clear;clc;
%列主元Gauss校区法解线性方程组
A=[3 -5 6 4 -2 -3 8;
1 1 -9 15 1 -9 2;
2 -1 7 5 -1 6 11;
-1 1 3 2 7 -1 -2;
4 3 1 -7 2 1 1;
2 9 -8 11 -1 -4 -1;
7 2 -1 2 7 -1 9];%系数矩阵
b=[11 2 29 9 5 8 25]';%n维向量
y=inv(A)*b %matlab的计算结果
n=length(b);%方程个数n
x=zeros(n,1);%未知向量
%-------------消去-----------
for k=1:n-1
Auk=A(k:n,k);
[m,u]=max(abs(Auk));
u=u+k-1 %u为最大元所在的列
%------交换最大的行和当前行的值-------
for j=k:n
temp=A(u,j);A(u,j)=A(k,j);A(k,j)=temp;
end
temp=b(k);b(k)=b(u);b(u)=temp;
% if A(k,k)==0;
% error('Error');
% end
for i=k+1:n
% A(i,k)=A(i,k)/A(k,k);
Aik=A(i,k)/A(k,k)
for j=k:n
A(i,j)=A(i,j)-Aik*A(k,j);
end
A
b(i)=b(i)-Aik*b(k)
end
end
%-------------回代-----------
高斯—勒让德积分公式
摘要：
高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。
The adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision
calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied
numerical integration method. But the precision is not good when the length of
integral interval is longer.
关键字：
积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB
Keyword:
Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab
引言：
众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。
实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。
相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。
计算定积分的方法很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。
高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。
高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。
高斯积分点及其权重
高斯积分点（Gaussian quadrature）是一种精确计算定积分的方法，它通过在一定的区间内选择特定的积分点和相应的权重系数，可有效提高积分的精度。高斯积分点的数量与区间大小相关，积分点越多，则积分精度越高。在实际应用中，高斯积分点已被广泛应用于数值分析、信号处理、图像处理等领域。
一、 一维高斯积分
在一维情况下，计算定积分的公式为：
$\int_{-1}^{1} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^{n}w_{i}f(x_i)$
其中$n$为积分点的数量，$x_i$为积分点，$w_i$为权重系数。在高斯积分中，$n$个积分点的位置和权重系数都是固定的，因此可以先预先计算出它们的值，然后直接套用式子进行计算。
以2个积分点的高斯积分为例，积分点的位置为$x_1=-0.57735$,
$x_2=0.57735$，权重系数为$w_1=w_2=1$。在计算积分时，只需将函数在积分点的值乘以相应的权重系数，然后相加即可得到积分的值。
二、 二维高斯积分
在二维情况下，计算定积分的公式为：
$\int_{-1}^{1}\int_{-1}^{1}f(x,y)dxdy \approx
\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}w_{i}w_{j}f(x_i,x_j)$
其中$n$为积分点的数量，$(x_i,x_j)$为二维积分点的位置，$w_i$和$w_j$为权重系数。在高斯积分中，二维积分点的位置和权重系数也是固定的，因此可以先预先计算出它们的值，然后直接套用式子进行计算。
以2个积分点的高斯积分为例，积分点的位置和权重系数如下所示：
$(x_1,x_2)=(-0.57735,-0.57735)$，$(x_3,x_4)=(-0.57735,0.57735)$，$(x_5,x_6)=(0.57735,-0.57735)$，$(x_7,x_8)=(0.57735,0.57735)$；
高斯积分方法
1. 高斯积分方法是一种用于数值计算的积分方法，适用于计算一维或多维函数的积分。
2. 高斯积分方法使用一组选定的积分点和对应的权重来近似计算积分值。
3. 高斯积分方法的基本思想是在积分区间上选择适当的积分点，以使得使用这些积分点进行近似计算可以获得较高的精度。
4. 高斯积分方法的积分点和权重是通过解高斯-勒让德多项式的零点和系数来确定的。
5. 高斯-勒让德多项式是定义在[-1, 1]上的一组正交多项式，其零点称为高斯积分点。
6. 高斯积分方法的积分点和权重一般是通过预先计算和存储的，以便在实际计算中直接使用。
7. 高斯积分方法的精度通常与选取的积分点数有关，通常使用更多的积分点可以获得更高的精度。
8. 高斯积分方法适用于计算具有光滑函数特性的积分，特别适用于计算函数在较小区域上的积分值。
9. 在多维情况下，高斯积分方法可以通过将一维积分方法应用于各个维度来进行计算。
10. 高斯积分方法在科学计算、数值分析和工程等领域中被广泛应用，常用于求解数值积分、数值微分和求解偏微分方程等问题。
