【5A文】关于序列二次规划(SQP)算法求解非线性规划问题研究

含VSC-HVDC的交直流系统可用输电能力计算李国庆;张健【摘要】利用等值电压源方法对电压源换流器进行等效,从而导出了适合于优化计算的电压源换流器型直流输电(VSC-HVDC)系统模型.该模型能够考虑换流器的各种控制方式及运行限制,且可用于多端直流系统.建立了含有VSC-HVDC的交直流系统可用输电能力计算模型,在模型中考虑了对换流器控制变量的多种优化方式,并应用序列二次规划法对模型进行求解.通过对修改后的EPRI-36节点交直流系统进行仿真计算,验证了所提出模型的实用性及算法的有效性.%The voltage source converter is equivalently represented by voltage source model, thus the model of voltage source converter-high voltage direct current (VSC-HVDC) system suitable for optimal power flow calculation is developed.The model considers any control mode and operating limits of the converter: moreover, it could be applied to multi-terminal VSC-HVDC.The mathematical model of ATC for AC/DC systems with VSC-HVDC is set up in this paper, in which various methods for optimizing control variables of converters are considered.Sequential quadratic programming method is applied to calculate the ATC model.The modified EPRI-36 bus AC/DC system is simulated and numerical results illustrate the utility and validity of the proposed model and method.【期刊名称】《电力系统保护与控制》【年(卷),期】2011(039)001【总页数】7页(P46-52)【关键词】可用输电能力;电压源换流器;交直流系统;序列二次规划法【作者】李国庆;张健【作者单位】东北电力大学电气工程学院,吉林,吉林,132012;吉林省电力有限公司调度通信中心,吉林,长春,130021【正文语种】中文【中图分类】TM71在电力市场环境下，电力系统区域间可用输电能力不仅是衡量输电网传输能力的一个重要指标，也可以为判断电网是否安全稳定运行提供依据，而且还能够引导市场参与者进行电力交易、刺激商业竞争以充分利用现有资源。

A SQP Algorithm for Solving Constrained Min-Max
Problems
作者： 陈源;胡伯霞;李龙;史先铭
作者机构： 衡阳师范学院数学与计算科学系,湖南衡阳421002
出版物刊名： 衡阳师范学院学报
页码： 8-10页
年卷期： 2014年 第3期
主题词： 带约束的极大极小问题;约束优化问题;SQP算法
摘要：提出了一种修正的SQP算法求解带约束的极大极小问题，仅添加一个额外的变量，
将带约束的极大极小问题转化为序列二次规划问题。

证明了在合理的假设条件下，序列二次规划问题的极小值点就是原问题的极小值点。

数值结果表明这种SQP算法是求解带约束有限极大极小问题的一种有效算法。

• 126•数字阵列雷达通过发射、接收和分离正交波形实现多目标搜索和跟踪，而雷达正交波形的正交性对后续的数据处理环节有很大影响。

研究序列二次规划算法、代数法两种正交波形产生方法后，提出了自适应遗传算法产生正交波形的方法，并分别阐述了三种方法的优缺点和改进点。

数字阵列雷达是雷达发展的方向之一，它通过发射、接收和分离正交波形实现多目标搜索和跟踪。

相比于传统的相控阵雷达，数字阵列雷达有更强的多目标搜索和跟踪能力，更高的距离分辨力。

数字阵列雷达的波形需要使用正交波形来抑制不同目标回波的互相干扰，实现从回波中提取每一个目标的独立信息。

波形的正交性极大的影响了后续的脉冲压缩及恒虚警处理环节。

在数学上一般用自相关旁瓣峰值和互相关峰值来描述波形的正交性。

2004年，Deng 采用了模拟退火算法设计了正交四相码波形，自相关旁瓣峰值为-14.8dB ，互相关峰值为-13.5dB ；2006年，刘波等使用遗传算法设计的正交波形进一步降低了信号的自相关旁瓣峰值和互相关峰值；2011年，胡亮兵采用约束非线性规划算法设计的正交多相码，其正交性优于文献；2014年吉林大学孙明亮使用混沌序列设计二相编码信号，运算速度和波形的多样性都有了提升。

本文拟对正交多相码波形设计的遗传算法，序列二次规划算法和代数法三种方法进行研究，分别仿真得到正交多相码波形，并在波形的正交性、算法的复杂度等方面比较三种算法的优缺点，提出三种算法的改进方法。

