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第一章 利息理论基础

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利息理论第一章-1

利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题

例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。

4

故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；

第一章 利息理论基础

第一章 利息理论基础

A (5 )
5000
1 5 2%
( 4 ) 2 % 复贴现计息
5556
5000 A ( 5 ) （ 1 2 % ）5 5531
3、名义（年）利率和名义（年）贴现率
（1）名义利率
名义利率
i m ，是指每
1 m
个度量期支付利息一
次，而在每 1 个度量期的实质利率为：i m
m
m
A nA n 1 In an an 1 d n A n A n an
n1,n为整数
同样有，第 1期的实质贴现率为：
d1A1 AA 111a1a 1a01a11 a111d1
（3）利率与贴现率之间的等关系
等价——相同的本金经过相同的计息周期 产生相同的累积值。
(1)d i v i(v 1 折现因子,discountfactor）
i 1 i
d m m
1
m im
m
d m
m im m im
1 d m
1 m
1 im
例1.3
1、确定500元以季度转换8%年利率投资5年 的积累值。
2、如以6%年利，按半年为期预付及转换， 到第6年末支付1000元，求其现时值。
3、确定季度转换的名义利率，使其等于月度 转换6%名义贴现率。
例1.3答案
季、月、日、小时、分钟、秒等等。利 率通常是指年利率。） 时期长度（计息周期，Measure period）
举例说明：利率的度量期与计息周期
二、积累函数与贴现函数
1、积累函数（Accumulation Function）
a(t)
1--------------------------------- a (t )
1、单利和复利（假设时间t内利率相 同）

第1章利息理论

第1章利息理论

2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小

寿险精算学利息理论基础

寿险精算学利息理论基础
精算师需要根据市场情况和公司战略，设计出符合市场需求的人寿保险产品，并确保产品具有合理的费 率水平。
保险费率的计算
01
02
03
保险费率是保险公司根据风险大 小和预期损失情况，向投保人收 取的保费标准。
寿险精算学在保险费率计算中发 挥着重要作用，通过对死亡率、 利率、疾病发生率等风险因素的 评估和预测，精算师可以制定出 合理的费率标准。
计算投资组合的预期收益，通常使用历史收益率、未来收益率和风 险调整后收益率等指标。
绩效评估
比较投资组合的实际表现与预期表现的差异，常用的指标包括夏普 比率、阿尔法系数和贝塔系数等。
投资组合的优化与调整
资产配置优化
根据投资目标和风险承受能力，确定最优的资 产配置比例。
动态调整
根据市场环境和投资组合的实际表现，定期或 不定期调整投资组合的资产配置。
信用风险
由于发行人违约，无法按时偿还 本金或利息的风险。
回报
债券的回报主要来源于利息收入 和资本利得（买卖债券的价差） 。
01
02
利率风险
由于市场利率波动，导致债券价 格波动的风险。
03
04
流动性风险
由于市场不活跃或缺乏交易对手 ，导致债券难以买卖的风险。
04
投资组合理论
投资组合的基本概念
投资组合
由多种资产组成的集合，包括股票、债券、现金等。
资产配置
投资者根据风险承受能力和投资目标，将资金分配到不同的资产 类别中。
多样化
通过持有多种不同类型的资产，降低单一资产的风险，提高整体 投资组合的风险调整后收益。
投资组合的评估方法
风险评估
衡量投资组合的风险水平，包括市场风险、信用风险和操作风险等。

第1章利息理论

第1章利息理论


i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i

例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d

第一章利息理论

第一章利息理论
30
p P-300
P+336 p
0
1.

336 i p
p 2800 300 i
p 300
1

2.

Байду номын сангаас
336 p 336 300
d
d

p

2800
p
31
3.pi 336,pd=300 i d 336 300 1 i i 0.12 p 2800
4.i d id (产生36元利息差的原因是本金少了300元) 336-300=300i i=0.12 Q 0.12p 336 p=2800
32
1.2名义利率与名义贴现率
名义利率：
（1）一个度量周期内结转m次利息的利率
（2）度量的是资本在一个小区间
1 内的实际利率
m
（3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相
12
保险精算的基本原理
➢ 大数法则：即对于大量的随机现象
（事件），由于偶然性相互抵消所呈 现的必然数量规律的一系列定理的统 称。常见的有三个大数法则： ✓切比雪夫（Chehyshev）大数法则 ✓贝努里（Bermulli）大数法则 ✓泊松（Poisson）大数法则
13
教材
李秀芳，傅安平，王静龙 《保险精算》， 中国人民大学出版社（教育部，保监会推 荐教材）
➢ 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
保险精算是在上世纪80年未90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。

