β表示角度．请你求出AB 的长度（用含有a b c β，，，（1）______AB = （2）______AB = （3）______AB =19.（本题10分）小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m ，50m ，第三边上的高为30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）．20.（本题12分）海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．（1）c21.（本题12分）如图，AC 是某市环城路的一段，AE ，BF ，CD 都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A ，B ，C ．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向.点B 的北偏东30°方向上，AB ＝2km ，∠DAC＝15°． （1）求B ，D 之间的距离； （2）求C ，D 之间的距离．四.附加题（本题20分）22. 现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）． （2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．在装卸纱窗的过程中，如图所示α∠的值不得小于81，否则纱窗受损．现将高96cm 的矩形纱窗恰好安装在上.下槽深分别为0.9cm ，高96cm （上.下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时α∠的最大整数值．（下表提供的数据可供使用）ABC 中山路文化路D 和平路45° 15° 30°EF 图1图2图3参考答案一.1～8 BABA ACDD 二.9.0 10. > 11.3512. 4 13.没有 14. 6015.225⎡⎤⎣⎦16. 12尺，13尺三.17.解：=原式2=2=18.解：（1）AB = （2）tan AB a β= （3）ac AB b=． 19．解：分两种情况：（1）当ACB ∠为钝角时， BD 是高，90ADB ∴∠=．在Rt BCD △中，40BC =，30BD =∴CD ===在Rt ABD △中，50AB =，∴40AD ==．40AC AD CD ∴=-=-∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==-⨯=-△． （2）当ACB ∠为锐角时， BD 是高，90ADB BDC ∴∠=∠=，在Rt ABD △中，5030AB BD ==，，40AD ∴==．同理CD ===∴(40AC AD CD =+=+，∴211(4030(600)22ABC S AC BD ==+⨯=+△．综上所述：2(600)ABC S =±△.20．解：有触礁危险．理由： 过点P 作PD ⊥AC 于D ．设PD 为x ，在Rt △PBD 中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD ＝PD ＝x ．在Rt △PAD 中，∵∠PAD ＝90°－60°＝30°，∴x ．xAD 330tan =︒= ∵BD ，AB AD +=∴x ．x +=123 ∴)13(61312+=-=x ．∵，＜18)13(6+∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．21. 解：（1）由题意得，∠EA D =45°，∠FBD=30°．∴ ∠EAC=∠EA D +∠DA C =45°+15°=60°． ∵ AE∥BF∥CD，∴ ∠FBC=∠EAC =60°． ∴ ∠DBC=30°．又∵ ∠DBC=∠DAB+∠ADB， ∴ ∠ADB=15°．∴ ∠DAB=∠ADB． ∴ BD=AB=2． 即B ，D 之间的距离为2km ．（2）过B 作BO⊥DC，交其延长线于点O ， 在Rt△DBO 中，BD=2，∠DBO=60°． ∴ DO=2×sin60°=2×323=,BO=2×cos60°=1． 在Rt△CBO 中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°=33， ∴ CD=DO－CO=332333=-（km ）． 即C ，D 之间的距离为332km ． 22. 解：能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：960.995.1-=（cm ）能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin α∠或96cos(90)α-∠·° 当81α∠=°时，纱窗高：96sin 81960.98794.75295.1=⨯=<°∴此时纱窗能装进去，当82α∠=°时，纱窗高：96sin82960.99095.0495.1=⨯=<° ∴此时纱窗能装进去．当83α∠=°时，纱窗高：96sin 83960.99395.32895.1=⨯=>° ∴此时纱窗装不进去． 因此能合理装上纱窗时α∠的最大值是82°.。

华师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质同步练习一、选择题1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（）A、140°B、160°C、170°D、150°2、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（）A、44°B、34°C、54°D、64°3、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（）A、等腰三角形B、等边三角形C、等腰直角三角形D、直角三角形4、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A、120°B、90°C、60°D、30°5、直角三角形的一个锐角是23°，则另一个锐角等于（）A、23°B、63°C、67°D、77°6、在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（）C、60°D、90°7、满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（）A、∠C=∠A+∠BB、a：b：c=3：4：5C、∠C=∠A-∠BD、∠A：∠B：∠C=3：4：58、在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：3，则较小锐角的度数为（）A、20°B、32°C、36°D、72°9、已知△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，若∠A=34°，则∠B=（）A、66°B、56°C、46°D、146°10、若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（）A、37°B、53°C、26°D、63°11、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（）A、9°B、18°C、27°D、36°12、△ABC中，∠C=90°，∠A：∠B=2：3，则∠A的度数为（）A、18°B、36°C、54°D、72°13、若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（）A、24°B、34°14、Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（）A、AH＜AE＜ADB、AH＜AD＜AEC、AH≤AD≤AED、AH≤AE≤AD15、直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（）A、150oB、135oC、120oD、120o或135o二、填空题16、如图所示的三角板中的两个锐角的和等于________度.17、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°30′，则∠B=________.18、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB ，∠1=50°，则∠B的度数是________度.19、如图所示，BD⊥AC于点D ， DE∥AB ， EF⊥AC于点F ，若BD平分∠ABC ，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.20、已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm ， 4cm ，斜边长为5cm ，则斜边上的高等于________cm.