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利息理论第一章——利息度量

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保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,生命表,寿险精算及实务,非寿险,风险理论,内容丰富）

保险精算学-笔记-涵盖（利息,⽣命表,寿险精算及实务,⾮寿险,风险理论,内容丰富）第⼀章：利息理论基础第⼀节：利息的度量⼀、利息的定义利息产⽣在资⾦的所有者和使⽤者不统⼀的场合，它的实质是资⾦的使⽤者付给资⾦所有者的租⾦，⽤以补偿所有者在资⾦租借期内不能⽀配该笔资⾦⽽蒙受的损失。

⼆、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量⽅式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累⽅式划分：（1）线性积累：单利计息单贴现计息（2）指数积累：复利计息复贴现计息（3）单复利/贴现计息之间的相关关系单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。

单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保持恒定。

时，相同单复利场合，复利计息⽐单利计息产⽣更⼤的积累值。

所以长期业务⼀般复利计息。

时，相同单复利场合，单利计息⽐复利计息产⽣更⼤的积累值。

所以短期业务⼀般单利计息。

3、按照利息转换频率划分：（1）⼀年转换⼀次：实质利率（实质贴现率）（2）⼀年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（⼀年转换⽆穷次）：利息效⼒特别，恒定利息效⼒场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第⼆节：利息问题求解原则⼀、利息问题求解四要素1、原始投资本⾦2、投资时期的长度3、利率及计息⽅式4、本⾦在投资期末的积累值⼆、利息问题求解的原则1、本质任何⼀个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求⼀的问题。

2、⼯具现⾦流图：⼀维坐标图，记录资⾦按时间顺序投⼊或抽出的⽰意图。

3、⽅法建⽴现⾦流分析⽅程（求值⽅程）4、原则在任意时间参照点，求值⽅程等号两边现时值相等。

第三节：年⾦⼀、年⾦的定义与分类1、年⾦的定义：按⼀定的时间间隔⽀付的⼀系列付款称为年⾦。

原始含义是限于⼀年⽀付⼀次的付款，现已推⼴到任意间隔长度的系列付款。

2、年⾦的分类：（1）基本年⾦约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率⼀致每次付款⾦额恒定（2）⼀般年⾦不满⾜基本年⾦三个约束条件的年⾦即为⼀般年⾦。

利息论第一章

利息论第一章
24
有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
18
现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
11
如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
36
例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78

第一章 利息理论

第一章 利息理论

季度的实际利率为 3% ：
年名义利率为 12% ，每年结转 4 次利息； 年名义利率为 12% ，每年复利 4 次； 年名义利率为 12% ，每个季度结转一次利息； 年名义利率为 12% ，每个季度复利一次。


相关术语
利息结转期：
interest conversion period ； 每月结转一次： convertible monthly ； 每季支付一次： payable quarterly ； 每半年复利一次： compound semiannually ；

例：

若在 1999 年 6 月 17 日存入 1000 元，到 2000 年 3 月 10 日取款，年单利利率为 8 ％，试分别 按下列规则计算利息金额：
1 ） “ 实际 /365 ” 规则。 2 ） “ 实际 /360 ” 规则。Fra bibliotek（ （ （
3 ） “ 30/360 ” 规则。
（ 1 ）从 1999 年 6 月 17 日到 2000 年 3 月 10 日的精确天数为267 ，因此在 “ 实际 /365 ” 规则下， t = 267/365 ，利息金额为：
单贴现与复贴现的关系（ 了解 ）

单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。 对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值， 而对较短时期情况则相反。 单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴 现模式对应复利的贴现模式。
小结：


计算累积值和现值，既可以用利率，也可以用 贴现率。 如果 用利率计算累积值和现值 ，则有
期末的 1 元在期初的现值为：
此现值用贴现率d表示即为：
故有下图：
根据利率的定义，有
利率i与贴现率d的关系（3）

