实验 Gauss 消去法的数值稳定性试验
实验目的:
观察和理解Gauss消元过程中出现小主元(即)(kkka很小)时引起的方程组解的数值不稳定性。
实验内容：
求解方程组bAx，其中
（1）11212592.1121-130.6-291.51314.59103.015-1A，2178.4617.591b；
（2）2010151526990999999999.23107102A,15019000000000.582b.
实验要求：
（1） 计算矩阵的条件数，判断系数矩阵是良态的还是病态的。
（2） 用Gauss列主元消去法求得L和U及解向量421,Rxx.
（3） 用不选主元的Gauss消去法求得L~和U~及解向量421~,~Rxx.
（4） 观察小主元并分析其对计算结果的影响.
程序如下:计算矩阵条件数及Gauss列主元消去法:
format longeng
A1=[ 3 1; -1 2; 9 5 2;1 2 1 1];
b1=[;;1;2]; n=4;
k2=cond(A1) %k2为矩阵的条件数；
for k=1:n-1
a=max(abs(A1(k:n,k)));
[p,k]=find(A1==a);
B=A1(k,:);c=b1(k);
A1(k,:)=A1(p,:);b1(k)=b1(p);
A1(p,:)=B;b1(p)=c;
if A1(k,k)~=0
A1(k+1:n,k)=A1(k+1:n,k)/A1(k,k);
A1(k+1:n,k+1:n)=A1(k+1:n,k+1:n)-A1(k+1:n,k)*A1(k,k+1:n);
else
break
end
end
L1=tril(A1,0);
第２８卷 Ｖ０１．２８ 第３期 Ｎｏ．３ 西华师范大学学报（自然科学版） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｎａ Ｗｅｓｔ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ） ２００７年９月 Ｓｅｐ．２００７
文章编号：１６７３－５０７２（２００７）０３－０２４９－０４
积分域封闭的二元ＧＡＵＳＳ数值积分方法研究
谭代伦。，张世禄 ，俸 卫
（１．西华师范大学数学与信息学院，四川南充６３７００２；２．内江师范学院数学系，四川内江６４１０００）
摘 要：从构建二元Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式出发，给出了积分域封闭的具有较高代数精确度的二元ＧＡＵＳＳ数值积 分公式，其代数精确度的定义和证明完善，实例计算结果良好． 关键词：二元Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式；二元ＧＡＵＳＳ数值积分；代数精确度 中图分类号：０２４１．４ 文献标识码：Ａ
１ 引 言
一元数值积分的理论和方法在计算方法中已得到较为彻底的解决，二元及以上的多元数值积分的理论
和方法则还在不断发展和完善中，诸如乘积方法、单项式方法、抽样法、点阵法等…．归结起来，通用性较高
的二元及以上数值积分算法在理论和方法上仍较少，而其实际应用意义比一元数值积分大，因此给出二元及
以上数值积分公式就具有较高实用的价值．
在一元数值积分中，和Ｎｅｗｔｏｎ—Ｃｏｔｅｓ积分一样，ＧＡＵＳＳ积分属于给定求积节点的插值型求积方法，
且都是用Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式代替被积函数的一类数值算法，其区别在于Ｎｅｗｔｏｎ．Ｃｏｔｅｓ积分用等距节点的
代数插值多项式，ＧＡＵＳＳ积分的节点选用ｎ＋１阶正交多项式零点．基于稳定性、收敛性等原因，很少采
用高阶Ｎｅｗｔｏｎ・Ｃｏｔｅｓ积分，而是采用ＧＡＵＳＳ型求积公式或复合求积公式以进一步提高数值积分的代数精
确度 ．因此下面从构建二元Ｌａｇｒａｎｇｅ插值多项式出发，然后讨论二元ＧＡＵＳＳ数值积分公式及其代数精
确度．
２ 二元ＧＡＵＳＳ数值积分公式及代数精确度
利用两点Gauss-Legendre求积公式
一、概述
在数值分析中，求积公式是一种用数值方法来计算定积分的技术。Gauss-Legendre求积公式是一种求积公式，它利用节点和权重的组合来逼近定积分的计算值。而两点Gauss-Legendre求积公式则是其中一种特定的求积公式，它利用两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。
二、求积公式的基本原理
Gauss-Legendre求积公式的基本原理是通过在特定的节点上取得函数值，并将这些值进行线性组合，来逼近定积分的计算值。对于一个给定的定积分
\[I = \int_{-1}^{1} f(x) dx\]
Gauss-Legendre求积公式的一般形式可以表示为
\[Q_n(f) = \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)\]
其中，\(w_i\)为权重，\(x_i\)为节点，\(n\)为节点数。通过选择合适的节点和权重，可以使得对于特定的\(n\)，求积公式的计算值与实际定积分值非常接近。
三、两点Gauss-Legendre求积公式
两点Gauss-Legendre求积公式是通过选择两个节点和对应的权重来进行定积分的逼近计算。通常情况下，两点Gauss-Legendre求积公式的节点和权重可以通过一些特定的计算公式来得到，具体如下：
1. 节点和权重的获取
我们需要根据Gauss-Legendre求积公式的规则来选取节点和权重。对于两点求积公式来说，节点和权重的获取可以通过以下方式进行：
节点的获取：通过解Legendre多项式的根来得到节点的值。在两点Gauss-Legendre求积公式中，节点的值通常为\(-\frac{\sqrt{3}}{3}\)和\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
权重的获取：通过Legendre多项式的导数来得到权重的值。在两点Gauss-Legendre求积公式中，权重的值通常为1。
- 1 - gauss型积分公式
Gauss型积分公式是一种经典的积分计算方法，它是18世纪德国数学家克劳德高斯（Karl Friedrich Gauss）提出的数学方法，又称作高斯积分或高斯积分公式。这种积分方法非常简单、实用，是数学及其相关学科研究时常用到的数学工具。
Gauss型积分公式的特点是它可以将复杂的一元定积分问题转化为解一个多项式方程组的几何问题，从而减少不少的计算量。它的优势在于，无论是写出这种方程，结合数学技巧便可算出结果，还可用另一种方法，通过积分变换来完成积分计算，而且可以在结果上获得较高的精度。
Gauss型积分公式可简化定积分问题计算，但由于其复杂性，对多元积分这类计算量较大的问题无能为力。在这种情况下，可以使用另外一种积分方法，即数值积分法，在这种方法中，采用多项式函数来模拟定积分问题，从而减少计算量，并可以得出比较准确的结果。
Gauss型积分公式在数学研究中具有重要意义，可求出很多有用的结果，尤其是在求解复杂的一元定积分问题上。它的有效性可以通过用它来求曲线的极限等数学知识的计算来证明。此外，它还可以用于计算椭圆积分，复数积分等。
Gauss型积分公式的应用范围十分广泛，它在数学研究中可以帮助研究者减少许多计算量，从而节省时间，使得数学研究变得更加有效率。它在量子力学、电磁学、计算物理学、天文学、计算生物学以及统计学等领域也有着广泛的应用。 - 2 - 从以上可以看出，Gauss型积分公式在数学及其相关学科中具有重要意义，它可以帮助研究者提高研究效率，具备很多实用性，是一个重要的数学工具。对于Gauss型积分公式的应用，学者们和工程研究者们都应该进行进一步的深入研究，从而更好地发挥它的作用。
