学而思 有趣的立体图形

小升初学而思七巧板系列教材七巧板是由三角形、正方形、平行四边形等七块板组成，可以用它拼出各种人物、动物、植物、建筑，甚至中英文字母。

各版本教材都在小学低段数学学习中安排了七巧板的内容，不仅锻炼学生的观察力、动手力、思考力和创造力，还让学生清晰地发现图形的分割与合成关系。

根据低段学生的年龄特征，在小学一年级围绕“七巧板”内容融合语文、数学、美术等知识，甚至将七巧板纳入折纸课程，让课程深受学生喜爱。

“折”七巧板，在折纸中认识分与合人类对客观事物的认识都经历了由表及里的过程，学生初次认识七巧板也是如此。

首先注意到七巧板拼合后的完整图案是一个大正方形，里面有七块不同的板；接着发现它由两个大三角形、两个小三角形、一个中等三角形、一个平行四边形和一个小正方形组成。

为了发展学生的空间观念，我在学生初步了解七巧板后抛出一个数学问题：给你一张正方形纸，用它来做一副七巧板，需要折多少次？面对这个有趣又充满挑战的探究问题，孩子们马上拿起正方形纸“实验”起来。

通过“集合”，学习各类数，学习“因数与倍数”时，利用集合图表示出一个数的全部因数或一个数的倍数，为后面的公因数和公倍数的教学奠定基础。

在出示一些书进行质数、合数、奇数和偶数的分类时，也是利用集合图渗透空集思想。

在教学公因数和公倍数时，则用韦恩图表示因数和倍数之间的关系，学生能够很清楚地区分出公因数和公倍数，这其实是集合中“交集”的体现。

图形与几何领域的集合思想方法，在图形与几何领域中，教材通过不同的内容加强抽象思想、分类思想、集合思想、归纳法、类比法、演绎推理思想、转化思想、数形结合思想、几何变换思想、模型思想等的应用和感悟。

如无论是平面图形还是立体图形，都是从生活中的物体抽象出来的，而且立体图形的学习方法可以与平面图形进行类比。

学生在异想天开中把自制七巧板的设计方案变成现实，直观地认识了这些平面图形，以及图形的分割与合成。

这样动手动脑的数学活动不仅能充分激发学生的学习兴趣，而且有助于积累和丰富数学活动经验。

学而思鸟头模型公式简介学而思鸟头模型公式是一种几何学中的数学模型，主要用于解决平面几何和三维几何问题。

这个模型公式基于鸟头相似（Bird's Head Similarity）的概念，通过将两个相似三角形中的一个三角形进行旋转，使其与另一个三角形共顶点，从而构建出一个新的几何图形。

这个几何图形可以用于解决一系列的几何问题，如角度、距离、面积等。

学而思鸟头模型公式的基本步骤如下：1.确定两个相似三角形，记为三角形ABC和三角形A'B'C'。

2.将三角形A'B'C'绕顶点A'旋转至与三角形ABC共顶点，旋转的角度记为θ。

3.连接AA'、BB'和CC'，将这三条线段分别延长至点D、E和F。

4.由于三角形ABC和三角形A'B'C'是相似的，根据相似三角形的性质，我们有：(AD = \frac{AA'}{cos\theta})(BE = \frac{BB'}{cos\theta})(CF = \frac{CC'}{cos\theta})(DE = AD + EE = \frac{AA'}{cos\theta} + \frac{BB'}{cos\theta}) (DF = AD + FF = \frac{AA'}{cos\theta} + \frac{CC'}{cos\theta}) (EF = EE + FF = \frac{BB'}{cos\theta} + \frac{CC'}{cos\theta})5. 应用上述公式，可以求出各个线段的长度，进而求出三角形的角度、面积等。

通过学而思鸟头模型公式，我们可以将两个相似三角形的各种属性进行关联，从而方便地解决一系列的几何问题。

这个模型公式的应用范围很广，不仅适用于平面几何问题，也适用于三维几何问题。

第四讲 有趣的立体图形一、立体图形1、柱体家族（上下一样粗） 长方体：6面，8点，12棱正方体：6面（都是正方形），8点，12棱 圆柱体：3面多棱柱：三棱柱，四棱柱等等 2、锥体家族（上面尖尖的） 圆锥体：2面多棱锥：三棱锥（6棱，4面） 四棱锥（8棱，5面） 3、球体家族（可滚来滚去） 如：足球，篮球…二、正方体的展开图1、判断是否可以折成正方体： （1）方法：最长方向上有四个面 两边各一个（随便放）（2）模型：“141型”：最长方向有4个，两边各1个。