三、综合题21、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.求证：CD⊥AB.22、在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.23、如图所示，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D.(1)求证：∠ACD=∠B；(2)若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F ，求证：∠CEF=∠CFE.24、如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P ，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数.25、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D ， CE是△ABC的角平分线.(1)求∠DCE的度数.(2)若∠CEF=135°，求证：EF∥BC.答案解析部分一、选择题1、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，∴∠COA=90°-20°=70°，∴∠BOC=90°+70°=160°.故选：B.【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案.2、【答案】A【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=46°，∴∠A=90°-46°=44°.故选A.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.3、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故A错误；B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故B错误；C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故C错误；D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故D正确.故选：D.【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案.4、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°.故选：D.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.5、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵直角三角形的一个锐角是23°，∴另一个锐角是：90°-23°=67°.故选：C.【分析】直角三角形的两个锐角互余.6、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设较小的锐角是x ，则另一个锐角是2x ，由题意得，x+2x=90°，解得x=30°，即此三角形中最小的角是30°.故选B.【分析】设较小的锐角是x ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.7、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】A.∵∠C=∠A+∠B ，∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；B.∵32+42=25=52，∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；C.∵∠C=∠A-∠B ，∴∠C+∠B=∠A ，∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴最大的角∠C=180°× ＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.故选D.【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.8、【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】设两锐角分别为2k、3k ，由题意得，2k+3k=90°，解得k=18，所以，较小锐角的度数为18×2=36°.故选C.【分析】根据比例设两锐角分别为2k、3k ，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可.9、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠C=Rt∠，∠A=34°，∴∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.故选B.【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.10、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设两个锐角分别为x、y ，根据题意得，x+y＝90°①x−y＝16°②①+②得，2x=106°，解得x=53°，①-②得，2y=74°，解得y=37°，所以方程组的解为x＝53°y＝37°故较大的一个锐角的度数是53°.故选B.【分析】设两个锐角分别为x、y ，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可.11、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度.则x+4x=90，解得：x=18°.故选B.【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解.12、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠A：∠B=2：3，∴设∠A=2k ，∠B=3k ，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，即2k+3k=90°，解得k=18°，∴∠A=36°.故选B.【分析】根据比例设∠A=2k ，∠B=3k ，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求出k ，即可得解.13、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵两个锐角和是90°，∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，设一个锐角为x ，则另一个锐角为90°-x ，得：90°-x-x=22°，得：x=34°.故选B.