保险精算 第1章 利息理论基础

保险精算 第1章 利息理论基础

累制有两种算法。
一种是各期期末投资本金为1，直接积累到 n
期期末，求和即为 s n（公式左边）；
一种是先求出各期期末投资本金为1的年金
现值，即 a n ，作为时刻0的一次性投资，以复
利i
计算，求出 n 期期末的积累值，即
两种计算结果相同。
a n
(1 i)n 。
35
应用实例
例 计算年利率为6%的条件下，每年年末 投资1000元，投资10年的现值及积累值。
(1d(4))4 1i18% 4
d (4 ) 4 [1 (1 8 % ) 1 /4 ] 7 .6 2 3 %
（2） 1i(1d(12))12(18% )121.0836
4
4
i8.36%
24
应用实例
例 求1万元按每年计息4次的年名义 利率6%投资3年的积累值。
解 A (3 ) 1 0 0 0 0 a (3 ) 1 0 0 0 0 ( 1 i)3
t 1时，相同单复利场合，复利计息比单利计
息产生更大的积累值，即1it(1i)t。所以长期 业务一般复利计息。
15
应用实例
例 某银行以单利计息，年息为2%，某人 存入5000元，问5(0.5)年后的积累值是多少？ 若以复利计算，其他条件不变，问5(0.5)年后 的积累值是多少？
解
单利 A ( 5 ) 5a 0 ( 5 ) 0 5 0 ( 1 5 0 2 % 0 5 ) 0 1 . 1 5 0元5 00 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 0 . 5 2 % ) 5 0 0 0 1 . 0 1 5 0 5 0 元 复利 A (5 ) 50 a (5 0 ) 5 00 (1 0 2 % 0 5 5 ) 5 .4 元20 A ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 a ( 0 . 5 ) 5 0 0 0 ( 1 2 % ) 0 . 5 5 0 2 4 . 9 元

保险精算学讲义(doc 90页)

保险精算学讲义(doc 90页)

保险精算学讲义(doc 90页)第一章：利息理论基础第一节：利息的度量一、利息的定义利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。

二、利息的度量利息可以按照不同的标准来度量，主要的度量方式有1、按照计息时刻划分：期末计息：利率期初计息：贴现率2、按照积累方式划分：（1）线性积累：单利计息（2）一年转换次：名义利率（名义贴现率）（3）连续计息（一年转换无穷次）：利息效力特别，恒定利息效力场合有三、变利息1、什么是变利息2、常见的变利息情况（1）连续变化场合（2）离散变化场合第二节：利息问题求解原则一、利息问题求解四要素1、原始投资本金2、投资时期的长度3、利率及计息方式4、本金在投资期末的积累值二、利息问题求解的原则1、本质任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。

2、工具现金流图：一维坐标图，记录资金按时间顺序投入或抽出的示意图。

3、方法建立现金流分析方程（求值方程）4、原则在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。

第三节：年金一、年金的定义与分类1、年金的定义：按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。

原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。

2、年金的分类：（1）基本年金约束条件：等时间间隔付款付款频率与利息转换频率一致每次付款金额恒定（2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。

二、基本年金1、分类（1）付款时刻不同：初付年金/延付年金（2）付款期限不同：有限年金/永久年金2、基本年金公式推导3、变利率年金问题（1）时期变利率（第个时期利率为）（2）付款变利率（第次付款的年金始终以利率计息）三、一般年金1、分类（1）支付频率不同于计息频率（2）变额年金2、支付频率不同于计息频率年金（1）支付频率小于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（2）支付频率大于计息频率的年金分析方法一：利率转换方法二：年金的代数分析（3）连续年金特别，在常数利息效力场合3、变额年金（1）等差年金初始投资P元，等差Q元的年金的一般公式：现时值：积累值：特别地，递增年金：P=Q=1现时值：积累值：递减年金：P=n，Q=-1现时值：积累值：（2）等比年金（下一期年金值为前一期年金值的（）倍）现时值：积累值：第四节：收益率一、收益率的概念1、贴现资金流与现金流动表2、收益率的定义：使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。

