数值分析(18)Gauss积分

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Matlab 数值分析 Gauss_Seidel高斯赛德尔迭代法

%* Gauss_Seidel迭代法求解线性方程组-----------------------------------------

%* 输入方程组、预处理-------------------------------------------------------

A=[5,2,1;-1,4,2;2,-3,10]; %A矩阵

b=[-12;20;3]; %列向量b

x1=[-3;1;1]; %初始x1

eps=1e-3; % 精度要求

%* 开始迭代求解------------------------------------------------------------

max=1000; % 最大迭代次数

n=length(A); % 系数矩阵A的维数

k=0;

while 1

x=x1; %保存每次的x1，用于判定精度

%* 先计算X1(1)，与Jacobi迭代法计算一致

x1(1)=( b(1)-A(1,2:n)*x1(2:n,1) )/A(1,1);

%* 再计算X1(i)，i=2,3,...,n-1

for i=2:n-1

x1(i)=( b(i)-A(i,1:i-1)*x1(1:i-1,1)-A(i,i+1:n)*x1(i+1:n,1) )/A(i,i);

end

%* 最后计算X1(n)

x1(n)=( b(n)-A(n,1:n-1)*x1(1:n-1,1) )/A(n,n);

k=k+1;

%* 计算前后迭代解X1的误差

数值分析复习资料

一、重点公式

第一章非线性方程和方程组的数值解法

1）二分法的基本原理，误差：~12kbax

2）迭代法收敛阶：1lim0ipiic，若1p则要求01c

3）单点迭代收敛定理：

定理一：若当,xab时，(),xab且'()1xl，,xab，则迭代格式收敛于唯一的根；

定理二：设()x满足：①,xab时，(),xab，

②121212,,, ()(),01xxabxxlxxl有

则对任意初值0,xab迭代收敛，且：

110111iiiiixxxllxxxl

定理三：设()x在的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1，则迭代格式具有局部收敛性；

定理四：假设()x在根的邻域内充分可导，则迭代格式1()iixx是P阶收敛的()()()0,1,,1,()0jPjP（Taylor展开证明）

4）Newton迭代法：1'()()iiiifxxxfx，平方收敛

5）Newton迭代法收敛定理：

设()fx在有根区间,ab上有二阶导数，且满足：

①：()()0fafb；

②：'()0,,fxxab；

③：'',,fxab不变号 ④：初值0,xab使得''()()0fxfx；

则Newton迭代法收敛于根。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiiifxfxfxxxxxfxfxfxfxfxfxxx

收敛阶：152P

7）Newton迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton法进行修改

①：已知根的重数r，1'()()iiiifxxxrfx（平方收敛）

②：未知根的重数：1''()(),()()()iiiiuxfxxxuxuxfx，为()fx的重根，则为()ux的单根。

数值分析考试复习总结

第一章

1误差

相对误差和绝对误差得概念

例题：

当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时，一般要经历哪几个阶段？在哪些阶

段将有哪些误差产生？

答：实际问题-数学模型-数值方法-计算结果

在这个过程中存在一下几种误差：

建立数学模型过程中产生：模型误差参数误差

选用数值方法产生：截断误差

计算过程产生：舍入误差传播误差

6•设a =0.937关于精确数x有3位有效数字，估计a的相对误差.对于f(x^ .j_x，估计

f(a)对于f(x)的误差和相对误差

I l / £、I I 匚 . a-x I .(2^10 . _ _3

| E( f)冃心 _x —G —a |= ------------ _,=] < ------------------ =10

、1—x+H — a| 2 沃 0.25

| Er(f)|E10， 1 -a =4 10；. □

2有效数字

基本原则：1两个很接近的数字不做减法：

2：不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)

例题：

4 •改变下列表达式使计算结果比较精确： a的相对误差: 由于

1 _3 x —a |E(x)|< x — <-10 . Er(X)=— 2 X

Er(x) < 1

2 7 2 1 2 10 =— 10 . 18 (Th1) 解

f(a)对于f(x)的误差和相对误差

第二章

拉格朗日插值公式（即公式（1））

插值基函数（因子）可简洁表示为

n 其中：n(x) - JI. 1 n

(X - Xj ), n Xi =「 (Xi - Xj )

j / j工

j料

例1 n=1时，线性插值公式 R(x) = y° x ( ) +y1 (x-X0)

X ----------------- ? (xo-xj ' (X1 -Xo)

例2 n=2时，抛物插值公式

牛顿（Newton）插值公式

由差商的引入，知

（1）过点x0, x1的一次插值多项式为

(完整版)数值分析重点公式