利息理论第一章-1

利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。

4

故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；

利息理论第一章 1 优质课件

利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i

利息基本理论和利息度量

利息基本理论和利息度量
2.中国精算师资格考试的第1门专业课程 3.金融学保险专业的基础课程 4.国内保险精算专业的核心基础课
5
课程介绍
5.课程目的：使学生们掌握基本的金融计算 的概念、术语和原则，同时对一些基础性 的金融工具进行现金流价值分析（金融数 学）
6.利息理论的方法具有极为广泛的适用性， 其应用范围远远超出了精算领域，在投资 分析、财务管理、金融产品的定价、风险 度量、债务偿还等方面都有参考价值
（2）收益率的表现形式:
i
AP P
价格与收益 率反向变化
20
中国的利率市场化
利率由资金供求决定 2013年7月20日起，全面放开贷款
利率管制，贷款利率完全市场化 金融机构存款利率有上限管制，央
行基准利率最大上浮10%
年化收益率
货币基金的年化收益率： 投资在一段时间内（比如7天）的收益，假
定一年都是这个水平，折算成的年收益率 理财产品的年化收益率和实际收益率 1.年化收益率≠实际收益率 2.银行会无偿占用客户的理财资金 3.资金的募集期和偿还期不计息
本金、利息和借款期限由借贷双方事先确定，到
期一次还本付息
（2）利率的表现形式:
利率=
利息 本金
只适应于期限 短、本金小的
例、甲乙双方商定贷款事宜，因业务发展需要，甲方向乙方借款1000万元， 期限2年,到期后，甲方一次性归还乙方1150万元。则甲方贷款的年利率是：
1150-1000
2 =7.5%
1000
息票债券价格与到期收益率负相关 债券价格低于面值时，到期收益率高于票面利率
例：一张息票债券面值1000元，票面利率10%， 购入价格1000元。1年之后以1200元的价格出售， 该债券的到期收益率？

利息理论

利息理论

中山大学本科教学大纲学院（实体系）：岭南学院金融系课程名称：利息理论二○○二年利息理论教学大纲课程名称：（中文）利息理论（英文）The Theory of Interest课程类别：必修课编号: 学时：36主编姓名：张勇单位：岭南学院金融系职称：初级主审姓名：单位：职称：授课对象: 本科生专业：保险专业年级：三年级编写日期：2002年12月一、课程目的与教学基本要求牢固掌握。

本课程对如何开发保险产品、分析保险产品特性、偿付能力监管和保险资金运用等方面都是非常重要的，通过对本课程的学习，还要使学生能用其理论对相应问题进行分析。

二、课程内容第一章：利息的度量及其求解。

本章主要讲度量利息的一些基本方法以及它们之间的相互关系，包括实质利率与名义利率、实质贴现率与名义贴现率、单利与复利、利率强度等等；本金、利息、投资时期和现金流之间通过价值方程建立起来的关系。

本章的重点在于理解这里的实质利率与名义利率和通货膨胀条件下的含义是不同的，以及各种度量方法之间的关系；难点是利率强度的运用和货币时间价值与价值方程。

本章的学时数为4学时。

第二章：理论即期利率与利率期限结构。

本章要讲的内容是：到期收益率和理论即期利率的相互关系和计算方法；利率期限结构的特征；用到期收益率来构造利率期限结构存在的缺点；利率期限结构的基本理论：纯预期理论、流动性理论、偏好习性理论和市场分割理论。

本章的重点和难点是理论即期利率的计算方法以及在金融产品定价中的运用。

本章的学时数为4学时。

第三章：基本年金。

本章涉及的内容包括：年金的概念和分类；延付年金现值和积累值计算公式的推导；初付年金现值和积累值计算公式的推导；各公式之间的相互关系；永久年金；任意时期年金值的计算；非标准时期与利率的年金值的计算；如何求解未知时间或未知利率的问题；变利息年金的求解。

本章的重点是推导延付年金和初付年金的计算公式，以及怎样把任意时期年金转化为延付年金和初付年金；难点在于变利息。

利息理论 第1章 利息的基础知识

利息理论 第1章 利息的基础知识

ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2


时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0

a1 1
第二年：
i2

A2 A1 A1

a2 a1 a1
第 n年：
in

An An1 A n 1

a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d

10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i

d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？

第1章 利息的度量

第1章 利息的度量
d (4) 4 (1 ) 1 i 1.08 4 d (4) 4[1 (1.08) 1/ 4 ] 7.623%
（2）
d 12 1 i [1 ] 12 8% 12 (1 ) 12 1.0836 故 i 8.36%
(12)
例：求1万元按每年计息4次的 年名义利率6%投资三年的积 累值