1 数学模型一般的相位编码信号形式为u (t )=a (t )e jφ(t )，其中a (t )为矩形脉冲，φ(t )为信号的相位。

假设一个正交数字阵列雷达有L 个子阵，每个子阵的发射天线发射一个正交信号集中的不同正交信号。

若信号集种所有的正交信号符合一般的相位编码信号形式，且为恒模信号，则该信号集形式为。

正交信号重要的性质之一是正交性，与它相关的两个参数如式(1)所示，其中A (φl , k )为自相关函数，C (φp , φq , k )为互相关函数。

(1)带约束的非线性优化问题解法小结考虑形式如下的非线性最优化问题(NLP):min f(x)「g j (x )“ jI st 彳 g j (x)=O j L其 中， ^(x 1,x 2...x n )^ R n， f : R n > R ， g j :R n > R(j I L) ， I 二｛1,2,…m ｝， L ={m 1,m 2...m p}。

上述问题(1)是非线性约束优化问题的最一般模型，它在军事、经济、工程、管理以 及生产工程自动化等方面都有重要的作用。

非线性规划作为一个独立的学科是在上世纪 50年 代才开始形成的。

到70年代，这门学科开始处于兴旺发展时期。

在国际上，这方面的专门性 研究机构、刊物以及书籍犹如雨后春笋般地出现，国际会议召开的次数大大增加。

在我国， 随着电子计算机日益广泛地应用，非线性规划的理论和方法也逐渐地引起很多部门的重视。

关于非线性规划理论和应用方面的学术交流活动也日益频繁，我国的科学工作者在这一领域 也取得了可喜的成绩。

到目前为止，还没有特别有效的方法直接得到最优解，人们普遍采用迭代的方法求解： 首先选择一个初始点，利用当前迭代点的或已产生的迭代点的信息，产生下一个迭代点，一 步一步逼近最优解，进而得到一个迭代点列，这样便构成求解( 1)的迭代算法。

利用间接法求解最优化问题的途径一般有：一是利用目标函数和约束条件构造增广目标 函数，借此将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，然后利用求解无约束最优化问题的 方法间接求解新目标函数的局部最优解或稳定点，如人们所熟悉的惩罚函数法和乘子法；另 一种途径是在可行域内使目标函数下降的迭代点法，如可行点法。

此外，近些年来形成的序 列二次规划算法和信赖域法也引起了人们极大的关注。

在文献［1］中，提出了很多解决非线性 规划的算法。

下面将这些算法以及近年来在此基础上改进的算法简单介绍一下。

1. 序列二次规划法序列二次规划法，简称SQ 方法.亦称约束变尺度法。

mpc快速求解方法
MPC（Model Predictive Control）是一种基于预测的控制算法，用于优化具有约束条件的非线性系统。

由于其计算复杂度较高，因此需要采用快速求解方法来提高计算效率。

以下是几种常用的MPC快速求解方法：
1. 块坐标下降法（Block Coordinate Descent）：将多维的MPC问题分解为多个一维子问题，逐个求解每个子问题，从而降低计算复杂度。

2. 内点法（Interior Point Method）：将MPC问题转化为一个二次规划问题，并使用内点法进行求解。

相比于传统的线性规划方法，内点法可以更好地处理约束条件，并且具有更快的收敛速度。

3. 序列二次规划（Sequential Quadratic Programming，SQP）：将MPC问题转化为一个二次规划问题，并使用SQP方法进行求解。

SQP方法通过迭代优化当前时刻的二次规划子问题来逐步推进整个问题的求解过程，具有较高的计算效率和精度。

4. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：对于一些复杂的MPC问题，可以通过蒙特卡洛模拟来进行快速求解。

该方法利用随机采样的思想，通过多次模拟来逼近真实的最优解，具有较好的鲁棒性和适应性。

以上是常用的MPC快速求解方法，不同的方法适用于不同类型的MPC问题，选择合适的方法可以提高计算效率和精度。

这个函数的基本形式为x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)其中fun为你要求最小值的函数，可以单写一个文件设置函数，如以上给的例子中。

1.如果fun中有N个变量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排个顺序，在fun 中统一都是用x(1),x(2）....x(n) 表示的。

2. x0, 表示初始的猜测值，大小要与变量数目相同3. A b 为线性不等约束，A*x <= b， A应为n*n阶矩阵，学过线性代数应不难写出A和b4 Aeq beq为线性相等约束，Aeq*x = beq。

Aeq beq同上可求5 lb ub为变量的上下边界，正负无穷用 -Inf和Inf表示， lb ub应为N阶数组6 nonlcon 为非线性约束，可分为两部分，非线性不等约束 c，非线性相等约束，ceq可按下面的例子设置function [c,ce] = nonlcon1(x)c = -x(1)+x(2)^2-4;ce = []; % no nonlinear equality constraints7，最后是options，可以用OPTIMSET函数设置，见上例具体可见OPTIMSET函数的帮助文件。

对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为：options(1)-参数显示控制（默认值为0）。

等于1时显示一些结果。

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。

options = optimset('TolX',1e-8)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。

options = optimset('TolFun',1e-10)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。

