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01-第一章-利息的基本概念-(1)

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利息论第一章

利息论第一章
24
有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
18
现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
11
如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
36
例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78

寿险精算原理 第一章

寿险精算原理 第一章


4、实际利率、名义利率、实际贴现率、名 义贴现率、利息强度和折现因子之间的等 价关系（单位时间为1年的情况下）：
m
m
i 1 m

d 1 i 1 v 1 d p 1 1
p

p
e

例3、已知年度实际利率为8%，求等价的 利息强度。 例4、一笔业务按利息强度6%计息，求投 资500元经8年的积累值。
a
a
n

1 i

n
dn
n a
a
n 1
1 i
n
1 i
n
n 1
n
1 i

i 1 i
※ d n 与 n无关，为常数，通常把这种情 况下的贴现率叫做复贴现率。
②与实际贴现率 d 等价的实际利率为 1 d 。 如果某人以实际贴现率 d 借款1元，则 实际上的本金为1 d ，而利息（贴现，意 味着期初支付）金额为 d ，则实际利率为：
例2、某银行以单利计息，年息为2%，某 人存入5000元，问5年后的积累值是多少？

例3、如果例2中银行以复利计息，其他条 件不变，问5年后的积累值是多少？
1.1.3 实际贴现率
某一个度量期的实际贴现率，是指该度量 期内得到的利息金额与此度量期期末积累 值金额之比。实际利率通常用字母 d 表示。 从投资日算起第 n 个度量期的实际贴侠率 用 d n 表示，则有
In a
n
a
n
n 1
1 i a
1 i n
n

1 i
n 1
i 1 i
1

保险精算第二版复习ppt

保险精算第二版复习ppt
死亡即刻赔付的含义
死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发 生保险责任范围内的死亡 ，保险公司将在死亡事 件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应 用场合，保险公司通常采用的理赔方式。
4.1.1 精算现值的概念
精算现值即趸缴纯保费，未来保险金给付 在签单时的现值，即一次性缴清的纯保费， 它是以预定利率和预定死亡率为基础计算 的。
续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数 t qx ：
t qx Pr(T (X ) t) pr(x X x t X x) s(x) s(x t) s(x)
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr(X x t X t) s(x t) s(x)
vt , t n
1 , t n bt 0 , t n
zt
btvt
0
,
tn
符号：
1
A x:n
厘定：
1
n
Ax:n E(zt ) 0 zt fT (t)dt
n 0
vt
t
px xt dt
en t
0
t
px xt dt
方差公式：
Var(zt ) E(zt2 ) E(zt )2
0
e2 t
fT
(t)dt
E(zt
)2
记
2 Ax
0
e2 t
fT
(t )dt
所以方差等价为
Var(zt )2Ax ( Ax )2
4.1.4 延期终身寿险
定义
保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均 给付保险金的险种。
假定: (x)岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险 基本函数关系

利息理论第一章-1

利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。

4

故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；

利息理论第一章 1 优质课件

利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i

《利息的基本概念》课件

《利息的基本概念》课件
流量
4 利息税是必须考虑的因素之一
利息的分类
固定利息 稳健型利息
浮动利息 高风险利息
利率和利率变动的影响
1 利率和现金流量的关 2 利率的变动对债券价 3 利率趋势的预测 定义和原理
2 税前收益和税后收益的计算
3 实际利率和税后利率的区别
结论
1 利息是带有成本的借贷资产收益
2 利息包含简单利息和复合利息
3 利率的变动会影响债券价格和现金
《利息的基本概念》PPT 课件
这个PPT课件将带你深入了解利息的基本概念。让我们一起探索什么是利息， 利息的计算公式，以及利率和利率变动的影响。
什么是利息?
利息是借贷资产所产生的收益 记录在资产负债表上的负债一侧
通常会以百分比形式计算
利息的计算公式
简单利率: I=P×r×t
复合利率: F=P×(1+r)^t-P