就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： a(t)=(1+i)t 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。
例题1.2

若银行以单利计息，年息为6%。某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少？复利计 息呢？
第一章：利息的基本概念

1.1、利息的度量 基本概念： 利息、 本金、积累值（或终
值）、期 定义1.1：用a(t)表示初始投资为1单位的投资经过 时间t后的价值，称a(t)为积累函数（t期积累因 子）。显然：a(0)=1 t期折现因子或折现函数： a-1(t) 折现因子： a-1(1)记为v
定义 1.2：一般情况，本金为k,用A(t)表 示初始投资经过时间t后的价值，称A(t)为 总量函数。 总量函数和积累函数有着如下简单的关系： A(t)= A(0)a(t)=ka(t) 第n期的利息： In= A(n)－ A(n-1) 现值、当前值、积累值

1.2.4未知利率问题

只有单次付款的未知利率问题 多次付款的未知利率问题 例：某人现在投资3000元，两年后再投资 6000元，这两笔投资在4年后累积至15000 元，问实际利率是多少？

利息理论——第一章1.1

利息理论——第一章1.1

1

这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。

我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
1
1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )

例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
利息

我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)

注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1

实际利率



定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。

利息理论

利息理论
23
未知时间问题
计算方法
利用计算器 利用复利表 利用Taylor展式 利用 展式 非整数期部分采用单利近似替代
72律：利率为i时，使得积累值是本金的 律 利率为 时 2倍所需的时间大致是 倍所需的时间大致是72/i。 倍所需的时间大致是 。
24
预定在第1、 、 、 年末分别付 例1.2.4 预定在第 、3、5、8年末分别付 款200元、400元、300元、600元，假设 元 元 元 元 实际年利率为5%，试确定一个付款 实际年利率为 ，试确定一个付款1500 元的时刻，使这次付款与上面4次付款等 元的时刻，使这次付款与上面 次付款等 价。
6
二 实际利率
某一度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资 的本金金额之比，通常用字母i来表示 来表示。 的本金金额之比，通常用字母 来表示。 对于实际利率保持不变的情形， 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； ； 对于实际利率变动的情形， 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n1)； ；
(m)
/ m)
m
1 − d = (1 − d ( m ) / m) m： 名义贴现率与名义利率之间的关系： 名义贴现率与名义利率之间的关系
i (m) d (m) i (m) d (m) − = ⋅ m m m m
15
例1.1.9 （1）求与实际利率 等价的每年 ）求与实际利率8%等价的每年 计息2次的年名义利率 以及每年计息4次的 次的年名义利率， 计息 次的年名义利率，以及每年计息 次的 年名义贴现率；（ ；（2）已知每年计息12次的 年名义贴现率；（ ）已知每年计息 次的 年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。 年名义贴现率为 ，求等价的实际利率。 例1.1.10 求1万元按每年计息 次的年名义利 万元按每年计息4次的年名义利 万元按每年计息 投资三年的积累值。 率6%投资三年的积累值。 投资三年的积累值 以每年计息2次的年名义贴现率为 例1.1.11 以每年计息 次的年名义贴现率为 10%，在6年后支付 万元，求其值。 年后支付5万元 ， 年后支付 万元，求其值。

利息理论课件 (1)

利息理论课件 (1)

(1-4)
n≥1 为整数 (1-5)

