第十节 含有耦合电感的电路

第十章含有耦合电感的电路耦合电感是线性电路中一种重要的多端元件。

分析含有耦合电感元件的电路问题，重点是掌握这类多端元件的特性，即耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其它耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的情况。

分析含有耦合电感的电路一般采用的方法有列方程分析和应用等效电路分析两类。

考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性：（1）耦合电感上的电压、电流关系（VCR）式与其同名端位置有关，与其上电压、电流参考方向有关。

认识这一点是正确列写方程及正确进行去耦等效的关键。

（2）由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时，如不做去耦等效，则多采用网孔法和回路法，不宜直接应用结点电压法。

（3）应用戴维宁定理（或诺顿定理）分析时，等效内阻抗应按含受控源电路的内阻抗求解法。

但当负载与有源两端网络内部有耦合电感存在时，戴维宁定理（或诺顿定理）不便使用。

10－1 试确定图示耦合线圈的同名端。

题10－1图解: 耦合线圈的同名端是这样规定的：当电流分别从两线圈各自的某端同时流人（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为耦合线圈的同名端。

根据同名端的定义，图（a）中，假设电流1i，2i分别从端子1和端子2中流入，按右手螺旋法则可得，1i产生的磁通链（用实线表示）方向与2i产生的磁通链（用虚线表示）方向相反如图（a）所示，显然它们互相“削弱”，所以判定端子1与端子2为异名端，那么，同名端即为)2,1('或)2,1('。

对图（b ），分析过程同图（a ）。

判断同名端为：)2,1('，)3,1('，)3,2('。

10－2 两个具有耦合的线圈如图所示。

（1）标出它们的同名端；（2）当图中开关S 闭合时或闭合后再打开时，试根据毫伏表的偏转方向确定同名端。

题10-2图解：（1）根据同名端定义和两个线圈的绕向采用题10－1中的分析方法，判定同名端为（1，2），如题10－2图中所示。

（2）图示电路是测试耦合线圈同名端的实验线路。

当开关S 迅速闭合时，线圈1中有随时间增大的电流1i 从电源正极流入线圈端子1，这时0)1(1>dt di ，则毫伏表的高电位端与端子1为同名端。

当开关S 闭合后再打开时，电流1i 减小，毫伏表的低电位端与端子1为同名端。

注：从耦合线圈同名端的规定（见10－1题解）可以得出如下含意（1）耦合线圈的同名端只与两线圈的绕向及两线圈的相互位置有关，与线圈中电流参考方向如何假设无关；（2）当两电流均从同名端流入（或流出），两线圈中的磁通是相助的，两线圈上的自感压降和互感压降方向一致。

正确理解同名端的含意，对正确判定耦合线圈的同名端和正确书写耦合线圈上的电压、电流关系式是至关重要的。

10－3 若有电流A t i )3010cos(521 ++=，A e i t 5210-=，各从题10－1图（a ）所示线圈的1端和2端流入，并设线圈1的电感H L 61=，线圈2的电感H L 32=，互感为H M 4=。

试求：（1）各线圈的磁通链；（2）端电压11'u 和22'u ；（3）耦合解：如上面题10－1图（a ）所示的耦合线圈，设电流1i 和2i 分别从各自线圈的1端和2端流入按右手螺旋法则有，1i 产生的磁通链（用实线表示）方向和2i 产生的磁通链（用虚线表示）方向如图（a ）所示。

（1）耦合线圈中的磁通链是自感磁通链和互感磁通链的代数和，所以，根据题10－1图（a ）所示的磁通链方向，有21112111Mi i L -=-=ψψψWb e t t ]40)3010cos(3012[5--++= Wb e t COS i L Mi t ]30)3010(208[522122212-++--=+-=+-= ψψψ （2）由上述可得端电压 V e t dt dt L dt di M dt d u V e t dtdi M dt dt L dt d u t t ]150)3010sin(200[]200)3010sin(300[52212225211111-'-'-+=+-==++-=-== ψψ （3）根据耦合因素k 的定义，有 943.023421===L L M k注：本题求解说明，当两电流从异名端流入时，两线圈中的磁通相消，自感压降与互感压降异号。

10－4 能否使两个耦合线圈之间的耦合系数0=k 。

解：可以。

因为两个线圈之间的耦合系数21L L M k =是反映两线圈耦合的松紧程度的。

由k 的表达式可以看出：（1）10≤≤k ，若0=k ，说明两线圈之间没有耦合；若1=k ，称两线圈完全耦合。

（2）k 的大小与线圈的结构、两线圈的相互位置以及周围磁介质有关。

因此，把两个线圈靠得很紧或密绕在一起，如题解10－4图（a ）所示，则，则1→k ；反之，若使两个线圈相距很远，或按图（b ）所示放置，则k 值就可能很小，甚至接近于零。

由此可见，改变或调整两个线圈的相互位置可以改变k 的大小，当电感1L 和2L 一定时，也就是改变了互感M 的题解10－4图10－5 图示电路中H L 61=，H L 32=，H M 4=。