“231型”：鸭子有嘴又有腿 特殊：“222型” “33型” 2、相对面：（1）从展开图最长方向入手开始找 （2）正方体，对手只有一个，邻居有四个——崔琰老师例1、找不同，把下面图中不同于其他类的立体图形圈起来。

解析：（1）里面的第四个图形，上下面不一样所以是叛徒。

圈一下。

（2）里面的第三个图形是球形，其余都是柱体。

（3）里面大部分都是锥体，只有第二个上下面一样所以是柱体，把它圈出来。

例2、下面的图形可以折成正方体吗？请根据折成的图形判断，每个面上的字母是和哪个字母相对。

解析：我们可以想象的到最长的方向上有四格的话可以围成一圈，然后另外两格一边一个就能把我们刚刚围城的图形一上一下的盖上。

所以首先一上一下我们可以确定E和F相对。

然后再来看A和B相连，肯定不会相对，当围成一圈后头尾会连在一起，所以A和D相连。

这样看下来，A只能和C相对，然后B和D相对。

例3、把一个正方体剪开可以得到多种不同的展开图，下面三个都可以折成一个正方体吗？可以的打勾，不可以的打叉。

解析：绿色的图中间最长方向上四格能围成一圈，另外两格一边一个肯定可以围成正方体，打上勾。

蓝色的图我们先来找最长方向，一个一个打上勾之后横着的方向上有四格，但是另外两格在同一边所以我们打上叉叉。

橙色的图，是正方体展开图中两个特例之一，我们称它为“222型”，动手折后我们发现它是可以围成正方体的。

另外小提示：另外一个特例是“33型”。

第一节多姿多彩的图形一、课标导航二、核心纲要l .几何图形(1)几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．(2)立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形．(3)平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，它们是平面图形．(4)从不同方向看立体图形：从正面、左面、上面三个不同方向看几何图形，往往会得到不同形状的平面图形．(5)展开图：将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．2.点、线、面、体(1)点、线、面、体的概念①几何体也简称为体，如长方体、正方体等．②包围着体的是面，面有平面和曲面两种．③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种．④线与线相交形成点．(2)点动成线、线动成面、面动成体．3.几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素.4.基本图形5. 欧拉公式简单多面体的顶点数V 、面数F 及棱数E 之间的关系为：.2=-+E F v 6.正方体的11种展开图 (1)“1-4-1"型(2)“2—3—1”型(3)“3—3”型 (4)“2—2—2”型本节重点讲解：三个图形（平面图形、立体图形、展开图），四个概念（点、线、面、体），七种常见几何体，一个公式（欧拉公式）．三、全能突破基础演练1．图4-1-1所示的直角梯形绕直线L旋转一周，得到的立体图形是( )2．以下图形中，不是平面图形的是( )A．线段 B．角 C．圆锥 D．圆3．圆柱的侧面展开图形是( )A．圆 B．长方形 C梯形 D．扇形4．一个全透明的玻璃正方体，上面嵌有一根黑色的金属丝，如图4-1-2所示，从上面看时金属丝的形状是( )5．一个无盖的正方体盒子的平面展开图可以是图4-1-3中( )A.图(a)、图(b) B．图(a)、图(c) C．图(b)、图(c) D.只有图(a)6．如图4-1-4所示，这个几何体的名称是；它由个面组成；它有一个顶点；经过每个顶点有条边．7.18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图4-1-5中几种简单多面体模型，解答下列问题：你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是(2)-个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是能 力 提 升8．将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的平面展开图如图4-1-6所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )A ．文B ．明C ．城D ．市9．如图4-1-7所示是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是( ) A ．①⑤ B②④ C ．③⑤ D ．②⑤图4-1-610.图4-1-8所示是一个正方体的平面展开图，已知正方体的每一个面都有一个有理数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式b ca-的值等于( ) 43.-A 6.-B 43.C 6.D11．将一正方体纸盒沿图4-1-9所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为( )12．图4-1-10所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是( )13．图4-1-11所示是一个没有完全剪开的正方体，若再剪开一条棱，则得到的平面展开图可能是下列六种图中的．（填写字母）14．图4-1-12所示的七个平面图形中，有圆柱、圆锥、三棱柱、三棱锥的表面展开图，请你把立体图形与它的表面展开图用线连接．15．图4 -1-13是由几个小立方块堆放在一起后从上面看得到的平面图形，请画出从几何体的正面、左面看的示意图．16.用平面去截一个正方体，最多有几种不同边数的截面？17．(1)写出下列各数的相反数：3，8，-10;(2)图4-1-14(a)是一个正方体盒子的展开图，请把上面各数与它们的相反数分别填入六个小正方形，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数；(3)图4-1-14(b)是一个正方体盒子的展开图，请在其余的三个空格内填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数互为相反数；(4)图4-1-14(c)是一个正方体盒子的展开图；正方体相对面上的两个数互为相反数；写出图中x，y，z的值．