例1-1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的余额为1050元，第二年末他存 折上的余额为1100元，问：第一年、第二 年银行存款的实质利率分别是多少?
例1-2 某人借款10000元，为期一年，年实质 利率为 10% 。问：一年后，此人需要还款 多少？其中利息为多少？
例1-7 重新考虑例1-1中存款，所述的事件 不变，求第一、第二年的实质贴现率。
“等价”
对于同一笔业务，用不同的率去度量，其结 果是“等价”的。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d d(1+i)=i d=i/(1+i) d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id (1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
d (m) d ( m ) m 1 (1 ) 贴现： m m
d ( m) d ( m) m2 (1 ) m m
d (m) d (m) (1 ) m m
d (m) 1 m
d ( m) m ) 余额： 1 d (1 m
d ( m ) m 1 (1 ) m
…
d (m) 2 (1 ) m
d (m) 1 m
1
图(1-2B) 名义贴现率图
例1-9 （ 1 ）求与实质利率 8% 等价的每年计息 2 次的年 名义利率以及每年计息4次的年名义贴现率； （2）已知每年计息12次的年名义贴现率为8%， 求等价的实质利率； （3）已知i(3/2)=8%，求等价的d(12)。

(1-1)利息度量

(1-1)利息度量
利息理论
张 娟
首都经济贸易大学统计学院
考试方式： 闭卷笔试。 平时成绩占 30％（出勤，作业），期末成绩占70% 教材和参考书： 刘占国，《利息理论》，中国财政经济出版社，2006 孟生旺，袁卫，《利息理论及其应用》，中国人民大 学出版社，200ion of interest）
例：
把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末 存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是 多少？
解：
∵ A(0) = 1000, A(1) = 1020, A(2) = 1050
I (1) = A(1) - A(0) = 20
I (2) = A(2) - A(1) = 30
成正比，不依赖开始的时间t。
0
s
t
t+ s
a(t)
1+i
t
单利的积累函数
单利与实际利率的关系：
常数的单利并不意味着实际利率是常数！
a(n) – a(n – 1) in = a(n – 1)
= (1 in) – [1 i(n – 1)] 1 i(n – 1)
i = 1 (n – 1)i
利息作为一种重要的经济范畴，早在古希腊时期就已经
进行探讨和研究。
柏拉图：（古希腊哲学家、思想家） 强烈谴责放贷取息的行为，认为偿付利息现象的存 在构成了对整个社会安定的重大威胁。
在《理想国》中，柏拉图把高利贷者比喻为蜜蜂，
谴责他们将蜂针（货币）刺入借款人身上，为取得增值 的利息而损害他们，从而使因借债而沦为奴隶的人和放
用积累函数和总量函数表示实际利率为：
a(1) a(0) A(1) A(0) I (1) i= = = a(0) A(0) A(0)

利息理论第一章.ppt

利息理论第一章.ppt
7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)

1-2利息度量

1-2利息度量
20
分析： 3个月的实际利率为2.60％÷4＝0.65％，1年下来的累积
值为
(1 0.65%)4 1.026255 1年期存款的实际利率为3.00％, 1年下来的累积值为1.03 结论：直接投资1年合算。
如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期 存款，则应有
i(4)
4
1
8
名义利率的定义
年名义利率 i (m)（m ≥1，为整数）表示每年结转m次利息， 即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / m。
例： i (4) = 8％ 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的 实际利率为2％。
例： i (12) = 6％ 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利 率为0.5％。
名义利率 i (1/ n) 是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期 的实际利率为 i (1/ n) × n
例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i (1/ 2) = 3.06% 2年期的实际利率为 i (1/ 2) × 2 = 3.06% × 2 = 6.12% 问题：等价的1年期的实际利率为多少？
实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利 一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转 为下期的本金。
名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率。
7
名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个 季度等）的实际利率。例如： 假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应 的年名义利率被定义为1%×12 = 12%。 如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利 率相对应的年名义利率被定义为3%×4 = 12%。
m -1
1
m
d (m) m

