道路桥梁工程技术专业教学资源库《工程测量》
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授课教师赵玉肖授课班级授课日期
注：授课颗粒教案是对该门课程每个授课颗粒的设定，“教学设计”包括教学内容、教学方法、作业等。
缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法 理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设 一、道路工程测量概述
分为：路线勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量(road construction survey) 。 （一）勘测设计测量(route reconnaissance and design survey) 分为：初测(preliminary survey) 和定测(location survey) 1、初测内容：控制测量(control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图(profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量(center line survey) 、测纵断面图(profile) 、横断面图(cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量(road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。 本章主要论述中线测量和纵、横断面测量。
圆锥曲线的切线问题 圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路 1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数 y =f (x) ，利用导数法求出函数y =f (x) 在点(x 0 , y ) 处的切线方程，特别是焦点在y 轴 上常用此法求切线；思路 2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式?= 0 ，即可解出切线方程，注意关于x （或y）的一元二次方程的二次项系数不为 0 这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法. 类型一 导数法求抛物线切线 例1 【2017 课表1，文 20】设A，B为曲线C：y= x 4 （1）求直线A B的斜率； 上两点，A与B的横坐标之和为 4． （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线A B平行，且A M⊥B M，求直线A B的方程． 类型二椭圆的切线问题 2
5 + = > > 例 2（2014 广东 20）（14 分）已知椭圆C : x a 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的一个焦点为( 5, 0) ， b 2 离心率为 . 3 （1） 求椭圆 C 的标准方程； （2） 若动点 P (x 0 , y 0 ) 为椭圆外一点，且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 类型三 直线与椭圆的一个交点 例 3.【2013 年高考安徽卷】已知椭圆 C : x a 2 y 2 b 2 1(a b 0) 的焦距为 4 ， 且过点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设Q (x 0 , y 0 )(x 0 y 0 ≠ 0) 为椭圆C 上一点，过点Q 作 x 轴的垂线，垂足为 E .取点 A (0, 2 2) ,连接 AE ，过点 A 作 AE 的垂线交 x 轴于点 D .点G 是点 D 关于 y 轴的对称点， 作直 线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆 C 一定有唯一的公共点？并说明理由. 【解析】（1）因为椭圆过点 P ( 2，3) ∴ 2 + 3 = 1 a 2 b 2 且a 2 = b 2 + c 2 P ( 2，3) . 2 2
实习四 圆曲线详细测设——切线支距法 一、实习目的及要求 1. 学会用切线支距法详细测设圆曲线。 2. 掌握切线支距法测设数据的计算及测设过程。 二、仪器设备与工具 1. 由仪器室借领：经纬仪1台、皮尺1把、小目标架3根、测钎若干个、方向架1个、记录板1块。 2. 自备：计算器、铅笔、小刀、记录计算用纸。 三、实习方法与步骤 1．切线支距法原理： 切线支距法是以曲线起点YZ 或终点ZY 为坐标原点，以切线为X 轴，以过原点的半径为Y 轴，根据曲线上各点的坐标（X ，Y ）进行测设，故又称直角坐标法。如图9-1所示，设P 1、P 2…为曲线上的待测点，l i 为它们的桩距（弧长），其所对的圆心角为i ?，由图可以看出测设元素可由下式计算 ： 式中： 2. 测设方法 （1）在实习前首先按照本次实习所给的数据计算出所需测设数据。 （2）根据所算出的圆曲线主点里程测设圆曲线主点。 （3）将经纬仪置于圆曲线起点(或终点)，标定出切线方向，也可以用花杆标定切线方向。 （4）根据各里程桩点的横坐标用皮尺从曲线起点(或终点)沿切线方向量取x 1、x 2、x 3……，得各点垂足，并用测钎标记之，如图4-1所示。 （5）在各垂足点用方向架标定垂线，并沿此垂线方向分别量出y 1、y 2、y 3……，即定出曲线上P 1、P 2、P 3……各桩点，并用测钎标记其位置。 sin (1cos ) x R y R ??==-180l R ?π ?=?图4-1 切线支距法测设原理
