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1第一章利息的度量详解

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保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

第一讲利息度量概念

第一讲利息度量概念

(3)在连续复利法下，I k = (ei − 1)e ( k −1) i .
* * *
单利计息法的优点 复利计息法的优点 连续复利计息法的优点
6. 实际利率定义
投资者在单位时间上的实际获利。 投资者在单位时间上的实际获利。
7. 名义利率定义
事先指定的单位时间上的利率。 事先指定的单位时间上的利率。
* 名义利率 i
(m )
,i
(∞ )Βιβλιοθήκη 命题4 命题 设第n个计息期上的实际利率为in , 名义利率为i, 则
i （）在单利法下，in = 1 ; 1 + (n − 1)i (2)在复利法下，in = i; (3)在连续复利法下，in = e i − 1.
命题5 设实际利率为r , 则 命题
1 ( m) 11 （） + r = 1 + i ; m (2)1 + r = e
a −1 (t ) * 贴现值函数
命题7 命题 设贴现率为d , 则
在复贴现期下，a (t ) = (1 − d ) ;
t
−1
在连续复贴现期下，a (t ) = e
−1
− dt
9. 实际贴现率定义
单位名义本金在一个贴现期上获得的实 际贴现量称为实际贴现率。 际贴现量称为实际贴现率。
10. 名义贴现率定义
事先指定的贴现率。 事先指定的贴现率。
* 名义贴现率 d
(m )
,d
(∞ )
命题8 设实际贴现率为D, 第n个贴现期的实际贴现率为d n , 则 命题
1 (m) m 11 （） − D = (1 − d ) ; m (2)1 − D = e
−d ( ∞ )
;

利息理论第一章——利息度量

利息理论第一章——利息度量

n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365， 利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)

1-2利息度量

1-2利息度量
20
分析： 3个月的实际利率为2.60％÷4＝0.65％，1年下来的累积
值为
(1 0.65%)4 1.026255 1年期存款的实际利率为3.00％, 1年下来的累积值为1.03 结论：直接投资1年合算。
如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期 存款，则应有
i(4)
4
1
8
名义利率的定义
年名义利率 i (m)（m ≥1，为整数）表示每年结转m次利息， 即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / m。
例： i (4) = 8％ 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的 实际利率为2％。
例： i (12) = 6％ 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利 率为0.5％。
名义利率 i (1/ n) 是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期 的实际利率为 i (1/ n) × n
例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i (1/ 2) = 3.06% 2年期的实际利率为 i (1/ 2) × 2 = 3.06% × 2 = 6.12% 问题：等价的1年期的实际利率为多少？
实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利 一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转 为下期的本金。
名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。
7
名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个 季度等）的实际利率。例如： 假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应 的年名义利率被定义为1%×12 = 12%。 如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利 率相对应的年名义利率被定义为3%×4 = 12%。
m -1
1
m
d (m) m

利息理论第一章-1

利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。

4

故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；

利息论第一章

利息论第一章
14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
27
m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1

利息理论第一章 1 优质课件

利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i

1第一章利息的度量

1第一章利息的度量
人身意外伤害保险
☆ 国寿福禄双喜两全保险(分红型)
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第N期实质利率
in
I (n) A(n 1)
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
dn
I (n) A(n)
例1.1.1实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d2 分别等于多少？
例1.1.1答案
第一章汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力
Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
------量化随机变量，建立数学模型
精算的几点理解
随机量的精算—数学期望； 金融量的精算—现值； 风险波动量的精算—方差，VaR值，破产概率； 保证了保险公司的“收支平衡”，从而使其能够
通过“佣金”提供中介服务； “收支平衡”的数学原理； 保险人对保险投资的认识？
精算学及其应用领域
30
3
012 保险法规
30
3
013 资产/负债管理

利息理论 第1章 利息的基础知识

利息理论 第1章 利息的基础知识

ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2


时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0

a1 1
第二年：
i2

A2 A1 A1

a2 a1 a1
第 n年：
in

An An1 A n 1

a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d

10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i

d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？

01 第一章 利息的基本概念 (1)

01 第一章 利息的基本概念 (1)

名义利率和实际利率

在实际中，经常有一年多次计息的情况。 如：一笔金额为S元的款项，年利率为10%，每半年
结算一次（即每年结算2次），相当于这笔款项的每
半年利息为5%，在复利情况下，经过2个半年（即1 年）后的积累值为： S (1 5%)2 S 1.1025