数学中的优化理论与最优化方法一、优化理论概述1.优化理论的定义：优化理论是研究如何从一组给定的方案中找到最优方案的数学理论。

2.优化问题的类型：–无约束优化问题–有约束优化问题3.优化问题的目标函数：–最大值问题–最小值问题二、无约束优化方法1.导数法：–单调性：函数在极值点处导数为0–凸性：二阶导数大于0表示函数在该点处为凸函数2.梯度下降法：–基本思想：沿着梯度方向逐步减小函数值–步长：选择合适的步长以保证收敛速度和避免振荡3.牛顿法（Newton’s Method）：–基本思想：利用函数的一阶导数和二阶导数信息，构造迭代公式–适用条件：函数二阶连续可导，一阶导数不间断三、有约束优化方法1.拉格朗日乘数法：–基本思想：引入拉格朗日乘数，将有约束优化问题转化为无约束优化问题–适用条件：等式约束和不等式约束2.库恩-塔克条件（KKT条件）：–基本思想：优化问题满足KKT条件时，其解为最优解–KKT条件：约束条件的斜率与拉格朗日乘数相等，等式约束的拉格朗日乘数为03.序列二次规划法（SQP法）：–基本思想：将非线性优化问题转化为序列二次规划问题求解–适用条件：问题中包含二次项和线性项四、最优化方法在实际应用中的举例1.线性规划：–应用领域：生产计划、物流、金融等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、产能限制等2.非线性规划：–应用领域：机器人路径规划、参数优化等–目标函数：最大化收益或最小化成本–约束条件：物理限制、技术限制等3.整数规划：–应用领域：人力资源分配、设备采购等–目标函数：最大化利润或最小化成本–约束条件：资源限制、整数限制等4.动态规划：–应用领域：最短路径问题、背包问题等–基本思想：将复杂问题分解为多个子问题，分别求解后整合得到最优解5.随机规划：–应用领域：风险管理、不确定性优化等–基本思想：考虑随机因素，求解期望值或最坏情况下的最优解数学中的优化理论与最优化方法是解决实际问题的重要工具，掌握相关理论和方法对于提高问题求解能力具有重要意义。

毕业论文题目：用MATLAB分析最小值和最大值的问题姓名：木扎帕尔·木合塔尔专业：数学与应用数学班级： 2003-6班院（系）：数理信息学院指导老师：阿不力米提新疆师范大学MATLAB求最小值和最大值木扎帕尔.木合塔尔新疆师范大学数理信息学院03-6班摘要:我们一般在学习和工作中遇到一些函数,并需要其最小值与最大值,本文讨论一些复杂的函数的最小值与最大值,用MATLAB来求解及分析.关键词:最小值;最大值;MATLAB.用MATLAB分析最小值和最大值的问题我们在学习和工作中需要求解一些函数的最小值和最大值,并用最小值和最大值来分析日常生活中我们遇到的一些问题.一般的问题我们能直接计算出来,但对有一些问题来说求救它的最小值和最大值很复杂,MATLAB具有强大的计算功能,以下我们要讨论的主要问题就是用MATLAB能计算出那些复杂的问题.先看以下例子[1]用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱,问怎样选择水箱的长,宽,高才最省钢板.解:设水箱长,宽,高分别是x,y,z.已知xyz=V,从而z=V/xy.水箱表面的面积 S=xy+V/xy(2x+2y)=xy+2V(1/x+1/y),S的定义域D={(x,y)︱0<x<+∞,0<y<+∞}.这个问题就是求函数S在区域D内的最小值.解方程组∂S/∂x=y+2V(-1/2x)=y-2V/2x=0,yy ψ''(x,y)=-2(p-x).[]2),(y x xy ψ''-xx ψ''(x,y) yy ψ''(x,y) =42x +4xy+42y -8px-8py+52p .在稳定点(2p/3,2p/3), ∆=-2p /3<0,A=-2p/3<0.从而稳定点(2p/3,2p/3)是函数ψ,即ϕ的极大点.由题意, ϕ在稳定点(2p/3,2p/3)必取到最大值.当x=2p,y=2p/3时,z=2p-x-y=2p/3,即三角形三边长的和为定数时,等边三角形的面积最大.森林失火了!消防站接到报警后派多少消防队员前去救火呢?派的队员越多,森林的损失越小,但是救援的开支会越大,所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系,以总费用最小来决定派出队员的数目.问题分析 损失费通常正比于森林烧毁的面积,而烧毁面积于失火,灭火的时间有关,灭火时间又与灭火时间长短有关.记失火时刻为t=0 ,开始救火时刻为t=1t ,灭火时刻为t=2t .设在时刻t 森林烧毁面积为B(t),则造成损失的森林烧毁面积为B(2t ).建模要对函数B(t)的形式作出合理的简单假设.模型假设 需要对烧毁森林的损失费,救援费及火势蔓延程度δB/δd 的形式作出假设.1. 损失费与森林烧毁面积B(2t )成正比,比例系数1c 为烧毁单位面积的损失费.2. 从失火到开始救火这段时间(0≤t ≤1t )内,火势蔓延程度δB/δd 与时间t 成正比,比例系数β称火势蔓延速度.3. 派出消防队员x 名,开始救火以后(t ≥1t )火势蔓延速度降为β-x λ,其中λ可视为每个队员的平均灭火速度.显然应有β<x λ.4. 每个消防队员单位时间的费用为2c ,于是每个队员的救火费用是2c (2t -1t );每个队员的依次性支出是3c .描述：fminunc给定初值，求多变量标量函数的最小值。