（6）从曲线的起(终)点分别向曲线中点测设，测设完毕后，用丈量所定各点间弦长来校核其位置是否正确。也可用弦线偏距法进行校核。 五、实习数据 已知：圆曲线的半径R =100 m，JD2的里程为K4 +296.67，桩距l =10 m，按切线支距整桩距法设桩，试计算各桩点的坐标(x，y)，并详细测设此圆曲线（转角视实习场地现场测定）。
椭圆、双曲线切线方程的一个简便求法 中学数学研究2009年第6期 的直线方程. 分析:要求A的内外角平分线所在的直 线方程,只要分别求出它们的斜率即可,由角平 分线到两边的角相等,很容易求出斜率. 解:设A的角平分线为AM,由AB到 AM的角等于AM到Ac的角可知: kAc--kAM ,解得k-=711k Ac AM或+.忌 AB+.‰ 忌=一专,所以直线AM的方程为:ll:7x— Y一17=0或Z2:+7y一31=0,它们分别是 A的内外角平分线所在的直线方程.因为内 角平分线内分对边,所以点B,C应在AM的 异侧.经验证,点B,C在直线l1的异侧,而点 B,C在直线z2的同侧.因而z1:7x—y一17=0 为A内角平分线所在直线方程,z2:z+7y一 31=0为A的外角平分线所在的直线方程. 例7已知集合A={(,Y)IY一√3z≤ 0},集合B={(z,Y)I+(Y一口)≤1},若A nB=B,求a的取值范围. 解:Y一√3z≤0表示直线Y一√3z=0右下 方的平面区域,+(Y—a)≤1表示圆+ (Y一口)=1的内部和圆周上的点的集合,要使
AnB=B,只要z+(Y一口)≤1的区域全部 在Y一√3z≤0区域的右下方即可,所以圆心到 直线的距离大于这个圆的半径就可以了. I一一I 即d=L>1,由于a<0,所以口<一2. 总之,线性规划不光能解决目标函数在线 性约束条件下的最值问题,还可以解决与平面 区域有关的问题,而且运算量较小.因此可以促 进思维能力创新,请在复习中认真体会,仔细推 敲. 参考文献 [1]高考复习专题二,2009年高考复习预测.中学数学 教学增刊. [2]陈贵伦.直线与椭圆位置关系问题的换元解法,中 学数学教学(.,).2009,1. 簟■j-}_}业,'}j-}-}-}j-}-}jkr,'簟j.},Ij●}1■}j-}_}■}—j●}-}——j_}j-}1-'}j-}—_}1■}j-}j- 椭圆,双曲线切线方程的一个简便求法 江西省吉安县二中(343100)罗章军 大家都知道,求椭圆,双曲线切线方程通常 用导数法,△法等,但运算量都较大.笔者运用 线性规划知识找到一种求椭圆,双曲线切线方 程新法,较为简便实用.现简述如下. 定理1若直线z:Y=如+m为椭圆 f.znncosa ,. (口>0,b>o,∈[0,27f))的切线, (Yo—Osm0' 设z=k.zo+m—Yo,贝0仃mx=0或tIli=0.其
§ 11-5 圆曲线加缓和曲线的详细测设 一、偏角法测设圆曲线加缓和曲线 1、偏角法测设缓和曲线部分 2、偏角法测设圆曲线部分 二、切线支距法测设圆曲线加缓和曲线 偏角法优点：是有校核，适用于山区； 缺点：是误差积累。 所以测设时要注意经常校核。（要安置四次仪器（ZH、HY、YH、HZ））。 切线支距法的优点：方法简单，误差不积累； 缺点：不能发现中间点的测量错误。 仅适用于平坦地区，不适用于山区。（只安置两次仪器（ZH、HZ））。 一、偏角法测设圆曲线加缓和曲线 (图11-18） 用偏角法测设曲线, 缓和曲线与圆曲线的偏角一般是分别计算的。 1、偏角法测设缓和曲线部分 用偏角法测设缓和曲线时,将缓和曲线l0分为N等份,如图11-18所示: 每段曲线长K=l0/N=10米, 即每10 m测设一点。
各曲线点的偏角为:δ1 ,δ2,…… δN (=δo) 。 1）测设要素：曲线长 l=10米，代之以弦长； 偏角：δ1 ,δ2,…… δN (=δo) 。 2）偏角计算公式 原理：设缓和曲线上任一点A的偏角为δ（∵ δ很小）： 3)缓和曲线上偏角的特性： 从ZH点测设A点的偏角为δ， 从A点测设ZH点的偏角为b， b—反偏角， 而A点的切线角为β ∵ δ+ b+180- β=180° δ+ b= β 又∵ β=3 δ b= 3 δ - δ =2 δ； 4) 结论：见右图 A、缓和曲线上同一段弧的正反偏角与切线角的关系为： B、缓和曲线上正偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长的平方成正比： 5）偏角计算： 公式计算步骤：
查表计算：《见三册.第六表》缓和曲线偏角表（表11-7）。 以R和l0与弧长l 为引数查取δ1 ,δ2,…… δN 注：只能纵向查最左一列（在ZH（HZ）置镜） 例：设R=500m，l0=60m，N=6，即每分段曲线长 l =10m，ZH点里程为K33+424.67，求算各点的偏角。 [解] 按前面步骤计算： (点击放大） 各点偏角值列表计算如表11-6 6）缓和曲线测设： ZH 不：后视JD，配盘0o0'00"， 先拨角δo（此图为反拨）核对HY点是否在视线方向上。 拨角δ1，以起点（ZH）量取10米弦长与视线相交,定出曲线点1点。 拨角δ2，以1点为圆心，10米弦长为半径与视线相交,定出曲线点2点。同理得3 …… N点拨角δN，以N-1点为圆心，10米弦长为半径与视线相交,定出曲线点N（HY）。 并检核 HY是否落在 主点（HY）上。 2、偏角法测设圆曲线部分
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标： （1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 （2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 （3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。