山东省青岛市第一中学2016届高三数学上学期单元检测试题理

保密★启用前2015—2016学年第一学期期末模块测试高三数学（理科）试卷2016．1一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合{}|11M x x =-<，集合{}2|23N x x x =-<，则R M C N = ( )A ．{}|02x x <<B ．{}|12x x -<<C ．{}|123x x x x -<<≤<或 D ．φ 2、设复数cos sin i e i θθθ=+，则复数3i e π的虚部为（ ） A ．12 BC ．12i D3、如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．无两边相等的三角形4、不等式2||20x x -++<的解集是（ ） A ．{|22}x x -<<B ．{|22}x x x <->或C ．{|11}x x -<<D ．{|11}x x x <->或5、已知()sin()(0)3f x x πωω=+>的图象与1y =-的图象的相邻两交点间的距离为π，要得到()y f x =的图象，只需把cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位 C ．向左平移个单位D ．向右平移个单位6、执行如图所示的程序框图，若输出的S=88，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．k ＞7B ．k ＞6C ．k ＞5D ．k ＞4 7、设221(32)a x x dx =-⎰，则261()ax x-的展开式中的第4项为（ ） A ．﹣1280x 3 B ．﹣1280C ．240D ．﹣2408、已知ABC ∆的重心为G ，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c若230aGA cGC +=，则sin :sin :sin A B C =（ ）A ．1:1:1 B2 C2:1 D．3:29、已知双曲线22221x y a b-=的焦点到其渐近线的距离等于2，抛物线22y px =的焦点为双曲线的右焦点，双曲线截抛物线的准线所得的线段长为4，则抛物线方程为（ ） A ．24y x = B．2y = C．2y = D ．28y x =10、对于函数()f x ，若,,,(),(),()abc R f a f b f c ∀∈为某一三角形的三边长，则称()f x 为“可构造三角形函数”，已知函数()1x x e tf x e +=+是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[0,)+∞ B ．[0，1]C ．[1，2]D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2016年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2016年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣…+2100==．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大值，此时z最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴． 故选：D ．10．已知抛物线x 2=4y ，直线y=k （k 为常数）与抛物线交于A ，B 两个不同点，若在抛物线上存在一点P （不与A ，B 重合），满足，则实数k 的取值范围为（ ） A ．k ≥2 B ．k ≥4 C ．0＜k ≤2 D ．0＜k ≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f （A ）=解出A ，利用余弦定理和基本不等式得出bc 的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I ）f （x ）=cos2ωx ﹣[﹣cos （2ωx ﹣）]= cos （2ωx ﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx +sin2ωx=sin （2ωx ﹣）．令2ωx ﹣=+k π，解得x=．∴f （x ）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w ＜1，∴当k=1时，ω=．∴f （x ）=sin （x ﹣）．∴f （x ）的最小正周期T=．（2）∵f （）=sin （A ﹣）=，∴sin （A ﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b 2+c 2=bc +1≥2bc ，∴bc ≤1．∴S △ABC ==≤．∴△ABC 面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E （ξ）． 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望． 【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P 1==，都付40元的概率为P 2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n+2）=b n，﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．。