利息理论 第1章 利息的基础知识

利息理论 第1章 利息的基础知识

ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2


时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0

a1 1
第二年：
i2

A2 A1 A1

a2 a1 a1
第 n年：
in

An An1 A n 1

a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d

10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i

d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？

利息理论1.ppt

利息理论1.ppt

1------------------------------ a(t ) K------------------------------ A(t )
a 1 (t )-----------------------------1
0
t
A(0) k,a(0) 1, A(t) ka(t)
n期的利息：I(n) A(n) A(n 1)
解：由A(5) A(0)a(5)，可得A(0) A(5) / a(5) 单利时，a(5) 1 11% 5 1.55 于是 A(0) 1000/ 1.55 645.16(元) 复利时，a(5) （1 11%）5 1.685 于是 A(0) 1000/ 1.685 593.47(元)
解：A(0) 5,则a(t) A(t) 2t t 5
A(0)
5
I3 A(3) A(2) 2.318
A(4) A(3) i4 A(3) 17.81%
利息的计算方法
➢单利（simple interest） ➢复利（compound interest) 图示！
单利：累积函数是时间的线性函数a(t) 1 it。 复利：累积函数是时间的指数函数a(t) (1 i)t。
积累与折现
➢ 某种意义上，积累与折现是相反的过程 ➢ 积累相对与过去的时刻而言 ➢ 折现相对于将来的时刻而言
利率(interest rate）
为了表示单位货币价值的相对变化幅度引入“利 率”
1.实际利率(effective rate of interest) 定义：某一度量期内所获得的利息金额与此度 量期开始投资的金额之比。用“i”表示。表为 百分利数息。 I(n) A(n) A(n 1) a(n) a(n 1)
单利计算与复利计算的区别

利息理论第一章 利息的基本概念

利息理论第一章 利息的基本概念

A′(t ) a′(t ) δt = = A(t ) a(t )
称 δ t 该投资在t时的利息强度，即 δ t 为利息在时刻t一 该投资在t 为利息在时刻t 种度量，通过如上定义可将 δ 表示为如下形式：
t
d d δ t = ln A(t ) = ln a (t ) dt dt
对两边积分可得，
A(t ) ∫0 δ s ds = ∫0 d ln A(s) = ln A(s) | = ln A(0)
利息理论
绪论
利息是债务人（borrower） 利息是债务人（borrower）对债权人 （lender）因为资金被借用而牺牲了当前消费， lender） 以及对其面对的机会成本的一种补偿。不同经济 学以及货币银行学等课程讨论利息是如何形成的 以及分析决定利息大小的具体因素，在本门课程 中假定存在于债权人和债务人之间的利息是一种 既定的事实，并在此基础上分析债权人和债务人 之间的权利与义务的关系。
假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 假如不是以年实际利率6%,而是以年实际贴现率 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% 6%向银行借款，为期一年，则银行将预收6% （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， （即6元）的利息，仅付给张三94元。一年后， 张三将还给银行100元。 张三将还给银行100元。 由此可见，实际利率和实际贴现率反映的 是一个先后付息的问题。
就是只有本金生息，本金产生的利息并不积累 生息。 （2）如果单位投资在t时的积累值为： ）如果单位投资在t a(t)=(1+i)t )=(1+i) 那么，则称该笔投资以每期复利i计息, 那么，则称该笔投资以每期复利i计息,并将 这样产生的利息称为复利。实际上，复利就是 指民间俗称的“利滚利”，即当其产生的利息 计入本金，在下一期可以生息。

利息理论——第一章1.1

利息理论——第一章1.1

1

这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。

我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
1
1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )

例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
利息

我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)