教学重点： 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点： 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程： 1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质： 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交 于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲： 练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相 切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=22 0022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022 (,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22 =与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式， 再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+=+b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
§2.3 曲线的切线和法面 给出曲线上一点P ，点Q 是P 的临近一点（如图1），把割线PQ 绕 P 点旋转，使Q 点沿曲线趋于P 点，若割线PQ 趋近于一定的位置，则 我们把这个割线PQ 的极限位置称为曲线在P 点的切线. 定点P 称为切点. 直观上看，切线是通过切点的所有直线当中最贴近曲线的直线。 设曲线的参数方程是()r r t = ，切点P 对应参数0t ，Q 点对应参数0t t +?（如图 2），则有00()()PQ r t t r t =+?- 。 在割线PQ 上作向量PR ，使得00()() r t t r t P R t +?-= ? 。 当Q P →（即0t ?→）时，若 ()r t 在0 t 可微，则由向量函数的微 商可得向量PR 的极限 0000()()()lim t r t t r t r t t ?→+?-'=? 。 根据曲线的切线定义，得到 PR 的极限是切线上的一向量 ()r t ' ，它称为曲线上一点的切向 量。 由于我们已经规定只研究曲线的正常点，即()0r t '≠ ，所以曲线上一点的切向量是存在的。而这个切向量就是切线上的一个非零向量。由以上的推导过程可以看出，这个切向量的正向和曲线的参数t 的增 O
量方向是一致的。 现在我们导出曲线上一点的切线方程。 我们仍设曲线上一个切点P 所对应的参数为0t ，P 点的向径是 0()r t ，{,,}X Y Z ρ= 是切线上任一点的向径 （如图3），因为00()()r t r t ρ'- ，则得P 点的切线方程为00()()r t r t ρλ'-= ，其中λ为切线上的参数。 下面再导出用坐标表示的切线方程。设 0000(){(),(),()}r t x t y t z t = ， 0000(){(),(),()}r t x t y t z t ''''= ， 则由上述切线方程消去λ得到 000000()()()() () () X x t Y y t Z z t x t y t z t ---= = '''， 这是坐标表示的切线方程。 例1 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt = 在3 t π = 处的切线方程。 解：易得 (){cos ,sin ,}r t a t a t bt = ， (){sin ,cos ,}r t a t a t b '=- ， 3 t π = 时，有 (){,}3223a b r π π= ， (){,,}322 a r b π '=- ， 所以切线的方程为 ( )()33 r r π π ρλ'-= ， 即
运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2 22r y x =+上 一点),(00y x M 的切线方程为2 00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2 00r y y x x =+。那么，在圆锥曲线中，又 将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=+b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122 22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b y y a x x 证明：（1）2222 1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b ' +=，得020 2 x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20 0020 ()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。 （2）设过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别 为),(11y x A 、),(22y x B 。由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y y a x x 、 12222=+b y y a x x 。又因),(0 0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120 2202=+b y y a x x 。观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b y y a x x 。 评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的位置（在椭圆上或椭圆 外）的不同，同一方程12020=+b y y a x x 表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上一点),(00y x M 切线方程为 1202 0=-b y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122 22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b y y a x x 。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线2 2 0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点 ),(00y x M 的切线方程为00 00022 x x y y Ax x Cy y D E F ++++++=；（2）当
圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳 1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22 221x y a b +=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相 切的切线L 方程为：12020=+b y y a x x 。 122 22=+b y a x '2'2()()1x y += 推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率 分别为1k ，2k ， 0 01000 0y ay b k x bx a -==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ?=-，∴0210 1bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx x y x b ay a - =--，又 '',x y x y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a -=--，即 为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-?，000022()()y y y x x x b a --=-，22 00002222x x y y x y a b a b +=+，又 点P(00,y x )是椭圆上一点，∴22 00 221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y y a b +=1； 易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。综上，推导完毕。 L b y y = ' y P （00,y x ） x O 转换坐标系 令b y y a x x = ='', ),( 0'b y a x P O a x x = ' ' L
圆锥曲线的切线 方程 点击此处添加副标题 作者：鲜海东微信：xhd1438488322
11),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022 222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+b y y a x x M b y a x y x M b y y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M r b y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程： 点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点 为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。 弦所在直线方程为，过两切点的 点引切线有且只有两条在圆外时，过当。 的切线方程为上一点：经过圆结论
。两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。又因、： 两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明： 11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202 0020202222 22=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a b y a x b y y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x
第三节圆曲线的详细测设 §11—3 圆曲线的详细测设 一、偏角法测设圆曲线 圆曲线的主点ZY、QZ、YZ定出后,为在地面上标定出圆曲线的形状,还必须进行曲线的加密工作。曲线点：对圆曲线进行加密，详细测设定出的曲线上的加密点。 曲线点的间距：一般规定, R≥150m时曲线点的间距为2Om， 10m 。50m≤R<150m时曲线点的间距为5m测设一个细部点；时曲线上每隔R<50m钉加在地形变化处还要在点上要钉设木桩, 。桩 : 曲线测设：设置曲线点的工作，常用的方法有偏角法和切线支距法。偏角法的测设原理：1. ）偏角：即弦切角1）测设曲c ）及弦长（2）原理：根据偏角（δ1线点。Cδ1及弦长,：从ZY点出发根据偏角如图11-4 ）测设曲线点1; （ZY-1 等。）测设曲线点2…1根据偏角δ及弦长C（一222．偏角及弦长的计算：）偏角计算：（1所对圆K,，ZY-1曲线长为图等于弦所对 应的圆心角的一半。原理：偏角(弦切角) 如11-4 心角：：则相应的偏角 的累计倍数。即：δ,当所测曲线各点间的距离相等时以后各点的偏角则为第一个偏角1专业文档供参考，如有帮助请下 载。．