18.如图4-1-15(a)所示，大正方体上截去一个小正方体后，可得到图4-1-15 (b)的几何体．(l)设原大正方体的表面积为S，图4-1-15(b)中几何体的表面积为/S那么/S与S的大小关系是( ) .sSC<. D．不确定B=sS.ssA>(2)小明说：“设图4-1-15(a)中大正方体各棱的长度之和为C，图4-1-15 (b)中几何体各棱的长度之和为,/c那么/c比c正好多出大正方体3条棱的长度”，若设大正方体的棱长为1，小正方体的棱长为x，请问x为何值时，小明的说法才正确？(3)如果截去的小正方体的棱长为大正方体棱长的一半，那么图4-1-15(c)是图4-1-15 (b),中几何体的表面展开图吗？如有错误，请在图4-1-15 (c)中修正．19.现有图4-1-16所示的废铁皮，准备用它来加工一些棱长为10cm的无盖正方体铁盒，问怎样下料（画线），才能使得加工的盒子数最多？最多几个？中考链接20．（2011．徐州）以下各图均有彼此连接的六个小正方形纸片组成，其中不能折叠成一个正方体的是( )21．(2010．北京)美术课上，老师要求同学们将如图4-1-17所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是( )22．(2010．宁夏)用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是( ) A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方形巅峰突破23.图4-1-18(a)是图4-1-18(b)中立方体的平面展开图，左右两图中的箭头位置和方向是一致的，那么图4-1-18(a)中的线段AB 与图4-1-18(b)中对应的线段是( ) e A . h B . k C . d D .24.设5cm×4cmX 3cm 长方体的一个表面展开图的周长为ncm ，则n 的最小值是25.用橡皮泥做一个棱长为4cm 的正方体． (1)如图4-1-19(a)所示，在顶面中心位置处从上到下打一个边长为lcm 的正方形通孔，打孔后的泥块的表面积为 ,2cm(2)如果在第(1)题打孔后，再在正面中心位置处(按图4-1-19 (b)中的虚线）从前到后打一个边长为lcm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为 ,2cm(3)如果把第(2)题中从前到后所打的正方形通孔扩成一个长xcm 、宽lcm 的长方形通孔，能不能使所得橡皮泥块的表面积为？2130cm 如果能，请求出x ；如果不能，请说明理由，。

学而思思维训练教程之几何（三）立体图形几何（三）立体图形1 一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，下图就是抽空的状态。

右图中剩下的小正方体有多少个？2.如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞。

已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积。

审题要点：大正方形减去右边图形就是我们要求的体积。

3.一个酒瓶里面深30cm，底面内直径是10cm，瓶里酒深15cm。

把酒瓶塞紧后使其瓶口向下倒立这时酒深25cm。

酒瓶的容积是多少？4.如图，ABCD是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线AC，BD 相交0.图中的阴影部分以CD为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米？5.左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。

请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。

6.一个3×3×3的正方体。

用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？7.将一个棱长为整数的（单位：分米）的长方体6个面都涂上红色，然后把它全部切成棱长为1分米的小正方体。

在这些小正方体中，6个面都没有涂红色的有12块，仅有两个面涂红色的有28块，仅有一面涂红色的有____块。

原来长方体的体积是____立方分米。

8.如下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？9.现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽各为1cm，高为2cm的长方体，三个长宽各为1cm，高为3cm的长方体。

下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。

试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。

让学习更有效 学而思培优秋季班 一年级第4讲 一年级第四讲知识点总结——有趣的立体图形
本节课主要学习简单的立体图形及其展开图，以及数立方体图形的一般方法。

一、认识立体图形
1、柱体
特征：上、下两面一模一样，从上到下一样粗
代表：圆柱、三棱柱、长方体、正方体、六棱柱
底面图形有几条边，就叫几棱柱
2、锥体
特征：一头尖
代表：圆锥、三棱锥
底面图形有几条边，就叫几棱锥
3、球体
特征：可以往各个方向滚动
代表：各种球
二、立体图形的展开图
1、 立体图形的每个面都是一个平面图形
2、 立体图形展开时每个面的图形不变
一、 立体图形计数
1、分层法
上一层有几个小方块，下一层就要有对应个数的小方块来支撑
1+3+6=10（个）
2、数楼房
把小方块看成堆起来的楼房，一栋一栋标楼层
3+2+2+1+1+1=10（个）。