注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1

实际利率



定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。

《利息理论》期末复习

《利息理论》期末复习

基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1 ----期末付永续年金
1 11
----
1 1 1 ----期初付永续年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0 --- 期初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0 --- 期末付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
基本年金公式总结
– 单贴现
a1(t) 1 dt
dn
d 1 (n 1)d
• 指数积累
– 复利 a(t) (1 i)t in i
– 复贴现 a1(t) (1 d )t dn d
利息度量三：利息转换频率不同
• 名义利率 i(m)
1
i(m) m
m
1 i
• 名义贴现率 d (m)
1
d (m) m
• 在其他条件相同的情况下，应优先选择净现值 较大的项目进行投资。
收益率的存在性与唯一性
• 收益率唯一性判定定理一 (Descartes符号定 理)
– 若整个投资期间，净现金流入只改变过一次 符号，那么该项目的收益率唯一存在。
• 收益率唯一性判定定理二
– 整个投资期间未动用投资余额始终为正。
币值加权收益率
收益率法
• 收益率：使得净现金流入的现时值为零时的利
率。
n
V (0) vt Rt 0 t 0
• 用收益率进行投资决策时，当投资项目的收益
率大于或等于投资者要求的收益率时，该项目
是可行的，否则便不可行。
净现值法
• 净现值(net present value)：净现金流入的现值。
n
NPV (i) vt Rt t 0
未知时间问题

利息理论

利息理论
23
未知时间问题
计算方法
利用计算器 利用复利表 利用Taylor展式 利用 展式 非整数期部分采用单利近似替代
72律：利率为i时，使得积累值是本金的 律 利率为 时 2倍所需的时间大致是 倍所需的时间大致是72/i。 倍所需的时间大致是 。
24
预定在第1、 、 、 年末分别付 例1.2.4 预定在第 、3、5、8年末分别付 款200元、400元、300元、600元，假设 元 元 元 元 实际年利率为5%，试确定一个付款 实际年利率为 ，试确定一个付款1500 元的时刻，使这次付款与上面4次付款等 元的时刻，使这次付款与上面 次付款等 价。
6
二 实际利率
某一度量期的实际利率是指该度量期内 得到的利息金额与此度量期开始时投资 的本金金额之比，通常用字母i来表示 来表示。 的本金金额之比，通常用字母 来表示。 对于实际利率保持不变的情形， 对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)； ； 对于实际利率变动的情形， 对于实际利率变动的情形，则in=In/A(n1)； ；
(m)
/ m)
m
1 − d = (1 − d ( m ) / m) m： 名义贴现率与名义利率之间的关系： 名义贴现率与名义利率之间的关系
i (m) d (m) i (m) d (m) − = ⋅ m m m m
15
例1.1.9 （1）求与实际利率 等价的每年 ）求与实际利率8%等价的每年 计息2次的年名义利率 以及每年计息4次的 次的年名义利率， 计息 次的年名义利率，以及每年计息 次的 年名义贴现率；（ ；（2）已知每年计息12次的 年名义贴现率；（ ）已知每年计息 次的 年名义贴现率为8%，求等价的实际利率。 年名义贴现率为 ，求等价的实际利率。 例1.1.10 求1万元按每年计息 次的年名义利 万元按每年计息4次的年名义利 万元按每年计息 投资三年的积累值。 率6%投资三年的积累值。 投资三年的积累值 以每年计息2次的年名义贴现率为 例1.1.11 以每年计息 次的年名义贴现率为 10%，在6年后支付 万元，求其值。 年后支付5万元 ， 年后支付 万元，求其值。

保险精算教学大纲与习题

保险精算教学大纲与习题

1.保险精算教学大纲2.保险精算习题本课程总课时：课程教学周，每周课时第一章：利息理论基础本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解利息的各种度量2、掌握常见利息问题的求解原理二、主要内容第一节：实际利率与实际贴现率一、利息的定义二、实际利率三、单利和复利四、实际贴现率第二节：名义利率和名义贴现率第三节：利息强度第二章年金本章课时：一、学习的目的和要求1、要求了解年金的定义、类别2、掌握年金问题求解的基本原理和常用技巧二、主要内容第一节：期末付年金第二节：期初付年金第三节：任意时刻的年金值一、在首期付款前某时刻的年金值二、在最后一期付款后某时刻的年金积累值三、付款期间某时刻的年金当前值第四节：永续年金第五节：连续年金第三章生命表基础本章课时：一、学习的目的与要求1、理解常用生命表函数的概率意义及彼此之间的函数关系2、了解生存函数与生命表的关系并掌握寿险生命表的特点与构造原理3、掌握各种分数年龄假定下，分数年龄的生命表函数的估计方法二、主要内容第一节生命函数一、分布函数二、生存函数三、剩余寿命四、取整余命五、死亡效力六、生存函数的解析表达式第二节生命表一、生命表的含义二、生命表的内容第四章人寿保险的精算现值本章课时：一、教学目的与要求1、掌握寿险趸缴纯保费的厘定原理2、理解寿险精算现值的意义，掌握寿险精算现值的表达方式及计算技巧3、认识常见的寿险产品并掌握各种产品趸缴纯保费的厘定及寿险精算现值方差的计算4、理解趸缴纯保费的现实意义二、主要内容第一节死亡即付的人寿保险一、精算现值的概念二、n年定期保险的精算现值（趸缴纯保费）三、终身寿险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费五、生存保险与两全保险的趸缴纯保费第二节死亡年末给付的人寿保险一、定期寿险的趸缴纯保费二、终身寿险的趸缴纯保费三、两全保险的趸缴纯保费四、延期寿险的趸缴纯保费第三节死亡即刻赔付保险与死亡年末赔付保险的精算现值的关系第四节递增型人寿保险与递减型人寿保险一、递增型寿险二、递减型寿险三、两类精算现值的换算第五章年金的精算现值本章课时：一、学习目的与要求1、理解生存年金的概念2、掌握各种场合计算生存年金现时值的原理和技巧。