11-4) (如图2）弦长计算（严密计算公式： : ※弦弧差（弦长与其相对应的曲线长之差）23) = L/ (24R弦弧差=K –C iii，的弦弧差为2mm当R=450m时，20m的弦长与其相, 20mR>400m 时，不考虑弦弧差的影响。由于铁路曲线半径一般很大∴当 ,对应的曲线长之差很小就用弦长代替相应的曲线长进行圆曲线测设。近似计算：20m对应的弦长）。整弦：里程为20m倍数的两相邻曲线点间的弦长（曲线点间距倍数的两相邻曲线点间的弦长。（通常要求曲线点设置在整数分弦：有一端里程不为20mQZ点、但曲线的ZY20m的倍数）,即里程尾数为00, 20, 40, 60, 80m等点上，里程上（如因此在曲线两端及中间出现分弦）。点常不是整数里程,点、YZ 37+553.24；例如：在前面例题中，ZY的里程为37+796.38; 的里程为QZ38+039.52, 的里程为YZ，，K1=6.76mK2=16.38m因而曲线两端及中间出现四段分弦。其所对应的曲线长分别为。K4=19.52m；如图11-5 ，K3=3.62m
从高中数学角度出发的圆锥曲线确 切线作法的几种思考 江苏省淮北中学 连少雷 许多资料文献，都介召了圆锥曲线的切线的尺规作法。那么，作圆锥曲线的切线是否存在规律，有没有统一的初等方法或是尺规作法呢？ 先看比较特殊的情况说起，过圆锥曲线上一点的切线方程的一种初等求法： 先看一个具体问题： 求过椭圆13422=+ y x 上一点)2 3 ,1(P 的切线方程． 在中学阶段解决此类问题，一般采用?方法，即设切线方程为 )1(2 3 -=-x k y ，代入13422=+y x ，整理得关于x 的一元二次方程：子选手 03124)128()43(2222=--++-++k k x k k x k ， 通过判别式?＝0)3124)(43(4)128(2222=--+-+-k k k k k ，解得 2 1 - =k ，故所求切线方程为042=-+y x ． 这种方法思路直，用到知识少，学生容易掌握，不足之处是运算量偏大，出错率高．那么能否给出一种求解思路简单，而运算量又较小的方法呢？ 命题：),(00y x P 为圆锥曲线0),(:=y x f C 上一点，则曲线C 上过P 点的切线方程为0)2,2(),(00=---y y x x f y x f （＊） 证明：因0),(=y x f 为二次曲线方程，知方程（＊）代表的是一条直线，记为l ．假设直线l 与曲线C 除了点),(00y x P 外还有一个公共点),(111y x P ，则有0),(11=y x f 和0)2,2(),(101011=---y y x x f y x f 同时成立，从而 0)2,2(1010=--y y x x f ，这表明),(111y x P 关于点),(00y x P 的对称点)2,2(10102y y x x P --也在曲线C 上，因1,P P 点在直线l 上，故2P 点也在直 线l 上，可见直线l 与曲线C 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线l 与曲线C 有且只有一个公共点． （１）当0),(=y x f 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线l 就是切线，方程（＊）即为切线方程． （２）当0),(=y x f 表示双曲线时，只要断定直线l 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线l 就是切线，方程（＊）为其切线方程．
大招九圆锥曲线的切线方程及其应用 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆上一点的切线方程为；当在圆外时，过点引切 线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为。那么，在圆锥曲线中，又将如何？我们不妨进行几个联想。 联想一：（1）过椭圆上一点切线方程为；（2）当在椭圆的外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 证明：（1）的两边对求导，得，得，由点斜式得切线方程为，即。 （2）设过椭圆外一点引两条切线，切点分别为、。由（1）可知过、两点的切线方程分别为：、。又因是两条切线的交点，所以有、 。观察以上两个等式，发现、满足直线，所以过两切点、两点的直线方程为。 评注：因在椭圆上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程表示直线的几何意义亦不同。 联想二：（1）过双曲线上一点切线方程为；（2）当在双曲线的外部时，过引切线有两条，
过两切点的弦所在直线方程为：。（证明同上） 联想三：（1）过圆锥曲线（A，C不全为零）上的点的切线方程为k；（2）当 在圆锥曲线（A，C不全为零）的外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 证明：（1）两边对求导，得 得，由点斜式得切线方程为 化简得………………….① 因为…………………………………………………② 由①－②×2可求得切线方程为： （2）同联想一（2）可证。结论亦成立。 根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点的切线方程为：把原方程中的用代换，用代换。若原方程中含有或的一次项，把用代换，用代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点在曲线外部时，过引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 通过以上联想可得出以下几个推论： 推论1：（1）过抛物线上一点切线方程为；（2）过抛物线的外部一点引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 推论2：（1）过抛物线上一点切线方程为