【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x ，则另一个为90°-x ，即可求出最小的锐角度数.14、【答案】D【考点】解直角三角形【解析】【解答】①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）根据等腰三角形三线合一的性质知：AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB ，如图②）在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；同理可证AD＞AH；∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°∴∠AED＞∠ADE；根据大角对大边知：AD＞AE；即AD＞AE＞AH；综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；故选D.【分析】此题应分两种情况讨论：①等腰直角三角形，②普通的直角三角形.然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系.15、【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【解答】直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，故选B.【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解.二、填空题16、【答案】90【考点】解直角三角形【解析】【解答】直角三角板中的两个锐角的和等于90度.故答案为：90.【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.17、【答案】54.5°【考点】解直角三角形【解析】【解答】Rt△ABC中，∵∠C=90°，∠A=35°30′，∴∠B=90°-∠A=90°-35°30′=54°30′=54.5°.故答案为：54.5°.【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠B的度数.18、【答案】40【考点】解直角三角形【解析】【解答】∵∠1=50°，∴∠CEF=50°，∵EF∥AB ，∴∠A=∠CEF=50°，∵△ABC是直角三角形，∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.故答案为：40.【分析】先根据∠1=50°得出∠CEF的度数，再由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数.19、【答案】4【考点】解直角三角形【解析】【解答】如图，∵BD⊥AC ， EF⊥AC ，∴BD∥EF ，∵BD平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∴与∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4个.故答案为：4.【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.20、【答案】2.4【考点】解直角三角形【解析】【解答】如图，AC=3cm ， BC=4cm ， AB=5cm ， CD为斜边AB上的高∵S△ABC= AC•BC= CD•AB ，∴×3×4= ×5•CD∴CD=2.4cm.【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.三、综合题21、【答案】证明：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B ，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB.【考点】解直角三角形【解析】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B ，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.22、【答案】解答：设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，那么根据三角形内角和定理：三角形内角之和为180°，所以x+4x+90°=180°，x=18°，4x=72°，答：三角分别为18°，72°，90°.【考点】解直角三角形【解析】设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可.23、【答案】（1）证明：∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D ，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B；（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF ，同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE.又∵AF平分∠CAB ，∴∠CAF=∠DAE ，∴∠AED=∠CFE ，又∵∠CEF=∠AED ，∴∠CEF=∠CFE.【考点】解直角三角形【解析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF ，∠AED=90°-∠DAE ，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE ，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.24、【答案】解答：∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°，∵BE是一条角平分线，∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.故答案为：20°.【考点】解直角三角形【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解.25、【答案】（1）解答：∵∠B=30°，CD⊥AB于D ，∴∠DCB=90°-∠B=60°.∵CE平分∠ACB ，∠ACB=90°，∴∠ECB= ∠ACB=45°，∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°；（2）∵∠CEF=135°，∠ECB= ∠ACB=45°，∴∠CEF+∠ECB=180°，∴EF∥BC.【考点】平行线的判定，解直角三角形【解析】（1）由图示知∠DCE=∠DCB-∠ECB ，由∠B=30°，CD⊥AB于D ，利用内角和定理，求出∠DCB的度数，又由角平分线定义得∠ECB= ∠ACB ，则∠DCE的度数可求；（2）根据∠CEF+∠ECB=180°，由同旁内角互补，两直线平行可以证明EF∥BC.11 / 11。

最新华师大版九年级数学上册第24章解直角三角形单元测试题带答案一、选择题（4×12=48分）１、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm２、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12BCD3、在Rt△ABC 中，∠C=90°，则表示（）A．sinA B．cosA C．sinB D．以上都不４、小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是（）５、在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=512，则sinA=（）A、1213B、5 12C、135D、513６、已知∠A 为锐角，且sinA ≤21，则（ ） Ａ、0°≤A ≤60° B 、60°≤A ＜90° C 、0°＜A ≤30° D 、30°≤A ≤90° ７、在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A=55°，则直角边BC 的长是（ ）A ．msin55°B ．mcos55°C ．sin 55m︒D ．cos55m︒8、一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ） A ．