相当于这一年实际利率i =10.25%。即由于利息结 算次数的不同，产生了利率的名不副实，故把10%
(m) m 1 1 (m)
m
e
单利、复利的利息强度

单利

复利

i t 1 it 单贴现
t ln(1 i)

复贴现
d t 1 dt
t ln(1 d )
00元按如下利息强度投资10年 的积累值： 1、 5% 2、 t 0.05(1 t )2
例1.4答案
1、1000 e
10
1000 e
100.05
1648 72 .
0.05 0 1 t 10
10
2、 1000 0 e

0.05 (1 t ) 2 dt
1000 e
1046 50 .
例1.5
1、如果 t
1 ，试确定1在n年末的积累值。 1 t
2、如果实际利率在头5年为5%，随之5年为 4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15 年末的积累值。
第一章 利息的基本概念
二、利息的度量
积累函数
a(t )
总量函数
1 ------------------------------
a(t )
A(t )
贴现函数
k ------------------------------ A(t )

第1章 利息的度量

第1章 利息的度量
d (4) 4 (1 ) 1 i 1.08 4 d (4) 4[1 (1.08) 1/ 4 ] 7.623%
（2）
d 12 1 i [1 ] 12 8% 12 (1 ) 12 1.0836 故 i 8.36%
(12)
例：求1万元按每年计息4次的 年名义利率6%投资三年的积 累值

就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： a(t)=(1+i)t 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。
例题1.2

若银行以单利计息，年息为6%。某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少？复利计 息呢？
第一章：利息的基本概念

1.1、利息的度量 基本概念： 利息、 本金、积累值（或终
值）、期 定义1.1：用a(t)表示初始投资为1单位的投资经过 时间t后的价值，称a(t)为积累函数（t期积累因 子）。显然：a(0)=1 t期折现因子或折现函数： a-1(t) 折现因子： a-1(1)记为v
定义 1.2：一般情况，本金为k,用A(t)表 示初始投资经过时间t后的价值，称A(t)为 总量函数。 总量函数和积累函数有着如下简单的关系： A(t)= A(0)a(t)=ka(t) 第n期的利息： In= A(n)－ A(n-1) 现值、当前值、积累值

1.2.4未知利率问题

只有单次付款的未知利率问题 多次付款的未知利率问题 例：某人现在投资3000元，两年后再投资 6000元，这两笔投资在4年后累积至15000 元，问实际利率是多少？

《金融数学》(1) 利息度量

《金融数学》(1) 利息度量
5
累积函数
• 累积函数(Accumulation function) ：时间零点 的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。
• 性质：
– a (0) = 1； – a (t) 通常是时间的增函数； – 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
•6
常见的几个积累函数
5
4
a(t) (1 0.1)t
3
2
a(t) 1 0.1t
1
a(t) 1
0
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
7
a(t) 累积函数？
1
0
t
•8
• 例：假设累积函数为 a(t) 1 t2
计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值。
• 解：
t
a(t)
0
1
500 2.5 1250
•11
例：把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020 元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第 二年的有效利率分别是多少？
i1
20 1000
2%
i2
30 1020
2.94%
• 问题：整个存款期间的有效利率是多少？ • 整个存款期间的年平均有效利率是多少？（后面讨论）
单利 (simple interest)
（2）“实际/360 ”：投资天数按两个日期之间的实际天数计算， 每年按360天计算。称为行家规则 ( banker’s rule )。
时间t 的确定, t = 投资天数 / 每年的天数
（3）“ 30/360 ”规则：每月按30天计算, 每年按360天计算。 两个给定日期之间的天数按下述公式计算：