《利息的基本概念》PPT课件

得： A(5) 50001 0.065 6691.1（3 元）
第一节 利息度量 二、实际利率 案例分析：1.1.4 已知年实际利率为8％，求4年后支付10000元的现值。
解：由 A(t) K 1 it 得： A(4) A(0)1 i4 所以： 10000 A(0)1 0.084
定时刻
则是在一特
的积累量。
第一节 利息度量
二、实际利率 1、概念 实际利率是利息的第一种度量方式，某一度量期的实际利率是指该度量 期内得到的利息额与该度量期开始时投入的本金之比，用字母表示（表 示第n期的实际利率）。
An An 1 in An 1
（对于整数n≥1）
二、实际利率（续 ）
二、实际利率（续 ）
2、单利与复利（续）
单利与复利下每期的实际利率：
第一节 利息度量
单利 ：
in

An An 1 An 1

a n a n 1 a n 1

1 in 1 i n 1 1 i n 1

i
1 i n 1
复利 ：
第一节 利息度量
课堂练习：
1、假设A(t) 100 10t ，确定i1 i2，i3， ；
解：
i1
A(1) A(0) (100 10) (100 0)
A(0)
100 0
0.1
i3

A(3) A(2) A(2)

(100 103) (100 10 2) 100 10 2
0.1
i3

A(3) A(2) A(2)

100
1.13 100
100 1.12
1.12

徐景峰《金融数学》1-4章习题解答

《利息理论》习题详解 第一章 利息的基本概念1.解：（1）)()0()(t a A t A =又()25A t t =+(0)5()2()1(0)55A A t a t t A ∴===++ （2）3(3)(2)11(92 2.318I A A =-=== （3）4(4)(3)0.178(3)A A i A -===2.解：15545(4)(3)(1)100(10.04)0.05 5.2nn n I i A I A i A i i -=∴==+=+⨯=3.证明： （1）123(1)()(2)(1)(3)(2)()(1)m m m m k I A m A m I A m A m I A m A m I A m k A m k ++++=+-=+-+=+-+=+-+-123123()()()()()m m m m k m m m n I I I I A m k A m n m k A n A m I I I I m n +++++++∴++++=+-=+-=++++<令有（2）()(1)()1(1)(1)n A n A n A n i A n A n --==---()1(1)()(1)(1)n n A n i A n A n i A n ∴+=-∴=+-4.证明： （1）112123123(1)(0)(0)(2)(0)(0)(0)(3)(0)(0)(0)(0)()(0)(0)(0)(0)(0)k nk i a a a i a a a i a i a a a i a i a i a n a a i a i a i a i ∴=+=++=+++=+++++第期的单利利率是又(0)1a =123123()1()(0)()1nna n i i i i a n a a n i i i i ∴=+++++∴-=-=++++（2）由于第5题结论成立，当取0m =时有12()(0)n A n A I I I -=+++5.解：（1）以单利积累计算1205003i =⨯1200.085003i ∴==⨯800(10.085)1120∴+⨯=（2）以复利积累计算3120500500(1)i +=+0.074337i ∴=5800(10.074337)1144.97∴+=6.解：设原始金额为(0)A 有(0)(10.1)(10.08)(10.06)1000A +++=解得 (0)794.1A =7.证明：设利率是i ，则n 个时期前的1元钱的当前值为(1)ni +，n 个时期后的1元钱的当前值为1(1)ni +又22211[(1)](1)20(1)(1)n n n ni i i i +-=++-≥++，当且仅当221(1)(1)1(1)n n n i i i +=⇒+=+，0i =即或者n=0时等号成立。