2022_一年级学而思杯数学试题最新的一年级数学试题解析1.计算：13+34+66+87=___________．【解析】利用凑整的方法速算，加法算式中找个位是好朋友的凑整，13+87=100,34+66=100，最后100+100=200【难度】★【杯赛考点】数学花园探秘和日本奥赛中计算都是首要考察内容。

【奥数体系】一级下（飞速计算），一级下（加加减减我会算）二级上（加、减竖式我会算），二级下（简单的速算）2.小朋友们找一找下面两幅图中第_________部分不相同？一句话点评：计算是我们的学习数学的基础，小朋友们一定天天练习口算哦！【解析】结合游戏考察观察力，四幅图仔细寻找，用排除的方法。

发现第一幅图中墙面上多一块砖。

【难度】★【杯赛考点】日本奥赛中有相关游戏题目，结合游戏提高孩子学习兴趣。

【奥数体系】一级下（益智趣题），一级下（我会动脑筋），二级上（数学乐园）一句话点评：小朋友们，喜欢找不同的游戏吗？有些益智游戏也可以开拓我们的思维，不过一定要注意保护视力。

3.右图中共有___________个三角形【解析】先给每一个小图形标上数，然后用恰含的方法分类来找。

由一个小图形组成的三角形有：3个（很多孩子马虎容易看成4个），两个组合而成的有4个，三个组合的0个，四个组合的1个，最后3+4+1=8（个）。

【难度】★★【杯赛考点】几何初步和计数的思想，作为杯赛中几何部分的基础。

【奥数体系】一级下（有趣的平面图形），二级上（图形的剪拼），二级下（图形的计数）一句话点评：小朋友们，图形计数的时候一定要有序的枚举出来，小心陷阱，做到不重不漏。

4．图形找规律，找一找下图中A、B、C、D可以填入“问号处”的是___________（选择A、B、C、D填写在横线上）．【解析】通过观察发现每一行中，前面两个正方形中的图形组合成为第三个，可以尝试在第二个图形中画第一个图。

答案选A【难度】★★【杯赛考点】日本奥赛和数学花园探秘中对于几何的考察内容较多，找规律在是数学中最常用到的方法。

学而思五巧板拼图五巧板是我在学校教孩子拼图时就教过的一种玩法，我觉得这种玩法能锻炼孩子的观察力和想象力，锻炼孩子对于形状的感知能力。

也是让孩子从小就养成动手动脑，动手能力的一个重要的途径。

五巧板是一个非常有意思而又非常好玩的一种玩具。

很多孩子都有玩五巧板的时候没有玩过几次。

虽然孩子也喜欢玩拼图这种东西但是我不喜欢这样的事情，玩完之后又会想着不玩了了，所以我就给他买了一套拼好再玩一遍的感觉还是蛮好玩的。

可以锻炼孩子们的动手能力。

在拼图这方面我还是很支持的！的，我也没有什么别的想法，但是我想如果给我儿子也做一个这样的拼图吧！我觉得这个也是在培养孩子想象力，让他学会观察然后自己动手的过程。

也是对自己动手能力的一种锻炼和培养吧！希望孩子长大以后也是一个很聪明的人~这样我们就很完美了！哈哈哈哈!##今天分享下这款五巧板的拼图，希望对孩子有所帮助...下面看看是不是很好看哦！1、先画出两个对角这是一张图，主要用来引导孩子们把两个对角找对。

用到的教程比较简单，就是把两块五巧板板分成两个等分。

中间留出一个小凹槽。

然后再根据需要画出两个角点。

从两个对角中间处开始画两边！因为是白色的所以画出来的比较浅，在画完的时候把小角也画出来。

当然也可以不用画那么长了就直接放在最下面就好了。

如果需要的话我就给他拿一个就好了~最后一步我们来给他拼另外一张。

如果没有拼图的话，我们还需要自己组装。

最后一步就是给两个对角上色。

这样看上去比较美观。

而且这个拼图也是在锻炼孩子们想象力，创造力和想象力，锻炼孩子们的动手能力以及观察力。

这套五巧板拼图大概需要四个人一起才能完成吧！2、用木板对齐第一步先把木板粘在一起，板子要完全对齐。

如果没有固定物的话，那么就用一块底板。

两块板子对齐。

这样再继续拼下一块就可以拼出自己喜欢的图案了~然后把木板对齐啦！注意看木板上有没有什么问题，如果有问题那就找他玩去了~这样拼好之后就可以直接去玩耍啦！也可以用积木把它组合起来。