(1-1)利息度量

(1-1)利息度量
利息理论
张 娟
首都经济贸易大学统计学院
考试方式： 闭卷笔试。 平时成绩占 30％（出勤，作业），期末成绩占70% 教材和参考书： 刘占国，《利息理论》，中国财政经济出版社，2006 孟生旺，袁卫，《利息理论及其应用》，中国人民大 学出版社，200ion of interest）
例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末 存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是 多少？
解：
∵ A(0) = 1000, A(1) = 1020, A(2) = 1050
I (1) = A(1) - A(0) = 20
I (2) = A(2) - A(1) = 30
成正比，不依赖开始的时间t。
0
s
t
t+ s
a(t)
1+i
t
单利的积累函数
单利与实际利率的关系：
常数的单利并不意味着实际利率是常数！
a(n) – a(n – 1) in = a(n – 1)
= (1 in) – [1 i(n – 1)] 1 i(n – 1)
i = 1 (n – 1)i
利息作为一种重要的经济范畴，早在古希腊时期就已经
进行探讨和研究。
柏拉图：（古希腊哲学家、思想家） 强烈谴责放贷取息的行为，认为偿付利息现象的存 在构成了对整个社会安定的重大威胁。
在《理想国》中，柏拉图把高利贷者比喻为蜜蜂，
谴责他们将蜂针（货币）刺入借款人身上，为取得增值 的利息而损害他们，从而使因借债而沦为奴隶的人和放
用积累函数和总量函数表示实际利率为：
a(1) a(0) A(1) A(0) I (1) i= = = a(0) A(0) A(0)

利息理论第一章.ppt

利息理论第一章.ppt
7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)

CH1 利息的基本概念

CH1 利息的基本概念

（对于整数n≥1）
（1）单贴现：每一时期产生的贴现金额为常数d，有：a1 t 1 dt
a 1 t v t 1 d （2）复贴现：每一时期的贴现率是常数d，有：
t
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 3、实际利率与实际贴现率的关系 如果某人以实际贴现率d借款1，则实际的本金为1－d，利息额为d，若这笔业 务的实际利率为i，则有：
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 例题：1.1.7 某人存5000元进入银行，若银行分别以2%的单贴现计息、复贴现计息，问此 人第5年末分别能得到多少积累值？
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第一节 利息度量 四、名义利率与名义贴现率
前面讨论的实际利率和实际贴现率，“实际”的含义在于利息在每个度量期内支
付一次，或在期初，或在期末。但是，现实中往往在一个度量期内利息不只支付 一次，所以我们便引入名义利率和名义贴现率的概念。
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第一节 利息度量 二、实际利率 例题 1.1.5 已知年实际利率为8％，求4年后支付10000元的现值。
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第一节 利息度量 三、实际贴现率 引 例：
张三找银行借10000元，洽谈后需要支付600元利息给银行。在现实经济生活 中，一般有两种操作方法： （1）银行现在支付10000元给张三，一年后张三还银行10600元；
我们把“连续复利”的概念进行推广，就得到了“利息强度”的概念，即某个时
刻的利率水平，亦即瞬时利率。 五、利息强度 定义： 记 t 为某项投资在t时刻的利息强度（利息力、瞬时利率），有：
A' t d ln At t At dt
a ' t d lnat at dt

1
i

§1.1 利息度量

§1.1 利息度量

§1.1.3 实际贴现率
• 由补例可知： a(t ) 1元本金经过时期t后的累积值为 • ,则如果在时期t后希望获得了1元的累积值，开始 投资的本金应该是多少？ • 这是一个求现值的问题。求现值的过程也叫贴现 （折现）过程。 • 贴现值（现值）：为了在t期期末得到某一个积累 值，而在开始时投入的本金金额为贴现值（现值）
a(n) a(n 1) (1 ni) (1 (n 1)i) in a(n 1) 1 (n 1)i i in 1 (n 1)i
常数的单利意味着递减的实际利率。 因为越往后，利息的积累越多，但这些利 息不再产生利息， 所以实际利率越来越低。
• 5、单利性质： 1元本金经过时期t+s赚取的利息 =1元本金经过时期t +经过时期s赚取的利息
a(s t ) a(t )a(s)
例1.1.3
• 某银行以复利计息，年息为6%，某人 存入5000元，问5年后的积累值是多 少？ • 解：
A(5) A(0) a (5) A(0)(1 i ) 5 5000 (1 6%) 5 6691 .13(元)
• 5年后的积累值是6691.13元。
2
(1 i) 2
n2 n 1 (1 i) n2 (1 i) n1
n
(1 i) n
a(t ) (1 i) t
• • • •
a(t ) (1 i) 3、累积函数形式为 ，则称单位一本金以每期复利i计息 非单位本金 A(t ) A(0)(1 i) t 复利与实际利率的关系
A(n) A(n 1) A(n 1)
In A(n 1)
• 第n个度量期的积累值
A(n) A(n - 1)(1 in )