米2B ．米2C ．（4+）米2D ．（4+4tan θ）米29、在△ABC 中，若22cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ）Ａ、锐角三角形; Ｂ、 直角三角形; Ｃ、钝角三角形; Ｄ、等腰三角形.10、如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD ）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF 的坡比i=1：2．下列说法正确的是（ ） Ａ、ＡＢ的长为４００米； Ｂ、ＡＦ的长为１０米； Ｃ、填充的土石方为19200立方米； Ｄ、填充的土石方为384立方米１１、如图，△ABC 中AB=AC=4，∠C=72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE ⊥AB ，则cosA 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i=1：，则大楼AB 的高度约为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）A ．30.6B ．32.1C ．37.9D ．39.4二、填空题（４×６＝２４分）１３、直角三角形斜边上的中线长是2.5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为 ．１４、如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是 ．15、若某人沿坡度i=3：4的斜坡前进10m ，则他所在的位置比原来的的位置 升高 m 。

华师大版九年级数学上册第24章《解直角三角形》单元检测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA的值是（）A. B.C. D.2.一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边长为整数，这样的三角形周长最大的值为（）A. 15B. 16C. 18D. 193.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A. 120mB. 67.5mC. 40mD. 30m4.等腰三角形的周长为20cm，腰长为x cm，底边长为y cm，则底边长与腰长之间的函数关系式为（）A. y=20﹣x（0＜x＜10）B. y=20﹣x（10＜x＜20）C. y=20﹣2x（10＜x＜20）D. y=20﹣2x（5＜x＜10）5.一段拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡度为i=1：，坝高BC=6m，则坡面AB的长度（）A. 12mB. 18mC. 6D. 126.汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A村的俯角为30°，B村的俯角为60°（如图）则A，B两个村庄间的距离是（）米．A. 300B. 900C. 300D. 3007.如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是（）A. 4.5米B. 6米C. 7.2米 D. 8米8.一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数，则这个三角形的周长为（）A. 10B. 12C. 14D. 169.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A. 5米B. 6米C. 8米 D. （3+ ）米10.如图，在□ABCD中，AB∶AD=3∶2，∠ADB=60°，那么cosＡ的值等于（）A. B. C.D.二、填空题（共10题；共33分）11.小凡沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降________米．12.已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．13.如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________．14.如图,在直角坐标系中,P是第二象限的点,其坐标是(x,8),且OP与x轴的负半轴的夹角α的正切值是 ,则x=________,cosα=________.15.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=________16.高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是________m.17.tan________ °=0.7667．18.如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于________．19.如图，将两块直角三角形的一条直角边重合叠放，已知AC=BC= +1，∠D=60°，则两条斜边的交点E到直角边BC的距离是________．20.已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y= x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a ＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是________．三、解答题（共8题；共57分）21.如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？22.小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．23.如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处60 米的点D（点D与楼底C在同一水平上）出发，沿斜面坡度为i=l：的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53 °，求楼房AC的高度（参考数据：sin53 °= , cos53 °= , tan53 °= ，≈1.732，结果精确到0.1米）24.如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（=1.7）．25.“蘑菇石”是我国著名的自然保护区梵净山的标志，小明从山脚B点先乘坐缆车到达观景平台DE观景，然后再沿着坡脚为29°的斜坡由E点步行到达“蘑菇石”A点，“蘑菇石”A点到水平面BC的垂直距离为1890m．如图，DE∥BC，BD=1800m，∠DBC=80°，求斜坡AE的长度．（结果精确到0.1m，可参考数据sin29°≈0.4848，sin80°≈0.9848，cos29°≈0.8746，cos80°≈0.1736）26.在一次数学活动课上，老师带领同学们去测量一座古塔CD的高度．他们首先从A处安置测倾器，测得塔顶C的仰角∠CFE=21°，然后往塔的方向前进50米到达B处，此时测得仰角∠CGE=37°，已知测倾器高1.5米，请你根据以上数据计算出古塔CD的高度．（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin21°≈，tan21°≈）27.在一次课题学习中，老师让同学们合作编题．某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解．如图，将矩形ABCD的四边BA、CB、DC、AD分别延长至E、F、G、H，使得AE＝CG，BF＝DH，连结EF、FG、GH、HE．（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；（2）若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．28.如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．答案解析部分一、单选题1.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∵AC=4，BC=3，∴AB= =5．∴sinA= ，故答案为：B．【分析】先根据勾股定理算出AB，再根据正切定义得出结论。

