Gauss-Legendre积分公式

Gauss型积分公式 摘要

求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。

当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。

如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。

关键词：Newton-Cotes型积分公式 正交多项式 代数精度

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1、实验目的

1) 通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提高代数精度这一问题中的思想方法。

2) 通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的编程能力。

3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。

2、算法流程

下面介绍三种常见的Gauss型积分公式

1) 高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式

勒让德（Legendre）多项式

如下定义的多项式

称作勒让德多项式。由于 是 次多项式，所以 是n次多项式，其最高次幂的系数 与多项式

的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式 是在 上带 的n次正交多项式，而且

这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式 的零点，相应的Gauss型积分公式为

高斯—勒让德积分公式

摘要：

高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。

The adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision

calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied

numerical integration method. But the precision is not good when the length of

integral interval is longer.

关键字：

积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB

Keyword:

Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab

引言：

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。

实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。

相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。

计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。

高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。

高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。

利用两点Gauss-Legendre求积公式

一、概述

在数值分析中，求积公式是一种用数值方法来计算定积分的技术。Gauss-Legendre求积公式是一种求积公式，它利用节点和权重的组合来逼近定积分的计算值。而两点Gauss-Legendre求积公式则是其中一种特定的求积公式，它利用两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。

二、求积公式的基本原理

Gauss-Legendre求积公式的基本原理是通过在特定的节点上取得函数值，并将这些值进行线性组合，来逼近定积分的计算值。对于一个给定的定积分

\[I = \int_{-1}^{1} f(x) dx\]

Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为

\[Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\]

其中，\(w_i\)为权重，\(x_i\)为节点，\(n\)为节点数。通过选择合适的节点和权重，可以使得对于特定的\(n\)，求积公式的计算值与实际定积分值非常接近。

三、两点Gauss-Legendre求积公式

两点Gauss-Legendre求积公式是通过选择两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。通常情况下，两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重可以通过一些特定的计算公式来得到，具体如下：

1. 节点和权重的获取

我们需要根据Gauss-Legendre求积公式的规则来选取节点和权重。对于两点求积公式来说，节点和权重的获取可以通过以下方式进行：

节点的获取：通过解Legendre多项式的根来得到节点的值。在两点Gauss-Legendre求积公式中，节点的值通常为\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。

权重的获取：通过Legendre多项式的导数来得到权重的值。在两点Gauss-Legendre求积公式中，权重的值通常为1。

- 1 - gauss型积分公式

Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。

Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。

Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。

Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。

Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。 - 2 - 从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。