利息理论第一章 利息的基本概念

t t t 0
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：

利息理论第一章 利息的基本概念


A′(t ) a′(t ) δt = = A(t ) a(t )
称 δ t 该投资在t时的利息强度，即 δ t 为利息在时刻t一 该投资在t 为利息在时刻t 种度量，通过如上定义可将 δ 表示为如下形式：
t
d d δ t = ln A(t ) = ln a (t ) dt dt
对两边积分可得，
A(t ) ∫0 δ s ds = ∫0 d ln A(s) = ln A(s) | = ln A(0)
利息理论
绪论
利息是债务人（borrower） 利息是债务人（borrower）对债权人 （lender）因为资金被借用而牺牲了当前消费， lender） 以及对其面对的机会成本的一种补偿。不同经济 学以及货币银行学等课程讨论利息是如何形成的 以及分析决定利息大小的具体因素，在本门课程 中假定存在于债权人和债务人之间的利息是一种 既定的事实，并在此基础上分析债权人和债务人 之间的权利与义务的关系。
假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， 张三将还给银行100元。 张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的 是一个先后付息的问题。
就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： ）如果单位投资在t a(t)=(1+i)t )=(1+i) 那么，则称该笔投资以每期复利i计息, 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。
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总量函数
A (t )
贴现函数
a (t )
1
第n期利息
I (n)
0
I ( n ) A ( n ) A ( n 1),
t
n 1
积累与贴现

积累：假设张三到银行以年利率6%向银行借
100元，为期1年，则银行付给张三100元，1年
后张三还给银行106元（其中100元本金，6元
利息）。

贴现：若张三是以年贴现率向银行借100元，
i d 1 d
1 1 i
d
i 1 i

若定义折现因子 v
d iv
，则有：
及
v 1 d
例1.1 实际利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款 余额为1020元，第2年存款余额为1050 元，求：
i1、 i 2 、 d 1、 d 2 分别等于多少？
例1.1答案
利息度量二：积累方式不同
j)
3 4
5700 j 3 %
4 j 12 %
（ 2）
3000 (1 i ) 6000 (1 i ) (1 i ) 由 (1 i )
2 2
4
2
15000 )
1 6
6 ( 舍去负根
1
i 20 . 4 %
（ i 2 . 204 舍去 )
(4)
2
i 1 4
(4)
3
i 1 4
(4)
4
i
1 i
名义贴现率
名义贴现率 d
(m )
d 1 m
d 1 4
(4)
(m )

m
1 d

4
d 1 4
(4)

3
d 1 4
2、如果实际利率在头5年为5%，随之5年为 4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15 年末的积累值。
3、假定一笔资金头3年以半年度转换年利率 6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现 率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔 资金初始投资额应该为多少？
例1.5答案
n
1、 e
1 t
0
(4) 4 2
5
5
i 1 2
8
(2)
23
1 0 0 0 ( 0 .9 8 ) (1 .0 3 )
6
7 1 2 .5
例1.6：求本金

某人为了能在第7年末得到1万元款项， 他愿意在第一年末付出1000元，第3年末 付出4000元，第8年末付出X元。

如果以6%的年利率复利计息，问X为多
1
dt
ln (1 t )
n 0
e
5
1 n
5 5
2 、 1 0 0 0 (1 i1 ) (1 i 2 ) (1 i 3 )
5
1 0 0 0 1 .0 5 1 .0 4 5 1 .0 4 1 9 3 5 .0 6 d 3、 1 0 0 0 1 4
第一章 利息的基本概念
二、利息的度量
积累函数
a (t )
1 ------------------------------ a ( t ) k ------------------------------ A ( t )
a ( t ) ----------------------------- 1
1
为期1年，则银行将预收6元（6%）的利息，
仅付给张三94元，1年后，张三还给银行100元。
利息度量一：计息时刻不同

期末计息——利率

第n期实际利率
in I (n) A ( n 1)

期初计息——贴现率

第n期实际贴现率
d
n

I (n) A(n)
实际利率与实际贴现率关系

若某人以实际贴现率d借款1，则实际上本金 为1-d，而利息（贴现）金额为d，若这笔业 务实际利率为i，则：
少？
例1.6答案

以第7年末为时间参照点，有
6 4
1 .0 6 4 1 .0 6 x 1 .0 6 1 0 x 3 .7 4 3 5 ( 千 元 )