(1-1)利息度量

(1-1)利息度量
0 s t t+ s
= lim
ε →0
ε
= a′(0)
在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得
∫ a′(s)ds = ∫ a′(0)ds
0 0
t
t
a (t ) − a(0) = t ⋅ a′(0)
a(t ) = a(0) + t ⋅ a′(0)
21 22
a (t ) = a (0) + t ⋅ a ′(0) = 1 + t ⋅ a ′(0)
7
8
关于利息的几个基本概念
本金（principal）：初始投资的资本金额。 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总 金额。 利息（interest）——累积值与本金之间的差额。
积累函数 (Accumulation function)
累积函数是指期初的1元本金在时刻 t 时的累积值, 通常被 记为a (t) 。 性质： a (0) = 1； a (t) 通常是时间的递增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息 是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。
（2）根据 “30/360”规则，投资天数为
360 ×1 + 30 × (9 − 6) + (10 − 17) = 443
因此利息金额为
1000 × 0.08 × 443 = 98.44 360
含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？最多 是多少？连续利率计息。
3
《利息理论》授课计划
周次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 章 节 第1章 第1章 第2章 第2章 第3章 第3章 第4章 第4章 第5章 讲授内容 累积函数、实际利率、单利和复利的关系 名义利率和名义贴现率，利息力 等额年金的现值和终值 年金在任意时点上的值，连续年金 变额年金，递增年金好递减年金 复递增年金，连续递增年金 收益率，时间和币值加权收益率 再投资收益率，收益分配 等额债务偿还
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n
n
lim
x0
exp
ln(1 x
ix)
lim
x0
exp
1
i
ix
ei
24
1.4 复利 (compound interest)
单利：本金保持不变。 复利：前期的利息收入计入下一期的本金，即 “利滚利”。 例：
假设年初投资1000元，年利率为5％，则年末可获利50元， 因此在年末有1050元可以用来投资。
21
（1）精确天数为238，在“实际/365”规则下，t = 238/365， 利息金额为：
10000 0.08 238 521.6 365
（2）在“实际/360”规则下，t = 238/360，利息金额为：
10000 0.08 238 528.9 360
（3）在“30/360”规则下，两个日期之间的天数为：
累积函数：时间零点的1元在时间 t 的累积值, 记为a (t) 。 性质：
a (0) = 1； a (t) 通常是时间的增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。
注：一般假设利息是连续产生的。
7
例：
常见的几个积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t
(1 i)t
t 年累积因子：t-year accumulation factor
34
实际贴现率：d
(effective rate of discount with compound interest)
实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比：
实际贴现率(d
)
利息 期末累积值
实际利率(i)
累积函数可表示为 a(t) = t (1 d )t
40
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（5）
i – d = id
证明： d i i v i (1 d ) i id 1 i
解释：1元本金在年末有 i 元利息，(1– d) 元本金在年末 有 d 元利息。产生(i – d)元利息差额。 原因：本金有 d 元差额，导致的利息差额是 id。
第二年按照1050元来计算，将在年末获得52.5元利息。 问题：在利率相等的情况下，复利的累积值总是大于单利吗？
25
复利的积累函数
a(t) (1 i)t
26
复利的实际利率
实际利率 = 复利利率
a(t) a(t 1) it a(t 1)
(1 i)t (1 i)t1 (1 i)t1
孟生旺 中国人民大学统计学院 /mengshw
1
利息度量
累积函数 实际利率
单利和复利 贴现函数 实际贴现率 名义利率 名义贴现率 利息力（连续复利）
2
几个实际问题
半年期的定期存款利率是2%。请问1万元存半年，到期的 利息是多少？
三年期的定期存款利率是4.25%。请问1万元存三年，到期 的利息是多少？
8
5
4
a(t) (1 0.1)t
3
2
a(t) 1 0.1t
1
a(t) 1
0
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
9
a(t) 累积函数？
1
0
t
对应哪些实例？
10
例
假设累积函数为 a(t) 1 t2
请计算 t =1 时的500元 ，在 t = 2 的累积值是多少。
