第二章正弦交流电路

u i
结论：
o
ωt 纯电感不消
i
+
u
i u
i u
i u+
- ++-
p
可逆的能量 转换过程
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
耗能量，只和 电源进行能量 交换
ωt
电感L是 储能元件
储能 放能 储能 放能
23
(3) 无功功率 Q
用以衡量电感电路中能量交换的规模。 用瞬时功率达到的最大值表征。
U
O
m
ψ
称为相量。
相两
量
要 素
ω t1
ωt
若:矢量长度 = Um
矢量与横轴夹角 = 初相位
旋
转 相
三 要 素
矢量以角速度 ω 按逆时针方向旋转 量
则:该旋转矢量每一瞬时在纵轴上的投影即表示相应 时刻正弦量的瞬时值。 把该旋转矢量称为旋转相量。
11
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 复数表示形式
单位：var
30
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
i
+
Ru
u iR R
-
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
设
i 2Isinωt
则
U IR
I
U
U IR
UI I 2R
0
u 2Usinωt
u、 i 同相
i
设
U
i 2Isinωt
瞬时功率 ：p u i UI sin2ωt
QL U I I 2XL U 2 XL
单位：var
24
2.3.3 纯电容电路
1.电流与电压的关系
i
基本关系式： i C du
设：u 2 U sin ω t dt
+
u
C
_
则：
i
C
du
2 UC ω cos ω t
电流与电压
dt
的变化率成
2 U ωC sin(ω t 90) 正比。
设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb
+j
b
r
0
A
a +1
式中: a r cos ψ b r sin ψ
(2) 三角式
r ψ
a2 b2 arctan
b
复数的模 复数的辐角
a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
由欧拉公式:
ej ψ ej ψ
为同频率 正弦量
2 I ( ω L)sin( ω t 90)
2I ( 1 )sin(ω t 90)
ωC
32
(2)相量法
I
+
+
R U_ R
+
U jXL U_ L
_ -jXC U+_C
1)相量式
U U R U L U C 设 I I0 （参考相量）
则 U R IR
U L I(jX L ) U C I(jXC )
Imsin ω t 2 I sin ω t
•
I
•
RU
R
相量电路
I
相量图 U
① u、i频率相同 ②大小关系：I
U
R
③ u、i 相位相同
相量式：
U U 0 I I 0
相位差 ： u i 0
U IR
16
2. 功率关系
(1) 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
ui
i Im sin ω t = 2 U sin ω t
0
UI - I2XC
sin(t 90)
31
2.4 单相交流电路分析
2.4.1 RLC串联的交流电路
1. 电流、电压的关系
i
(1) 瞬时值表达式
+
+
R u_ R
u
L
+
u_ L
根据KVL可得：
u uR uL uC
iR
L
di dt
1 C
idt
+ 设：i 2 I sinω t
_ C u_ C 则 u 2IR sinω t
UI
L
+ u
u L di jX L 则
dt
u 2Iω L
U IX L
X L L
I U jIX L 0 I 2 X L
-
sin(t 90)
u超前 i 90°i
i C du dt
设
i 2Isinωt
jXC 则
I
u 2
ωC
U IX C
XC 1/c
U I U jIXC
u落后 i 90°
电容电路中相量形式的欧姆定律
I I 超前 U 90
U 相量图
•
I
•
U
j
1 C
相量模型
27
2.功率关系 u Umsin ω t
i Imsin ( ω t 90)
(1) 瞬时功率
p u i Um Im sin ω t sin ( ω t 90)
Um Im 2
sin2 ω t
UI
sin 2 ω t
相量表示:
U Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
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或：
Um Umejψ Um ψ
相量的模=正弦量的幅值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的幅值相量
注意:
①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
②只有正弦量才能用相量表示。
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如：已知 u 220 sin(ω t 45)V
U IR I (jX L ) I (jXC )
I R j X L XC I R + jX
总电压与总电流 的相量关系式
33
根据 U I R + jX I R j XL XC
令 Z R jX
阻抗 单位Ω
则 U IZ
X X L XC 电抗
Z U U u U I I i I
则Um 220 45 V或U 220 45 V 2
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴
I
U
15
2. 3 单一元件的交流电路
2.3.1 纯电阻电路
i
1. 电压与电流的关系
+
根据欧姆定律: u iR
u
设 u Umsinω t
_
i u Umsinω t 2U sinω t
R
R
R
+
u
P 1
T p dt 1
T
u i dt
_
T0
大写
T0
pp
R
1
T
UI(1 cos2 ω t)dt
T0
P
UI
O
ωt
P UI I 2R U 2 单位:瓦（W）
R
平均功率就是电路中实际消耗的电功率——有功功率
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2.3.2 纯电感电路
1. 电压与电流的关系
基本关系式：u
设：i 2 I sin
电容C是
ωt
储能元件
充电 放电 充电 放电
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(3) 无功功率 Q 为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设：
i 2I sinω t 则：u 2Usin ( ω t 90 ) 2U cos ω t
所以p UI sin2ω t
同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值。
QC
UI
I2XC
U2 XC
(2) 平均功率 Ｐ
P 1
T
p dt
T0
1T
T 0 UI sin 2 ω t dt 0
C是非耗能 元件
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瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
u,i i u
o
i
+
u
i u+
-i u
-i u
- -++
p
+ p <0 + p <0
o
p >0
p >0
结论： ω t 纯电容不消
耗能量，只和 电源进行能量 交换
: 反映出正弦量之间的相位关系。
7
如：u Umsin( ω t ψ1 )
i Imsin( ω t ψ2 )
( t 1 ) ( t 2 )
ψ1 ψ2 若 ψ1 ψ2 0
电压超前电流 电流滞后电压
ui u i
O
ωt
8
注意:
① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
i i1
i2
O
t
② 只有同频率的正弦量比较才有意义。
9
2.2 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法
u
波形图表示
O
ωt
三角函数表示 u Umsin( t )
必须
相量 U Uψ
小写
重点
10
2.正弦量用旋转矢量表示
旋转相量的初始值
设正弦量: +j y
u
Umsin(
t ψ)
u
u0ω
x
O
u1 +1
可得相量式：I I 0 U U 90 Iω L 90
U 超前I 90
U
I
相量图
则：U U II