青岛市高三统一质量检测数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． B B A A C A C C D B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. i 12. 1215 13.1cos 2x π 14．3+ 15．14 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）22()sin sin ()6f x x x πωω=--1cos(2)1cos 2322x x πωω---=-111(cos 22)cos 2222x x x ωωω=+-112cos 2)22x x ωω=- 1sin(2)26x πω=- …………………………………………………………………………3分 由直线x π=是()y f x =图象的一条对称轴，可得sin(2)16πωπ-=±，所以2(Z)62k k ππωππ-=+∈，即123k ω=+ (Z)k ∈1(,1)2ω∈ ，Z k ∈，所以1k =，56ω= ………………………………………………6分所以15()sin()236f x x π=-则函数()f x 最小正周期26553T ππ==………………………………………………7分 （Ⅱ）15()sin()236f x x π=-311()sin()5264f A A π∴=-=,1sin()62A π∴-=0A π<< 5666A πππ∴-<-<,663A A πππ∴-==…………………………………9分 1a = ， ∴222212cos23b c bc b c bc bc bc bc π=+-=+-≥-=，即1bc ≤1sin 2ABC S bc A ∆∴==≤∴ABC ∆面积的最大值为4. …………………………………………………………１2分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元两人都付0元的概率为11114624P =⨯= …………………………………………………1分 两人都付40元的概率为2121233P =⨯= …………………………………………………2分两人都付80元的概率为31112111(1)(1)42634624P =--⨯--=⨯= ………………………………………3分则两人所付费用相同的概率为12311152432412P P P P =++=++= …………………5分 （Ⅱ）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160111(0)4624P ξ==⨯=12111(40)43264P ξ==⨯+⨯=1112115(80)46234612P ξ==⨯+⨯+⨯=11121(120)26434P ξ==⨯+⨯=111(160)4624P ξ==⨯=ξ的分布列为……………………………………………………………………………………10分11511()040801201608024412424E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ………………………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）在四边形ABCD 中， AC AD ⊥，2AD AC ==，045ACD ∴∠=45BCA ∠= ， 90BCD BCA ACD ∴∠=∠+∠= ，DC BC ⊥又AB BC ⊥ //AB CD ∴………………2分AB ⊂面PAB ，CD ⊄面PAB∴//CD 面PAB ……………………4分CD ⊂ 面PCD ，面PAB 面PCD l =∴//CD l ………………………5分（Ⅱ） PA ⊥平面ABCD ，AC AD ⊥，∴以A 为原点，以AD 所在的直线为x 轴，建系如图，则(0,0,2)P ，(0,0,1)E ，(2,0,0)D ，(0,2,0)C ，(1,1,0)B - ………………6分设面DCE 的法向量为1111(,,)n x y z =(0,2,1)CE =- ，(2,0,1)DE =-由111111020200n CE y z xz n DE ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令11x =，则11y =，12z =，1(1,1,2)n ∴=…………………………………8分设面BCE 的法向量为2222(,,)n x y z =(1,1,0)BC = ，(0,2,1)CE =-由22222200200n BC x y y z n CE ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令21x =，则21y =-，22z =-，2(1,1,2)n ∴=--………………………………10分设二面角B CE D --的平面角为θ，则1212122cos cos ,3||||n n n n n n θ⋅=<>===-⋅…………………………………12分19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为1)22n T =+所以1)122T =+，所以1)1224b =+=，解得：11a =所以1(1)221n a n n =+-⨯=-， 所以2(121)2n n n S n ⨯+-==, …………………………………………………………3分所以122n n T +=+,122n n T +=-当2n ≥时，1122(22)2n n n n n n b T T +-=-=---= 因为12b =适合上式所以2nn b = ……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）令14(21)214nn n n c a b n =-=--，显然112c =-，22c =-，3n ≥，0n c > ……………………………7分3n ≥，12312312............22n n n W c c c c c c c c c c =--+++=++++--21232.................(21)214+28n n W n n =⨯+⨯++-- ……………………8分令21232.................(21)2n n Q n =⨯+⨯++-；则2 n Q =2311232......