第六节偏导数的几何应用 二、曲面的切平面与法线 一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的方程) 1()() ()( t z t y t x o z y x (1)式中的三个函数均可导. 一、空间曲线的切线与法平面 M . ),,(0000t t t z z y y x x M 对应于; ),,,(0000t t z y x M 对应于设 M 第六节偏导数的几何应用
考察割线趋近于极限位置——切线的过程z z z y y y x x x 0 00t t t 上式分母同除以, t o z y x M M 割线的方程为 M M ,0 00z z z y y y x x x
, 0,时即当 t M M 曲线在M 处的切线方程 000 000()()() x -x y -y z -z ==.φt ψt ωt 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 000()()() T =φt ,ψt ,ωt 法平面：过M 点且与切线垂直的平面. ()()()()()() 0000000 φt x -x ψt y -y ωt z -z
例1 求曲线: t u udu e x 0cos ，t y sin 2 t cos ,t e z 31 在0 t 处的切线和法平面方程. 解当0 t 时，, 2,1,0 z y x ,cos t e x t ,sin cos 2t t y , 33t e z , 1)0( x ,2)0( y , 3)0( z 切线方程, 3 2 2110 z y x 法平面方程, 0)2(3)1(2 z y x . 0832 z y x 即
圆锥曲线的切线方程的推导 2 2 1.若点P(x o ,y o ) 是椭圆 笃?爲=1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为： 一 b x o x y o y 1 a 证明: 1° 当 b 2 2 2 由占"亠 b a x- -a 时，过点 ???对①式求导：2yy'= 2 y 2二圧(1一笃)……① a P 的切线斜率k 一定存在，且k - y' |x 2b 2 x O , a 二 k 二 y ' |x 談- a y o 2 x ???点P(x o ,y o )在椭圆 — a _b X 。 . b 2x ?切线方程为 y_y o =_ — (X_xJ ..... a yo 2 2 故辱1 a 2 b 2 而当x = a 时, 代入②得 y o = 0 X o x _y o y 2 .2 ~ 1 a b 切线方程为x 二- a ，也满足③式 故驴晋可是椭圆过点 P(x 0,y 0)的切线方程. 2.若点P(x o ,y o )是双曲线 2 2 計計1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为: x °x y o y a 2 证明: 1°当 2 = 1。 b 2 2 2 由 b-^-1- b a x = -a 时，过点P 的切线斜率k 一定存在，且k = y'L 承。 2 b 2(^2 -1) .. ① a ?对①式求导 ?切线方程为 2b 2 2yy'=-^rxo ?- k= y'l x’ a b 2x o 2 a y o y _y 。二 警(x - X 。) a y o 2 2 2 2 ??点 P(x o ,y °)在双曲线 仔-与=1上，故 第逆 =1 a b a b 代入②得 x o x y o y a 2 b 2 =1…③ 而当x 二-a 时，y 。二O ,切线方程为x 二-a ，也满足③式
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程 教学目标： （1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。 （2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。 （3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。 (4) 掌握曲线与方程的关系。 教学重点： 切线方程及切点弦方程的应用 教学难点： 如何恰当使用切线方程及切点弦方程 教学过程： 1. 引入： 通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。 2. 知识点回顾： 1. 2. 3. 4. 圆锥曲线切线的几个性质： 性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于 该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交 于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且 同理:双曲线,抛物线也有类似的性质 3. 例题精讲： 练习1： 抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为 例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 22200 (,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：22 0022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为： 00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为： 00() yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20 l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43 260x y -+=
圆锥曲线的切线方程总-CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1
