第三章_正弦交流电路和向量法

(2) i1(t) 10cos(100 t 300 ) i2(t) 10sin(100 t 150 )
(3) u1(t) 10cos(100 t 300 ) u2(t) 10cos(200 t 450 )
(4) i1(t) 5cos(100 t 300 ) i2(t) 3cos(100 t 300 )
j 3 4 ( 2) 5 4 0 j 2 5 4 3 4
i2(t) 10cos(100t 1050 )
j 300 (1050 ) 1350
w1 w2
不能比较相位差
i2(t) 3cos(100t 1500 )
j 300 (1500 ) 1200
两个正弦量进行相位比较时应满足同频率、同函数、同符 号，且在主值范围比较。
A
0
Re
A• ej 相当于A逆时针旋转一个角度 ，而模不变。
故把 ej 称为旋转因子。
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几种不同值时的旋转因子
,
2
j
e 2 cos j sin j
2
2
Im
jI
I
0
Re
I
jI
j
, e 2 cos( ) j sin( ) j
2
2
2
, e j cos() j sin() 1
20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相位
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
•
u(t) 2U cos(w t θ ) U Uθ
例1 已知
i 141.4cos(314t 30o )A u 311.1cos(314t 60o )V
试用相量表示i, u .
解
•
I
10030o
U=380V，
Um537V。
i , I m , I 注 （1）工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备
铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的 是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值 考虑。
（2）测量中，交流测量仪表指示的电压、电流读数一 般为有效值。
（3）区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
•
I
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4. 相量法的应用
(1) 同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos(w t Ψ 1) Re(
2
•U1来自ejwt
)
u2(t)
2 U2 cos(w t Ψ 2) Re(
2
•
U
2
e
jw
t
)
u(t) u1(t) u2(t) Re(
2
•
U
1
e
jwt
)
Re(
2
•
U
2
e
jwt
)
Re(
第3章 正弦交流电路和相量法
重点： 1. 正弦量的表示、相位差； 2. 正弦量的相量表示 3. 电路定理的相量形式；
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第一节 正弦量
1. 正弦量
瞬时值表达式：
i
T
波形：
i(t)=Imcos(w t+y)
y/w O
t
正弦量为周期函数 f(t)=f ( t+kT)
周期T (period)和频率f (frequency) :
dt t
T
1 T
0
0
2
20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψ ) 2I cos(w t Ψ )
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同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：
1 U 2 Um
或 Um 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um311V；
(1) 幅值 (amplitude) (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
(2) 角频率(angular frequency)ω
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
w 2 f 2 T
单位： rad/s ，弧度 / 秒
(3) 初相位(initial phase angle) y
i
T
反映正弦量的计时起点，
Re
2
I
jw
e
jw
t
idt
I
jw
I
w
yi
2
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例 i(t) R
i(t) 2 I cos(w t y i )
+
u(t) -C
L
u(t) Ri L di 1 idt dt C
用相量运算：
U RI jwLI I jwC
相量法的优点：
（1）把时域问题变为复数问题； （2）把微积分方程的运算变为复数方程运算； （3）可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路；
t 0 50 100cosy
由于最大值发生在计时起点右侧
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
y 3 y
3
t1＝1033 ＝1.047ms
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3. 同频率正弦量的相位差 (phase difference)。
设 u(t)=Umcos(w t+y u), i(t)=Imcos(w t+y i)
(j 1 为虚数单位)
Im
b
A
|A|
0
a Re
A | A | e j
A | A | e j | A | (cos j sin ) a jb
A | A | e j | A |
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两种表示法的关系：
A=a+jb
A=|A|ej =|A|
直角坐标表示 极坐标表示
Im
b
A
|A|
0
a Re
故 +j, –j, -1 都可以看成旋转因子。
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 A(t ) 2Iej(wt)
是一个正弦量 有物理意义
2Icos(wt ) j 2Isin(wt Ψ )
对A(t)取实部： Re[A(t)] 2Icos(w t Ψ ) i(t)
对于任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数
2）正弦信号容易产生、传送和使用。
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（2）正弦信号是一种基本信号，任何变化规律复杂的信号 可以分解为按正弦规律变化的分量。
n
f (t) Ak cos(kwt k ) k 1
对正弦电路的分析研究具有重要的理论 价值和实际意义。
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2. 正弦量的三要素
i(t)=Imcos(w t+y)
U
Im
U 2
U 1
60
41.9
30
Re
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2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t y i ) I Iy i
微分运算:
di d Re 2 Ie jw t
dt dt
Re 2I jw e jw t
di dt
jw
I
w
I
yi
2
积分运算:
idt Re 2Ie jw t dt
| A1 | | A2 |
θ1 θ2
除法：模相除，角相减。
例1. 547 10 25 ?
解 547 10 25 (3.41 j3.657) (9.063 j4.226)
12.47 j0.569 12.48 2.61
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例2. 220 35 (17 j9) (4 j6) ?
有效值也称均方根值 (root-meen-square)
T0
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同样，可定义电压有效值： 正弦电流、电压的有效值
def
U
1 T u2 (t )dt
T0
设 i(t)=Imcos(w t+ )
I
1 T
T 0
I
2 m
cos 2 (
w
t
Ψ
)
dt
T cos2( w t Ψ ) dt
T 1 cos 2(w t Ψ ) 1
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第二节 正弦量的相量表示
1. 问题的提出：
电路方程是微分方程：
+i R u
C L
LC
d 2uC dt
RC
duC dt
uC
u(t )
_
两个正弦量的相加：如KCL、KVL方程运算。
i1 2 I1 cos(w t y 1 ) i2 2 I2 cos(w t y 2 )
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ui1, i
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4. 周期性电流、电压的有效值
周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其平 均效果工程上采用有效值来表示。
周期电流、电压有效值(effective value)定义
直流I R
物
交流i R
理
意
义 W RI 2T
W T Ri2(t)dt 0
电流有效 值定义为
def
I
1
T i 2 (t )dt
w
i1
i2
w
角频率： I1 0