华师大版九年级（上）《第二十五章·解直角三角形》第25章解直角三角形复习—1 作业一、积累·整合1．在△ABC中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC的度数是______．2．计算2sin30°-2cos60°+tan45°=________．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____．4．在△ABC中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________．5．根据如图1所示的数据，求得避雷针CD的长约为______m（•结果精确到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6820，sin40•°≈0.6428，cos43°≈0.7314，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.•8391）(1) (2) (3)6．如图2所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米．（•保留两个有效数字，2≈1.41，3≈1.73）7．李小同叔叔下岗后想自主创业搞大棚蔬菜种植，•需要修一个如图3所示的育苗棚，棚宽a=3m，棚顶与地面所成的角约为25°，长b=9m，则覆盖在顶上的塑料薄膜至少需________m2．（利用计算器计算，结果精确到1m2）8．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（）A．sinB=23B．cosB=23C．tanB=23D．tanB=329．点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（3，12） B．（-3，12） C．（-3，-12） D．（-12，-32）10．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（）A．6.9米 B．8.5米 C．10.3米 D．12.0米二、拓展·应用11．某市在“旧城改造”中，•计划在市内一块如图4所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境．已知这种草皮每平方米售价30元，则购买这种草皮至少需要（• ）A．13500元 B．6750元 C．4500元 D．9000元(4) (5) (6) 12．如图5所示，在300m高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30•°和60°，则塔高CD为（）A．200m B．180m C．150m D．100m13．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内（如图6所示），那么挡光板AC的宽度应为（）A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．1.8sin80m D．1.8cot80°m三、探索·创新14．在△ABC中，∠C=30°，∠BAC=105°，AD⊥BC，垂足为D，AC=2cm，求BC的长．15．在△ABC中，∠A、∠B为锐角且sinA=12，3，试判断△ABC的形状？【答案与解析】1．105°或15°2．13．3 5475．4.866．177．308． C9． A •10．B11．C12．A13．D14．10（3cm 15．等腰三角形。

课后作业练习一、填空题1．如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________．(不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=62 4+)2．用计算器计算：．（精确到0.01）3．丽丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为9.0m，眼睛与地面的距离为1.6m，那么这棵树的高度大约为 .4．如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为（结果保留根号）．5．求值：sin260°+cos260°= ．6．在直角三角形ABC中，∠A=090，BC=13，AB=12，那么tan B=．7．根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）8．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 米（结果用含α的三角比表示）． 二、选择题9．在△ABC 中，∠C ＝900，AC ＝BC ＝1，则tanA 的值是（ ） A ．2 B ．22 C ．1 D ．21 10．在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则ABAC的值是（ ） A ．52 B ．53 C ．25 D ．3211．如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降到B '，那么B B '（ ）A ．等于1米B ．大于1米C ．小于1米D ．不能确定12．如图，延长Rt △ABC 斜边AB 到D 点，使BD ＝AB ，连结CD ，若cot ∠BCD ＝3，则tanA ＝（ ）A ．23 B ．1 C ．31 D ．32三、解答题13．已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin ∠ABC ＝352，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝1200，试求AB 的长．14．如图，河对岸有一铁塔AB ．在C 处测得塔顶A 的仰角为30°，向塔前进16米到达D ，在D 处测得A 的仰角为45°，求铁塔AB 的高．15．如图，我市某广场一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB=5m ，则BC 的长度是多少？现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少？（结果保留三个有效数字）【参考数据：1918.140,8391.040,7660.040cos ,6428.040sin ==== ctg tg 】16、小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知α=36°，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到1mm）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）●答案一、填空题162连结PP＇，过点B作B D⊥PP＇，因为∠PBP＇=30°，所以∠PBD=15°，利用sin15°62-PD，乘以2即得PP＇）2．2.353．6.8 m4．(0，4433+（点拨：过点B作B C⊥AO，利用勾股定理或三角函数可分别求得AC与OC的长）5．1（点拨：根据公式sin2α+cos2α=1）6．125（点拨：先根据勾股定理求得AC=5，再根据tanACBAB=求出结果）7．4.86（点拨：利用正切函数分别求了BD，BC的长）8．20sinα（点拨：根据sinBCABα=，求得sinBC AB=•α）二、选择题9．C10．D11．C（点拨：利用勾股定理先求出AB的长，再求出BB'的长）12．A（点拨：过点D作D E⊥CB的延长线于点E，易证得△AC B与△DE B全等，所以∠A=∠BDE，BC=BE。