试求从端子11'-看进去的等效电感。

解：题10－5图示的去耦等效电路或原边等效电路如题解10－5图所示。

（1）由题解10－5图（a ）所示的去耦等效电路（原电路同名端异侧联接），可求得从端子11'-看进去的等效电感为H M M L M L L eq 667.0)4(//710)(//)()(21=-+=-+++=（2）由题解10－5图（b ）所示的等效去耦等效电路（原电路同名端同侧联接），可求得从端子11'-看进去的等效电感为H M M L M L L eq 667.04//)1(2//)()(21=-+=-+-=题10－5图题解10－5图（3）原题10－5图（c ）所示电路可有两种等效电路，一是如题解10－5图（c ）所示的去耦等效电路；二是如题解10－5（e ）所示的原边等效电路。

分别求解如下：图（c ）电路，有H M L M M L L eq 667.0)1(//42)(//)(21=-+=-+-=图（e ）电路中，2222)(L M j L j M ωωω-=，则等效电感为 H L M L L eq 667.03166221=-=-=（4）同理原题10－5图（d ）所示电路也有两种等效电路，一是如题解10－5图（d ）所示的去耦等效电路；二是同上面（3）中的题解10－5图（e ）所示的原边等效电路，故求解结果相同。

对图（d ）去耦等效电路，求得从端子11'-看进去得等效电感为H M L M M L L eq 667.07//)4(10)(//)()(21=-+=+-++=注：耦合电感的去耦等效是分析含耦合电感电路的一种常用方法，它主要有：（1）耦合电感串联去耦两端等效和T 型去耦多端等效；（2）用受控源表示耦合关系；（3）原边（或副边）等效电路法（一般用于空心变压器电路）。

应用去耦等效方法时应当明确：（1）去耦等效是对耦合电感端子以外的电压、电流、功率的等效；（2）其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数1L ，2L 和互感系数M 有关，而且与同名端的位置有关。

如耦合电感串联去耦等效分顺接（两串接线圈异名端相联），有M L L L eq 221++=和反接（两串接线圈同名端相联），有M L L L eq 221-+=两种情况，耦合电感的T 型去耦等效分同名端同侧联接（如题10－5（b ），(c)图）和异侧联接（如题10－5（a ），（d ）图）两种情况。

10－6 求图示电路的输入阻抗)1(s rad Z =ω。

题10－6图解：题10－6图示电路的原边等效电路和去耦等效电路如题解10－6图所示。

题解10－6图（1）题解10－6图（a ）所示的原边等效电路中，Ω+=2122j Z ，故输入阻抗为Ω+=++=+=)6.02.0(211)(2221j j j Z M L j Z ωω（2）由题解10－6图（b ）所示的去耦等效电路，可得Ω-=-+-=1)2.015(//)2(1j j j j j Z(3)题解10－6图（c ）所示的串联去耦等效电路中，等效电感为：H L eq 1432=-+=，且s r ad C L eq 11==ω，故此电路处于并联谐振状态，则输入阻抗为∞=Z 。

10－7 图示电路中Ω==121R R ，Ω=31L ω，Ω=22L ω，Ω=2M ω，V U 1001=。

求：（1）开关s 打开和闭合时的电流1I ；（2）S 闭合时各部分的复功率。

题10-7图解：本题可用去耦等效电路计算。

等效电路如题解10－7图所示，设V U 01001∠=，则题解10-7图（1）开关S 打开时 A j M L L j R R U I47.7710.85 47.8822.9100920100 )(212111-∠=∠=+∠=++++=ω开关S 闭合时 A j j j M j M L j R M L j R U I 88.3785.43)2(//)41(510100 )(//)]([)(221111-∠=-+++∠=-+++++=ωωω（2）开关S 闭合时电源发出的复功率为 VA I U S 88.37438588.3785.4310011 ∠=∠⨯==*因此时，线圈2被短路，其上的电压02=L U ，则线圈1上的电压11U U L =，故线圈2吸收的复功率为：02=L S线圈1吸收的复功率为：VA S S L 88.3743851∠==10－8 把两个线圈串联起来接到50Hz ，220V 的正弦电源上，顺接时得电流A I 7.2=，吸收的功率为218.7W ；反接时电流为7A 。

求互感M 。

解：按题意知：V U s 220=，s rad f 3142==πω，则当两个线圈顺接时，等效电感为：M L L 221++等效电阻为Ω===307.27.21822I P R 则总阻抗为 7.2220)2(22122==+++I U M L L R S ω故758.7530)7.2220()2(2221=-=++M L L ω（1）而当两个线圈反接时，等效电感为：M L L 221-+。

则总阻抗为 7220)2(22122==-++I U M L L R s ω故368.930)7220()2(2221=-=-+M L L ω （2）用式（1）减去（2）可求得： mH M 86.524368.9758.75=-=ω本题给出了一种测量计算两线圈互感系数的方法。

10－9 电路如图所示，已知两个线圈的参数为：Ω==10021R R ，H L 31=，H L 102=,H M 5=,正弦电源的电压V U 220=，s rad 100=ω。