解：
t
a(t)
3.5 3
2.5 2
1.5 1 0
单利
0.5
复利
1
1.5
28
29
Exercise
It is known that 1000 invested for 4 years will earn 250 in interest, i.e., that the value of the fund after 4 years will be 1250. Determine the accumulated value of 4500 invested at the same rate of compound interest for 10 years.
为单利率。
18
例
若年单利为8％，求投资2000元在4年后的积累值和利息。 累积值为：
2000(1 48%) 2640
利息为：
2640 2000 640 或
20008% 4 640
利息金额＝本金 利率 时期
19
时间t 的确定, t = 投资天数 / 每年的天数
（1） “实际/365”（actual/ actual）：投资天数按两个日期 之间的实际天数计算，每年按365天计算。
3601 30 (2 6) (7 14) 233 故 t = 233/360，利息金额为：10000 0.08 233 517.8
360
单利的缺陷：不满足一致性 若t t1 t2 , 则a(t1)a(t2 ) a(t)
证明：
a(t1)a(t2 ) (1 it1)(1 it2 ) 1 it i2t1t2 (1 it) a(t)
银行推出的理财产品为65天，预期年化收益率为5%，购 买10万元到期可以获得多少利息？
3
如何度量速度？ 公里/小时，米/秒，…… 瞬时速度
如何度量利息？ 利率（实际，名义） 贴现率（实际，名义） 利息力（连续复利）
4
1.1 利息的基本函数
利息（interest）的定义： 借用他人资金需支付的成本，或出让资金获得的报酬。
例: i = 5% = 1/20, d = 1/21
42
问题：
已知年实际利率为5%。回答下述问题： （1）100万元贷款在年末的利息是多少？ （2）如果在贷款起始日收取利息，应该收取多少利息？ （3）年实际贴现率是多少？ （4）写出累积函数和贴现函数。 （5）分别用实际利率和实际贴现率计算，5年末到期的
注：把年末支付的利息 i 贴现到年初，等于在年
初支付的 d。换言之，年末的 i 相当于年初的 d。
39
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（4）
v=1–d
证明初的现值可以表示为 v，或1 – d。
0
1
v
1
（1－d）
贴现函数可表示为 a–1(t) = t (1 d )t
0 1 a -1(t)
t a(t) 1
32
贴现函数(discount function)
单利的贴现函数 a1(t) (1 it)1
复利的贴现函数 a1(t) (1 i)t
注：除非特别申明，今后一概使用复利。
33
几个术语：
v 1 1i
vt
(1+ i)
贴现因子： discount factor t 年贴现因子： t-year discount factor 累积因子： accumulation factor
本金（Principal ） 1
1-d
利息（interest） i d
本金之差: d →
累积值（Accumulated value） 1+i 1
利息之差 di
利息之差: i – d
41
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（6）
i1 d 1
n
n 1
证明： d i 1/ n 1 1 i 11/ n n 1
1
1+ i
0
1
当期利息：i
根据贴现率的定义：
d i 1 i
37
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（2）
年末的1元在年初的现值为：1 - d
1-d
1
0
1
当年利息：d
根据利率的定义：
i d 1 d
38
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（3）
d iv
证明： d i i 1 i v 1i 1i
例
面值为100元的一年期零息债券的价格为95元。 一年期定期储蓄存款的利率为5.25％。 投资者应该存款还是购买零息债券？
47
解：
比较贴现率：
零息债券的贴现率 d ＝ 5%
2%
i2
30 1020
2.94%
问题：整个存款期间的实际利率是多少？ 整个存款期间的年平均实际利率是多少？（后面讨论）
14
1.3 单利 (simple interest)
单利的积累函数：
a(t) 1 it
a(0) 1
a(1) 1 i
15
单利的累积函数
16
单利与实际利率的关系：
单利对应的实际利率：
利息 期初本金
期初本金
（期初比期末少百分之几？） （期末比期出多百分之几？）
期末累积值
利息 = 期末累积值 - 期初本金
35
例
年实际贴现率为 d，请计算年末的1元相当于年初的多少？ 解：令其等于X，则由贴现率的定义，有
d 1 X 1
X 1d
1-d
0
1 1
36
实际利率 i 与实际贴现率 d 的关系（1）
0
1
1
2
2
5
3
10
1 22
500
500 2.5 1250
1 12
11
1.2 实际利率（effective rate of interest）
实际利率 i 是时间零点的1元在期末产生的利息：
i a(1) a(0)
实际利率i 是期末获得的利息金额与期初本金之比：
当期利息 i 期初本金
利息存在的合理性 资金的稀缺性 时间偏好 资本也是生产力