以第8年末为时间参照点，有
7 5
1 .0 6 4 1 .0 6 x 1 0 1 .0 6 x 3 .7 4 3 5 ( 千 元 )
5
5520
(4)2% 复 贴 现 计 息 A (5 ) 5531 5 （1 2 % ） 5000
名义利率和实际利率

在实际中，经常有一年多次计息的情况。 如：一笔金额为S元的款项，年利率为10%，每半年
结算一次（即每年结算2次），相当于这笔款项的每
半年利息为5%，在复利情况下，经过2个半年（即1 年）后的积累值为： S (1 5 % ) 2
t
n
n
例1.2

某人存5000元进入银行，若银行分别以 2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、 复贴现计息。

问此人第5年末分别能得到多少积累值？
例1.2答案
(1) 2 % 单 利 计 息 A ( 5 ) 5 0 0 0 (1 5 2 % ) 5 5 0 0 (2)2% 复 利 计 息 A ( 5 ) 5 0 0 0 (1 2 % ) (3) 2 % 单 贴 现 计 息 A (5 ) 5000 1 5 2% 5556

S 1 .1 0 2 5
相当于这一年实际利率i =10.25%。即由于利息结 算次数的不同，产生了利率的名不副实，故把10%
称为名义利率，记作 i(2)=10%。
名义利率
名义利率 i
(m )
i 1 m
1 1
1 i
(4)
(m )
m
1 i
4
i 1 4
瞬间时刻利率强度：
t

A ( t ) A (t ) a ( t ) a (t )

d dt d dt
ln
A (t )

ln a ( t )
lim i
m
(m )
lim
m
d
(m )
等价公式

一般公式
a (t ) e
t 0 s ds

恒定利息强度场合
ln (1 i ) a ( n ) e x p { n }
(4)

2
1
d
(4)
4
1 1
1 d
d
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。 2、如以6%贴现率，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。 3、确定季度转换的名义利率，使其等于月 度转换6%名义贴现率。
例1.3答案
1、 2、 3、
i P 1 4
例1.4答案
1、 1000 e
10
1000 e
10 0 . 05
1648 . 72
10
2 、1000 e
0
0 . 05 ( 1 t )
2
dt
0 . 05 0
1000 e
1 t 10
1046 . 50
例1.5
1、如果 t
1 1 t
，试确定1在n年末的积累值。
例1.8答案
(2 ) f (i) 5 0（ 0 1 i)
4
3 0 0 (1 i ) 1 5 0 (1 i )
3
2
1300
由 (1)， i 的 近 似 值 i1 0 .0 9 6 8 f ( 0 .0 9 6 8 ) 0 .1 6 0 4 ， 而 f ( 0 .0 9 6 9 ) 0 .2 4 4 7 i 2 0 .0 9 6 8 ( 0 .0 9 6 9 0 .0 9 6 8 ) 0 .0 9 6 8 4 又 f ( 0 .0 9 6 8 4 ) 0 .0 0 1 6 ， 而 f ( 0 .0 9 6 8 3 ) 0 . 0 3 8 9 0 0 .0 3 8 9 0 .0 0 1 6 0 .0 3 8 9 0 0 .1 6 0 4 0 .2 4 4 7 0 .1 6 0 4
(4) 4n
0 .0 8 500 1 4
(2) 2n
20
7 4 2 .9 7
d A 0 A n 1 2
i
(4) 4
0 . 06 1000 1 2
12
12
693 . 84
1 4 i
例1.10：求投资期

若在2009年3月13日存入1000元，同年 11月27日取出，利率为单利8%，试确 定利息金额。
（1）按英国法计算 （2）按银行家规则计算
例1.10答案
（1）投资天数=31+30+31+30+31+31+30+31+14=259天
投资年数=259/365=0.71，
I=1000×8%×0.71=56.8元 （2）按银行家规则 投资天数=259天 投资年数=259/360=0.72 I=1000×8%×0.72=57.6元
例1.9：求投资期

一项投资从美国参加第二次世界大战之日，
即1941年12月7月开始，到战争结束之日，即
1945年8月8日终止，问一共投资了多少天？