《利息理论复习》PPT课件

《利息理论复习》PPT课件
i
na
=
n
i
(2-55B)
(Ds) = s + s s + s s +…+ s s + s s
n
n
n
1n
2
n
n2 n
n1
=n s -( s + s +…+ s + s )
n
12
n2 n1
n(1 i)n s
=
n
i
(2-56B)
永续变额年金
lim (P a
n
n
+Q
a n
nvn i
)=
P i
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
现金流出：O0
现金流入 I0
时间
0
O1
O2 …
On-1
On
I1
I2 …
I n-1
In
1
2…
n-1
n
图(3-1) 投资记录时间图
3-2 收益率的定义
• 使得净现值为0的利率i为相应投资
项目的收益率
n
P(i)= vt Rt =0 t0
(3-2)
第三章
收益率
3-1 贴现现金流分析法
j)mn j
1 1 vn = i(m)
(2-35B) (2-36B)
a(m n
)
=
1 v i(m)
n
1 vn =
i
i
× i
(
m
)
i
= i(m)
a n
s(m) n
=
i
i
(m
)
s n
(2-37A) (2-37B)

利息理论第一章.ppt

利息理论第一章.ppt
7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
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名义利率

(m ) 名义利率 i (m) m i 1 1 i m
1 1
i ( 4) 1 4
i ( 4) 1 4
2
i ( 4) 1 4
3
i ( 4) 1 4
4
i
1 i
名义贴现率

名义贴现率 d (m) m d 1 1 d m
利息度量二——积累方式不同

线形积累


指数积累

单利
a (t ) 1 it i in 1 ( n 1)i
复利
a (t ) (1 i ) t in i

单贴现
a
1

复贴现
a 1 (t ) (1 d ) t dn d
dn
(t ) 1 dt d 1 ( n 1) d
4
(m )
d ( 4) 1 4
d ( 4) 1 4
3
d ( 4) 1 4
2
1
d ( 4) 4
1 1
1 d
d
例1.2.1
求与实际利率8%等价的每年计息2次的年名 义利率以及每年计息4次的年名义贴现率。
例1.2.1答案
2、
t 0.05(1 t )2
例1.3.1答案
1、1000 10 1000 100.05 1648 72 e e .
10
2、 1000 0 e
0.05(1t )
2
dt
1000 e
0.05 0 1 t 10
1046 50 .
利息的度量（四）变利息

什么是变利息？ 常见的变利息情况
单复利计息之间的相关关系
单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒 定。 单贴现的实质利率逐期递增，复贴现的实质利率保 持恒定。 t 1 时，相同单复利场合，单利计息比复利计息 产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。 t 1 时，相同单复利场合，复利计息比单利计息 产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。
如何理解（1.3.9）
a (n ) (1 i ) n e 0 e 0
1
(s )ds n 1 (S )ds e
n
n
( S )ds
e 1
2
( S )ds
e e e
1 2
t
利息的度量（五）利息等价式
初始值 利息 积累值
1
v
i d
1 i 1
v 1 d （ i）1 e 1
答案
（ （1） 4000 1 j )34 5700 j 3% i ( 4 ) 4 j 12%
（2）
3000 1 i ) 4 6000 1 i ) 2 15000 ( ( (1 i ) 2 1 6 (舍去负根) 由(1 i ) 2 1 6 i 20.4% （i 2.204舍去)
期末计息——利率