运用联想探究圆锥曲线的切线方程 现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2,给出了经过圆/ + y2 = r2上一点M（ x0 , y0）的切线方程为x o x + y o y = r2；当M（x0 , y0）在圆外时，过M点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为兀卅+儿.V = r2o 那么，在圆锥曲线中，乂将如何我们不妨进行儿个联想。 2 2 联想一：（D过椭圆二+二=1 （d>b>o）上一点M（心」（））切线方cr \r 程为孚+卑=1 ；（2）当M（x°,儿）在椭圆^ + 4 = 1的外部时，过M cr lr cr lr 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：辔+労=1 cr \r 证明：（1）存汀的两边对X求导，得务攀“,得 仏，由点斜式得切线方程为y-v0 = -^（x-x0）,即 Vo 2 2 （2）设过椭圆+ = 1 （?>/?> 0 ）外一点M（ x0 , y0）引两条切线，切cr 点分别为A（“，儿）、8（勺，儿）。由（1）可知过人、B两点的切线方程分别为：工+辱=1、孚+卑=1。又因M（x°,儿）是两条切线的交点，所cr b?cr 以有洋+器L = i、辻 + 怦=1。观察以上两个等式，发现A（“，儿）、 8（勺，〉，2）满足直线芳+沪=1，所以过两切点A、3两点的直线方程为 ^r+ —1。 cr b- 评注：因在椭圆二+二=1 （“>〃>0）上的位置（在椭圆上 或椭圆外）的不同，同一方程卑+卑=1表示直线的几何意义亦不同。 cr 联想二:（1）过双曲线一；——r = 1 （? > 0, /? > 0）上一点M（ x0 , y（））切 线方程为卑-卑=1 ; （2）当M（x。，儿）在双曲线4-4 = 1的外部时，cr lr c r 过M引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：嚳—* = 1。（证明同 a b~上） 联想三：（1）过圆锥曲线Ax2+Cy2 + Dx+Ey+F = O（A, C不全为零）上的点M （兀，儿）的切线方程为Ar o x + Cy o y + D士也+ E三仏+ F = 0 ；（2） 2 2
用导数方法求圆锥曲线的切线 求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。 引理1：过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y ,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --= ，20200|'x a a bx y x x --== b ay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'000 2020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:00 2020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222 022020202=++=++=+b y y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得 两边同除以化简得 当0 和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法 理解线路勘测设计阶段的主要测量工作（初测控制测量、带状地形图测绘、中线测设和纵横断面测量）；掌握路线交点、转点、转角、里程桩的概念和测设方法；掌握圆曲线的要素计算和主点测设方法；掌握圆曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；了解虚交的概念和处理方法；掌握缓和曲线的要素计算和主点测设方法；理解缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；掌握路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方；了解全站仪中线测设和断面测量方法。 重点：圆曲线、缓和曲线的要素计算和主点测设方法；切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法；路线纵断面的基平、中平测量和横断面测量方法 难点：缓和曲线的要素计算和主点测设方法；缓和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法。 § 9.1 交点转点转角及里程桩的测设 一、道路工程测量概述 分为：路线勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 和道路施工测量 (road construction survey) 。 （一）勘测设计测量 (route reconnaissance and design survey) 分为：初测 (preliminary survey) 和定测 (location survey) 1、初测内容：控制测量 (control survey) 、测带状地形图(topographical map of a zone) 和纵断面图 (profile) 、收集沿线地质水文资料、作纸上定线或现场定线，编制比较方案，为初步设计提供依据。 2、定测内容：在选定设计方案的路线上进行路线中线测量 (center line survey) 、测纵断面图 (profile) 、横断面图 (cross-section profile) 及桥涵、路线交叉、沿线设施、环境保护等测量和资料调查，为施工图设计提供资料。 （二）道路施工测量 (road construction survey) 按照设计图纸恢复道路中线、测设路基边桩和竖曲线、工程竣工验收测量。和曲线的切线支距法和偏角法的计算公式和测设方法
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