(23)2(21)2n n n n +⨯+⨯++-+- 两式做差得：23122222......22(21)2n n n Q n +-=+⨯+⨯++⨯-- 所以231222222......222(21)2 n n n Q n +-=⨯+⨯+⨯++⨯---2312(222......2)2(21)2n n n +=++++---21242(21)2n n n ++=----所以1(23)26n n Q n +=-+ ………………………………………………………11分所以112, (1)14, (2)(23)21434,(3)n n n W n n n n +⎧=⎪==⎨⎪--+≥⎩……………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设MAB ∆的垂心为H ，AB边上的高所在的直线方程为：x =MAB ∆垂心的纵坐标为-H ∴-……………………………………………………………………………2分∴直线BH的斜率为BH k ==所以直线AM的斜率1AM BHk k =-=则AM的方程为：y x =+ ……………………………………………………4分由222184y x x x y y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩,所以P点的坐标为(2 ………………6分（Ⅱ）设P 点的坐标为11(,)x y ，Q 点坐标为22(,)x y ，则22111(8)2y x =-，22221(8)2y x =- 直线AP的方程为：y x =+由y x M x ⎧=+⎪⇒⎨⎪=⎩………………………………7分 由于,,M B Q 共线，所以BMBQ k k ===22221291(8)(8)x x --=⇒=⇒=化简得：12122)160x x x x -++=……()* ………………………………9分 设直线PQ 的方程为：y kx m =+由22222(12)4280184y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩所以2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++,代入()*得：2280m k ++=解得：m =，或m =- ………………………………………………11分当m =时，直线PQ的方程为：y kx =，即(y k x =，恒过；当m =-时，直线PQ的方程为：y kx =-，即(4y kx =-，恒过，此种情况不合题意综上可知：直线PQ恒过 …………………………………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由()0f x >得:sin 0x ax ->,因为01x <<，所以sin xa x< 令sin ()x g x x =，2cos sin ()x x xg x x -'= ……………………………………2分 再令()cos sin m x x x x =-，()cos sin cos sin 0m x x x x x x x '=--=-< 所以()m x 在)1,0(上单调递减，所以()(0)0m x m <= …………………………………………………………4分 所以()0,g x '<则()g x 在)1,0(上单调递减，所以()(1)sin1g x g >=，所以sin1a ≤ ………………………………………6分 （Ⅱ）当1a =时，()sin f x x x =-,()ln 1h x x x ∴=-+ 11()1xh x x x-'=-= 由()0h x '=得：1x = ……………………………………………………………8分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(1,)+∞上单调递减；max ()(1)0h x h ∴== ……………………………………………………………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：当(1,)x ∈+∞时，()0h x <,即ln 1x x <- 令1n x n +=，则11ln1n n n n ++<-，即1ln(1)ln n n n+-< …………………………12分 分别令1,2,3,,n n = 得：l n 2l n 11-<,1ln 3ln 22-<,1ln 4ln 33-<,………………,1ln(1)ln n n n+-< 将上述n 个式子相加得：1111ln(1)1231n n n +<+++++- （*N n ∈） …………14分。

( )8 D．16=（）5i (C)-5-5i (D)-1－”的否定是（B5．若非零向量，，且，则向量，的夹角为（）A B C D6．在等差数列}{na中，若,2951π=++aaa则)sin(64aa+=A．23 B．22 C．21 D．17．在平面直角坐标系中，ABC△顶点坐标分别为(00)A，，，(0)C m，．若ABC△是钝角三角形，则正实数m的取值范围是（）A．01m<< B或4m> D．01m<<或4m> 8．定义运算：222x y x y xy*=-+，则）9．若条件41:≤+xp，条件32:<<xq，则q⌝是p⌝的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既非充分条件也非必要条件10．已知数列{}n a为等差数列，且它们的前n项和n S有最大值，则使得0nS>的n的最大值为（）A B={a,b,c,d}≤a b0)2(=∙+bba a bA ．11B ．19C ．20D ．21 二、填空题（每题5分）11．式为 f (x )=12则αβ+=_______13．已知定义在R 上的函数()y f x =的图象在点(1,(1))M f处的切线方程为，则(1)(1)f f '-=_____．14．[2014·北京质检]已知函数f(x)x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________． 15．若函数在是增函数，则实数a 的取值范围为 三、解答题16．已知命题p ：{a|2a+1＞5}，命题q ：{a|-1≤a ≤3}，若p ∨q 为真，p ∧q 为假，求实数a 的取值范围．17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知)(221*+∈--=N n n S n n（1）求数列{}n a 的通项公式；（2，求数列{}n b 的前n 项和nT18且)(x f 的最小正周期为π.（1）求)(x f 的单调递减区间. （2）求)(x f 在区.19． 设函数（1）求曲线在点处的切线方程。