一年级数学思维训练：《有趣的立体图形》 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一年级数学思维训练：《有趣的立体图形》《有趣的立体图形》课前预热所属体系板块：第一级下有趣的立体图形主要知识点：1）认识和区分常见的立体图形；2）认识立体图形的展开图；3）数图形：分层数。

能力培养：观察力、逻辑思维体系对接：第四级上图形的分割例题展示：课前预热：1）认识顶点、线、面；2）认识各类立体图形及其特点：柱体（长方体、正方体、圆柱体、三棱柱、六棱柱）、椎体（圆锥体、三棱锥、四棱锥、六棱锥）、球体。

《有趣的立体图形》知识点精讲一、认识立体图形1、柱体①上下一样粗②上面下面形状、大小都相同2、椎体站正后，脑袋尖尖3、球体二、展开图找特征图形【例】下面四个图形是立体图形的展开图，你能说出这些立体图形的名称吗？【解析】找特征图形。

正方体、长方体、四棱锥、三棱柱三、数图形分层数（顺序：从上到下）每层个数=看得见+上一层个数【例】下面的图形有（）个方块堆成。

【解析】分层数。

从上往下数：第一层：1个第二层：2（看得见）+1（上一层个数）=3个第三层：1（看得见）+3（上一层个数）=4个1+3+4=8（个）《有趣的立体图形》课后拓展练习1、挑出各种立体图形，在对应括号中填入编号。

2、球有（）个，圆柱体有（）个，圆锥体有（）个。

3、正方体）图形？A． B. C. D.4、下图是小明搭的积木，数一数一共有（）个小正方体。

5、数一数，下面的“沙发”是由（）块小方块搭成的。

【答案解析】1. 长方体：1,5；立方体：2；圆柱：4,7；圆锥：3,6；球：8。

2. 球：5个；圆柱：1个；圆锥：5个。

3. A。

4. 10个。

5. 20个。

有趣的立体形认识常见的立体几何体有趣的立体形：认识常见的立体几何体立体几何体是我们生活中常见的物体，无论是建筑、家具还是日常用品，都离不开立体几何体的存在。

通过对立体几何体的认识，我们能够更好地理解它们的性质和特点，并且从中找到一些有趣的现象。

本文将介绍一些常见的立体几何体，并通过简单的实例，展示它们的立体形。

1. 正方体正方体是最基本也是最简单的立体几何体之一。

它有六个面，每个面都是正方形，八个顶点和十二条边。

正方体具有对称性，可以从任何一个面上进行旋转得到完全一样的形状。

我们常见的骰子就是一个典型的正方体。

2. 球体球体是一种没有任何棱角和面的立体几何体。

它的表面是光滑的，无论从哪个方向看都是完全一样的。

球体的体积和表面积公式分别为V=4/3πr³和A=4πr²，其中r为球体的半径。

由于球体的特殊性质，它在日常生活中广泛应用于球类运动、天文学、化学等领域。

3. 圆柱体圆柱体是一种由两个平行圆面和一个侧面连接而成的立体几何体。

它的侧面是一个矩形，底面和顶面是相同的圆形。

圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中r是底面半径，h是圆柱体的高度。

例如，我们常见的铅笔筒就是一个圆柱体。

4. 圆锥体圆锥体是由一个圆锥面和一个圆形底面组成的立体几何体。

圆锥体的侧面是斜面，呈锥形状。

圆锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中r是底面半径，h是圆锥体的高度。

圆锥体在日常生活中也有很多应用，比如交通锥、冰淇淋蛋筒等。

5. 正四面体正四面体是一种由四个等边三角形组成的立体几何体。

它有四个面，六个边和四个顶点。

正四面体具有对称性，每个面上的三角形都是相等的。

正四面体的特点是每两个顶点的连线都相等，并且形成四个相等的面角。

正四面体在几何学和立体展开图等领域有广泛的应用。

通过上述对常见的立体几何体的介绍，我们可以发现它们各具特色，形态各异。

这些立体几何体不仅存在于我们的生活中，而且在科学和数学等领域中都有非常重要的应用。