第一章 利息的度量工具

第一章 利息的度量工具

i d ( p) − p 1+ = 1 + i = v −1 = (1 − d ) −1 = (1 − ) = eδ m p
(m)
m
t
这个公式非常重要。
' 另外，A(t )δ t = A (t ) n n n A(t )δ t dt = ∫ A' (t )dt = A(t ) 0 = A(n) − A(0) 将上式两端从0到 n 上进行积分得： 0 ∫ 0 A(n) − A(0) 为度量期内获得的利息，而微分表达式 A(t )δ t dt 可以看成是 在利息强度 δ t 的作用下，资金 A(t )在 t 时刻获得的利息，将该表达式从 0到 n 上进行积分，当然就得到 n 个度量期内获得的利息总额。 0 例题 1.如果δ t = 0.01t ， ≤ t ≤ 2 ，求投资1000元在第2年内获得的利息。
第一章 利息的度量工具
• 第一节 利息的基本概念 • 第二节 利息的度量工具
1.2.1 实际利率 1.2.2 单利和复利 1.2.3 现值 1.2.4 实际贴现率 1.2.5 实际利率与实际贴现率之间的关系 1.2.6 名义利率与名义贴现率 1.2.7 利息强度
1.1 利息的基本概念
• • • • • 本金：每项业务开始时投资的金额。 本金 积累值：业务在一定时间后回收到的总金额。 积累值 度量期： 度量期：用来度量时间的单位，简称期。 利息： 利息：积累值与本金的差额就是利息金额，简称利息。 积累函数：1单位本金在 t 期末的积累值，记为 a (t ) 积累函数 积累函数性质： 1. a (0) = 1 2. a (t ) 通常为单增函数，常数的 a (t ) 表明利息为零；递减的 a (t ) 表明 利息为负。 3.通常 a (t )为连续函数，但如果规定了付息日，则a (t )是间断的 • 总量函数 总量函数：本金为 k 的投资在时刻 t 时的积累值。记为 A(t ) 总量函数性质： 1. A(0) = k 2. A(t ) = k ⋅ a (t ) 3. A(t ) 通常是递增的，其连续性与 a (t ) 相一致

CH1 利息的度量

CH1 利息的度量
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Section 3 贴现率与贴现函数
实际贴现率 贴现函数
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第三节 贴现率与贴现函数 1、实际贴现率 引例：张三找银行借10000元，洽谈后需要支付600元利息给银行。在现实经 济生活中，一般有两种操作方法： （1）银行现在支付10000元给张三，一年后张三还银行10600元； （2）银行现在支付9400元给张三，一年后张三还银行10000元。
i d
或
1 d
d i 1 i
V 表示一期折现因子，即年末积累值为1，在年初投入的本金，则有：
v a1 1
1 a(1)
1 1 i
1 d
21
第三节 贴现率与贴现函数 例题 1-8 假设单贴现率为5%，（1）如果希望在9个月后获得2000元；（2）如果希望 在2年零3个月后获得2000元，试计算期初应投入的本金 ？如果是复贴现5% 呢，情况又如何？
投资天数=360×（Y2-Y1）+30×（M2-M1）+（D2-D1）
银行家规则 以投资期的实际天数作为投资天数，但一年用360天作为基础天数，这种方法通 常记为“实际/360”。
12
第二节 单利与复利 例题 1-3 若在1999年6月17日存入1000元，到2000年3月10日取款。年单利率为8%，分别按 下列规则计算利息金额。 （1）“实际/实际”规则； （2）“实际/360”规则； （3）“30/360”规则；
ern
这就是投资学所讲的“连续复利”
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第五节 利息强度
我们把“连续复利”的概念进行推广，就得到了“利息强度”的概念，即某个时 刻的利率水平，亦即瞬时利率。
定义：
记 t 为某项投资在t时刻的利息强度（利息力、瞬时利率），有：
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精算师考试高级课程
课程编号 课程名称 学分 考试时间 011 财务 30 3 012 保险法规 30 3 013 资产/负债管理 30 3 014 社会保险 20 3 015 个人寿险与年金精算实务 20 3 016 高级非寿险精算实务 20 3 017 团体保险 20 3 018 意外伤害和健康保险 20 3 019 投资学 20 3 020 养老金计划 20 3 备注 必考 必考 必考 选考 选考 选考 选考 选考 选考 选考
a(t )
金额函数
贴现函数 第N期利息
a 1 (t )
0
K------------------------------ A(t )
-----------------------------1
a 1 (t )
t
I (n) A(n) A(n 1)
I ( n)
利息度量一——计息时刻不同