第N期实质利率
in
I ( n) A( n 1)

期初计息——贴现率

第N期实质贴现率
dn
I ( n) A( n)
例1.1.1实质利率/贴现率

某人存1000元进入银行，第1年末存款余额 为1020元，第2年存款余额为1050元，求 i1、i2、d1、d 2 分别等于多少？
利息的度量三——利息转换频率不同




实质利率：以一年为一个利息转换期，该利率记 为实质利率，记为 i 。 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每 (m) 一期的利率为j，记 i 为 这一年的名义利 率，( m) mj 。 i 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬 间利率叫作利息力，记为 t。 实质贴现率和名义贴现率的定义与实质利率、名 义利率类似。

Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
一、利息的定义

定义：

3、
例1.2.2和例1.2.3
求一万元按每年计息4次的年名义利率6%投 资3年的累积值。 以每年计息2次的年名义贴现率10%，在6年 后支付5万元，求其现值。
解：
A (3) 10000* 1 i
A (3) 10000* 1 d
3
i (4) 12 10000(1 ) 4
a (t ) e
(s )ds
0
t
e 0
1
1ds
e 1
2
2ds
t 1s ds e
t
e 1e 2 e t
in a (n ) a (n 1) e n 1 a (n 1)
t k 1
a (t ) (1 i k ) (1 i 1 )(1 i 2 ) (1 i t )
(2) 1、 1 i 1 i 1 8% i (2) 7.85% 2

2
4
2、
d (4) 1 1 (4) 1 4 1 d 1 i 1 8% d 7.623%
i 8% d , i (2) , d (2) , i (4) , d (4) ?
利息度量要点

利息的度量(一)计息时刻不同 利息的度量(二)利息累积方式不同 利息的度量(三)计息频率不同 利息的度量(四)变利率 利息的度量(五)利率等价式
第一章汉英名词对照




积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力



1 n
2、 ln(1 i ) ln1.08 7.7% 3、A (8) 500e 8
补充:
利息问题求解原则
一、利息问题求解四要素

原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式

期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息效 力
1 m m
例1.3.3和1.3.4
1、如果 t ，试确定1在n年末的积累值。 1 t 2、已知年度实际利率为8%，求等价的利息 强度。 3、一笔业务按利息强度6%计息，求投资 500元经8年的累积值。
1
例1.3.3和1.3.4
1、e 0 1t dt
n
1
e
ln(1t )
n 0
保险精算学
寿险精算的课程结构

基础
利息理论基础 生命表基础

核心



保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利

拓展


特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率 1.2 名义利率和名义贴现率 1.3 利息强度

连续变化场合：函数利息力 (t )
a(t ) exp{ (s)ds}

t
离散变化场合： i ,, i (d ,, d ) 1 t 1 t
0
a(t ) (1 ik ) (1 d k )1
k 1 k 1
t
t
如何理解（1.3.7a）和（1.3.7b）（1.3.7c）
（ i）= ( d ) 1 e 1 1
利息的度量（五）利息等价式
d (1.1.7) P 5 1 d i d 1 i i id d d (1 i ) i i d id i
利息的度量（五）利息等价式
d (m ) i (m ) 1 1 1 i e 1 d 1 m m (1.2.7) P 8, (1.3.13) i (m ) d (m ) 1 1 m m i (m ) d (m ) i (m ) d (m ) * m m m m
m m
等价公式

一般公式
a(t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a1 (n) exp{n }
例1.3.1

确定1000元按如下利息效力投资10年的积 累值
1、
5%
例1.1.1答案
A(0) 1000, A(1) 1020, A(3) 1050 I1 A(1) A(0) 20 I 2 A(3) A(2) 30 i1 I1 20 2% A(0) 1000 I1 20 d1 1.96% A(1) 1020 I2 30 i2 2.94% A(1) 1020 I2 30 d2 2.86% A(2) 1050
如何理解（1.3.8）
a (t ) e
(s )ds
0
t
e 0
1
1ds
e 1
2
2ds
t 1s ds e
t
e 1e 2 e t e n
in a (n ) a (n 1) e 1 a (n 1)
t k 1
a (t ) (1 i k ) (1 i ) n e n
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失。 本金 利率 时期长度