实验 Gauss 消去法的数值稳定性试验
实验目的:
观察和理解Gauss消元过程中出现小主元(即)(kkka很小)时引起的方程组解的数值不稳定性。
实验内容：
求解方程组bAx，其中
（1）11212592.1121-130.6-291.51314.59103.015-1A，2178.4617.591b；
（2）2010151526990999999999.23107102A,15019000000000.582b.
实验要求：
（1） 计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的。
（2） 用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量421,Rxx.
（3） 用不选主元的Gauss消去法求得L~和U~及解向量421~,~Rxx.
（4） 观察小主元并分析其对计算结果的影响.
程序如下:计算矩阵条件数及Gauss列主元消去法:
format longeng
A1=[ 3 1; -1 2; 9 5 2;1 2 1 1];
b1=[;;1;2]; n=4;
k2=cond(A1) %k2为矩阵的条件数；
for k=1:n-1
a=max(abs(A1(k:n,k)));
[p,k]=find(A1==a);
B=A1(k,:);c=b1(k);
A1(k,:)=A1(p,:);b1(k)=b1(p);
A1(p,:)=B;b1(p)=c;
if A1(k,k)~=0
A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k);
A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n);
else
break
end
end
L1=tril(A1,0);
高斯求积公式范文
高斯求积公式，也称为高斯–勒让德求积公式（Gauss-Legendre
Quadrature），是数值计算中一种常见的数值积分方法。它通过选择适当的节点和权重来近似计算一个确定积分的值。高斯求积公式的基本思想是通过选取合适的节点，使得积分节点上的函数值和求积公式的节点值与相应的权重值的乘积之和等于被积函数的积分。
要了解高斯求积公式，首先需要了解勒让德多项式（Legendre
Polynomials）。勒让德多项式是定义在区间[-1,1]上的一个连续函数系列，它们具有许多重要的性质。其中最为重要的性质是勒让德多项式是在[-1,1]上正交的，即在区间[-1,1]上的积分为0，除非两个不同的多项式相乘。
高斯求积公式可以通过使用勒让德多项式的正交性质来推导。假设我们要计算函数f(x)在区间[-1,1]上的积分，可以通过勒让德多项式来近似这个积分。具体的做法是，首先选择一个适当的正整数n，计算n个勒让德多项式。然后，在区间[-1,1]上选择n个互不相同的节点x_i，通过求解勒让德多项式的根来得到这些节点。接下来，计算n个权重w_i，使得求积公式的节点值与权重值之积的和等于被积函数在区间[-1,1]上的积分。
对于一个给定的n，高斯求积公式的节点和权重可以通过一系列的计算得到。首先，通过求解勒让德多项式的根来得到节点。勒让德多项式的根是对应于勒让德多项式的零点的x值。然后，通过求解勒让德多项式的导数来得到权重。通过这些计算，我们可以得到一组称为高斯节点和权重的数值。 利用高斯节点和权重，我们可以将原始的积分问题转化为一组简单的加权求和问题。具体地，我们可以将被积函数f(x)展开为勒让德多项式的级数形式，然后将这个级数代入原始积分的公式中，使用高斯节点和权重来计算每一项的值，最后将这些值相加得到积分的数值近似值。
1.高准确性：高斯求积公式可以提供非常精确的数值积分结果。
2.高效性：高斯求积公式可以通过选择适当的节点和权重，使计算量最小化。
第２８卷 Ｖ０１．２８ 第３期 Ｎｏ．３ 西华师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｗｅｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２００７年９月 Ｓｅｐ．２００７
文章编号：１６７３－５０７２（２００７）０３－０２４９－０４
积分域封闭的二元ＧＡＵＳＳ数值积分方法研究
谭代伦。，张世禄 ，俸 卫
（１．西华师范大学数学与信息学院，四川南充６３７００２；２．内江师范学院数学系，四川内江６４１０００）
摘 要：从构建二元Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式出发，给出了积分域封闭的具有较高代数精确度的二元ＧＡＵＳＳ数值积 分公式，其代数精确度的定义和证明完善，实例计算结果良好． 关键词：二元Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式；二元ＧＡＵＳＳ数值积分；代数精确度 中图分类号：０２４１．４ 文献标识码：Ａ
１ 引 言
一元数值积分的理论和方法在计算方法中已得到较为彻底的解决，二元及以上的多元数值积分的理论
和方法则还在不断发展和完善中，诸如乘积方法、单项式方法、抽样法、点阵法等…．归结起来，通用性较高
的二元及以上数值积分算法在理论和方法上仍较少，而其实际应用意义比一元数值积分大，因此给出二元及
以上数值积分公式就具有较高实用的价值．
在一元数值积分中，和Ｎｅｗｔｏｎ—Ｃｏｔｅｓ积分一样，ＧＡＵＳＳ积分属于给定求积节点的插值型求积方法，
且都是用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式代替被积函数的一类数值算法，其区别在于Ｎｅｗｔｏｎ．Ｃｏｔｅｓ积分用等距节点的
代数插值多项式，ＧＡＵＳＳ积分的节点选用ｎ＋１阶正交多项式零点．基于稳定性、收敛性等原因，很少采
用高阶Ｎｅｗｔｏｎ・Ｃｏｔｅｓ积分，而是采用ＧＡＵＳＳ型求积公式或复合求积公式以进一步提高数值积分的代数精
确度 ．因此下面从构建二元Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式出发，然后讨论二元ＧＡＵＳＳ数值积分公式及其代数精
确度．
２ 二元ＧＡＵＳＳ数值积分公式及代数精确度
利用两点Gauss-Legendre求积公式
一、概述
在数值分析中，求积公式是一种用数值方法来计算定积分的技术。Gauss-Legendre求积公式是一种求积公式，它利用节点和权重的组合来逼近定积分的计算值。而两点Gauss-Legendre求积公式则是其中一种特定的求积公式，它利用两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。
二、求积公式的基本原理
Gauss-Legendre求积公式的基本原理是通过在特定的节点上取得函数值，并将这些值进行线性组合，来逼近定积分的计算值。对于一个给定的定积分
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) dx\]
Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为
\[Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\]
其中，\(w_i\)为权重，\(x_i\)为节点，\(n\)为节点数。通过选择合适的节点和权重，可以使得对于特定的\(n\)，求积公式的计算值与实际定积分值非常接近。
三、两点Gauss-Legendre求积公式
两点Gauss-Legendre求积公式是通过选择两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。通常情况下，两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重可以通过一些特定的计算公式来得到，具体如下：
1. 节点和权重的获取
我们需要根据Gauss-Legendre求积公式的规则来选取节点和权重。对于两点求积公式来说，节点和权重的获取可以通过以下方式进行：
节点的获取：通过解Legendre多项式的根来得到节点的值。在两点Gauss-Legendre求积公式中，节点的值通常为\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
权重的获取：通过Legendre多项式的导数来得到权重的值。在两点Gauss-Legendre求积公式中，权重的值通常为1。