精算师和精算工作
在国外，精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工 程师，它们通过对风险和损失的预先评价，对风险事件做出预先 的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。 在保险公司，精算师主要就职于产品开发部、精算部、财务
部等部门，其工作职责主要有经验数据分析、新产品设计和保费
厘定、负债评估、利润分析等。
精算的几点理解

随机量的精算—数学期望； 金融量的精算—现值； 风险波动量的精算—方差，VaR值，破产概率； 保证了保险公司的“收支平衡”，从而使其能够 通过“佣金”提供中介服务； “收支平衡”的数学原理； 保险人对保险投资的认识？

精算学及其应用领域
精算学是以概率论和数理统计为基础，与经
☆ 国寿福禄双喜两全保险(分红型)
产品简介： 国寿福禄双喜两全保险（分红型) 提 供两年一返保额10%的生存保险金、到期返本的 满期保险金及身故保障、以及公司分红 。
投保范围：凡出生三十日以上、六十周岁以下身体健
康者均可作为被保险人，由本人或对其具有保险利益
的人作为投保人向本公司投保本保险。
保险期间： 合同生效之日起至被保险人年满七十五
保险精算学
风险（Risk）就是不确定性。通常人们更关心风 险造成的损失，所以风险常被定义为未来发生损失事 件的不确定性。 ------研究对象是随机变量 保险（Insurance）的目的是通过风险的转移来 实现对风险的管理。 ------目的 精算（Actuary）是通过对风险事件及其损失的 预先评价，实现科学的风险管理，为保险业和社会保 障事业的财务稳健发展提供基本保障。 ------量化随机变量，建立数学模型
一、利息的定义
定义：ຫໍສະໝຸດ 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度

影响利息大小的三要素：


二、利息的度量
积累函数
a(t )
A(t )
1------------------------------
周岁的年生效对应日止 。 李先生，30岁，为自己投保了福禄双喜两全保险
，选择5年交费，年交保险费10万元，基本保险费金额
为171210元。
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度
利息度量要点

利息的度量(一)计息时刻不同 利息的度量(二)利息累积方式不同 利息的度量(三)计息频率不同 利息的度量(四)变利率 利息的度量(五)利率等价式
期末计息——利率

第N期实质利率
in
I ( n) A( n 1)

期初计息——贴现率

第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
人身保险的种类
人身保险是以人的生命和身体为保险标
的的保险，保险事故是人的生、老、病、死、
残等。人身保险依保险事故的不同可分为人
寿保险、健康保险和意外伤害保险。
生存保险
纯粹的生存保险 生存年金
人寿保险 死亡保险（定期、终身、延期） 生死合险（两全保险、养老保险） 人身保险 健康保险（疾病保险） 人身意外伤害保险
济学、金融学及保险理论相结合的具有应用性与
交叉性的学科。精算学广泛应用于社会经济各个
领域中对风险的评价，以及相应经济安全方案的
制定。
在保险领域，精算学主要研究人寿、健康、财产、意外伤害、 退休等事故的出险规律、损失的分布规律、保费的厘定、保险产 品的设计、准备金的提取、盈余的分配、基金的投资等，以促使 保险公司的经营具有财务稳定性。 在社会保障事业中，精算学研究退休、医疗、失业、工伤、 生育等保障方面成本与债务的分配方案、社会保障基金的投资方 案等，保持社会保障事业的经济安全性和稳定性。
第一章汉英名词对照


积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力


Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
2011年秋季精算师考试科目
科目代码 科目 科目代码 科目
A1 A2
A3 A4
数学 金融数学
精算模型 经济学
F3 F4
F5 F6
个人寿险与年金精算实务 员工福利计划
非寿险实务 非寿险定价
保险精算的主要内容

寿险精算

利息理论 生命表理论 寿险精算数学 非寿险精算数学

非寿险精算


养老金精算和其它精算理论 投资和财务理论
精算管理和控制系统
利润分析 风险分析
经验数据分析
精算师职业化
偿付能力评价
产品设计 定 价
资产负债管理 资产评估
负债评估
准精算师考试基础课程
课程编号 001 002 003 004 005 006 007 008 009 课程名称 学分 数学基础Ⅰ 30 数学基础Ⅱ 30 复利数学 20 寿险精算数学 50 风险理论 20 生命表基础 30 寿险精算实务 30 非寿险精算数学与实务 30 综合经济基础 30 考试时间 3 3 2 4 2 3 3 3 3