实验报告11实验名称：用MATLAB 解二次型规划和一般非线性规划问题实验目的：学会如何运用MATLAB 解二次型规划和一般非线性规划问题； 实验内容：书P21111、试求解下面的二次型规划问题。

2122212136442min x x x x x x --+-⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0943..2,12121x x x x x t s x解：>> f=[-6,-3];H=[4,-4;-4,8];>> A=[1,1;4,1];B=[3,9];Aeq=[];Beq=[];xm=zeros(2,1);>> [x,f_opt]=quadprog(H,f,A,B,Aeq,Beq,xm,[],[])Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.> In quadprog at 232Warning: Large-scale method does not currently solve this problem formulation, using medium-scale method instead.> In quadprog at 263Optimization terminated.x =1.95001.0500f_opt =-11.025012、试求解下面的非线性规划问题。

()12424min 22122211++++x x x x x e x⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤--≥≥++-≤+10,10105.10..2121212121x x x x x x x x x x t s x 解：function [c,ceq]=cdd01(x)c=[x(1)+x(2);x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1.5;-x(1)*x(2)-10];ceq=[];>> y=@(x)exp(x(1))*(4*x(1)*x(1)+2*x(2)*x(2)+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);x0=[1;1];xm=[-10;-10];xM=[10;10];A=[];B=[];Aeq=[];Beq=[];[x,f_opt,c,d]=fmincon(y,x0,A,B,Aeq,Beq,xm,xM,@cdd01)Warning: Trust-region-reflective method does not currently solve this type of problem, using active-set (line search) instead.> In fmincon at 422Maximum number of function evaluations exceeded;increase OPTIONS.MaxFunEvals.x =3.1740-7.9967f_opt =1.2351e+003c =d =iterations: 54funcCount: 201lssteplength: 1stepsize: 5.6428algorithm: 'medium-scale: SQP, Quasi-Newton, line-search'firstorderopt: 390.0759constrviolation: 1.7857e-008message: [1x79 char]15、试求解下面的0-1线性规划问题解>> f=[5,7,10,3,1]>> A=[-1,1,-5,-1,4;2,-6,3,2,-2;0,-2,2,-1,-1] >> B=[-2;0;1]>> x_m=[0,0,0,0,0]>> x_M=[1,1,1,1,1]>> x=bintprog(f,A,B,[],[],x_m,x_M)x =11。

这个函数的基本形式为x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon，options)其中fun为你要求最小值的函数，可以单写一个文件设置函数，如以上给的例子中。

1.如果fun中有N个变量，如x y z, 或者是X1, X2,X3, 什么的，自己排个顺序，在fun 中统一都是用x(1),x(2）....x(n) 表示的。

2. x0, 表示初始的猜测值，大小要与变量数目相同3. A b 为线性不等约束，A*x <= b， A应为n*n阶矩阵，学过线性代数应不难写出A和b4 Aeq beq为线性相等约束，Aeq*x = beq。

Aeq beq同上可求5 lb ub为变量的上下边界，正负无穷用 -Inf和Inf表示， lb ub应为N阶数组6 nonlcon 为非线性约束，可分为两部分，非线性不等约束 c，非线性相等约束，ceq可按下面的例子设置function [c,ce] = nonlcon1(x)c = -x(1)+x(2)^2-4;ce = []; % no nonlinear equality constraints7，最后是options，可以用OPTIMSET函数设置，见上例具体可见OPTIMSET函数的帮助文件。

对于优化控制，MATLAB提供了18个参数，这些参数的具体意义为：options(1)-参数显示控制（默认值为0）。

等于1时显示一些结果。

&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(2)-优化点x的精度控制(默认值为1e-4)。

options = optimset('TolX',1e-8)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(3)-优化函数F的精度控制(默认值为1e-4)。

options = optimset('TolFun',1e-10)&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;options(4)-违反约束的结束标准(默认值为1e-6)。